Как найти дисперсионный анализ

Уровень сложности
Простой

Время на прочтение
10 мин

Количество просмотров 2.4K

Дисперсионный анализ (ANOVA) — это статистический метод, который используется для сравнения средних значений двух или более выборок. Он позволяет определить, различаются ли средние значения между группами, или же различия случайны. ANOVA используется в различных областях, включая науку, инженерию, медицину, социологию и многие другие, где необходимо доказать связь между переменными.

ANOVA является мощным инструментом, который может использоваться в статистическом анализе для оценки влияния исследуемого фактора на зависимую переменную. Это помогает установить, является ли фактор значимым, и позволяет идентифицировать взаимодействие между переменными. ANOVA также позволяет определить, насколько сильно различия между группами, что может быть полезно при выборе стратегий манипулирования факторами.

Правильное применение ANOVA может доставить большую пользу и сделать исследование намного более информативным.

Теория дисперсионного анализа

ANOVA может быть использован для различных целей, например, для сравнения средних значений для разных групп или для проверки влияния факторов на исходы. Для проведения ANOVA необходимо определить несколько гипотез:

Нулевая гипотеза — это гипотеза, согласно которой никаких статистически значимых различий между группами не существует. В контексте дисперсионного анализа (ANOVA) она утверждает, что средние значения всех групп равны между собой.

Например, при проведении исследования по сравнению среднего уровня дохода людей в разных группах (например, по возрасту или образованию) нулевая гипотеза будет звучать так: «Средний уровень дохода во всех группах одинаков».

Установление нулевой гипотезы является важным шагом в проведении статистического тестирования, поскольку это позволяет определить статистическую значимость различий между группами. Если результаты тестирования указывают на то, что нулевую гипотезу можно отвергнуть, то это говорит о том, что существует статистически значимое различие между группами.

Нулевая гипотеза может быть отвергнута при помощи статистических инструментов, таких как p-значение, которое оценивает вероятность того, что различия между группами являются случайными. Чем меньше p-значение, тем больше вероятность того, что нулевая гипотеза является ложной и существуют статистически значимые различия между группами. Обычно, если p-значение меньше 0,05, то нулевая гипотеза считается отвергнутой.

Альтернативная гипотеза — это гипотеза, которая предполагает, что статистически значимые различия между группами существуют. В контексте дисперсионного анализа (ANOVA), альтернативная гипотеза утверждает, что хотя бы одно из средних значений групп отличается от среднего значения других групп. 

Важно отметить, что нулевая гипотеза всегда предполагается исходной (default hypothesis), и ее опровержение ставит вопрос об альтернативной гипотезе. Поэтому при проведении дисперсионного анализа, рассматриваемые гипотезы обычно выглядят так: «Нулевая гипотеза: средние значения всех групп равны между собой.» и «Альтернативная гипотеза: хотя бы одно из средних значений групп отличается от среднего значения других групп.»

Нулевая и альтернативная гипотезы в ANOVA используются для оценки различий между группами и определения статистической значимости этих различий. Результаты теста ANOVA могут помочь исследователям выявить факторы, влияющие на исходы исследования. Если нулевая гипотеза была отвергнута, то это означает, что между группами есть статистически значимые различия, и изучение этих различий может помочь исследователям понять, какой фактор оказывает наибольшее влияние на исходы.

ANOVA использует три типа дисперсии: межгрупповая дисперсия, внутригрупповая дисперсия и общая дисперсия. Межгрупповая дисперсия представляет различия между средними значениями групп, внутригрупповая дисперсия представляет изменчивость внутри каждой группы, а общая дисперсия — это сумма межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

Для проведения ANOVA существует несколько типов тестов, каждый из которых может быть использован в зависимости от типа данных и количества групп. Например, однофакторный дисперсионный анализ используется для сравнения средних значений при одном факторе, а двухфакторный дисперсионный анализ используется для сравнения средних значений при двух или более факторах.

Типы ANOVA

1. Однофакторный ANOVA (однофакторный дисперсионный анализ) – это метод статистического анализа данных, который используется для определения наличия статистически значимых различий между двумя или более группами по одной независимой переменной. 

   Данный метод широко используется в научных исследованиях, маркетинговых исследованиях и других областях, где необходимо определить различия между двумя или более группами объектов или явлений.

   

   Входными данными для однофакторного ANOVA являются значения зависимой переменной и групповой фактор, на основе которых проводится анализ. Фактор может быть любой номинальной или порядковой переменной, которая разделяет выборку на группы (в простом случае, это может быть пол, возраст, уровень образования и т.д.). Зависимая переменная – это та переменная, которую мы хотим сравнить в различных группах.

   Однофакторный ANOVA проверяет нулевую гипотезу о том, что среднее значение зависимой переменной одинаково во всех группах. Если p-значение меньше заданного уровня значимости (обычно 0.05), тогда мы можем сделать вывод о том, что средние значения по группам различаются статистически значимо друг от друга. Кроме того, однофакторный ANOVA дает множество других статистических показателей, включая среднее значение, стандартное отклонение, диапазон, размах, медиану, аномальные значения и т.д. 

   В качестве дополнительного анализа для определения различий между группами могут быть использованы такие методы, как Т-тест, АНКОВА и другие. 

   Однофакторный ANOVA является базовым методом анализа для исследования факторов, которые влияют на зависимые переменные в различных группах. Использование этого метода помогает объективно оценивать результаты и достоверно определять, какие факторы играют ключевую роль в исследуемом явлении или процессе.

2. Двухфакторный ANOVA (двухфакторный дисперсионный анализ) – это метод статистического анализа данных, который позволяет определить наличие статистически значимых различий между группами по двум независимым переменным (факторам). Такой подход позволяет оценить влияние каждой независимой переменной на зависимую переменную, а также выявить возможное взаимодействие между факторами. В случае значимых различий, производится дополнительный анализ, чтобы установить, между какими группами существуют различия.

3. Многовариантный ANOVA (analysis of variance) — это статистический метод, который используется для анализа различий между группами (факторами) и влияния различных переменных (факторов) на исследуемую зависимую переменную. Он позволяет выявить, есть ли статистически значимое влияние одного или нескольких факторов на зависимую переменную, и определить, какие из факторов оказывают наибольшее влияние.

   Многовариантный ANOVA может использоваться для анализа различных типов данных, включая непрерывные, дискретные и категориальные переменные. Он также может рассчитываться для различных уровней взаимодействия между факторами, что позволяет учитывать сложные взаимодействия между переменными.

   Основная идея многовариантного ANOVA заключается в том, что общее количество изменений в зависимой переменной разделяется на две части: изменения, связанные с факторами, и изменения, которые не могут быть объяснены факторами (остаток). Факторы могут быть любого типа, но обычно они бывают двух типов: факторы, которые могут быть контролируемыми или экспериментальными (например, воздействие на здоровье человека разных типов диет), и факторы, которые являются неконтролируемыми или наблюдаемыми (например, пол, возраст, образование).

   Метод многовариантного ANOVA может быть выполнен в несколько шагов. Сначала нужно провести анализ на уровне каждого фактора (унимодальный анализ — one-way ANOVA). Затем производится многовариантный анализ, который позволяет оценить влияние всех факторов на зависимую переменную одновременно. Для этого используется многовариантный тестовый показатель F-статистики.

   Многовариантный ANOVA также может использоваться для оценки взаимодействия между факторами, например, могут ли переменные влиять друг на друга или быть нелинейными. Для этого используется двуфакторный или трехфакторный ANOVA, в котором изучается влияние нескольких факторов на зависимую переменную.

   Многовариантный ANOVA является полезным инструментом для исследования дисперсии и определения значимости факторов в зависимой переменной. Он также может использоваться в более сложных исследованиях, таких как оценка взаимодействия между группами и изучения различных факторов, влияющих на зависимую переменную.

Шаги проведения ANOVA

1. Определение гипотезы — это основной шаг, который необходимо проделать перед проведением ANOVA. Гипотеза должна содержать утверждение о том, что средние значения переменной одинаковы в нескольких группах. 

   Например, предположим, что мы хотим узнать, есть ли статистически значимые различия в среднем росте людей в трех группах: мужчинах, женщинах и детях. Тогда нулевая гипотеза будет состоять в том, что средний рост одинаков во всех трех группах. Альтернативная гипотеза будет заключаться в том, что средний рост отличается в двух или более группах.

   Нулевая гипотеза всегда формулируется таким образом, что она может быть отвергнута на основе статистических данных. Например, если p-value меньше выбранного уровня значимости, то можно отбросить нулевую гипотезу и предположить, что существуют различия между группами.

   Важно, чтобы гипотеза была четкой и такой, которую можно проверить с помощью статистических данных. В противном случае, проведение ANOVA становится бессмысленным.

2. Сбор данных — это следующий шаг после определения гипотезы, который необходимо выполнить перед проведением ANOVA. Для сбора данных нужно определить, какие переменные изучаются, какие группы данных будут сравниваться и какой размер выборки необходим.

   Выбор уровня значимости — это важный шаг ANOVA, который определяет вероятность того, что различия между группами являются случайными. Обычно уровень значимости принимается равным 0,05 (5%), что означает, что различия между группами, имеющие вероятность меньше 5%, считаются статистически значимыми. 

   Выбор правильного уровня значимости очень важен, так как неправильно выбранный уровень значимости может привести к неверным выводам. Если уровень значимости выбран слишком высоким, то могут быть найдены статистически значимые различия, которых на самом деле нет. Если уровень значимости слишком низкий, то могут быть пропущены настоящие статистически значимые различия.

   Правильный выбор уровня значимости зависит от цели исследования, характеристик групп и размеров выборки. Этот выбор должен быть продуманным и основываться на знаниях и опыте в данной области.

3. Определение степеней свободы и критических значений: степени свободы — это количество наблюдений, которые могут быть свободно изменены в каждой группе данных. Критическое значение — это значение, при котором различия между группами становятся статистически значимыми.

4. После сбора данных и выбора уровня значимости необходимо рассчитать статистические показатели для проведения ANOVA. Статистические показатели, которые используются в ANOVA — это F-статистика и p-value.

   F-статистика (F-значение) измеряет различия между группами, то есть отношение между средними значениями в группах и дисперсией внутри групп. Если F-значение большое, то это указывает на статистически значимые различия между группами.

   p-value (вероятность) — это вероятность того, что различия между группами были случайными и не связаны с фактором, который изучается. Если p-value меньше выбранного уровня значимости, то можно отбросить нулевую гипотезу и утверждать, что между группами есть статистически значимые различия.

   Важно знать, что F-статистика и p-value не являются самостоятельными критериями для определения статистической значимости. Они должны использоваться вместе с другими статистическими методами для получения более точных результатов.

5. Оценка результатов и интерпретация полученных данных: после проведения ANOVA необходимо проанализировать полученные результаты. Если значение p-value меньше уровня значимости, то можно отбросить нулевую гипотезу и утверждать, что между группами есть статистически значимые различия. Интерпретируя эти различия, можно выйти на конкретный вывод, касающийся фактора, который изучается.

Пример применения ANOVA

Представим, что у нашего интернет-магазина есть три различных дизайна для главной страницы сайта, и мы хотим определить, какой из них наиболее эффективен в увеличении количества продаж. В этом случае мы можем провести эксперимент, в котором будут участвовать три группы покупателей, каждой группе будет показан только один из дизайнов главной страницы.

Для начала, мы должны определить, сколько покупателей нужно включить в каждую группу. Чтобы определить размер каждой группы, мы можем использовать статистические методы для расчета минимального размера выборки. Допустим, мы решили, что каждая группа должна состоять из 1000 покупателей.

Для этого эксперимента мы должны также определить, какие метрики будут измеряться. Для нашего примера мы будем измерять среднее количество продаж на каждого покупателя в каждой группе.

Когда эксперимент будет завершен, мы будем иметь данные о количестве продаж для каждой группы. Мы можем использовать ANOVA для анализа данных и определения, есть ли значимые различия между группами.

Перед проведением анализа необходимо проверить данные на нормальность распределения и выполнить другие необходимые условия для проведения анализа.

После проведения ANOVA мы получаем статистические показатели, такие как F-значение и p-значение. F-значение показывает различия между средними значениями групп, а p-значение показывает статистическую значимость различий между группами. Если p-значение меньше заданного уровня значимости (обычно 0,05), то мы можем сделать вывод о наличии значимых различий между группами.

Например, если мы получили F-значение 3,5 и p-значение 0,02, то мы можем сделать вывод о наличии статистически значимых различий между группами. Это означает, что один дизайн главной страницы сильнее влияет на увеличение продаж, чем другие.

Дополнительно, если у нас есть статистически значимые различия между группами, мы можем провести дополнительный анализ, например, сравнение каждой группы с другой с помощью теста Тюрки или Холма, чтобы определить, где именно находятся различия. Также мы можем рассмотреть другие важные метрики, такие как время проведения эксперимента и влияние внешних факторов на продажи. Важно понимать, что ANOVA — это только инструмент, который помогает нам делать выводы на основе данных. Поэтому проведение эксперимента должно быть тщательно спланировано и осуществлено в соответствии с научными методами для того, чтобы результаты были надежными и полезными для бизнеса.

Заключение

ANOVA очень важен для статистического анализа данных и исследований. Этот метод позволяет определить, какие факторы влияют на изменения в группах и имеет множество применений. 

Рекомендации по применению ANOVA:

1. Необходимо тщательно выбирать данные для анализа и проверять их на соответствие критериям ANOVA.

2. Всегда проводите тесты на нормальность, чтобы проверить, являются ли данные нормально распределенными.

3. При использовании ANOVA следует учитывать влияние других факторов, которые не связаны с переменной, которую вы исследуете.

4. Помните, что ANOVA рассчитывает только показатели среднего значения, поэтому может не учитывать взаимодействие между переменными.

5. Всегда проверяйте статистическую значимость результата ANOVA и учитывайте размер выборки и разброс данных.

6. Используйте ANOVA для сравнения трех или более групп, но не забывайте о других методах анализа, таких как t-тест, если вы хотите сравнить всего две группы.

7. Наконец, не забывайте, что результаты ANOVA могут быть интерпретированы по-разному и, если это возможно, используйте другие методы анализа для проверки ваших выводов.

В целом, ANOVA является мощным методом статистического анализа, который можно использовать для исследования различий между группами. Он помогает находить значимые различия и определить факторы, влияющие на результаты исследования. Однако, для более точных результатов, необходимо учитывать все факторы влияния и применять другие методы анализа, если это необходимо.

В завершение хочу порекомендовать бесплатный вебинар от OTUS, где преподаватели покажут как настроить мониторинг PostgreSQL с помощью grafana и Prometheus.

• Подробнее о вебинаре

Содержание:

Сущность дисперсионного анализа:

Задачей дисперсионного анализа является изучение влияния одного или нескольких факториальных признаков на результативный признак. При этом имеется в виду, что каждый признак измерен статистически и варьирует в совокупности единиц.

Степень вариации группы единиц обычно измеряется показателями вариации: средним линейным отклонением, дисперсией, средним квадратическим отклонением и коэффициентом вариации. Определенный способ измерения и анализа вариации единиц составляет специфическую особенность дисперсионного анализа как метода изучения влияния факторов.

Применение дисперсионного анализа

При применении дисперсионного анализа требуется расчленить совокупность на группы по факториальному признаку и измерить результативный признак в каждой группе единиц. Отбор единиц в каждую группу может осуществляться методом случайной выборки (или, как ее называют в дисперсионном анализе, по принципу рэндомизации). Можно также использовать материалы проведенных ранее наблюдений. Дисперсионный анализ имеет широкое распространение в экспериментальных работах по технике и биологии. Он может быть с успехом применен и в экономических расчетах.

Дисперсия как мера вариации нам уже известна. Она представляет собой среднюю величину из квадратов отклонений всех вариантов от средней арифметической. В дисперсионном анализе принято не делить сумму квадратов отклонений на число единиц, а находить лишь сумму

Случайная дисперсия находится как сумма квадратов отклонений всех вариантов от частных средних, т. е.

Она аналогична внутригрупповой дисперсии, рассмотренной в разделе I.

Факториальная дисперсия равна сумме квадратов отклонений частных средних от общей средней:  и аналогична межгрупповой дисперсии.

Дисперсия, исчисляемая как сумма квадратов отклонений, зависит от числа единиц в группе. Отношение факториальной дисперсии к дисперсии комплекса показывает долю вариации за счет фактора группировки и называется корреляционным отношением.

В дисперсионном анализе применяется и дисперсия, рассчитанная на одну степень свободы варьирования. В этом случае сумма квадратов отклонений делится на число степеней свободы.

Дисперсия на одну степень свободы в однофакторном комплексе составит:

Для дисперсии комплекса число степеней свободы равно числу значений варьирующего признака без одного: для факториальной дисперсии число степеней свободы равно числу групп без одного для случайной дисперсии число степеней свободы равно числу значений результативного признака без числа групп Для определения достоверности влияния фактора группировки находят отношение дисперсий, исчисленных на одну степень свободы, — межгрупповой дисперсии к внутригрупповой дисперсии.

Однофакторный комплекс

Изучение методом дисперсионного анализа действия на результативный признак одного факториального признака требует расчета одного дисперсионного комплекса и называется однофакторным комплексом. Для однофакторных комплексов не требуется пропорциональности групп по их численности, так как они пропорциональны при любом соотношении частот по группам. В однофакторных комплексах вполне применимы свойства дисперсий, которые даны в разделе «Вариационные ряды и их характеристики».

Расчет однофакторного комплекса с малым числом групп может быть иллюстрирован следующим примером.

При изучении действия многих факторов заработной платы выделен один фактор — образование рабочих. Установлены 3 группы этого фактора: начальное образование, семилетнее и среднее образование. Для каждой группы было отобрано с сохранением принципа рандомизации по 3 рабочих. Заработная плата и порядок вычисления дисперсий приведен в следующей таблице:

Факториальная дисперсия и случайная дисперсия
Обработаем данный однофакторный комплекс по-другому и заполним таблицу 2.

Используя свойства дисперсий и имея в виду, что в дисперсионном анализе находится не средний квадрат отклонений, а сумма квадратов отклонений, вычислим:

Влияние образования на вариацию заработной платы рабочих находится из корреляционного отношения:

Влияние прочих факторов определится другим корреляционным отношением:

Сумма этих двух корреляционных отношений должна быть равна 1:

Для определения достоверности влияния данного фактора определяем величину отношения дисперсий где — факториальная дисперсия, рассчитанная на одну степень свободы; —случайная дисперсия, рассчитанная на одну степень свободы.

Число степеней свободы по комплексу равно для факториальной дисперсии для случайной дисперсии

Достоверность влияния данного фактора определяется из сравнения F с некоторой стандартной величиной, исчисляемой по особой формуле, зависящей от числа степеней свободы для факториальной и случайной дисперсий. Таблица стандартных величин дана в приложении IX и определена для вероятностей 0,95 и 0,99. Если F окажется больше стандартного отношения, то вывод о наличии зависимости, основанный на дисперсионном анализе, считается обоснованным; если же F меньше любого стандартного значения, то вывод является необоснованным.

В данном примере дисперсии на одну степень свободы составят:

Определив величину F по эмпирическим данным, найдем по таблице стандартных отношений дисперсий стандартное F, зная, что число степеней свободы по фактору  а по случайным факторам (Величину стандартного F находим интерполированием, так как в приложении даны нечетные числа степеней свободы.)

Следовательно, величина F меньше любого из стандартных отношений и вывод о значительном влиянии фактора образования нельзя считать обоснованным.

Для групп, имеющих большое число единиц, расчет дисперсионного однофакторного комплекса производится по корреляционной таблице.

Корреляционная таблица составляется по правилам, применяющимся при расчетах коэффициента корреляции и корреляционного уравнения. Однако обработка корреляционной решетки проводится особым способом, специфичным для дисперсионного анализа. Для этого к корреляционной таблице приписывается четыре строки и три столбца.

В первой приписанной строке, как и в любой корреляционной таблице, записываются суммы по столбцам, во второй строке— суммы произведений частот на отклонения , в третьей — квадраты этих сумм, в четвертой — результат деления третьей строки на

В первом приписанном столбце записываются суммы частот. Во втором и третьем столбцах находятся суммы накопленных частот. Все эти расчеты приведены в следующей таблице, где рассматривается зависимость объема ампул (у) от их диаметра (k). Вместо абсолютных величин у взяты отклонения:

  Рассчитываем характеристики:

По величине корреляционного отношения  делаем вывод о том, что влияние фактора х оказывается сильным. Для определения достоверности вывода находим число степеней свободы для факториальной дисперсии случайной дисперсии и исчисляем дисперсии на одну степень

свободы:

Затем вычисляем отношение: 

В таблице стандартных значений F при данных числах свободы и  эти величины значительно меньше вычисленных на основе опытных данных. Следовательно, влияние фактора х достоверно. Вывод о существенном влиянии диаметра на объем ампул может с уверенностью считаться подтвердившимся.

Двухфакторный комплекс

При анализе влияния двух факторов на результативный признак решается двухфакторный комплекс. Решение двухфакторного комплекса отличается от решения однофакторного комплекса. При этом имеется в виду, что факторы независимы друг от друга.

Решение двухфакторного комплекса облегчается при пропорциональной численности единиц в группах.

Если изучается действие двух факторов А и В на результативный признак, то каждый фактор делится на группы по фактору А, которые в свою очередь делятся на подгруппы по фактору В.

Фактором А, например, является количество внесенных удобрений в почву, а фактором В — глубина вспашки. Оба фактора влияют на результативный признак — урожайность. Пусть даныг две группы фактора А, каждая из которых разбивается на подгруппы по фактору В. Результат группировки дан в таблице.

Каждый результативный признак имеет два значения. Следовательно, для каждой подгруппы было отобрано по 2 единицы изучаемой совокупности.

Анализ двухфакторного комплекса ответит на два вопроса:

1. каково суммарное действие обоих факторов;
2. как велико значение каждого фактора в отдельности и какова роль сочетания факторов.

Проще всего в этом случае предположить, что действует один фактор, распадающийся по сочетанию признаков на 4 группы (общее число подгрупп).

Тогда расчет будет вестись по схеме однофакторного комплекса. Для этого вычислим:

1. общую дисперсию
2. факториальную дисперсию
3. случайную дисперсию
4. степень влияния объединенных факторов А и В: 
5. определим достоверность влияния объединенных факторов, для чего вычислим:

Однако еще не выяснено действие каждого из факторов и различие их совместного действия в разных комбинациях групп и подгрупп. Для этого решается двухфакторный комплекс, где сначала находятся общая и случайная дисперсии и дисперсии суммарного действия (как и в однофакторном комплексе), а затем частные факториальные дисперсии.

Частные факториальные дисперсии находятся так. Дисперсия по фактору А измеряется вариацией частных средних по
группам фактора A В приведенном примере фактор А разделен на 2 группы. В каждой группе имеется четыре варианта. Средняя по группе Дисперсия этой средней равна сумме квадратов отклонений от общей средней.

Запишем расчет дисперсии по фактору А в табл. 5.

Аналогично вычисляются дисперсии по фактору В. Дисперсия по сочетаниям признаков находится из табл. 6, а также из формулы суммы трех частных дисперсий:

Способы определения описаны выше. Остается неизвестной величина которая и определяется. Но находить дисперсию по сочетаниям признаков можно только для пропорциональных комплексов.

Для определения дисперсии можно использовать также следующую таблицу.

Здесь D является первой степенью отклонений. — отклонения средних по подгруппам от общей средней; — отклонения средних по группам от общей средней; — отклонения средних по группам от общей средней; и есть дисперсия по сочетанию признаков.

Разберем изложенное на конкретном примере. Методом дисперсионного анализа изучается влияние внесенных удобрений (факторов А) и глубины вспашки (факторов В) на урожай (у) (см. табл. 7). По фактору А взяты 2 группы участков: хорошо удобренные и мало удобренные.

По фактору В также 2 группы: с глубокой вспашкой и с мелкой. В каждую группу отобрали методом рэндомизации (случайной выборки) по 2 участка, которые имели следующую урожайность (у): 14; 16; 12; 10; 8; 10; 4; 6.

Общая дисперсия  

Факториальная дисперсия суммарного действия факторов определяется по формуле:  Для вычисления необходимо прежде всего найти частные средние по подгруппам:

Случайная дисперсия выразится:

Вычислим частную факториальную дисперсию по фактору А.

Отношение говорит о том, что удельный вес влияния фактора А составляет 69% суммарного действия факторов А и В.
Отношение   говорит о том, что удельный вес влияния фактора А составляет 59% действия всех факторов. Рассчитаем частную факториальную дисперсию по фактору В в табл. 9.

Влияние фактора В в суммарном влиянии факторов А и В составит  или 31%. Влияние фактора В в общем влиянии всех факторов составляет  или 14 %.

Вычислим дисперсию по сочетанию факторов АВ, т. е. дисперсию  Для этого составим табл. 10. Влияние сочетания факторов равно нулю. Это означает, что в данном комплексе действие одного фактора не зависит от действия другого.

Находим число степеней свободы и определяем дисперсии на одну степень свободы для рассмотрения достоверности влияния факторов.

Для общей дисперсии число степеней свободы равно:

для случайной дисперсии 

Проверяем, чтобы

В нашем примере:

Дисперсии на одну степень свободы составят.

Определим величину F для каждой дисперсии. Для этого делим каждую факториальную дисперсию на случайную.

Сравниваем каждое отношение дисперсий F со стандартными величинами, данными в таблице, учитывая число степеней свободы обеих взятых дисперсий.

Для фактора A превышает стандартное отношение. Следовательно, влияние фактора А можно считать достоверным. Для фактора В превышает второе стандартное отношение. Влияние фактора В достоверно. Для сочетания факторов А и В 

Для суммарного действия факторов сравниваем со стандартным отношением при данных числах степеней свободы. Оно превышает любую стандартную величину. Значит, суммарное действие обоих факторов весьма достоверно.

Используя свойства дисперсии, можно составить упрощенную схему расчета двухфакторного комплекса. При этом расчет общей дисперсии случайной дисперсии и дисперсии суммарного действия обоих факторов производится так же, как и в однофакторном комплексе, т. е. путем нахождения вспомогательной величины Н, где

Тогда

где т. е. исчисляется по той же формуле, что и Н, но только берется по подгруппам.

Дисперсии по факторам А и В, а также дисперсию по сочетанию факторов АВ находим по тем же формулам. Так, дисперсия по фактору A а дисперсия по фактору В Дисперсию по сочетанию факторов найдем из дисперсии суммарного действия  откуда 

Вычислим дисперсии по факторам А и В для приведенного выше примера.

найдена ранее и составляла 104.

что и подтверждает ранее приведенный расчет.

Расчет двухфакторного комплекса при большом числе наблюдений ведется по корреляционной таблице по той же схеме, как и для однофакторного комплекса. Дисперсии можно находить по способу сумм по формулам:

где — вторые накопленные суммы.

Исследование продолжаем далее по общей схеме дисперсионного анализа.

Анализ дисперсий трехфакторного комплекса ведется по тому же принципу, что и двухфакторного комплекса, только в этом случае будет 3 дисперсии по факторам  и 4 дисперсии по сочетанию признаков:

 

Непропорциональные комплексы

Непропорциональными называются дисперсионные комплексы, в которых не соблюдается пропорциональность численностей вариантов.

В непропорциональных дисперсионных комплексах дисперсия суммарного действия факторов не равна сумме дисперсий по факторам и дисперсии сочетания факторов. Между этими дисперсиями существует следующая связь:

где — величина, зависящая от степени статистических связей, возникающих в непропорциональных комплексах между отдельными факторами вследствие нарушения пропорциональности.

Для пропорциональных комплексов  =0. Однако в непропорциональных комплексах не нарушается равенство: так как расчет дисперсий в этом случае происходит по принципам однофакторного комплекса, а однофакторные комплексы всегда пропорциональны.

При решении непропорциональных комплексов создаются затруднения не только при отыскании дисперсий, но также при определении степени влияния каждого фактора, так как сумма частных влияний не равна суммарному влиянию. Влияние каждого фактора определяется при помощи соответствующего корреляционного отношения.

В непропорциональных комплексах общее корреляционное отношение не состоит из суммы частных корреляционных отношений, так как имеется еще слагаемое it, которое не имеет реального смысла и носит условный характер.

Чтобы определить, как влияет каждый из факторов в непропорциональном комплексе, необходимо иметь единую структуру комплекса.

Одним из способов приведения непропорционального комплекса к единой структуре является способ его замены пропорциональным комплексом, в котором частоты осереднены по группам. Когда такая замена произведена, комплекс решается по принципам пропорциональных комплексов в отношении но расчет т. е. дисперсии сочетаний действия , факторов, идет по-другому.

определяется при помощи нахождения отклонений первой степени по схеме: Квадраты этих отклонений и дают соответствующие дисперсии

Мы не должны при этом смущаться тем обстоятельством, что сумма составляющих дисперсий  не равна суммарной дисперсии найденной в общей части комплекса.

Величину дисперсии разделяют пропорционально полученным величинам дисперсий

Так получается комплекс, общая часть которого совпадает с пропорциональной частью комплекса, а отношения между частными дисперсиями пропорциональны соотношениям частных дисперсий в исходном комплексе.

Схема расчета непропорционального комплекса дана в таблице 12.

Альтернативный комплекс

Если исследование методом дисперсионного анализа ведется по альтернативному признаку, в котором из n единиц у m единиц имеется данный признак, то расчет ведется несколько по-другому, чем в варьирующих комплексах.

Дисперсия альтернативного комплекса исчисляется по формуле: где откуда
Используя свойства дисперсии приведем их к расчету по сокращенным формулам:

Расчет однофакторного альтернативного комплекса удобно вести, как показано в табл. 13, где в качестве группировочного признака выступают различные показатели одного и того же признака. Например, изучая действие режима работы (хотя бы, например, температуры) на качество продукции, мы выделяем несколько групп по этому признаку.

Определение достоверности вывода ведется исходя из соответствия эмпирического F стандартному. Число степеней свободы определяется по формулам: для общей дисперсии для факториальной дисперсии для случайной дисперсии Дисперсия на одну степень свободы определится отношением

Расчет двухфакторного альтернативного комплекса ведется в общей части по тем же правилам и схемам, что и в однофакторном альтернативном комплексе. Расчет же частных дисперсий и лучше вести в специальной таблице типа табл. 12, в которой объединены соответствующие группы и подгруппы m и n.
               

Используя данные табл. 14, будем иметь все необходимое для расчета дисперсий Расчет же дисперсий по сочетанию факторов производим путем вычитания из общей факториальной дисперсии частных дисперсий, т. е.

                 

Достоверность вывода определяется методами, известными из предыдущего изложения.

При помощи дисперсионного анализа сравниваются также средние величины по группам комплекса и устанавливается достоверность разности между ними. Однако изложение этих методов не входит в нашу задачу.

Однофакторный дисперсионный анализ: определение, формула и пример

---