Как найти дискриминант с одним корнем

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Вид уравнения	Формула корней	Формула дискриминанта
ax 2 + bx + c = 0		b 2 — 4ac
ax 2 + 2kx + c = 0		k 2 — ac
x 2 + px + q = 0
	p 2 — 4q

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Вид уравнения	Формула
ax 2 + bx + c = 0	, где D = b 2 — 4ac
ax 2 + 2kx + c = 0	, где D = k 2 — ac
x 2 + px + q = 0	, где D =
, где D = p 2 — 4q

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

так как она относится к формуле:

,

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,

Уравнение имеет всего один корень:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,

Как найти дискриминант квадратного уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:

13 = 12 — противоречие.

Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:

12 = 12 — верное равенство.

Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.

Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.

Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.

Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные

Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.

D = 0, значит уравнение имеет один корень:

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

D > 0, значит уравнение имеет два корня:

Ответ: два корня x₁ = 5, x₂ = -1.

Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.

Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.

теория по математике 📈 уравнения

Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Дискриминант

Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).

Нахождение корней квадратного уравнения

Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:

D=b 2 –4ac

Если D>0, то уравнение имеет два различных

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Пример №1. Решить уравнение х 2 –2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b 2 –4ac=(–2) 2 –41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:

Пример №2. Решить уравнение 5х 2 +2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b 2 –4ac=2 2 –4=4–20=–16, D 2 –6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.

D=b 2 –4ac=(–6) 2 –4=36–36=0, D=0, 1

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Теорема Виета

Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.

Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.

Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.

Пример №4. Решить уравнение х 2 –10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:

Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7. Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.

Пример №5. Решить уравнение: х 2 +5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:

Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:

Данное уравнение является квадратным. Но в его условии присутствует квадратный

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Записываем обязательно в начале решения, что подкоренное выражение может быть только равным нулю или положительным числом (правило извлечения квадратного

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Решаем полученное неравенство: − х ≥ − 5 , отсюда х ≤ 5 . Следовательно, для ответа мы будем выбирать значения, которые меньше или равны 5.

Решаем наше квадратное уравнение, перенося все слагаемые из правой части в левую, изменяя при этом знаки на противоположные и приводя подобные слагаемые (выражения с квадратным корнем взаимоуничтожаются):

х 2 − 2 х + √ 5 − х − √ 5 − х − 24 = 0

Получим приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти подбором по теореме Виета:

х 2 − 2 х − 24 = 0

Итак, корнями уравнения х 2 − 2 х − 24 = 0 будут числа -4 и 6.

Теперь выбираем корень, обращая внимание на наше ограничение на х, т.е. корень должен быть меньше или равен 5. Таким образом, запишем, что 6 – это посторонний корень, так как 6 н е ≤ 5 , а число минус 4 записываем в ответ нашего уравнения, так как − 4 ≤ 5 .

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Дискриминант квадратного уравнения

• Решение квадратных уравнений через дискриминант

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой  D.

Вид уравнения	Формула корней	Формула дискриминанта
ax2 + bx + c = 0		b2 — 4ac
ax2 + 2kx + c = 0		k2 — ac
x2 + px + q = 0
	p2 — 4q

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Вид уравнения	Формула
ax2 + bx + c = 0	, где D = b2 — 4ac
ax2 + 2kx + c = 0	, где D = k2 — ac
x2 + px + q = 0	, где D =
, где D = p2 — 4q

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b² — 4ac,

так как она относится к формуле:

,

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Решение квадратных уравнений

6 июля 2011

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x² − 8x + 12 = 0;
2. 5x² + 3x + 7 = 0;
3. x² − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x² = 0;
3. x² + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

[begin{align} & {{x}_{1}}=frac{2+sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=-5; \ & {{x}_{2}}=frac{2-sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=3. \ end{align}]

Наконец, третье уравнение:
x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

[x=frac{-12+sqrt{0}}{2cdot 1}=-6]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x² + 9x = 0;
2. x² − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 7x = 0;
2. 5x² + 30 = 0;
3. 4x² − 9 = 0.

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x₁ = 0; x₂ = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x² = 9/4 ⇒ x₁ = 3/2 = 1,5; x₂ = −1,5.

Смотрите также:

1. Теорема Виета
2. Следствия из теоремы Виета
3. Тест на тему «Значащая часть числа»
4. Метод коэффициентов, часть 1
5. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
6. Задача B4: строительные бригады

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Дискриминант
квадратного уравнения

Поддержать сайт

Квадратные уравнения

Квадратным называется уравнение, содержащее переменную во второй степени.

В общем виде оно выглядит следующим образом:

(ax^{2} + bx + c = 0,) где (a neq 0, b, c) – некоторые числа.

ДИСКРИМИНАНТ:

Корни уравнения можно определить с помощью дискриминанта (D = b^{2} — 4ac) по формулам:

(leftlbrack begin{matrix} \ x_{1} = frac{- b + sqrt{D} }{2a} \ \ x_{1} = frac{- b — sqrt{D} }{2a} \ \ end{matrix} right. )

— Если дискриминант больше нуля – уравнение имеет два корня.

— Если дискриминант равен нулю – уравнение имеет один корень.

— Если дискриминант меньше нуля – корней нет.

Пример №1:

(x^{2} = 6x – 5)

• Способ 1:

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

(x^{2} – 6x + 5 = 0)

2. Определим дискриминант полученного уравнения:

(D = 6^{2} — 4 cdot 1 cdot 5 = 16 = 4^{2})

3. С помощью дискриминанта найдем корни по формулам:

(leftlbrack begin{matrix} \ x_{1} = frac{6 + 4 }{2} \ \ x_{1} = frac{6 — 4 }{2} \ \ end{matrix} right. ) (leftlbrack begin{matrix} x_{1} = 5 \ {text{ }x}_{2} = 1 \ end{matrix} right. )

Ответ: 5; 1.

СОКРАЩЁННЫЙ ДИСКРИМИНАНТ:

Существует второй способ решения квадратного уравнения. В случае, если коэффициент (b) – четное число, запишем его как (2k). Квадратное уравнение примет следующий вид:

(ax^{2} + 2kx + c = 0),( a neq 0, k, c) – некоторые числа.

Тогда вместо дискриминанта D будем использовать сокращённый дискриминант (frac{D}{4}), а формула его нахождения будет следующей:

(frac{D}{4} = k^{2} – ac)

Корни уравнения определим так же через сокращённый дискриминант:

(leftlbrack begin{matrix} \ x_{1} = frac{- k + sqrt{frac{D}{4}} }{a} \ \ x_{1} = frac{- k — sqrt{frac{D}{4}} }{a} \ \ end{matrix} right. )

• Способ 2:

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду, перенеся все слагаемые в левую часть:

(x^{2} – 6x + 5 = 0)

2. Выделим коэффициент k:

(x^{2} – 2 bullet 3x + 5 = 0)

(k = 3)

3. Определим сокращённый дискриминант полученного уравнения:

(frac{D}{4} = 3^{2} — 1 cdot 5 = 4 = 2^{2})

4. С помощью сокращённого дискриминанта найдем корни по формулам:

(leftlbrack begin{matrix} \ x_{1} = frac{3 + 2 }{1} \ \ x_{1} = frac{3 — 2 }{1} \ \ end{matrix} right. ) (leftlbrack begin{matrix} x_{1} = 5 \ {text{ }x}_{2} = 1 \ end{matrix} right. )

Ответ: 5; 1.

Как мы видим, ответ остался прежним, но числа, используемые при вычислениях, стали меньше. Это значит, что при работе с большими коэффициентами решение через сокращённый дискриминант уменьшает вероятность вычислительной ошибки.

ТЕОРЕМА ВИЕТА:

В некоторых случаях (например, (a = 1)) корни проще искать по теореме Виета, решая подбором систему уравнений:

(left{ begin{matrix} \ x_{1} cdot x_{2} = frac{c}{a} \ \ text{ x}_{1} + x_{2} = — frac{b}{a} \ \ end{matrix} right. )

Важно, что теорему Виета можно использовать при любом ненулевом коэффициенте а, формула представлена в общем виде. Однако если (a = 1,) то чаще всего нужно работать с целыми числами, а не с дробными, что упрощает подбор.

Следствия из теоремы Виета:

Используя теорему Виета, можно увидеть взаимосвязь между коэффициентами b и c и знаками корней уравнения.

Коэффициент c показывает, будут ли одинаковыми знаки корней:

1. Если( c > 0), то корни( x_{1}) и (x_{2} ) имеют одинаковый знак.

2. Если коэффициент (c < 0), корни (x_{1}) и (x_{2}) будут разных знаков.

Коэффициент b показывает, какой именно знак у корней, если он один, либо какой корень положительный, а какой отрицательный, если знаки разные.

1. Если (x_{1} + x_{2} = — b > 0) (т.е. сумма корней положительна), то возможны 2 варианта:

а) либо оба корня положительны;

б) либо модуль положительного корня больше модуля отрицательного.

1. Если( x_{1} + x_{2} = — b < 0) (т.е. сумма корней отрицательна), то опять же есть 2 варианта:

а) либо все корни отрицательны;

б) либо модуль положительного корня меньше модуля отрицательного.

Пример №2:

(x^{2} — 5x + 6 = 0)

1. Составим систему:

(left{ begin{matrix} \ x_{1} cdot x_{2} = 6 \ \ text{ }x_{1} + x_{2} = 5 \ \ end{matrix} right. )

Из следствий из т. Виета видим, что (c > 0), значит у корней одинаковые знаки.

Коэффициент (b > 0), значит оба корня положительные

2. Подберем (x_{1}, x_{2}) так, чтобы оба равенства выполнялись.

Видим, что произведение больше нуля, значит, либо оба числа отрицательные, либо оба положительные. Сумма положительна, значит, оба положительные.

Произведение корней раскладываем всеми способами на множители:

(6 = 2 cdot 3 = 1 cdot 6)

Через сумму делаем проверку:

(2 + 3 = 5)

(1 + 6 = 7)

В данном случае подходят числа

(x_{1} = 2, x_{2} = 3).

Ответ: 2; 3.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ:

• Если (a + b + c = 0), то (x_{1} = 1, x_{2} = frac{c}{a})

Пример №3:

(x^{2} + 3x – 4 = 0)

1. Сложим все коэффициенты уравнения, чтобы проверить, является ли это уравнение примером частного случая. Действительно, коэффициенты в сумме дают 0:

(1 + 3 – 4 = 0)

2. Тогда по правилу: (x_{1} = 1, x_{2} = frac{c}{a}) получаем:

(leftlbrack frac{x_{1} = 1}{x_{2} = frac{–4}{1} = –4} right. )

Ответ: 1; -4.

• Если (a + c = b), то (x_{1} = –1, x_{2} = – frac{c}{a})

Пример №4:

(x^{2} + 9x + 8 = 0)

1. Сложим коэффициенты a и c, чтобы проверить уравнение на соответствие второму частному случаю. Действительно (a + c = b):

(1 + 8 = 9)

2. Тогда по правилу: (x_{1} = –1, x_{2} = – frac{c}{a}) получаем:

(leftlbrack frac{x_{1} = –1}{x_{2} = – frac{8}{1} = –8} right. )

Ответ: – 1; – 8.

НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Неполное квадратное уравнение вида

(ax^{2} + bx = 0.)

Если отсутствует свободный член, то:

1.Раскладываем левую часть на множители:

(x(ax + b) = 0)

2. Приравниваем каждый из множителей к нулю:

(leftlbrack begin{matrix} \ begin{matrix} \ x = 0 \ ax + b = 0 \ \ end{matrix} \ end{matrix} right. )

3. Решаем каждое из полученных уравнений, получаем:

(leftlbrack begin{matrix} \ x = 0 \ x = — frac{b}{a} \ end{matrix} right. )

Неполное квадратное уравнение вида

(ax^{2} + c = 0.)

Если отсутствует слагаемое с переменной в первой степени, то:

1.Делим левую и правую часть на коэффициент (a neq 0.)

(x^{2} + frac{c}{a} = 0)

2. Смотрим на знак слагаемого без переменной.

Если (frac{c}{a} < 0), то раскладываем по формуле разности квадратов, приравниваем каждую из скобок к нулю и решаем полученные уравнения.

Если (frac{c}{a} = 0), то получаем единственное решение (x = 0.)

Если (frac{c}{a} > 0), то решений нет.