Как найти дифференциальное уравнение семейства линий - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Составление дифференциальных уравнений семейств линий

Пусть дано уравнение однопараметрического семейства плоских кривых

y=varphi(x,a) quad (a-text{parametr}).

(1)

Дифференцируя (1) по , найдем

y'=varphi'_x(x,a).

(2)

Исключая параметр из (1) и (2), получаем дифференциальное уравнение

F(x,y,y')=0,

(3)

выражающее свойство, общее всем кривым семейства (1). Уравнение (3) будет искомым дифференциальным уравнением семейства (1).

Если однопараметрическое семейство кривых определяется уравнением

Phi(x,y,a)=0,

то дифференциальное уравнение этого семейства получим, исключая параметр из уравнений $begin{cases}Phi(x,y,a)=0,\[3pt] dfrac{partialPhi}{partial x}+dfrac{partialPhi}{partial y},y'=0.end{cases}$

Пусть теперь имеем соотношение

Phi(x,y,a_1,a_2,ldots,a_n)=0.

(4)

где a_1,a_2,ldots,a_n — параметры. Дифференцируя (4) раз по и исключая параметры из (4) и полученных уравнений, приходим к соотношению вида

$F(x,y,y',y'',ldots,y^{(n)})=0.$

(5)

Это дифференциальное уравнение заданного n-параметрического семейства линий (4) в том смысле, что (4) есть общий интеграл уравнения (5).

Пример 1. Найти дифференциальное уравнение семейства гипербол $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{1}=1$ .

Решение. Дифференцируя это уравнение по , получаем

$frac{2x}{a^2}-2yy'=0,$ или $frac{x}{a^2}=yy'.$

Умножим обе части на , тогда $frac{x^2}{a^2}=xyy'$ . Подставляя в уравнение семейства найдем xyy'-y^2=1 .

Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства линий $y=a(1-e^{-x/a})$ , где — параметр.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по :

$y'=e^{-x/a}$

Из выражения для находим $a=-frac{x}{ln{y'}}$
и, подставляя это выражение для в уравнение семейства линий, получим

$y=-frac{x}{ln{y'}}(1-y'),$ или yln{y'}+x(1-y')=0.

Пример 3. Составить дифференциальное уравнение семейства прямых, отстоящих от начала координат на расстояние, равное единице.

Решение. Будем исходить из нормального уравнения прямой

xcosalpha+ysinalpha-1=0,

(6)

где alpha — параметр.

Дифференцируя (6) по , найдем cosalpha+y'sinalpha=0 , откуда y'=-operatorname{ctg}alpha , следовательно,

$sinalpha=frac{1}{sqrt{1+(y')^2}}, quad cosalpha=-frac{1}{sqrt{1+(y')^2}}.$

Подставив sinalpha и cosalpha в (6), получим

$-frac{xy'}{sqrt{1+(y')^2}}+frac{y}{sqrt{1+(y')^2}}-1=0,$ или $y=xy'+sqrt{1+(y')^2},.$

2°. Задачи на траектории

Пусть дано семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра alpha ,

Phi(x,y,a)=0,

(7)

Кривая, образующая в каждой своей точке постоянный угол alpha с проходящей через эту точку кривой семейства (7), называется изогональной траекторией этого семейства; если, в частности, alphapislash2 , то — ортогональной траекторией.

Считая семейство (7) заданным, будем разыскивать его изогональные траектории.

А. Ортогональные траектории. Составляем дифференциальное уравнение данного семейства кривых (см. п. 1). Пусть оно имеет вид

F(x,y,y')=0.

Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид

$F!left(x,y,-frac{1}{y'}right)=0.$

Общий интеграл этого уравнения Phi_1(x,y,C)=0 дает семейство ортогональных траекторий.

Пусть семейство плоских кривых задано уравнением в полярных координатах

Phi(rho,varphi,a)=0,

(8)

где — параметр. Исключая параметр из (8) и $frac{partialPhi}{partialvarphi}=0$ , получаем дифференциальное уравнение семейства (8): F(rho,varphi,rho')=0 . Заменяя в нем rho' на $-frac{rho^2}{rho'}$ ,

получаем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий

$F!left(rho,varphi,-frac{rho^2}{rho'}right)=0.$

Б. Изогональные траектории. Пусть траектории пересекают кривые данного семейства под углом alpha , причем operatorname{tg}alpha=k . Можно показать, что дифференциальное уравнение изогональных траекторий имеет вид

$F!left(x,y,frac{y'-k}{1+ky'}right)=0.$

Пример 4. Найти ортогональные траектории семейства линий y=kx .

Решение. Семейство линий y=kx состоит из прямых, проходящих через начало координат. Для нахождения дифференциального уравнения данного семейства дифференцируем по обе части уравнения y=kx . Имеем y'=k . Исключая параметр из системы уравнений $begin{cases}y=kx,\y'=k,end{cases}$ будем иметь дифференциальное уравнение семейства xy'=y . Заменяя в нем на $-frac{1}{y'}$ , получаем дифференциальное уравнение ортогональных траекторий $-frac{x}{y'}=y$ , или yy'+x=0 . Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными; интегрируя его, найдем уравнение ортогональных траекторий x^2+y^2=C (Cgeqslant0) . Ортогональными траекториями являются окружности с центром в начале координат (рис. 15).

Ортогональные траектории семейства прямых

Пример 5. Найти уравнение семейства линий, ортогональных к семейству x^2+y^2=2ax .

Решение. Данное семейство линий представляет собой семейство окружностей, центры которых находятся на оси и которые касаются оси .

Дифференцируя по обе части уравнения данного семейства, найдем x+yy'=a . Исключая параметр из уравнений x^2+y^2=2ax, x+yy'=a, получаем дифференциальное уравнение данного семейства x^2-y^2+2xyy'=0 . Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий есть

$x^2-y^2+2xy!left(-frac{1}{y'}right)=0,$ или $y'=frac{2xy}{x^2-y^2},.$

Это уравнение является однородным. Интегрируя его, найдем x^2+y^2=Cy . Интегральные кривые являются окружностями, центры которых расположены на оси и которые касаются оси (рис. 16).

Ортогональные траектории семейства парабол

Пример 6. Найти ортогональные траектории семейства парабол y=ax^2 .

Решение. Составляем дифференциальное уравнение семейства парабол. Для этого дифференцируем обе части данного уравнения по xcolon y'=2ax . Исключая параметр , найдем $frac{y'}{y}=frac{2}{x}$ , или $y'=frac{2y}{x}$ дифференциальное уравнение данного семейства. Заменяя в уравнении на $-frac{1}{y'}$ , получим дифференциальное уравнение ортогональных траекторий

$-frac{1}{y'}=frac{2y}{x},$ или $frac{dx}{dy}=-frac{x}{2y},.$

Интегрируя, найдем $y^2=-frac{x^2}{2}+C$ или $frac{x^2}{2}+y^2=C>0$ . Ортогональным семейством является семейство эллипсов (рис. 17).

Пример 7. Найти ортогональные траектории семейства лемнискат rho^2=acos2varphi .

Решение. Имеем rho^2=acos2varphi~Rightarrow~rhorho'=-asin2varphi . Исключая параметр , получим дифференциальное уравнение данного семейства кривых rho'=-rhooperatorname{tg}2varphi,. Заменяя rho' на $-frac{rho^2}{rho'}$ , найдем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий $-frac{rho^2}{rho'}=-rhooperatorname{tg}2varphi,,$ откуда $frac{drho}{rho}=operatorname{ctg}2varphi,dvarphi$ . Интегрируя, находим уравнение ортогональных траекторий

rho^2=Csin2varphi,.

Ортогональными траекториями семейства лемнискат являются лемнискаты, ось симметрии которых образуют с полярной осью угол $pm45^{circ}$ (рис. 18).

Ортогональные траектории семейства лемнискат

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Составление уравнений семейства кривых

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства:

φ (1)

необходимо продифференцировать равенство (1) n раз, считая y функцией от x, а затем из полученных уравнений и уравнения (1) исключить произвольные постоянные C₁… C_n.

Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом ϕ, называются изогональными траекториями. Углы β и α наклона траектории и кривой к оси Ox связаны соотношением β = α ± φ.

Пусть

— дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а

— уравнение семейства изогональных траекторий.

Тогда tg α = f (x,y), tg β = f₁ (x,y).

Отсюда следует, что если дифференциальное уравнение семейства кривых написано и угол φ известен, то найти tg β не составит труда, а после также легко можно будет написать уравнение траекторий.

Частный случай:

Если уравнение семейства кривых записано в виде:

то при составлении уравнения траекторий можно обойтись без решения уравнения относительно y’, в этом случае будет достаточно y’ заменить на tg α = tg (β ± φ), где tg β = y’ — угловой коэффициент касательной к траектории.

Пример №1

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых:

Так как уравнение содержит два параметра (С₁ и С₂), то и дифференцировать будем два раза:

Первая производная:

Вторая производная:

Дальше, чтобы составить дифференциальное уравнение семейства кривых необходимо избавиться от С₁ , а для этого выведем его из уравнения первой производной С₁ = -2(y — С₂)y’ и подставим в наше уравнение:

(2)

Теперь также нужно избавиться от параметра C₂, а для этого выведем ее из второй производной: y — C₂ = -y’² / y» и подставим это в (2):

Ну и наконец упростим полученное уравнение и получим:

Пример №2

Для закрепления составим еще одно уравнение:

Решение абсолютно идентично предыдущему, за исключением того, что вместо параметров С₁ и С₂ здесь представлены параметры a, b и с. Ну и, конечно, раз параметров три, то нам понадобятся производные первого, второго и третьего порядка.

Делать описание каждого шага я уже не буду, думаю вы уже сами разберетесь:

Первая производная:

Вторая производная:

Третья производная:

Ответ:

Ну, думаю, если вы разобрались в первыми двумя примерами, то все остальные вы решите без труда, а чтобы это проверить дам вам парочку заданий «на дом».

Пример №3

Выразим коэффициенты a и b через 1-ую и 2-ую производные:

Первая производная: , где

Вторая производная: , где

Подставим значение b второй производной в значение a первой производной:

А теперь подставим полученные значения a и b в исходное уравнение и упростим:

⇒

Ответ:

Пример №4

Ну а здесь все еще проще:

Найдем производную:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Чтобы воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, вычтем из единицы обе части уравнения:

Ну и теперь как мы видим во второй части получилось исходное уравнение, только в квадрате, а значит оно будет равно:

И, следовательно,

Приведем к общему виду и запишем ответ:

Ответ:

Ну и на этой ноте мы с вами закончим данный урок, всем спасибо!

Если вам что-то непонятно (или нашли неточности в уроке) пишите в комментариях и мы вам обязательно ответим в ближайшее время.

Уроки по теории вероятности

Первая тема, которую я бы хотел рассмотреть на уроках элементарной алгебры — это выражения. Числовые выражения Числовые выражения — это выражения, состоящие только из цифр и знаков арифметических действий. Число, которое получается в результате выполнения действий в числовом выражении, называют значением выражения. Пример №1 Найти значение выражения: 12 * 6 — 16 : 4 Значение

Курс данного предмета мы начнем непосредственно с матриц, потому что именно они составляют основу данной дисциплины. Определение матрицы Матрицей размерности называется прямоугольная таблица чисел, содержащая — строк и — столбцов, число расположенное в -ой строке и -столбце обозначается и называется элементом матрицы , т. е. Операции над матрицами Рассмотрим основные операции, проводимые над матрицами: сумма матриц;

Данная статья занесена в архив так как написана новая, возможно более понятная статья, переходите по ссылке на нее http://mathcentr.ru/matritsa-i-operatsii-nad-nej/ Как вы, наверное, уже поняли матрицы ничем не отличаются от обычных чисел, по правде говоря — это просто много цифр в одном числе))) И разумеется, существуют такие же операции над матрицами, как и над числами, но не все и

Продолжаем изучать матрицы и сегодня на уроке мы научимся находить и вычислять обратную матрицу. Обратная матрица Матрица называется транспонированной к матрице , если выполняется условие: , для всех , где и — элементы матриц и соответственно. Проще говоря, транспонированная матрица — это перевернутая матрица, т.е. столбцы записаны строками, а строки столбцами. Пример №1 Транспонировать матрицу

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций. Тригонометрические функции числового аргумента Какое бы действительное число ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число . Правда, правило соответствия

Источник

1.1. Дифференциальные уравнения семейства кривых

Пусть задано
семейство кривых:
,
где— параметр. Необходимо составить
дифференциальное уравнение, решением
которого является это семейство.

Общая схема решения
этой задачи:

1) Равенство
определяет неявную функцию.
Тогда на некотором промежутке справедливо
тождество:.
Дифференцируя это тождество по переменной,
получим:===0.

2) Запишем систему
Исключив параметриз этой системы, получим дифференциальное
уравнение, решением которого является
семейство кривых:.

Пример 1.1.Имеем
семейство кривых:.
Необходимо построить дифференциальное
уравнение, для которого данное семейство
кривых является решением.

Решение: 1)
Считая, что выражениеопределяет неявную функцию,продифференцируем это выражение по
независимой переменной.
Имеем.

2) Запишем систему
Для исключения из системы параметраумножим первое уравнение наи
приравняем левые части первого и второго
равенств. Получим дифференциальное
уравнение,
или,
решением которого является заданное
семейство кривых.

Ответ..

Задание 1.1.
Составить дифференциальное уравнение
для семейства кривых.

Вар.	Семейство:	Вар.	Семейство:
1.1.1.	.	1.1.16.	.
1.1.2.	.	1.1.17.	.
1.1.3.	.	1.1.18.	.
1.1.4.	.	1.1.19.	.
1.1.5.	.	1.1.20.	.
1.1.6.	.	1.1.21.	.
1.1.7.	.	1.1.22.	.
1.1.8.	.	1.1.23.	.
1.1.9.	.	1.1.24.	.
1.1.10.	.	1.1.25.	.
1.1.11.	=.	1.1.26.	.
1.1.12.	.	1.1.27.	.
1.1.13.	.	1.1.28.	.
1.1.14.	.	1.1.29.	.
1.1.15.	.	1.1.30.	.

1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Известно, что в
общем случае дифференциальное уравнение
с разделяющимися переменными может
быть представлено в виде:

.
(1.1)

Для интегрирования
уравнения переменные
идолжны быть разделены. Для этого требуется
разделить равенство (1.1) на произведение.
В результате получим:

. (1.2)

Интегрируя (1.2),
находим общее решение исходного уравнения
(1.1) в виде выражения: .

Для перехода к
записи (1.2) выполнялось деление на
функции:
и.
Если возможны равенстваи,
необходимо функциииучесть как решения исходного уравнения.

Пример 1.2.Решить дифференциальное уравнение.

Решение.1)
Заданное уравнение есть уравнение с
разделяющимися переменными, гдеи.
Так каки,
то функцииинеобходимо учесть как решения исходного
уравнения.

2)
Теперь считаем, что
.
Разделив заданное уравнение на
,
получим уравнение
с разделенными переменными.

3) В
результате
интегрирования находим общее решение
уравнения в виде

или
.
Учитывая, что

− произвольная постоянная величина,
запишем общее решение в виде
.
При
=0
из общего решения получаем также решение

Ответ.;.

Задание 1.2. Решить
уравнение с разделяющимися переменными.

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.2.1.		1.2.16.
1.2.2.		1.2.17.
1.2.3.		1.2.18.
1.2.4.		1.2.19.
1.2.5.		1.2.20.
1.2.6.		1.2.21.
1.2.7.		1.2.22.
1.2.8.		1.2.23.
1.2.9.		1.2.24.
1.2.10.		1.2.25.
1.2.11.		1.2.26.
1.2.12.		1.2.27.
1.2.13.		1.2.28.
1.2.14.		1.2.29.
1.2.15.		1.2.30.

Соседние файлы в папке БДЗ по ДУ

Источник

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: (y=x ln x+Cx), (varphi=text{arctg} 2).

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
[y’=ln x+frac{x}{x}+C Rightarrow C=y’-ln x-1 ]
Подставим (C) в исходное уравнение:
[y=x ln x+(y’-ln x-1 )x Rightarrow y’=frac{y+x}{x} ]
1. Найдем уравнение траекторий для которых где (varphi) отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
[frac{y_1′-y’}{1+y’y_1′}=tan varphi]
[frac{y_1′-dfrac{y+x}{x}}{1+dfrac{y+x}{x}y_1′}=tan (text{arctg} 2)=2]
[frac{xy_1′-y-x}{x+(y+x)y_1′}=2]
[xy_1′-y-x=2x+2(y+x)y_1′]
[y_1′(x-2x-2y)=3x+y]
[y_1’=-frac{3x+y}{x+2y}]
2. Найдем уравнение траекторий для которых где (varphi) отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
[frac{y’-y_2′}{1+y’y_2′}=tan varphi]
[frac{dfrac{y+x}{x}-y_2′}{1+dfrac{y+x}{x}y_2′}=tan (text{arctg} 2)=2]
[frac{y+x-xy_2′}{x+(y+x)y_2′}=2]
[y+x-xy_2’=2x+2(y+x)y_2′]
[y_2′(2y+2x+x)=y+x-2x]
[y_2′(2y+3x)=y-x]
[y_2’=frac{y-x}{2y+3x}]
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом (varphi=text{arctg} 2) имеют вид:
[y’=-frac{3x+y}{x+2y}; y’=frac{y-x}{2y+3x}.]

Источник