Как найти дисперсию по функции плотности

Как найти дисперсию?

Дисперсия — это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая — значения сравнительно близки друг к другу, если большая — далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).

Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии — среднеквадратическое отклонение $sigma(X)=sqrt{D(X)}$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.

Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: «Дисперсия — это второй центральный момент случайной величины» (напомним, что первый начальный момент — это как раз математическое ожидание).

Формула дисперсии случайной величины

Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле:
$$
D(X)=M(X-M(X))^2,
$$
которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$

Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.

Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$), то формула принимает вид:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2.
$$
Если же речь идет о непрерывной случайной величине (заданной плотностью вероятностей $f(x)$ в общем случае), формула дисперсии Х выглядит следующим образом:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx — left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$

Пример нахождения дисперсии

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить и сравнить дисперсию двух законов распределения:
$$
x_i quad 1 quad 2 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$
и
$$
y_i quad -10 quad 10 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$

Для убедительности и наглядности расчетов мы взяли простые распределения с двумя значениями и одинаковыми вероятностями. Но в первом случае значения случайной величины расположены рядом (1 и 2), а во втором — дальше друг от друга (-10 и 10). А теперь посмотрим, насколько различаются дисперсии:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2 =\
= 1^2cdot 0.5 + 2^2 cdot 0.5 — (1cdot 0.5 + 2cdot 0.5)^2=2.5-1.5^2=0.25.
$$
$$
D(Y)=sum_{i=1}^{n}{y_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{y_i cdot p_i} right)^2 =\
= (-10)^2cdot 0.5 + 10^2 cdot 0.5 — (-10cdot 0.5 + 10cdot 0.5)^2=100-0^2=100.
$$
Итак, значения случайных величин различались на 1 и 20 единиц, тогда как дисперсия показывает меру разброса в 0.25 и 100. Если перейти к среднеквадратическому отклонению, получим $sigma(X)=0.5$, $sigma(Y)=10$, то есть вполне ожидаемые величины: в первом случае значения отстоят в обе стороны на 0.5 от среднего 1.5, а во втором — на 10 единиц от среднего 0.

Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной дискретным рядом распределения:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Снова используем формулу для дисперсии дискретной случайной величины:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$
В случае, когда значений много, удобно разбить вычисления по шагам. Сначала найдем математическое ожидание:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Потом математическое ожидание квадрата случайной величины:
$$
M(X^2)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}
= (-1)^2cdot 0.1 + 2^2 cdot 0.2 +5^2cdot 0.3 +10^2cdot 0.3+20^2cdot 0.1=78.4.
$$
А потом подставим все в формулу для дисперсии:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=78.4-6.8^2=32.16.
$$
Дисперсия равна 32.16 квадратных единиц.

Пример 3. Найти дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины Х, заданному плотностью $f(x)=x/18$ при $x in(0,6)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для расчета формулу дисперсии непрерывной случайной величины:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx — left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$
Вычислим сначала математическое ожидание:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x^2}{18} dx =
left.frac{x^3}{54} right|_0^6=frac{6^3}{54} = 4.
$$
Теперь вычислим
$$
M(X^2)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x^3}{18} dx = left.frac{x^4}{72} right|_0^6=frac{6^4}{72} = 18.
$$
Подставляем:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=18-4^2=2.
$$
Дисперсия равна 2.

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление дисперсии онлайн

Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку «Вычислить».
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$ и затем искомое значение дисперсии $D(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала — еще примеры решений задач по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Определение
1.
Математическим
ожиданием непрерывной случайной величины
X
с
плотностью
вероятности
f(х)
называют величину несобственного
интеграла (если он сходится):

Определение
2.
Дисперсией
непрерывной случайной величины X,
математическое ожидание которой М(Х)
= а и
функция
f(х)
является
ее плотностью вероятности, называется
величина несобственного интеграла
(если он сходится):

Можно показать,
что математическое ожидание и дисперсия
непрерывной случайной величины имеют
те же свойства, что и математическое
ожидание и дисперсия дискретной случайной
величины.

Для
непрерывной случайной величины X
среднее
квадратическое отклонение

(Х)
определяется, как и для дискретной
величины, формулой

.

Пример
4.
Случайная величина X
задана плотностью вероятности

Определить
математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение
величины X.

Решение.
Согласно
определениям 1 и 2

и,
наконец,

4.5. Некоторые законы распределения случайных величин

1.
Биномиальное распределение. Пусть
производится п
испытаний,
причем вероятность появления события
А
в
каждом испытании равна р
и
не зависит от исхода других испытаний
(независимые испытания). Так как
вероятность наступления события А
в
одном испытании равна р,
то вероятность его ненаступления равна
q
= 1

р.

Найдем
вероятность того, что при n
испытаниях событие А
наступит
т
раз
(т

п).

Пусть
событие А
наступило
в первых т
испытаниях
т
раз
и не наступило во всех последующих
испытаниях. Это сложное событие можно
записать в виде произведения:

Общее
число сложных событий, в которых событие
А
наступает
т
раз,
равно числу сочетаний из п
элементов
по т
элементов.
При этом вероятность каждого сложного
события равна: p^mq^n—m.
Так
как эти сложные события являются
несовместимыми, то вероятность их суммы
равна сумме их вероятностей. Итак, если
Р_п(т)
есть
вероятность появления события А
т раз
в п
испытаниях,
то

или

(1)

Формулу
(1) называют формулой
Бернулли.

Пример
1.
Пусть всхожесть семян данного растения
составляет 90%. Найти вероятность того,
что из четырех посеянных семян взойдут:
а) три; б) не менее трех.

Решение.
а) В данном случае n
= 4, т
= 3,
р
= 0,9,
q
= 1

p
= 0,1.
Применим
формулу
Бернулли
(1):

б)
Здесь событие А
состоит
в том, что из четырех семян взойдут или
три, или четыре. По теореме сложения
вероятностей
.
Но Р₄(4)
=
(0,9)⁴
=
0,6561. Поэтому Р(А)
= 0,2916
+ 0,6561 = 0,9477.

Снова
рассмотрим n
независимых испытаний, в каждом из
которых наступает событие А
с
вероятностью р.
Обозначим
через X
случайную
величину, равную числу появлений события
А
в
п
испытаниях.

Понятно,
что событие А
может
вообще не наступить, наступить один
раз, два раза и т.д. и, наконец, наступить
п
раз.
Следовательно, возможными значениями
величины X
будут
числа 0, 1, 2, …, n

1, п.
По
формуле Бернулли можно найти вероятности
этих значений:

Запишем полученные
данные в виде таблицы распределения:

Построенный
закон распределения дискретной случайной
величины X
называют
законом
биномиального распределения.

Найдем
М(Х).
Очевидно,
что X_i

число
появлений события А
в
каждом испытании 
представляет собой случайную величину
со следующим распределением:

Поэтому
М(Х_i)
=

.
Но
так как X
=
Х₁
+ … +Х_n,
то
М(Х)
= пр.
Найдем далее D(X)
и

(Х).
Так
как величина

имеет
распределение

то
M(X_i²)=

.
Поэтому

Наконец,
в силу независимости величин X₁,
X₂,
…, Х_n,

Отсюда

Пример
2.
Случайная величина X
определена
как число выпавших гербов в результате
100 бросаний монеты. Вычислить математическое
ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение X.

Решение.
Вероятность появления герба в каждом
бросании монеты

.
Следовательно, вероятность непоявления
герба

.
Случайная
величина X
имеет
биномиальное распределение при п
= 100
и

.
Поэтому

Пример
3.
Допустим, что для хищника вероятность
поимки отдельной жертвы составляет 0,4
при каждом столкновении с жертвой.
Каково ожидаемое число пойманных жертв
в 20 столкновениях?

Решение.
Это пример биномиального распределения
при п
= 20
и р
= 0,4.
Ожидаемое число есть М(Х)
= пр =

=
=8.

2.
Локальная и интегральная предельные
теоремы Лапласа. Если
число испытаний п
велико,
то вычисления по формуле Бернулли
становятся затруднительными. Лаплас
получил важную приближенную формулу
для вероятности Р_n(т)
появления
события А
точно
m
раз, если п
достаточно
большое число. Им же получена приближенная
формула и для суммы вида

.

Локальная
предельная теорема Лапласа.
Пусть р=Р(А)

вероятность события А, причем 0
< р
< 1.
Тогда вероятность того, что в условиях
схемы Бернулли событие А при п испытаниях
появится точно т раз, выражается
приближенной формулой Лапласа

(2)

где

Для
функции

имеется
таблица (см. приложение 1) ее значений
для положительных значений х
(функция

четная).

Пример
4.
Вероятность поражения цели стрелком
при одиночном выстреле равна р
= 0,2.
Какова вероятность того, что при 100
выстрелах цель будет поражена ровно 20
раз?

Решение.
Здесь р
= 0,2, q
= 0,8,
n
= 100 и т
= 20.
Отсюда

и, следовательно,

.

Учитывая,
что

,
из формулы (2) получаем

(для
получения приближен-ного равенства

можно использовать калькулятор).

Перейдем
к интегральной
предельной теореме
Лапласа.
Поставим следующий вопрос, какова
вероятность того, что в условиях схемы
Бернулли событие А,
имеющее
вероятность Р(А)
= р (0 < р
< 1), при п
испытаниях
(как и прежде, число испытаний велико)
появится не менее k
раз и не
более l
раз. Эту искомую вероятность обозначим
через P_n(k,
l).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  01.05.2022204.8 Кб0Учебники 6027.doc

• #

2.4.4. Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ?

Ответ на этот вопрос состоит из двух слов: с помощью интегралов.

Сам смысл математического ожидания и дисперсии мы уже разбирали ранее (но, конечно, повторим), и сейчас настало время узнать, как они определяются для непрерывной случайной величины. Всё очень просто, по аналогии с ДСВ:

Итак, все инструменты в руках и мы с энтузиазмом приступаем к любимому делу:

Задача 110
Непрерывная случайная величина  задана функцией

Вычислить . И построим ещё графики  и , ну а куда же без них? Повторение и ещё раз повторение!

Решение начнём как раз с графика функции распределения. При его ручном построении  удобно найти промежуточное значение  и аккуратно провести кусок кубической параболы :

Повторяем: функция распределения  описывает вероятность того, что случайная величина  примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , «пробегающая» все значения от  до .  Данная функция изменяется в пределах  и не убывает (т. к. «накапливает» вероятности). Но если в дискретном случае она разрывна (вспоминаем «ступеньки»), то здесь – всюду непрерывна!

Очевидно, что случайная величина  принимает случайные значения из отрезка , и какие из них более вероятны, а какие – менее, наглядно показывает функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей:

Найдём опорные точки параболы: , и готово:

В отличие от , функции плотности может быть разрывна и может принимать значения бОльшие единицы (как в нашем случае); может, как убывать, так и возрастать и даже иметь экстремумы (наш кусок параболы растёт). Однако (повторяем), она неотрицательна:   и обладает свойством , и это лучше всегда проверять (а то мало ли, опечатка или ошибка). Неотрицательность функции очевидна по чертежу, а вот интеграл подлежит вычислению. Используя свойство аддитивности, делим его на три части:

 – данный результат равен заштрихованной площади (см. выше) и с вероятностной точки зрения означает тот факт, что случайная величина  достоверно примет одно из значений отрезка . Причём, по чертежу хорошо видно, что значения из правой части отрезка гораздо более вероятны, чем значения слева.

И эти вероятности оцениваются кусками площади, а не значениями функции !!! (окончательно избавляемся от распространённой иллюзии)

Ради интереса вычислим:
 – вероятность того, что случайная величина  примет какое-нибудь значение из промежутка

Теперь числовые характеристики. Очевидно, что математическое ожидание (среднеожидаемое значение) случайной величины  должно находиться в «живом» отрезке , причём – ближе к его правому концу (поскольку там выше плотность вероятности).

Убедимся в этом аналитически. По формуле вычисления математического ожидания, и в силу того же свойства аддитивности:

 – ну что же, вполне и вполне правдоподобно, результат я отметил красной точкой на чертеже.

! Примечание: в общем случае (и в этом, в частности)  не делит площадь на 2 равные части!

Если промежуток конечен, то можно сразу записывать, что матожидание равно определённому интегралу:
 

Дисперсию (меру рассеяния случайных значений относительно ) вычислим по формуле:

Сначала удобно разделаться с интегралом, здесь я не буду расписывать подробно:

Таким образом:

И, наконец, среднее квадратическое отклонение:

Вот такое вот у нас получилось захватывающее повторение-изучение-исследование! И коль скоро спрашивалось немного, запишем:

ответ:

Строго говоря, ответ следовало записывать и в предыдущих задачах, но когда пунктов много, то итоговые результаты вполне допустимо помечать по ходу решения, например, подчёркивать или обводить карандашом.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Задача 111
Дана функция:

Представить  в аналитическом виде и показать, что она может служить плотностью вероятностей случайной величины . Вычислить  и 

Справка: уравнение прямой, проходящей через точки , можно составить по формуле .
Бывает, вычисление матожидания и дисперсии сопряжено с техническими трудностями, и в соответствующей статье сайта я рассмотрел следующие функции:

Однако вся трудность этих заданий состоит в более сложных интегралах, что, собственно, уже не относится к теории вероятностей, и посему я не включил эти примеры в настоящую книгу. Но вот задачка с несобственными интегралами не помешает:

Задача 112
Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей:

Найти  и . Составить функцию распределения и построить графики . Вычислить вероятность того, что случайная величина  примет значение, бОльшее, чем её математическое ожидание.

Попробуйте решить её самостоятельно! И для желающих есть более трудное задание с функцией  (смотрите опять же на сайте – ссылка выше).

Но этим всё дело не ограничивается. Точно так же, как и в дискретном случае, у непрерывной случайной величины существуют особые законы распределения вероятностей, и наиболее популярные из них мы рассмотрим прямо сейчас:

2.5.1. Равномерное распределение вероятностей

2.4.3. Функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин