Как найти дисперсию через excel

Оценивает дисперсию по выборке.

Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.

Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция ДИСП.В.

Синтаксис

ДИСП(число1;[число2];…)

Аргументы функции ДИСП описаны ниже.

• Число1     Обязательный. Первый числовой аргумент, соответствующий выборке из генеральной совокупности.

• Число2…     Необязательный. Числовые аргументы 2—255, соответствующие выборке из генеральной совокупности.

Замечания

• В функции ДИСП предполагается, что аргументы являются только выборкой из генеральной совокупности. Если данные представляют всю генеральную совокупность, для вычисления дисперсии следует использовать функцию ДИСПР.

• Аргументы могут быть либо числами, либо содержащими числа именами, массивами или ссылками.

• Учитываются логические значения и текстовые представления чисел, которые непосредственно введены в список аргументов.

• Если аргумент является массивом или ссылкой, то учитываются только числа. Пустые ячейки, логические значения, текст и значения ошибок в массиве или ссылке игнорируются.

• Аргументы, которые представляют собой значения ошибок или текст, не преобразуемый в числа, вызывают ошибку.

• Чтобы включить логические значения и текстовые представления чисел в ссылку как часть вычисления, используйте функцию ДИСПА.

• Функция ДИСП вычисляется по следующей формуле:

  

  где x — выборочное среднее СРЗНАЧ(число1,число2,…), а n — размер выборки.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Прочность
1345
1301
1368
1322
1310
1370
1318
1350
1303
1299
Формула	Описание	Результат
=ДИСП(A2:A11)	Дисперсия предела прочности для всех протестированных инструментов.	754,2667

Содержание

• Вычисление дисперсии
  • Способ 1: расчет по генеральной совокупности
  • Способ 2: расчет по выборке
• Вопросы и ответы

Среди множества показателей, которые применяются в статистике, нужно выделить расчет дисперсии. Следует отметить, что выполнение вручную данного вычисления – довольно утомительное занятие. К счастью, в приложении Excel имеются функции, позволяющие автоматизировать процедуру расчета. Выясним алгоритм работы с этими инструментами.

Вычисление дисперсии

Дисперсия – это показатель вариации, который представляет собой средний квадрат отклонений от математического ожидания. Таким образом, он выражает разброс чисел относительно среднего значения. Вычисление дисперсии может проводиться как по генеральной совокупности, так и по выборочной.

Способ 1: расчет по генеральной совокупности

Для расчета данного показателя в Excel по генеральной совокупности применяется функция ДИСП.Г. Синтаксис этого выражения имеет следующий вид:

=ДИСП.Г(Число1;Число2;…)

Всего может быть применено от 1 до 255 аргументов. В качестве аргументов могут выступать, как числовые значения, так и ссылки на ячейки, в которых они содержатся.

Посмотрим, как вычислить это значение для диапазона с числовыми данными.

1. Производим выделение ячейки на листе, в которую будут выводиться итоги вычисления дисперсии. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», размещенную слева от строки формул.



2. Запускается Мастер функций. В категории «Статистические» или «Полный алфавитный перечень» выполняем поиск аргумента с наименованием «ДИСП.Г». После того, как нашли, выделяем его и щелкаем по кнопке «OK».



3. Выполняется запуск окна аргументов функции ДИСП.Г. Устанавливаем курсор в поле «Число1». Выделяем на листе диапазон ячеек, в котором содержится числовой ряд. Если таких диапазонов несколько, то можно также использовать для занесения их координат в окно аргументов поля «Число2», «Число3» и т.д. После того, как все данные внесены, жмем на кнопку «OK».



4. Как видим, после этих действий производится расчет. Итог вычисления величины дисперсии по генеральной совокупности выводится в предварительно указанную ячейку. Это именно та ячейка, в которой непосредственно находится формула ДИСП.Г.

Урок: Мастер функций в Эксель

Способ 2: расчет по выборке

В отличие от вычисления значения по генеральной совокупности, в расчете по выборке в знаменателе указывается не общее количество чисел, а на одно меньше. Это делается в целях коррекции погрешности. Эксель учитывает данный нюанс в специальной функции, которая предназначена для данного вида вычисления – ДИСП.В. Её синтаксис представлен следующей формулой:

=ДИСП.В(Число1;Число2;…)

Количество аргументов, как и в предыдущей функции, тоже может колебаться от 1 до 255.

1. Выделяем ячейку и таким же способом, как и в предыдущий раз, запускаем Мастер функций.



2. В категории «Полный алфавитный перечень» или «Статистические» ищем наименование «ДИСП.В». После того, как формула найдена, выделяем её и делаем клик по кнопке «OK».



3. Производится запуск окна аргументов функции. Далее поступаем полностью аналогичным образом, как и при использовании предыдущего оператора: устанавливаем курсор в поле аргумента «Число1» и выделяем область, содержащую числовой ряд, на листе. Затем щелкаем по кнопке «OK».



4. Результат вычисления будет выведен в отдельную ячейку.

Урок: Другие статистические функции в Эксель

Как видим, программа Эксель способна в значительной мере облегчить расчет дисперсии. Эта статистическая величина может быть рассчитана приложением, как по генеральной совокупности, так и по выборке. При этом все действия пользователя фактически сводятся только к указанию диапазона обрабатываемых чисел, а основную работу Excel делает сам. Безусловно, это сэкономит значительное количество времени пользователей.

Еще статьи по данной теме:

Помогла ли Вам статья?

Вычислим в

MS

EXCEL

дисперсию и стандартное отклонение выборки. Также вычислим дисперсию случайной величины, если известно ее распределение.

Сначала рассмотрим

дисперсию

, затем

стандартное отклонение

.

Дисперсия выборки

Дисперсия выборки

(

выборочная дисперсия,

sample

variance

) характеризует разброс значений в массиве относительно

среднего

.

Все 3 формулы математически эквивалентны.

Из первой формулы видно, что

дисперсия выборки

это сумма квадратов отклонений каждого значения в массиве

от среднего

, деленная на размер выборки минус 1.

Для вычисления дисперсии выборки нужно:

• вычислить среднее значение выборки;
• вычислить «расстояния» от каждого значения до среднего (x
  
  _i
  
  -x
  
  _ср.
  
  );
• возвести «расстояния» в квадрат, чтобы отклонения в разные стороны от среднего не компенсировали друг друга;
• вычислить среднее значение квадратов «расстояний»)

Примечание

: в знаменателе формулы стоит n-1, а не n т.к. дисперсия выборки — это оценка дисперсии случайной величины (вычитаем 1, чтобы оценка была несмещенной).

В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления

дисперсии

выборки

используется функция

ДИСП()

, англ. название VAR, т.е. VARiance. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог

ДИСП.В()

, англ. название VARS, т.е. Sample VARiance. Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция

ДИСП.Г(),

англ. название VARP, т.е. Population VARiance, которая вычисляет

дисперсию

для

генеральной совокупности

. Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у

ДИСП.В()

, у

ДИСП.Г()

в знаменателе просто n. До MS EXCEL 2010 для вычисления дисперсии генеральной совокупности использовалась функция

ДИСПР()

.

Дисперсию выборки

можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см.

файл примера

)

=КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1)

=(СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1)

– обычная формула

=СУММ((Выборка -СРЗНАЧ(Выборка))^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1

) –

формула массива

Дисперсия выборки

равна 0, только в том случае, если все значения равны между собой и, соответственно, равны

среднему значению

. Обычно, чем больше величина

дисперсии

, тем больше разброс значений в массиве.

Дисперсия выборки

является точечной оценкой

дисперсии

распределения случайной величины, из которой была сделана

выборка

. О построении

доверительных интервалов

при оценке

дисперсии

можно прочитать в статье

Доверительный интервал для оценки дисперсии в MS EXCEL

.

Дисперсия случайной величины

Чтобы вычислить

дисперсию

случайной величины, необходимо знать ее

функцию распределения

.

Для

дисперсии

случайной величины Х часто используют обозначение Var(Х).

Дисперсия

равна

математическому ожиданию

квадрата отклонения от среднего E(X): Var(Х)=E[(X-E(X))

²

]

Если случайная величина имеет

дискретное распределение

, то

дисперсия

вычисляется по формуле:

где x

_i

– значение, которое может принимать случайная величина, а μ – среднее значение (

математическое ожидание случайной величины

), р(x) – вероятность, что случайная величина примет значение х.

Если случайная величина имеет

непрерывное распределение

, то

дисперсия

вычисляется по формуле:

где р(x) –

плотность вероятности

.

Для распределений, представленных в MS EXCEL

,

дисперсию

можно вычислить аналитически, как функцию от параметров распределения. Например, для

Биномиального распределения

дисперсия

равна произведению его параметров: n*p*q.

Примечание

:

Дисперсия,

является

вторым центральным моментом

, обозначается D[X], VAR(х), V(x). Второй центральный момент — числовая характеристика распределения случайной величины, которая является мерой разброса случайной величины относительно

математического ожидания

.

Примечание

: О распределениях в MS EXCEL можно прочитать в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

.

Размерность

дисперсии

соответствует квадрату единицы измерения исходных значений. Например, если значения в выборке представляют собой измерения веса детали (в кг), то размерность дисперсии будет кг

²

. Это бывает сложно интерпретировать, поэтому для характеристики разброса значений чаще используют величину равную квадратному корню из

дисперсии

–

стандартное отклонение

.

Некоторые свойства

дисперсии

:

Var(Х+a)=Var(Х), где Х — случайная величина, а — константа.

Var(aХ)=a

²

Var(X)

Var(Х)=E[(X-E(X))

²

]=E[X

²

-2*X*E(X)+(E(X))

²

]=E(X

²

)-E(2*X*E(X))+(E(X))

²

=E(X

²

)-2*E(X)*E(X)+(E(X))

²

=E(X

²

)-(E(X))

²

Это свойство дисперсии используется в

статье про линейную регрессию

.

Var(Х+Y)=Var(Х) + Var(Y) + 2*Cov(Х;Y), где Х и Y — случайные величины, Cov(Х;Y) — ковариация этих случайных величин.

Если случайные величины независимы (independent), то их

ковариация

равна 0, и, следовательно, Var(Х+Y)=Var(Х)+Var(Y). Это свойство дисперсии используется при выводе

стандартной ошибки среднего

.

Покажем, что для независимых величин Var(Х-Y)=Var(Х+Y). Действительно, Var(Х-Y)= Var(Х-Y)= Var(Х+(-Y))= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+(-1)

²

Var(Y)= Var(Х)+Var(Y)= Var(Х+Y). Это свойство дисперсии используется для построения

доверительного интервала для разницы 2х средних

.

Примечание

: квадратный корень из дисперсии случайной величины называется Среднеквадратическое отклонение (или другие названия — среднее квадратическое отклонение, среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение, стандартное отклонение, стандартный разброс).

Стандартное отклонение выборки

Стандартное отклонение выборки

— это мера того, насколько широко разбросаны значения в выборке относительно их

среднего

.

По определению,

стандартное отклонение

равно квадратному корню из

дисперсии

:

Стандартное отклонение

не учитывает величину значений в

выборке

, а только степень рассеивания значений вокруг их

среднего

. Чтобы проиллюстрировать это приведем пример.

Вычислим стандартное отклонение для 2-х выборок: (1; 5; 9) и (1001; 1005; 1009). В обоих случаях, s=4. Очевидно, что отношение величины стандартного отклонения к значениям массива у выборок существенно отличается. Для таких случаев используется

Коэффициент вариации

(Coefficient of Variation, CV) — отношение

Стандартного отклонения

к среднему

арифметическому

, выраженного в процентах.

В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления

Стандартного отклонения выборки

используется функция

=СТАНДОТКЛОН()

, англ. название STDEV, т.е. STandard DEViation. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог

=СТАНДОТКЛОН.В()

, англ. название STDEV.S, т.е. Sample STandard DEViation.

Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция

СТАНДОТКЛОН.Г()

, англ. название STDEV.P, т.е. Population STandard DEViation, которая вычисляет

стандартное отклонение

для

генеральной совокупности

. Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у

СТАНДОТКЛОН.В()

, у

СТАНДОТКЛОН.Г()

в знаменателе просто n.

Стандартное отклонение

можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см.

файл примера

)

=КОРЕНЬ(КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1)) =КОРЕНЬ((СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/(СЧЁТ(Выборка)-1))

Другие меры разброса

Функция

КВАДРОТКЛ()

вычисляет с умму квадратов отклонений значений от их

среднего

. Эта функция вернет тот же результат, что и формула

=ДИСП.Г(

Выборка

)*СЧЁТ(

Выборка

)

, где

Выборка

— ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки (

именованный диапазон

). Вычисления в функции

КВАДРОТКЛ()

производятся по формуле:

Функция

СРОТКЛ()

является также мерой разброса множества данных. Функция

СРОТКЛ()

вычисляет среднее абсолютных значений отклонений значений от

среднего

.  Эта функция вернет тот же результат, что и формула

=СУММПРОИЗВ(ABS(Выборка-СРЗНАЧ(Выборка)))/СЧЁТ(Выборка)

, где

Выборка

— ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки.

Вычисления в функции

СРОТКЛ

()

производятся по формуле:

Дисперсия — это мера рассеяния, описывающая сравнительное отклонение между значениями данных и средней величиной. Является наиболее используемой мерой рассеяния в статистике, вычисляемая путем суммирования, возведенного в квадрат, отклонения каждого значения данных от средней величины. Формула для вычисления дисперсии представлена ниже:

где:

s² – дисперсия выборки;

x_ср — среднее значение выборки;

n — размер выборки (количество значений данных),

(x_i – x_ср) — отклонение от средней величины для каждого значения набора данных.

Для лучшего понимания формулы, разберем пример. Я не очень люблю готовку, поэтому занятием этим занимаюсь крайне редко. Тем не менее, чтобы не умереть с голоду, время от времени мне приходится подходить к плите  для реализации замысла по насыщению моего организма белками, жирами и углеводами. Набор данных, редставленный ниже, показывает, сколько раз Ренат готовит пищу каждый месяц:

Первым шагом при вычислении дисперсии является определение среднего значения выборки, которое в нашем примере равняется 7,8 раза в месяц. Остальные вычисления можно облегчить с помощью следующей таблицы.

Финальная фаза вычисления дисперсии выглядит так:

Для тех, кто любит производить все вычисления за один раз, уравнение будет выглядеть следующим образом:

Использование метода «сырого счета» (пример с готовкой)

Существует более эффективный способ вычисления дисперсии, известный как метод «сырого счета». Хотя с первого взгляда уравнение может показаться весьма громоздким, на самом деле оно не такое уж страшное. Можете в этом удостовериться, а потом и решите, какой метод вам больше нравится.

где:

— сумма каждого значения данных после возведения в квадрат,

 — квадрат суммы всех значений данных.

Не теряйте рассудок прямо сейчас. Позвольте представить все это в виде таблицы, и тогда вы увидите, что вычислений здесь меньше, чем в предыдущем примере.

Как видите, результат получился тот же, что и при использовании предыдущего метода. Достоинства данного метода становятся очевидными по мере роста размера выборки (n).

Как вы уже, наверное, догадались, в Excel присутствует формула, позволяющая рассчитать дисперсию. Причем, начиная с Excel 2010 можно найти 4 разновидности формулы дисперсии:

1)      ДИСП.В – Возвращает дисперсию по выборке. Логические значения и текст игнорируются.

2)      ДИСП.Г — Возвращает дисперсию по генеральной совокупности. Логические значения и текст игнорируются.

3)      ДИСПА — Возвращает дисперсию по выборке с учетом логических и текстовых значений.

4)      ДИСПРА — Возвращает дисперсию по генеральной совокупности с учетом логических и текстовых значений.

Для начала разберемся в разнице между выборкой и генеральной совокупностью. Назначение описательной статистики состоит в том, чтобы суммировать или отображать данные так, чтобы оперативно получать общую картину, так сказать, обзор. Статистический вывод позволяет делать умозаключения о какой-либо совокупности на основе выборки данных из этой совокупности. Совокупность представляет собой все возможные исходы или измерения, представляющие для нас интерес. Выборка — это подмножество совокупности.

Например, нас интересует совокупность группы студентов одного из Российских ВУЗов и нам необходимо определить средний бал группы. Мы можем посчитать среднюю успеваемость студентов, и тогда полученная цифра будет параметром, поскольку в наших расчетах будет задействована целая совокупность. Однако, если мы хотим рассчитать средний бал всех студентов нашей страны, тогда эта группа будет нашей выборкой.

Разница в формуле расчета дисперсии между выборкой и совокупностью заключается в знаменателе. Где для выборки он будет равняться (n-1), а для генеральной совокупности только n.

Теперь разберемся с функциями расчета дисперсии с окончаниями А, в описании которых сказано, что при расчете учитываются текстовые и логические значения. В данном случае при расчете дисперсии определенного массива данных, где встречаются не числовые значения, Excel будет интерпретировать текстовые и ложные логические значения как равными 0, а истинные логические значения как равными 1.

Итак, если у вас есть массив данных, рассчитать его дисперсию ни составит никакого труда, воспользовавшись одной из перечисленных выше функций Excel.

Variance is an important metric in statistics, and it can help you calculate like the risk of an investment. In this guide, we’re going to show you how to calculate variance in Excel.

Download Workbook

What is variance?

Variance is the average of the squared differences from the average or mean. You can calculate the variance of a data by taking the differences between each number in the data set and the average, then squaring the differences (which makes them positive), and finally dividing the sum of the squares by the number of values in the data set.

The formula is as follows:

• σ²: variance
• x: mean (average) of data
• x ̅: data
• n: data size

A large variance value shows that numbers are far from the mean and each other. A small one, on the other hand, means an opposite correlation. Zero variance means that all numbers in the data set are identical.

Sample variance

If the data set does not represent the entire population, but a number of items from it is sample variance. A common example for this is an election poll.

The formula of a sample variance is almost the same except for the data size. Instead of using exact an data size, use minus 1.

How to calculate variance in Excel

Although, you can calculate variance in Excel by creating the same formula as above, there are built in functions that can make this even easier. The following table shows the formulas and properties that distinguish them.

Function	Variance type	Excel Version	Text and logical values
VAR.S	Sample	2010	Ignored
VARA	Sample	2000	Evaluated
VAR	Sample	2000	Ignored
VAR.P	Population	2010	Ignored
VARPA	Population	2000	Evaluated
VARP	Population	2000	Ignored

Each function uses the same syntax. You can provide data as references or static values. Aside from the sample versus population choice, you need to decide whether you want text and logical values to be evaluated as numbers. VARA and VARPA functions evaluate text and FALSE logical value to zero (0) and TRUE to 1.

The following example shows what each function returns for the same data set. The data set is at B5:B10 under the name “data”.

Please note that VAR and VARP functions have been updated with VAR.S and VAR.P functions in Excel 2010. Although Microsoft continues to support these functions for backwards compatibility, they encourage using VAR.S and VAR.P instead.