Как найти дисперсию по ряду распределения

Как найти дисперсию?

Дисперсия — это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая — значения сравнительно близки друг к другу, если большая — далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).

Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии — среднеквадратическое отклонение $sigma(X)=sqrt{D(X)}$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.

Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: «Дисперсия — это второй центральный момент случайной величины» (напомним, что первый начальный момент — это как раз математическое ожидание).

Формула дисперсии случайной величины

Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле:
$$
D(X)=M(X-M(X))^2,
$$
которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$

Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.

Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$), то формула принимает вид:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2.
$$
Если же речь идет о непрерывной случайной величине (заданной плотностью вероятностей $f(x)$ в общем случае), формула дисперсии Х выглядит следующим образом:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx — left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$

Пример нахождения дисперсии

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить и сравнить дисперсию двух законов распределения:
$$
x_i quad 1 quad 2 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$
и
$$
y_i quad -10 quad 10 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$

Для убедительности и наглядности расчетов мы взяли простые распределения с двумя значениями и одинаковыми вероятностями. Но в первом случае значения случайной величины расположены рядом (1 и 2), а во втором — дальше друг от друга (-10 и 10). А теперь посмотрим, насколько различаются дисперсии:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2 =\
= 1^2cdot 0.5 + 2^2 cdot 0.5 — (1cdot 0.5 + 2cdot 0.5)^2=2.5-1.5^2=0.25.
$$
$$
D(Y)=sum_{i=1}^{n}{y_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{y_i cdot p_i} right)^2 =\
= (-10)^2cdot 0.5 + 10^2 cdot 0.5 — (-10cdot 0.5 + 10cdot 0.5)^2=100-0^2=100.
$$
Итак, значения случайных величин различались на 1 и 20 единиц, тогда как дисперсия показывает меру разброса в 0.25 и 100. Если перейти к среднеквадратическому отклонению, получим $sigma(X)=0.5$, $sigma(Y)=10$, то есть вполне ожидаемые величины: в первом случае значения отстоят в обе стороны на 0.5 от среднего 1.5, а во втором — на 10 единиц от среднего 0.

Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной дискретным рядом распределения:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Снова используем формулу для дисперсии дискретной случайной величины:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$
В случае, когда значений много, удобно разбить вычисления по шагам. Сначала найдем математическое ожидание:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Потом математическое ожидание квадрата случайной величины:
$$
M(X^2)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}
= (-1)^2cdot 0.1 + 2^2 cdot 0.2 +5^2cdot 0.3 +10^2cdot 0.3+20^2cdot 0.1=78.4.
$$
А потом подставим все в формулу для дисперсии:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=78.4-6.8^2=32.16.
$$
Дисперсия равна 32.16 квадратных единиц.

Пример 3. Найти дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины Х, заданному плотностью $f(x)=x/18$ при $x in(0,6)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для расчета формулу дисперсии непрерывной случайной величины:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx — left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$
Вычислим сначала математическое ожидание:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x^2}{18} dx =
left.frac{x^3}{54} right|_0^6=frac{6^3}{54} = 4.
$$
Теперь вычислим
$$
M(X^2)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x^3}{18} dx = left.frac{x^4}{72} right|_0^6=frac{6^4}{72} = 18.
$$
Подставляем:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=18-4^2=2.
$$
Дисперсия равна 2.

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление дисперсии онлайн

Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку «Вычислить».
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$ и затем искомое значение дисперсии $D(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала — еще примеры решений задач по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным и в рядах распределения.

Основными
обобщающими показателями вариации в
статистике являются дисперсии и среднее
квадратическое отклонение.

Дисперсия
— это средняя арифметическая квадратов
отклонений каждого значения признака
от общей средней. Дисперсия обычно
называется средним квадратом отклонений
и обозначается
.
В зависимости от исходных данных
дисперсия может вычисляться по средней
арифметической простой или взвешенной:

—дисперсия
невзвешенная (простая);

—дисперсия
взвешенная.

Среднее
квадратическое отклонение представляет
собой корень квадратный из дисперсии
и обозначается S:

—среднее
квадратическое отклонение невзвешенное;

—среднее
квадратическое отклонение взвешенное.

Среднее
квадратическое отклонение
— это обобщающая характеристика абсолютных
размеров вариации признака в совокупности.
Выражается оно в тех же единицах
измерения, что и признак (в метрах,
тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

Среднее
квадратическое отклонение является
мерилом надежности средней. Чем меньше
среднее квадратическое отклонение, тем
лучше средняя арифметическая отражает
собой всю представляемую совокупность.

Вычислению
среднего квадратического отклонения
предшествует расчет дисперсии.

Порядок
расчета дисперсии взвешенную:

1)
определяют среднюю арифметическую
взвешенную

;

2)
определяются отклонения вариант от
средней
;

3)
возводят в квадрат отклонение каждой
варианты от средней
;

4)
умножают квадраты отклонений на веса
(частоты)
;

5)
суммируют полученные произведения

;

6)
Полученную сумму делят на сумму весов

.

Пример
3.

Таблица
6.3.

Произведено продукции одним рабочим, шт. ( варианта)	Число рабочих,
8	7	56	-2	4	28
9	10	90	-1	1	10
10	15	150	0	0	0
11	12	132	1	1	12
12	6	72	2	4	24
ИТОГО	50	500			74

Исчислим
среднюю арифметическую взвешенную:

шт.

Значения
отклонений от средней и их квадратов
представлены в таблице 6.3. Определим
дисперсию:

=1,48

Среднее
квадратическое отклонение будет равно:

шт.

Если
исходные данные представлены в виде
интервального ряда распределения, то
сначала надо определить дискретное
значение признака, а далее применить
тот же метод, что изложен выше.

Пример
4.

Покажем
расчет дисперсии для интервального
ряда на данных о распределении посевной
площади колхоза по урожайности пшеницы:

Таблица
6.4

Урожайность пшеницы, ц/га	Посевная площадь, га
14 — 16	100	15	1500	-3,4	11,56	1156
16 — 18	300	17	5100	-1,4	1,96	588
18 — 20	400	19	7600	0,6	0,36	144
20 — 22	200	21	4200	2,6	6,76	1352
ИТОГО	1000		18400			3240

Средняя
арифметическая равна:

ц с
1га.

Исчислим
дисперсию:

Расчет дисперсии по формуле по индивидуальным данным и в рядах распределения.

Техника
вычисления дисперсии сложна, а при
больших значениях вариант и частот
может быть громоздкой. Расчеты можно
упростить, используя свойства дисперсии.

Свойства
дисперсии.

1. Уменьшение
   или увеличение весов (частот) варьирующего
   признака в определенное число раз
   дисперсии не изменяет.

2. Уменьшение
   или увеличение каждого значения признака
   на одну и ту же постоянную величину А
   дисперсии не изменяет.

3. Уменьшение
   или увеличение каждого значения признака
   в какое-то число раз к соответственно
   уменьшает или увеличивает дисперсию
   в
   
   раз, а среднее квадратическое отклонение
   — в к раз.

4. Дисперсия
   признака относительно произвольной
   величины всегда больше дисперсии
   относительно средней арифметической
   на квадрат разности между средней и
   произвольной величиной:
   .
   Если А равна нулю, то приходим к
   следующему равенству:
   ,
   т.е. дисперсия признака равна разности
   между средним квадратом значений
   признака и квадратом средней.

Каждое
свойство при расчете дисперсии может
быть применено самостоятельно или в
сочетании с другими.

Порядок
расчета дисперсии простой:

1)
определяют среднюю арифметическую
;

2)
возводят в квадрат среднюю арифметическую;

3)
возводят в квадрат каждую варианту ряда

;

4)
находим сумму квадратов вариант
;

5)
делят сумму квадратов вариант на их
число, т.е. определяют средний квадрат

;

6)
определяют разность между средним
квадратом признака и квадратом средней

.

Пример
5.

Имеются
следующие данные о производительности
труда рабочих:

Таблица
6.4

Табельный номер рабочего	Произведено продукции, шт.
1	8	64
2	9	81
3	10	100
4	11	121
5	12	144
ИТОГО	50	510

Произведем
следующие расчеты:

шт.

Пример
6.

Определить
дисперсию в дискретном ряду распределения,
используя табл. 6.5.

Таблица
6.5.

Произведено продукции 1 рабочим, шт. (х)	Число рабочих, n
8	7	56	64	448
9	10	90	81	810
10	15	150	100	1500
11	12	132	121	1452
12	6	72	144	864
ИТОГО	50	500	510	5074

Получим
тот же результат, что в табл. 6.3.

Рассмотрим
расчет дисперсии в интервальном ряду
распределения.

Порядок
расчета дисперсии взвешенной (по формуле

):

1. определяют
   среднюю арифметическую
   ;

2. возводят
   в квадрат полученную среднюю
   ;

3. возводят
   в квадрат каждую варианту ряда
   ;

4. умножают
   квадраты вариант на частоты
   ;

5. суммируют
   полученные произведения
   ;

6. делят
   полученную сумму на сумму весов и
   получают средний квадрат признака
   ;

7. определяют
   разность между средним значением
   квадратов и квадратом средней
   арифметической, т.е. дисперсию
   .

Пример
7.

Имеются
следующие данные о распределении
посевной площади колхоза по урожайности
пшеницы:

Таблица
6.6

Урожайность пшеницы, ц/га	Посевная площадь, га
14 — 16	100	15	1500	225	22500
16 — 18	300	17	5100	289	36700
18 — 20	400	19	7600	361	144400
20 — 22	200	21	4200	441	88200
ИТОГО	1000		18400		341200

В
подобных примерах прежде всего
определяется дискретное значение
признака в каждом интервале, а затем
применяется метод расчета, указанный
выше:

Средняя
величина отражает тенденцию развития,
т.е. действие главных причин. Среднее
квадратическое отклонение измеряет
силу воздействия прочих факторов.

Соседние файлы в папке statistica

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Дисперсия, виды и свойства дисперсии

Понятие дисперсии

Дисперсия в статистике находится как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

где n — частота (повторяемость фактора Х)

Пример нахождения дисперсии

На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение

Пример 1. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию

Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:

где X max– максимальное значение группировочного признака;
X min–минимальное значение группировочного признака;
n – количество интервалов:

Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 — 159)/ 5 = 6,6

Составим интервальную группировку

Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:

X’i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)

Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Определим дисперсию по формуле:

Пример 2. Определение групповой, средней из групповой, межгрупповой и общей дисперсии

Пример 3. Нахождение дисперсии и коэффициента вариации в группировочной таблице

Пример 4. Нахождение дисперсии в дискретном ряду

Формулу дисперсии можно преобразовать так:

Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.

Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии, вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:

где i — величина интервала;
А — условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
m1 — квадрат момента первого порядка;
m2 — момент второго порядка

Дисперсия альтернативного признака (если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:

Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:

Виды дисперсии

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.

Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:

где хi — групповая средняя;
ni — число единиц в группе.

Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).

Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

Правило сложения дисперсии в статистике

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.

Пользуясь формулой сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Свойства дисперсии

1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится.
2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз n, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличить) в n^2 раз.

Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.

Дискретный вариационный ряд и его характеристики