Как найти дискриминант два способа

Решение квадратных уравнений

6 июля 2011

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x² − 8x + 12 = 0;
2. 5x² + 3x + 7 = 0;
3. x² − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x² = 0;
3. x² + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

[begin{align} & {{x}_{1}}=frac{2+sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=-5; \ & {{x}_{2}}=frac{2-sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=3. \ end{align}]

Наконец, третье уравнение:
x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

[x=frac{-12+sqrt{0}}{2cdot 1}=-6]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x² + 9x = 0;
2. x² − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 7x = 0;
2. 5x² + 30 = 0;
3. 4x² − 9 = 0.

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x₁ = 0; x₂ = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x² = 9/4 ⇒ x₁ = 3/2 = 1,5; x₂ = −1,5.

Смотрите также:

1. Теорема Виета
2. Следствия из теоремы Виета
3. Тест на тему «Значащая часть числа»
4. Метод коэффициентов, часть 1
5. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
6. Задача B4: строительные бригады

В 8 классе по алгебре начинают изучать квадратные уравнения и самый популярный способ их решения —  через дискриминант. Формула вычисления дискриминанта известна

   

Дискриминант в математике используется чтобы определить сколько корней в уравнении — 1 корень, 2 корня или действительных корней нет. В этой статье определим, что такое дискриминант и выведем формулу дискриминанта.

Определение

Определим что такое дискриминант и зачем он нужен в математике, а также как его рассчитать.

Дискриминантом называют число, описывающее свойство коэффициентов квадратного многочлена. Хотя есть дискриминанты и кубических многочленов.

По этому числу определяют характер корней уравнения, полученному если многочлен приравнять к нулю. Так, если дискриминант больше нуля, то уравнение будет иметь два корня, равен нулю, то 1 корень, а если будет меньше нуля, то корней не будет.

Дискриминант (определение) помогает определить наличие или отсутствие корней квадратного уравнения, не решая его.

Обозначается дискриминант квадратного уравнения буквой или знаком Δ. И находится по формуле:

D=b^2-4ac , где

, и  — коэффициенты уравнения:

ax^2+bx+c=0

Корни через дискриминант определяются по формулам:

displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}

Пример вычисления дискриминанта:

Вычислим дискриминант в уравнении 6x^2+4x+2=0 .

По формуле находим:

D=b^2-4ac=4^2-4cdot 6 cdot 2=16-48=-32

Мы получили отрицательный дискриминант, значит, данное уравнение не имеет действительных корней. Действительно, так как корни квадратного уравнения находят по формулам:

displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}

Подставим значения для исходного уравнения:

displaystyle x_1=frac{-4-sqrt{-32}}{12} и displaystyle x_2=frac{-4+sqrt{-32}}{12}

Как видим, мы никак не сможем посчитать корни — у нас отрицательное число под знаком радикала. И, действительно, если вы построите график функции f (x)=6x^2+4x+2 — он нигде не пересечет ось , то есть ни при каком мы не получим ноль.

Геометрический смысл дискриминанта

Что означает дискриминант на графике, каков его геометрический смысл? Графически дискриминант квадратного уравнения характеризует расстояние по оси абсцисс между точкой — вершиной параболы (парабола — график квадратичной функции) и точкой пересечения графика с осью абсцисс. Посмотрите на рисунок. На нем видно:

1. Если дискриминант равен нулю (D=0), это значит, что вершина параболы и является точкой пересечения с осью абсцисс — расстояние между точкой пересечения и вершиной параболы равно нулю.
2. Когда D>0, то справа и слева от точки абсцисс вершины параболы на одинаковом расстоянии displaystyle frac{sqrt{D}}{2a} будут находиться точки пересечения параболы ax^2+bx+c=y, которые являются корнями уравнения ax^2+bx+c=0.
3. Когда D<0 — это означает, что точек действительных отметить на оси абсцисс нельзя, то есть от вершины отложить расстояние до точек пересечения графика с осью абсцисс невозможно, то есть этих точек пересечения нет. График не пересекает ось абсцисс и корней уравнения [katex]ax^2+bx+c=0[/katex] нет.

Корни квадратного уравнения через дискриминант.

Полное квадратное уравнение

Пусть нам дано уравнение вида ax^2+bx+c=0. Вычисляем дискриминант по известной формуле. Затем определяем корни уравнения.

1. Если D>0 получаем два вещественных корня displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}.
2. Если D=0 корни будут совпадать: displaystyle x_1=x_2=frac{-b}{2a}
3. Если D<0, вещественных корней нет, но есть мнимые корни или так называемые комплексные корни (обычно изучаются в курсе математического анализа в ВУЗах, хотя иногда и встречаются в алгебре 9-11 классов).

Неполное квадратное уравнение

Неполным называется такое квадратное уравнение, когда один из коэффициентов такого уравнения равен нулю.

1. Пусть коэффициент a=0, тогда уравнение сводится к линейному уравнению вида kx+b=0 и уже не будет считаться неполным.
2. Если равны нулю два коэффициента: и , тогда . Решением такого уравнения будет: .
3. Если равен нулю коэффициент b, то имеем D=-4ac и displaystyle x_1= frac{sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2= -frac{sqrt{D}}{2a}.
4. При равенстве нулю свободного члена c=0 имеем D=b^2 и displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}.

Приведенное квадратное уравнение

Приведенным квадратным уравнением называется такое уравнение вида , в котором старший коэффициент равен a=1. Оно решается обычно по теореме Виета.

Дискриминант находится по формуле: .

Если второй коэффициент кратен 2

Если коэффициент b можно разделить на 2 (с четным вторым коэффициентом), то тогда вычисляется не полный дискриминант, а displaystyle frac{D}{4} по формуле:

displaystyle frac{D}{4}=left ( frac{b}{2} right)^2-ac,

а корни: displaystyle x_1=frac{-frac{b}{2}-sqrt{frac{D}{4}}}{a} и второй корень displaystyle x_2=frac{-frac{b}{2}+sqrt{frac{D}{4}}}{a}.

Примеры нахождения корней уравнения с помощью дискриминанта

Пример 1

Решим уравнение: 4x^2+5x-5=0

Находим дискриминант: D=25-4 cdot 4 cdot (-5)=25+80=105

Пример 2

Сколько корней в данном уравнении 2x^2-3x+6=0?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти дискриминант:

D=3^2-4 cdot 2 cdot 6=9-48=-39
D<0[/katex] — действительных корней нет.</p> <h3>Пример 3</h3> <p>[katex]x^2-6x-72=0 — найти корень.
D=b^2-4ac=(-6)^2-4 cdot (-72)=36+288=324

Так как , имеем два корня:

displaystyle x_1=frac{6-sqrt{324}}{2},      x_2=frac{6+sqrt{324}}{2}
displaystyle x_1=frac{6-18}{2}=-6,      x_2=frac{6+18}{2}=12   

Пример 4

Решить неполное уравнение

x^2-4=0

Способ 1

Разложим левую часть по формуле разность квадратов:

(x-2)(x+2)=0

Тогда корни:

x_1=-2,  x_2=2

Способ 2

Решим задачу с помощью дискриминанта: , тогда displaystyle x_1=sqrt{D}/2=sqrt{16}/2=4/2=2,

displaystyle x_2=-sqrt{D}/2=-sqrt{16}/2=-4/2=-2

Пример 5

Придумайте такое квадратное уравнение, в котором будет нулевой дискриминант.

Решение:

Так как формула дискриминанта: D=b^2-4ac, то выберем любые коэффициенты и , а найдем, если приравняем D=b^2-4ac к нулю.

Пусть , a , тогда displaystyle D=4^2-4cdot 7cdot c=0
4^2-4cdot 7cdot c=0
16-28c=0
-28c=-16 Разделим левую и правую части на -4.

7c=4
displaystyle c=frac{4}{7}

И, получаем: displaystyle 7x^2+4x+frac{4}{7}=0

Ответ: displaystyle 7x^2+4x+frac{4}{7}=0

Выводы

Самое важное, что надо запомнить, это формулу:

D=b^2-4ac

и как определяются корни квадратного уравнения:

displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}

Можно забыть, как определяются корни в разных видах квадратных уравнений, неполных, приведенных, но если вы знаете главное — как определяется дискриминант и корни в полном квадратном уравнении, то вы сможете решить любое уравнение второй степени.

Дискриминант квадратного уравнения

• Решение квадратных уравнений через дискриминант

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой  D.

Вид уравнения	Формула корней	Формула дискриминанта
ax2 + bx + c = 0		b2 — 4ac
ax2 + 2kx + c = 0		k2 — ac
x2 + px + q = 0
	p2 — 4q

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Вид уравнения	Формула
ax2 + bx + c = 0	, где D = b2 — 4ac
ax2 + 2kx + c = 0	, где D = k2 — ac
x2 + px + q = 0	, где D =
, где D = p2 — 4q

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b² — 4ac,

так как она относится к формуле:

,

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

— это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда — это просто число D = b 2 − 4 ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D D = 0, есть ровно один корень;
2. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8 x + 12 = 0;
2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0;
3. x 2 − 6 x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D x 2 − 2 x − 3 = 0;

15 − 2 x − x 2 = 0;

x 2 + 12 x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2 x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется , если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (− c / a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (− c / a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (− c / a ) c / a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

x 2 − 7 x = 0 ⇒ x · ( x − 7) = 0 ⇒ x ₁ = 0; x ₂ = −(−7)/1 = 7.

5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x ₁ = 3/2 = 1,5; x ₂ = −1,5.

Источник

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Вид уравнения	Формула корней	Формула дискриминанта
ax 2 + bx + c = 0		b 2 — 4ac
ax 2 + 2kx + c = 0		k 2 — ac
x 2 + px + q = 0
	p 2 — 4q

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Вид уравнения	Формула
ax 2 + bx + c = 0	, где D = b 2 — 4ac
ax 2 + 2kx + c = 0	, где D = k 2 — ac
x 2 + px + q = 0	, где D =
, где D = p 2 — 4q

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

так как она относится к формуле:

,

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,

Уравнение имеет всего один корень:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,

Источник

Как найти дискриминант квадратного уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 8 + 4 = 12. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 12 = 12.

Уравнением можно назвать выражение 8 + x = 12, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени, значит, такое уравнение является квадратным.

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Есть три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:

В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:

Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный. Только после этого вычисляем значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

• как найти дискрининант: D = b 2 − 4ac;
• если дискриминант отрицательный — зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю — вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b 2 /2a;
• если дискриминант положительный — найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней
  

А вот и еще одна табличка: в ней вы найдете формулы для поиска корней квадратных уравнений при помощи дискриминанта:

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, важно практиковаться. Вперед!

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.
3. D = 0, значит уравнение имеет один корень:
   

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
3. D > 0, значит уравнение имеет два корня:

Ответ: два корня x₁ = 5, x₂ = -1.

Источник

Квадратные уравнения решаются по формулам Виета и способом Дискриминанта(D). Начнём с того что мы должны понять как выглядит квадратное уравнение.

ax²+bx+c.

a, b и c — это какие либо цифры. а Всегда стоит перед x², b стоит перед x, а c-это свободные член и он стоит без всего(то есть просто цифра). Почему мы должны запомнить перед кем они стоят, а не просто их последовательность? Все просто, они могут стоят и в другом порядке, то есть:

bx+ax²+c.

Если бы мы просто запомнили что первое-это а второе b, а третье с, то мы бы сделали ошибку.

Теперь перейдём к самим формулам. D(Дискриминант это вспоминающий элемент) давайте его вычислим:

D=b²-4*a*c

Опять повторю, место a, b и c должны быть цифры!

После того как мы все это вычалили, у нас получается число.

Если число D:

D > 0, то уравнение имеет 2 различных корня!

D = 0, то уравнение имеет 1 корень!

D < 0, то уравнение не имеет корней!

Допустим у нас получилось что D > 0, то вычислим корни.

x₁=(-b+√D)/(2*a)

x₂=(-b-√D)/(2*a)

Вот и все, только запомните, что если D=0, корень 1.