Как найти дисперсию показательного распределения - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Показательное распределение

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины

, которое описывается плотностью:

где

–
постоянная положительная величина.

Показательное
распределение определяется одним параметром

. Эта особенность распределения указывает на
его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа
параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки
(приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три.
Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному
закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий
простейшего потока.

Функция распределения
показательного закона:

Графики плотности и
функции распределения показательного закона изображены на рисунке.

Вероятность попадания в
интервал

непрерывной
случайной величины

, распределенной по показательному закону:

Числовые характеристики показательного (экспоненциального) распределения

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону:

Дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины,
распределенной по показательному закону:

Коэффициенты асимметрии и эксцесса
для показательного распределения:

Таким
образом, математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение экспоненциального распределения равны между собой.

Показательный закон
распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории
надежности. Так, например, интервал времени

между
двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение
с параметром

–
интенсивностью потока.

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится
сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин.

Смежные темы решебника:

Непрерывная случайная величина
Нормальный закон распределения случайной величины
Равномерный закон распределения случайной величины

Примеры решения задач

Пример 1

Случайная величина

задана функцией распределения

Найдите математическое
ожидание и среднее квадратическое отклонение этого
распределения.

Найдите вероятность того,
что случайная величина примет значение от 0,2 до 1.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Математическое
ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону:

Среднее
квадратическое отлонение:

Вероятность того, что
случайная величина примет значение от 0,2 до 1

Ответ

Пример 2

На шоссе установлен контрольный пункт для
проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и
среднее квадратическое отклонение случайной величины T – время ожидания
очередной машины контролером, если поток машин простейший и время (в часах)
между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по
показательному закону f(t)=5e^-5^t.

Указание: Время ожидания машины
контролером и время прохождения машин через контрольный пункт распределены
одинаково.

Решение

В нашем случае
параметр показательного распределения

Математическое
ожидание:

Дисперсия:

Среднее
квадратическое отклонение:

Ответ:

Пример 3

Постройте
интегральную и дифференциальную функции распределения случайной величины X.
Найдите математическое ожидание M(X), дисперсию D(X),
среднее квадратическое отклонение σ(X), моду x_mod, медиану x_med, если известно, что
случайная величина X имеет показательное распределение с параметром λ=1.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Плотность
распределения случайной величины

, распределенной по
показательному закону:

Функция
распределения:

Построим
графики дифференциальной и интегральной функций распределения:

График дифференциальной функции распределения

График интегральной функции распределения

Математическое
ожидание показательно распределенной случайной величины

Дисперсия:

Среднее
квадратическое отклонение:

найдем, исходя из условия:

Пример 4

Случайная
величина

распределена показательно с дисперсией 0,25.
Найти математическое ожидание и вероятность попадания

в интервал (0,5;1).

Решение

Дисперсия
случайной величины, распределенной по показательному закону:

Математическое
ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону:

Вероятность
попадания в интервал

непрерывной случайной величины

, распределенной по
показательному закону:

В нашем
случае:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Время
безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону.
Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим
обслуживанием 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двигателя за 80
ч.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 2

Среднее
время работы элемента, входящего в пожарно-техническое устройство, равно 1000
часов. Определить вероятность того, что элемент будет работать от 950 до 1150
часов, если время работы элемента распределено по показательному закону.

Задача 3

Вероятность
безотказной работы элемента распределена по экспоненциальному закону

f(t)=e^-0.05t

Найти
вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в
интервал (11;35). Найти характеристики данного распределения случайной
величины.

Задача 4

Непрерывная
случайная величина X задана интегральной функцией распределения

Найти
постоянную C, математическое ожидание случайной величины X,
вероятность попадания случайной величины в интервал [2;4].

Задача 5

Время
между отказами прибора распределено по показательному закону со средним
значением 25 часов. Определить математическое ожидание и дисперсию времени
безотказной работы автомобиля. Найти вероятность того, что очередной отказ
произойдет не позднее 15 часов.

Задача 6

Время
безотказной работы телевизора определенной модели описывается показательным (экспоненциальным)
законом распределения с постоянной λ. Что вероятнее, его безотказная работа в
промежутке времени [x₁,x₂]

или [x₃,x₄]? Записать
функции f(x),F(x) и построить их графики.

λ=1/10, x₁=3, x₂=5, x₃=4, x₄=8

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 7

Испытывают
два независимо работающих элемента. Длительность времени t безотказной
работы первого элемента имеет показательное распределение с параметром 0,02,
второго -показательное распределение с параметром 0,06. Найдите вероятность
того, что за время длительностью t=6 ч откажет только один
элемент.

Задача 8

Среднее
время работы каждого из трех элементов, входящих в техническое устройство,
равно T=850 часов. Для безотказной работы устройства необходима безотказная
работа хотя бы одного из трех этих элементов. Определить вероятность, что
устройство будет работать от t₁=750 до t₂=820 часов, если время
работы каждого из трех элементов независимо и распределено по показательному
закону.

Задача 9

Время
устранения повреждения на канале связи T -случайная величина,
распределенная по закону f(t)=λe^-λt (t≥0). Среднее время
восстановления канала — 10 минут. Определить вероятность того, что на
восстановление канала потребуется от 5 до 10 минут.

Задача 10

Дана плотность
распределения случайной величины X.

По какому
закону распределения случайная величина? Найти математическое ожидание,
дисперсию, функцию распределения?

Задача 11

Время
безотказной работы механизма подчинено показательному закону с плотностью
распределения вероятностей f(t)=0.04e^-0.04t при t > 0 (t –
время в часах). Найти вероятность того, что механизм проработает безотказно не
менее 100 часов.

Задача 12

Длительность телефонного разговора
является случайной величиной, распределенной по показательному закону.
Известно, что средняя длительность телефонного разговора равна 9 минутам. Найти
вероятность того, что разговор будет длиться:

а) не более 5 минут.

б) более 5 минут.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 13

Случайная величина ξ подчинена
показательному закону с параметром λ=5:

Найдите вероятность того, что
случайная величина ξ примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание.

Задача 14

Случайная
величина ξ имеет плотность вероятностей (показательное распределение)

Найдите
вероятность P{ξ>M_ξ}

Задача 15

Время T
(минут), затрачиваемое клиентами парикмахерской в ожидании своей очереди,
удовлетворяет показательному распределению с параметром λ=0,05. Какова
вероятность того, что время ожидания превысит 25 минут и каково среднее время
ожидания.

Задача 16

Время T (час),
необходимое на ремонт легкового автомобиля удовлетворяет показательному
распределению с параметром λ=0,2. Какова вероятность того, что время ремонта
одного автомобиля не превысит 6 часов, и сколько часов в среднем затрачивается
на ремонт одного автомобиля.

Задача 17

Время
ожидания у бензоколонки автозаправочной станции является случайной величиной X,
распределенной по показательному закону, со средним временем ожидания, равным t₀. Найти вероятности
следующих событий:

Задача 18

Случайная
величина X задана показательным законом распределения и
числовыми значениями параметров M(X)=3 и σ_x=3.

Требуется:

1) найти
функцию плотности f(x).

2) найти
вероятность попадания СВ X в указанный интервал [a,b]=[2,4].

Задача 19

Случайная
величина ξ задана функцией распределения

Найдите
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этого
распределения.

Задача 20

Случайная величина ξ распределена по
показательному закону с параметром λ=0,3. Найдите математическое ожидание и
среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

Непрерывная
случайная величина Х,
функция плотности которой задается
выражением

называется случайной величиной,
имеющей показательное,
или экспоненциальное, распределение.
В отличие от нормального
распределения, показательный закон
определяется только одним параметром λ.
В этом его преимущество, так как обычно
параметры распределения заранее не
известны и их приходится оценивать
приближенно. Понятно, что оценить один
параметр проще, чем несколько.

Найдем
функцию распределения показательного
закона:

Теперь
можно найти вероятность попадания
показательно распределенной случайной
величины в интервал (а, b):

. Значения
функции е^-х можно
найти из таблиц.

Математическое
ожидание

Проводя
интегрирование по частям и учитывая,
что при x→∞ e^—^x стремиться
к нулю быстрее, чем возрастает любая
степень x ,
находим:

29) Показательное распределение. Дисперсия.

Непрерывная
случайная величина Х,
функция плотности которой задается
выражением

Найдем
функцию распределения показательного
закона:

Теперь
можно найти вероятность попадания
показательно распределенной случайной
величины в интервал (а, b):

Значения
функции е^-х можно
найти из таблиц.

Дисперсию
случайной
величины определяем по формуле:

30) Функции случайных величин. Примеры.

Примеры
одномерных величин. Число сокращений сердца за
одну минуту, полученное при регистрации,
— дискретная одномерная величина. Артериальное
давление крови,
зарегистрированное в данный момент времени,
— значение одномерной непрерывной
случайной величины.

Если
каждому возможному значению случ.величины Х
соответствует
одно возможное значение случ.
величины Y,то Y называют функцией
случайного аргумента Х: Y =
φ(X).

Выясним,
как найти закон распределения функции
по известному закону распределения
аргумента.

1) Пусть
аргумент Х –
дискретная случайная величина, причем
различным значениям Х
соответствуют
различные значения Y.
Тогда вероятности соответствующих
значений Х и Y
равны.

Пример
1.
Ряд распределения для Х имеет
вид:
Х
5       6
7      8

   р
0,1     0,2   0,3   0,4

Найдем
закон распределения функции Y = 2X²
— 3:
Y      47
69     95     125

р
0,1     0,2    0,3     0,4

(при
вычислении значений Y в
формулу, задающую функцию, подставляются
возможные значения Х).

2) Если
разным значениям Х могут
соответствовать одинаковые значения Y,
то вероятности значений аргумента, при
которых функция принимает одно и то же
значение, складываются.

Пример
2.
Ряд распределения для Х имеет
вид:
Х
0       1
2      3

р
0,1     0,2   0,3   0,4

Найдем
закон распределения функции Y = X²
— 2Х:
  Y      -1
0       3

р
0,2     0,4    0,4

(так
как Y =
0 при Х
= 0
и Х
= 2,
то р(Y = 0)
= р( Х =
0) + р(Х =
2) = 0,1 + 0,3 = 0,4 ).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Показательное распределение

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Отметим здесь основные понятия и формулы, связанные с показательным распределением непрерывной случайной величины $X$ не вдаваясь в подробности их вывода.

Определение 1

Показательным или экспоненциальным распределения непрерывной случайной величины $X$ называется распределение, плотность которого имеет вид:

Рисунок 1.

где $gamma $ — положительная константа.

График плотности показательного распределения имеет вид (рис. 1):

Рисунок 2. График плотности показательного распределения.

Функция показательного распределения

Как нетрудно проверить, функция показательного распределения имеет вид:

Рисунок 3.

где $gamma $ — положительная константа.

График функции показательного распределения имеет вид:

Рисунок 4. График функции показательного распределения.

Вероятность попадания случайной величины при показательном распределении

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(alpha ,beta )$ при показательном распределении вычисляется по следующей формуле:

Математическое ожидание: $Mleft(Xright)=frac{1}{gamma }.$

Дисперсия: $Dleft(Xright)=frac{1}{{gamma }^2}.$

Среднее квадратическое отклонение: $sigma left(Xright)=frac{1}{gamma }$.

Пример задачи на показательное распределение

Пример 1

Случайная величина $X$ подчиняется экспоненциальному закону распределения. На участке области определения $left[0,infty )right.$ случайная величина $X$ имеет плотность вида $varphi left(xright)=alpha e^{-3x}$.

Найти плотность распределения и построить её график.
Найти функцию распределения и построить её график.
Найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал $(0,2;;0,4)$.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данного распределения.

Решение:

Так как случайная величина подчиняется показательному закону распределения, то $alpha =3.$ Таким образом, плотность данного распределения будет иметь вид:

Рисунок 5.

Построим её график. Максимальное значения функция плотности распределения достигнет в точке $left(0,gamma right)=(0,3)$

Рисунок 6.

Так как $gamma =3$, то по формуле функции показательного распределения, функция распределения в нашем случае будет иметь вид:

Рисунок 7.

При $x=1, Fleft(1right)=1-e^{-3}=1-0,05=0,95$, получаем график

Рисунок 8.

Для нахождения искомой вероятности будем пользоваться следующей формулой:

[Pleft(alpha Получим:
[Pleft(0,2Для нахождения значений функции $y=e^{-x}$ существуют специальные таблицы, из них легко находим, что $e^{-0,6}=0,549, e^{-1,2}=0,302$. Значит:
[Pleft(0,2

Для нахождения характеристик воспользуемся выше данными формулами:

[Mleft(Xright)=sigma left(Xright)=frac{1}{gamma }=frac{1}{3}.] [Dleft(Xright)=frac{1}{{gamma }^2}=frac{1}{9}.]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 20.02.2023

Источник

Not to be confused with the exponential family of probability distributions.

Exponential

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	rate, or inverse scale
Support
PDF	$lambda e^{{-lambda x}}$
CDF	${displaystyle 1-e^{-lambda x}}$
Quantile	${displaystyle -{frac {ln(1-p)}{lambda }}}$
Mean	$frac{1}{lambda}$
Median	${displaystyle {frac {ln 2}{lambda }}}$
Mode
Variance	${displaystyle {frac {1}{lambda ^{2}}}}$
Skewness
Ex. kurtosis
Entropy
MGF	$frac{lambda}{lambda-t}, text{ for } t < lambda$
CF	$frac{lambda}{lambda-it}$
Fisher information	${displaystyle {frac {1}{lambda ^{2}}}}$
Kullback-Leibler divergence	${displaystyle ln {frac {lambda _{0}}{lambda }}+{frac {lambda }{lambda _{0}}}-1}$
CVaR (ES)	${displaystyle -{frac {ln(1-p)+1}{lambda }}}$
bPOE	${displaystyle e^{1-lambda x}}$

In probability theory and statistics, the exponential distribution or negative exponential distribution is the probability distribution of the time between events in a Poisson point process, i.e., a process in which events occur continuously and independently at a constant average rate. It is a particular case of the gamma distribution. It is the continuous analogue of the geometric distribution, and it has the key property of being memoryless. In addition to being used for the analysis of Poisson point processes it is found in various other contexts.

The exponential distribution is not the same as the class of exponential families of distributions. This is a large class of probability distributions that includes the exponential distribution as one of its members, but also includes many other distributions, like the normal, binomial, gamma, and Poisson distributions.

Definitions[edit]

Probability density function[edit]

The probability density function (pdf) of an exponential distribution is

${displaystyle f(x;lambda )={begin{cases}lambda e^{-lambda x}&xgeq 0,\0&x<0.end{cases}}}$

Here λ > 0 is the parameter of the distribution, often called the rate parameter. The distribution is supported on the interval [0, ∞). If a random variable X has this distribution, we write X ~ Exp(λ).

The exponential distribution exhibits infinite divisibility.

Cumulative distribution function[edit]

The cumulative distribution function is given by

$F(x;lambda) = begin{cases} 1-e^{-lambda x} & x ge 0, \ 0 & x < 0. end{cases}$

Alternative parametrization[edit]

The exponential distribution is sometimes parametrized in terms of the scale parameter β = 1/λ, which is also the mean:

${displaystyle f(x;beta )={begin{cases}{frac {1}{beta }}e^{-x/beta }&xgeq 0,\0&x<0.end{cases}}qquad qquad F(x;beta )={begin{cases}1-e^{-x/beta }&xgeq 0,\0&x<0.end{cases}}}$

Properties[edit]

Mean, variance, moments, and median[edit]

The mean is the probability mass centre, that is, the first moment.

The mean or expected value of an exponentially distributed random variable X with rate parameter λ is given by

${displaystyle operatorname {E} [X]={frac {1}{lambda }}.}$

In light of the examples given below, this makes sense: if you receive phone calls at an average rate of 2 per hour, then you can expect to wait half an hour for every call.

The variance of X is given by

${displaystyle operatorname {Var} [X]={frac {1}{lambda ^{2}}},}$

so the standard deviation is equal to the mean.

The moments of X, for are given by

${displaystyle operatorname {E} left[X^{n}right]={frac {n!}{lambda ^{n}}}.}$

The central moments of X, for are given by

${displaystyle mu _{n}={frac {!n}{lambda ^{n}}}={frac {n!}{lambda ^{n}}}sum _{k=0}^{n}{frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

where !n is the subfactorial of n

The median of X is given by

${displaystyle operatorname {m} [X]={frac {ln(2)}{lambda }}<operatorname {E} [X],}$

where ln refers to the natural logarithm. Thus the absolute difference between the mean and median is

${displaystyle left|operatorname {E} left[Xright]-operatorname {m} left[Xright]right|={frac {1-ln(2)}{lambda }}<{frac {1}{lambda }}=operatorname {sigma } [X],}$

in accordance with the median-mean inequality.

Memorylessness property of exponential random variable[edit]

An exponentially distributed random variable T obeys the relation

This can be seen by considering the complementary cumulative distribution function:

${displaystyle {begin{aligned}Pr left(T>s+tmid T>sright)&={frac {Pr left(T>s+tcap T>sright)}{Pr left(T>sright)}}\[4pt]&={frac {Pr left(T>s+tright)}{Pr left(T>sright)}}\[4pt]&={frac {e^{-lambda (s+t)}}{e^{-lambda s}}}\[4pt]&=e^{-lambda t}\[4pt]&=Pr(T>t).end{aligned}}}$

When T is interpreted as the waiting time for an event to occur relative to some initial time, this relation implies that, if T is conditioned on a failure to observe the event over some initial period of time s, the distribution of the remaining waiting time is the same as the original unconditional distribution. For example, if an event has not occurred after 30 seconds, the conditional probability that occurrence will take at least 10 more seconds is equal to the unconditional probability of observing the event more than 10 seconds after the initial time.

The exponential distribution and the geometric distribution are the only memoryless probability distributions.

The exponential distribution is consequently also necessarily the only continuous probability distribution that has a constant failure rate.

Quantiles[edit]

The quantile function (inverse cumulative distribution function) for Exp(λ) is

${displaystyle F^{-1}(p;lambda )={frac {-ln(1-p)}{lambda }},qquad 0leq p<1}$

The quartiles are therefore:

first quartile: ln(4/3)/λ
median: ln(2)/λ
third quartile: ln(4)/λ

And as a consequence the interquartile range is ln(3)/λ.

Conditional Value at Risk (Expected Shortfall)[edit]

The conditional value at risk (CVaR) also known as the expected shortfall or superquantile for Exp(λ) is derived as follows:^[1]

${displaystyle {begin{aligned}{bar {q}}_{alpha }(X)&={frac {1}{1-alpha }}int _{alpha }^{1}q_{p}(X)dp\&={frac {1}{(1-alpha )}}int _{alpha }^{1}{frac {-ln(1-p)}{lambda }}dp\&={frac {-1}{lambda (1-alpha )}}int _{1-alpha }^{0}-ln(y)dy\&={frac {-1}{lambda (1-alpha )}}int _{0}^{1-alpha }ln(y)dy\&={frac {-1}{lambda (1-alpha )}}[(1-alpha )ln(1-alpha )-(1-alpha )]\&={frac {-ln(1-alpha )+1}{lambda }}\end{aligned}}}$

Buffered Probability of Exceedance (bPOE)[edit]

The buffered probability of exceedance is one minus the probability level at which the CVaR equals the threshold . It is derived as follows:^[1]

${displaystyle {begin{aligned}{bar {p}}_{x}(X)&={1-alpha |{bar {q}}_{alpha }(X)=x}\&={1-alpha |{frac {-ln(1-alpha )+1}{lambda }}=x}\&={1-alpha |ln(1-alpha )=1-lambda x}\&={1-alpha |e^{ln(1-alpha )}=e^{1-lambda x}}={1-alpha |1-alpha =e^{1-lambda x}}=e^{1-lambda x}end{aligned}}}$

Kullback–Leibler divergence[edit]

The directed Kullback–Leibler divergence in nats of ${displaystyle e^{lambda }}$ («approximating» distribution) from $e^{lambda_0}$ (‘true’ distribution) is given by

${displaystyle {begin{aligned}Delta (lambda _{0}parallel lambda )&=mathbb {E} _{lambda _{0}}left(log {frac {p_{lambda _{0}}(x)}{p_{lambda }(x)}}right)\&=mathbb {E} _{lambda _{0}}left(log {frac {lambda _{0}e^{lambda _{0}x}}{lambda e^{lambda x}}}right)\&=log(lambda _{0})-log(lambda )-(lambda _{0}-lambda )E_{lambda _{0}}(x)\&=log(lambda _{0})-log(lambda )+{frac {lambda }{lambda _{0}}}-1.end{aligned}}}$

Maximum entropy distribution[edit]

Among all continuous probability distributions with support [0, ∞) and mean μ, the exponential distribution with λ = 1/μ has the largest differential entropy. In other words, it is the maximum entropy probability distribution for a random variate X which is greater than or equal to zero and for which E[X] is fixed.^[2]

Distribution of the minimum of exponential random variables[edit]

Let X₁, …, X_n be independent exponentially distributed random variables with rate parameters λ₁, …, λ_n. Then

${displaystyle min left{X_{1},dotsc ,X_{n}right}}$

is also exponentially distributed, with parameter

${displaystyle lambda =lambda _{1}+dotsb +lambda _{n}.}$

This can be seen by considering the complementary cumulative distribution function:

${displaystyle {begin{aligned}&Pr left(min{X_{1},dotsc ,X_{n}}>xright)\={}&Pr left(X_{1}>x,dotsc ,X_{n}>xright)\={}&prod _{i=1}^{n}Pr left(X_{i}>xright)\={}&prod _{i=1}^{n}exp left(-xlambda _{i}right)=exp left(-xsum _{i=1}^{n}lambda _{i}right).end{aligned}}}$

The index of the variable which achieves the minimum is distributed according to the categorical distribution

${displaystyle Pr left(X_{k}=min{X_{1},dotsc ,X_{n}}right)={frac {lambda _{k}}{lambda _{1}+dotsb +lambda _{n}}}.}$

A proof can be seen by letting ${displaystyle I=operatorname {argmin} _{iin {1,dotsb ,n}}{X_{1},dotsc ,X_{n}}}$ . Then,

${displaystyle {begin{aligned}Pr(I=k)&=int _{0}^{infty }Pr(X_{k}=x)Pr(forall _{ineq k}X_{i}>x),dx\&=int _{0}^{infty }lambda _{k}e^{-lambda _{k}x}left(prod _{i=1,ineq k}^{n}e^{-lambda _{i}x}right)dx\&=lambda _{k}int _{0}^{infty }e^{-left(lambda _{1}+dotsb +lambda _{n}right)x}dx\&={frac {lambda _{k}}{lambda _{1}+dotsb +lambda _{n}}}.end{aligned}}}$

Note that

${displaystyle max{X_{1},dotsc ,X_{n}}}$

is not exponentially distributed, if X₁, …, X_n do not all have parameter 0.^[3]

Joint moments of i.i.d. exponential order statistics[edit]

Let ${displaystyle X_{1},dotsc ,X_{n}}$ be independent and identically distributed exponential random variables with rate parameter λ.
Let ${displaystyle X_{(1)},dotsc ,X_{(n)}}$ denote the corresponding order statistics.
For i<j , the joint moment ${displaystyle operatorname {E} left[X_{(i)}X_{(j)}right]}$ of the order statistics ${displaystyle X_{(i)}}$ and ${displaystyle X_{(j)}}$ is given by

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {E} left[X_{(i)}X_{(j)}right]&=sum _{k=0}^{j-1}{frac {1}{(n-k)lambda }}operatorname {E} left[X_{(i)}right]+operatorname {E} left[X_{(i)}^{2}right]\&=sum _{k=0}^{j-1}{frac {1}{(n-k)lambda }}sum _{k=0}^{i-1}{frac {1}{(n-k)lambda }}+sum _{k=0}^{i-1}{frac {1}{((n-k)lambda )^{2}}}+left(sum _{k=0}^{i-1}{frac {1}{(n-k)lambda }}right)^{2}.end{aligned}}}$

This can be seen by invoking the law of total expectation and the memoryless property:

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {E} left[X_{(i)}X_{(j)}right]&=int _{0}^{infty }operatorname {E} left[X_{(i)}X_{(j)}mid X_{(i)}=xright]f_{X_{(i)}}(x),dx\&=int _{x=0}^{infty }xoperatorname {E} left[X_{(j)}mid X_{(j)}geq xright]f_{X_{(i)}}(x),dx&&left({textrm {since}}~X_{(i)}=ximplies X_{(j)}geq xright)\&=int _{x=0}^{infty }xleft[operatorname {E} left[X_{(j)}right]+xright]f_{X_{(i)}}(x),dx&&left({text{by the memoryless property}}right)\&=sum _{k=0}^{j-1}{frac {1}{(n-k)lambda }}operatorname {E} left[X_{(i)}right]+operatorname {E} left[X_{(i)}^{2}right].end{aligned}}}$

The first equation follows from the law of total expectation.
The second equation exploits the fact that once we condition on ${displaystyle X_{(i)}=x}$ , it must follow that ${displaystyle X_{(j)}geq x}$ . The third equation relies on the memoryless property to replace ${displaystyle operatorname {E} left[X_{(j)}mid X_{(j)}geq xright]}$ with ${displaystyle operatorname {E} left[X_{(j)}right]+x}$ .

Sum of two independent exponential random variables[edit]

The probability distribution function (PDF) of a sum of two independent random variables is the convolution of their individual PDFs. If $X_{1}$ and $X_{2}$ are independent exponential random variables with respective rate parameters $lambda _{1}$ and then the probability density of ${displaystyle Z=X_{1}+X_{2}}$ is given by

${displaystyle {begin{aligned}f_{Z}(z)&=int _{-infty }^{infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(z-x_{1}),dx_{1}\&=int _{0}^{z}lambda _{1}e^{-lambda _{1}x_{1}}lambda _{2}e^{-lambda _{2}(z-x_{1})},dx_{1}\&=lambda _{1}lambda _{2}e^{-lambda _{2}z}int _{0}^{z}e^{(lambda _{2}-lambda _{1})x_{1}},dx_{1}\&={begin{cases}{dfrac {lambda _{1}lambda _{2}}{lambda _{2}-lambda _{1}}}left(e^{-lambda _{1}z}-e^{-lambda _{2}z}right)&{text{ if }}lambda _{1}neq lambda _{2}\[4pt]lambda ^{2}ze^{-lambda z}&{text{ if }}lambda _{1}=lambda _{2}=lambda .end{cases}}end{aligned}}}$

The entropy of this distribution is available in closed form: assuming $lambda _{1}>lambda _{2}$ (without loss of generality), then

${displaystyle {begin{aligned}H(Z)&=1+gamma +ln left({frac {lambda _{1}-lambda _{2}}{lambda _{1}lambda _{2}}}right)+psi left({frac {lambda _{1}}{lambda _{1}-lambda _{2}}}right),end{aligned}}}$

where gamma is the Euler-Mascheroni constant, and is the digamma function.^[4]

In the case of equal rate parameters, the result is an Erlang distribution with shape 2 and parameter which in turn is a special case of gamma distribution.

[edit]

If X ~ Laplace(μ, β⁻¹), then |X − μ| ~ Exp(β).
If X ~ Pareto(1, λ), then log(X) ~ Exp(λ).
If X ~ SkewLogistic(θ), then ${displaystyle log left(1+e^{-X}right)sim operatorname {Exp} (theta )}$ .
If X_i ~ U(0, 1) then

${displaystyle lim _{nto infty }nmin left(X_{1},ldots ,X_{n}right)sim operatorname {Exp} (1)}$
The exponential distribution is a limit of a scaled beta distribution:

${displaystyle lim _{nto infty }noperatorname {Beta} (1,n)=operatorname {Exp} (1).}$
Exponential distribution is a special case of type 3 Pearson distribution.
If X ~ Exp(λ) and X_i ~ Exp(λ_i) then:
- ${displaystyle kXsim operatorname {Exp} left({frac {lambda }{k}}right)}$ , closure under scaling by a positive factor.
- 1 + X ~ BenktanderWeibull(λ, 1), which reduces to a truncated exponential distribution.
- ke^X ~ Pareto(k, λ).
- e^−X ~ Beta(λ, 1).
- 1/ke^X ~ PowerLaw(k, λ)
- ${displaystyle {sqrt {X}}sim operatorname {Rayleigh} left({frac {1}{sqrt {2lambda }}}right)}$ , the Rayleigh distribution
- ${displaystyle Xsim operatorname {Weibull} left({frac {1}{lambda }},1right)}$ , the Weibull distribution
- ${displaystyle X^{2}sim operatorname {Weibull} left({frac {1}{lambda ^{2}}},{frac {1}{2}}right)}$
- μ − β log(λX) ∼ Gumbel(μ, β).
- ${displaystyle lfloor Xrfloor sim operatorname {Geometric} left(1-e^{-lambda }right)}$ , a geometric distribution on 0,1,2,3,…
- ${displaystyle lceil Xrceil sim operatorname {Geometric} left(1-e^{-lambda }right)}$ , a geometric distribution on 1,2,3,4,…
- If also Y ~ Erlang(n, λ) or ${displaystyle Ysim Gamma left(n,{frac {1}{lambda }}right)}$ then ${displaystyle {frac {X}{Y}}+1sim operatorname {Pareto} (1,n)}$
- If also λ ~ Gamma(k, θ) (shape, scale parametrisation) then the marginal distribution of X is Lomax(k, 1/θ), the gamma mixture
- λ₁X₁ − λ₂Y₂ ~ Laplace(0, 1).
- min{X₁, …, X_n} ~ Exp(λ₁ + … + λ_n).
- If also λ_i = λ then:
- If also X_i are independent, then:
- If also λ = 1:
- If also λ = 1/2 then X ∼ χ²
  ₂; i.e., X has a chi-squared distribution with 2 degrees of freedom. Hence:
  
  ${displaystyle operatorname {Exp} (lambda )={frac {1}{2lambda }}operatorname {Exp} left({frac {1}{2}}right)sim {frac {1}{2lambda }}chi _{2}^{2}Rightarrow sum _{i=1}^{n}operatorname {Exp} (lambda )sim {frac {1}{2lambda }}chi _{2n}^{2}}$
If ${displaystyle Xsim operatorname {Exp} left({frac {1}{lambda }}right)}$ and ~ Poisson(X) then ${displaystyle Ysim operatorname {Geometric} left({frac {1}{1+lambda }}right)}$ (geometric distribution)
The Hoyt distribution can be obtained from exponential distribution and arcsine distribution
The exponential distribution is a limit of the κ-exponential distribution in the case.
Exponential distribution is a limit of the κ-Generalized Gamma distribution in the and cases:

${displaystyle lim _{(alpha ,nu )to (0,1)}p_{kappa }(x)=(1+kappa nu )(2kappa )^{nu }{frac {Gamma {Big (}{frac {1}{2kappa }}+{frac {nu }{2}}{Big )}}{Gamma {Big (}{frac {1}{2kappa }}-{frac {nu }{2}}{Big )}}}{frac {alpha lambda ^{nu }}{Gamma (nu )}}x^{alpha nu -1}exp _{kappa }(-lambda x^{alpha })=lambda e^{-lambda x}}$

Other related distributions:

Hyper-exponential distribution – the distribution whose density is a weighted sum of exponential densities.
Hypoexponential distribution – the distribution of a general sum of exponential random variables.
exGaussian distribution – the sum of an exponential distribution and a normal distribution.

Statistical inference[edit]

Below, suppose random variable X is exponentially distributed with rate parameter λ, and are n independent samples from X, with sample mean .

Parameter estimation[edit]

The maximum likelihood estimator for λ is constructed as follows.

The likelihood function for λ, given an independent and identically distributed sample x = (x₁, …, x_n) drawn from the variable, is:

${displaystyle L(lambda )=prod _{i=1}^{n}lambda exp(-lambda x_{i})=lambda ^{n}exp left(-lambda sum _{i=1}^{n}x_{i}right)=lambda ^{n}exp left(-lambda n{overline {x}}right),}$

where:

${displaystyle {overline {x}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

is the sample mean.

The derivative of the likelihood function’s logarithm is:

${displaystyle {frac {d}{dlambda }}ln L(lambda )={frac {d}{dlambda }}left(nln lambda -lambda n{overline {x}}right)={frac {n}{lambda }}-n{overline {x}} {begin{cases}>0,&0<lambda <{frac {1}{overline {x}}},\[8pt]=0,&lambda ={frac {1}{overline {x}}},\[8pt]<0,&lambda >{frac {1}{overline {x}}}.end{cases}}}$

Consequently, the maximum likelihood estimate for the rate parameter is:

${displaystyle {widehat {lambda }}_{text{mle}}={frac {1}{overline {x}}}={frac {n}{sum _{i}x_{i}}}}$

This is not an unbiased estimator of although is an unbiased^[6] MLE^[7] estimator of and the distribution mean.

The bias of ${displaystyle {widehat {lambda }}_{text{mle}}}$ is equal to

${displaystyle Bequiv operatorname {E} left[left({widehat {lambda }}_{text{mle}}-lambda right)right]={frac {lambda }{n-1}}}$

which yields the bias-corrected maximum likelihood estimator

${displaystyle {widehat {lambda }}_{text{mle}}^{*}={widehat {lambda }}_{text{mle}}-B.}$

An approximate minimizer of mean squared error (see also: bias–variance tradeoff) can be found, assuming a sample size greater than two, with a correction factor to the MLE:

${displaystyle {widehat {lambda }}=left({frac {n-2}{n}}right)left({frac {1}{bar {x}}}right)={frac {n-2}{sum _{i}x_{i}}}}$

This is derived from the mean and variance of the inverse-gamma distribution, .^[8]

Fisher information[edit]

The Fisher information, denoted , for an estimator of the rate parameter lambda is given as:

${displaystyle {mathcal {I}}(lambda )=operatorname {E} left[left.left({frac {partial }{partial lambda }}log f(x;lambda )right)^{2}right|lambda right]=int left({frac {partial }{partial lambda }}log f(x;lambda )right)^{2}f(x;lambda ),dx}$

Plugging in the distribution and solving gives:

${displaystyle {mathcal {I}}(lambda )=int _{0}^{infty }left({frac {partial }{partial lambda }}log lambda e^{-lambda x}right)^{2}lambda e^{-lambda x},dx=int _{0}^{infty }left({frac {1}{lambda }}-xright)^{2}lambda e^{-lambda x},dx=lambda ^{-2}.}$

This determines the amount of information each independent sample of an exponential distribution carries about the unknown rate parameter lambda .

Confidence intervals[edit]

The 100(1 − α)% confidence interval for the rate parameter of an exponential distribution is given by:^[9]

${displaystyle {frac {2n}{{widehat {lambda }}chi _{1-{frac {alpha }{2}},2n}^{2}}}<{frac {1}{lambda }}<{frac {2n}{{widehat {lambda }}chi _{{frac {alpha }{2}},2n}^{2}}}}$

which is also equal to:

${displaystyle {frac {2n{overline {x}}}{chi _{1-{frac {alpha }{2}},2n}^{2}}}<{frac {1}{lambda }}<{frac {2n{overline {x}}}{chi _{{frac {alpha }{2}},2n}^{2}}}}$

where χ²
_p,v is the 100(p) percentile of the chi squared distribution with v degrees of freedom, n is the number of observations of inter-arrival times in the sample, and x-bar is the sample average. A simple approximation to the exact interval endpoints can be derived using a normal approximation to the χ²
_p,v distribution. This approximation gives the following values for a 95% confidence interval:

${displaystyle {begin{aligned}lambda _{text{lower}}&={widehat {lambda }}left(1-{frac {1.96}{sqrt {n}}}right)\lambda _{text{upper}}&={widehat {lambda }}left(1+{frac {1.96}{sqrt {n}}}right)end{aligned}}}$

This approximation may be acceptable for samples containing at least 15 to 20 elements.^[10]

Bayesian inference[edit]

The conjugate prior for the exponential distribution is the gamma distribution (of which the exponential distribution is a special case). The following parameterization of the gamma probability density function is useful:

${displaystyle operatorname {Gamma} (lambda ;alpha ,beta )={frac {beta ^{alpha }}{Gamma (alpha )}}lambda ^{alpha -1}exp(-lambda beta ).}$

The posterior distribution p can then be expressed in terms of the likelihood function defined above and a gamma prior:

${displaystyle {begin{aligned}p(lambda )&propto L(lambda )Gamma (lambda ;alpha ,beta )\&=lambda ^{n}exp left(-lambda n{overline {x}}right){frac {beta ^{alpha }}{Gamma (alpha )}}lambda ^{alpha -1}exp(-lambda beta )\&propto lambda ^{(alpha +n)-1}exp(-lambda left(beta +n{overline {x}}right)).end{aligned}}}$

Now the posterior density p has been specified up to a missing normalizing constant. Since it has the form of a gamma pdf, this can easily be filled in, and one obtains:

Here the hyperparameter α can be interpreted as the number of prior observations, and β as the sum of the prior observations.
The posterior mean here is:

${displaystyle {frac {alpha +n}{beta +n{overline {x}}}}.}$

Occurrence and applications[edit]

Occurrence of events[edit]

The exponential distribution occurs naturally when describing the lengths of the inter-arrival times in a homogeneous Poisson process.

The exponential distribution may be viewed as a continuous counterpart of the geometric distribution, which describes the number of Bernoulli trials necessary for a discrete process to change state. In contrast, the exponential distribution describes the time for a continuous process to change state.

In real-world scenarios, the assumption of a constant rate (or probability per unit time) is rarely satisfied. For example, the rate of incoming phone calls differs according to the time of day. But if we focus on a time interval during which the rate is roughly constant, such as from 2 to 4 p.m. during work days, the exponential distribution can be used as a good approximate model for the time until the next phone call arrives. Similar caveats apply to the following examples which yield approximately exponentially distributed variables:

The time until a radioactive particle decays, or the time between clicks of a Geiger counter
The time it takes before your next telephone call
The time until default (on payment to company debt holders) in reduced-form credit risk modeling

Exponential variables can also be used to model situations where certain events occur with a constant probability per unit length, such as the distance between mutations on a DNA strand, or between roadkills on a given road.

In queuing theory, the service times of agents in a system (e.g. how long it takes for a bank teller etc. to serve a customer) are often modeled as exponentially distributed variables. (The arrival of customers for instance is also modeled by the Poisson distribution if the arrivals are independent and distributed identically.) The length of a process that can be thought of as a sequence of several independent tasks follows the Erlang distribution (which is the distribution of the sum of several independent exponentially distributed variables).
Reliability theory and reliability engineering also make extensive use of the exponential distribution. Because of the memoryless property of this distribution, it is well-suited to model the constant hazard rate portion of the bathtub curve used in reliability theory. It is also very convenient because it is so easy to add failure rates in a reliability model. The exponential distribution is however not appropriate to model the overall lifetime of organisms or technical devices, because the «failure rates» here are not constant: more failures occur for very young and for very old systems.

Fitted cumulative exponential distribution to annually maximum 1-day rainfalls using CumFreq^[11]

In physics, if you observe a gas at a fixed temperature and pressure in a uniform gravitational field, the heights of the various molecules also follow an approximate exponential distribution, known as the Barometric formula. This is a consequence of the entropy property mentioned below.

In hydrology, the exponential distribution is used to analyze extreme values of such variables as monthly and annual maximum values of daily rainfall and river discharge volumes.^[12]

The blue picture illustrates an example of fitting the exponential distribution to ranked annually maximum one-day rainfalls showing also the 90% confidence belt based on the binomial distribution. The rainfall data are represented by plotting positions as part of the cumulative frequency analysis.

In operating-rooms management, the distribution of surgery duration for a category of surgeries with no typical work-content (like in an emergency room, encompassing all types of surgeries).

Prediction[edit]

Having observed a sample of n data points from an unknown exponential distribution a common task is to use these samples to make predictions about future data from the same source. A common predictive distribution over future samples is the so-called plug-in distribution, formed by plugging a suitable estimate for the rate parameter λ into the exponential density function. A common choice of estimate is the one provided by the principle of maximum likelihood, and using this yields the predictive density over a future sample x_n+1, conditioned on the observed samples x = (x₁, …, x_n) given by

${displaystyle p_{rm {ML}}(x_{n+1}mid x_{1},ldots ,x_{n})=left({frac {1}{overline {x}}}right)exp left(-{frac {x_{n+1}}{overline {x}}}right)}$

The Bayesian approach provides a predictive distribution which takes into account the uncertainty of the estimated parameter, although this may depend crucially on the choice of prior.

A predictive distribution free of the issues of choosing priors that arise under the subjective Bayesian approach is

${displaystyle p_{rm {CNML}}(x_{n+1}mid x_{1},ldots ,x_{n})={frac {n^{n+1}left({overline {x}}right)^{n}}{left(n{overline {x}}+x_{n+1}right)^{n+1}}},}$

which can be considered as

a frequentist confidence distribution, obtained from the distribution of the pivotal quantity ${x_{n+1}}/{overline{x}}$ ;^[13]
a profile predictive likelihood, obtained by eliminating the parameter λ from the joint likelihood of x_n+1 and λ by maximization;^[14]
an objective Bayesian predictive posterior distribution, obtained using the non-informative Jeffreys prior 1/λ;
the Conditional Normalized Maximum Likelihood (CNML) predictive distribution, from information theoretic considerations.^[15]

The accuracy of a predictive distribution may be measured using the distance or divergence between the true exponential distribution with rate parameter, λ₀, and the predictive distribution based on the sample x. The Kullback–Leibler divergence is a commonly used, parameterisation free measure of the difference between two distributions. Letting Δ(λ₀||p) denote the Kullback–Leibler divergence between an exponential with rate parameter λ₀ and a predictive distribution p it can be shown that

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {E} _{lambda _{0}}left[Delta (lambda _{0}parallel p_{rm {ML}})right]&=psi (n)+{frac {1}{n-1}}-log(n)\operatorname {E} _{lambda _{0}}left[Delta (lambda _{0}parallel p_{rm {CNML}})right]&=psi (n)+{frac {1}{n}}-log(n)end{aligned}}}$

where the expectation is taken with respect to the exponential distribution with rate parameter λ₀ ∈ (0, ∞), and ψ( · ) is the digamma function. It is clear that the CNML predictive distribution is strictly superior to the maximum likelihood plug-in distribution in terms of average Kullback–Leibler divergence for all sample sizes n > 0.

Random variate generation[edit]

A conceptually very simple method for generating exponential variates is based on inverse transform sampling: Given a random variate U drawn from the uniform distribution on the unit interval (0, 1), the variate

${displaystyle T=F^{-1}(U)}$

has an exponential distribution, where F⁻¹ is the quantile function, defined by

${displaystyle F^{-1}(p)={frac {-ln(1-p)}{lambda }}.}$

Moreover, if U is uniform on (0, 1), then so is 1 − U. This means one can generate exponential variates as follows:

${displaystyle T={frac {-ln(U)}{lambda }}.}$

Other methods for generating exponential variates are discussed by Knuth^[16] and Devroye.^[17]

A fast method for generating a set of ready-ordered exponential variates without using a sorting routine is also available.^[17]

References[edit]

^ ^a ^b Norton, Matthew; Khokhlov, Valentyn; Uryasev, Stan (2019). «Calculating CVaR and bPOE for common probability distributions with application to portfolio optimization and density estimation» (PDF). Annals of Operations Research. Springer. 299 (1–2): 1281–1315. doi:10.1007/s10479-019-03373-1. Retrieved 2023-02-27.
^ Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). «Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model» (PDF). Journal of Econometrics. Elsevier. 150 (2): 219–230. doi:10.1016/j.jeconom.2008.12.014. Archived from the original (PDF) on 2016-03-07. Retrieved 2011-06-02.
^ Michael, Lugo. «The expectation of the maximum of exponentials» (PDF). Archived from the original (PDF) on 20 December 2016. Retrieved 13 December 2016.
^ Eckford, Andrew W.; Thomas, Peter J. (2016). «Entropy of the sum of two independent, non-identically-distributed exponential random variables». arXiv:1609.02911 [cs.IT].
^ Ibe, Oliver C. (2014). Fundamentals of Applied Probability and Random Processes (2nd ed.). Academic Press. p. 128. ISBN 9780128010358.
^ Richard Arnold Johnson; Dean W. Wichern (2007). Applied Multivariate Statistical Analysis. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-187715-3. Retrieved 10 August 2012.
^ NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods
^ Elfessi, Abdulaziz; Reineke, David M. (2001). «A Bayesian Look at Classical Estimation: The Exponential Distribution». Journal of Statistics Education. 9 (1). doi:10.1080/10691898.2001.11910648.
^ Ross, Sheldon M. (2009). Introduction to probability and statistics for engineers and scientists (4th ed.). Associated Press. p. 267. ISBN 978-0-12-370483-2.
^ Guerriero, V. (2012). «Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics». Journal of Modern Mathematics Frontier. 1: 21–28.
^ «Cumfreq, a free computer program for cumulative frequency analysis».
^ Ritzema, H.P., ed. (1994). Frequency and Regression Analysis. Chapter 6 in: Drainage Principles and Applications, Publication 16, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. pp. 175–224. ISBN 90-70754-33-9.
^ Lawless, J. F.; Fredette, M. (2005). «Frequentist predictions intervals and predictive distributions». Biometrika. 92 (3): 529–542. doi:10.1093/biomet/92.3.529.
^ Bjornstad, J.F. (1990). «Predictive Likelihood: A Review». Statist. Sci. 5 (2): 242–254. doi:10.1214/ss/1177012175.
^ D. F. Schmidt and E. Makalic, «Universal Models for the Exponential Distribution», IEEE Transactions on Information Theory, Volume 55, Number 7, pp. 3087–3090, 2009 doi:10.1109/TIT.2009.2018331
^ Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison–Wesley. ISBN 0-201-89684-2. See section 3.4.1, p. 133.
^ ^a ^b Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. See chapter IX, section 2, pp. 392–401.

External links[edit]

«Exponential distribution», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Online calculator of Exponential Distribution

Источник

Содержание:

Показательное распределение
Задача с решением

Во многих теоретических и практических вероятностных задачах, связанных, например, с анализом надежности технических систем, исследовании случайных промежутков времени между редкими событиями и др., используется показательный (экспоненциальный) закон распределения.

Показательный закон распределения непрерывной случайной величины описывается плотностью вида

Здесь — постоянный коэффициент, определяющий как начальное значение плотности вероятности так и темп изменения в зоне определения аргумента.

В соответствии с определением (4.6) найдем функцию распределения показательного закона:

Функция распределения (5.27) имеет характер восходящей экспоненты, которая стремится к 1 при и имеет нулевое начальное значение.

Вероятность попадания экспоненциально распределенной случайной величины заданный интервал на основании (4.11), (5.27) равна:

Определим теперь числовые характеристики показательного распределения.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

На основании (4.19) математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью (5.26) равно:

Применяя к (5.29) интегрирование по частям при получим:

Для получения дисперсии воспользуемся выражением (4.29):

Интегрирование по частям позволяет преобразовать это выражение к виду:

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия экспоненциально распределенной случайной величины определяются обратной величиной и квадратом обратной величины параметра При этом значения и средне-квадратического отклонения совпадают.

Легко убедиться в том, что и моменты высших порядков также являются функциями от Выполненные преобразования позволяют записать выражения для следующих интегралов:

которые могут быть использованы для нахождения значений первых четырех начальных моментов показательного распределения. Согласно (4.37) эти значения равны:

Из (5.32) следует, что начальный момент показательного распределения сеть отношение факториала степени

Центральные моменты показательного распределения могут быть получены с помощью выражений (4.41), связывающих центральные и начальные моменты. Применяя (5.32) к (4.41), получим

Значения центральных моментов (5.33) позволяют найти коэффициенты асимметрии (4.32) и эксцесса (4.33):

Возможно вам будут полезны данные страницы:

В среде Mathcad показательному закону распределения соответствуют встроенные функции, в названии имеющие корневое слово и начинающиеся с символов

— выводит значения плотности распределения

— выводит значения функции распределения

— выводит значение квантили порядка

— выводит массив (вектор-столбсц) из значений экспоненциально распределенных независимых случайных чисел с параметром На рис. 5.4 приведены плотности и функции показательного распределения для (плотность и функция распределения

Рис. 5.4. Вид плотностей и функции показательного распределения

Плотность (5.26) имеет характер ниспадающей кривой (экспоненты), асимптотически приближающейся к оси Начальное значение равно (см. рис. 5.4). В практических приложениях можно считать, что «достигает» установившегося значения (нуля) при

Функция показательного распределения практически достигает установившегося значения (единицы) также при

Показательное распределение

В этом подразделе будет рассмотрено показательное распределением времени , которое встречается, когда имеют дело с распределением времени совершенно случайных событий.

Задача с решением

Найти закон распределения времени перегорания лампочки, если вероятность ее перегорания не зависит от предыдущей работы лампочки, а зависит только от будущей работы.

Решение:

Введем обозначение событий:

— лампочка не перегорела до момента времени вероятность того, что лампочка не перегорела до момента времени

лампочка перегорит в следующие единиц времени;

лампочка перегорит в промежуток времени

Очевидно, что

Пусть время замены лампочки. Очевидно, что момент перегорания лампочки может быть абсолютно произвольным, начиная с некоторого момента начала отсчета времени: сделаем его равным нулю.

Таким образом, Тогда . Обозначим ее функцию распределения а плотность вероятности — С учетом возможности произвольного выбора начала отсчета Поэтому далее будем рассматривать плотность вероятности и функцию распределения только при

Тогда

При малых вероятность должна быть пропорциональна самому интервалу, т.е.

Разделим части уравнения на и вычислим предел при

Вспомнив, что получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

которое легко интегрируется: Постоянную интефирования найдем из условия Тогда и получим

Итак, показательным (экспоненциальным) называют распределение непрерывной случайной величины которое описывается функцией распределения: Тогда плотность вероятности показательного распределения равна

где — постоянная положительная величина.

Графики плотности вероятности (рис. 2.13, и функции распределения (рис. 2.13, б) приведены на рис. 2.13.

Показательное распределение, обозначаемое широко применяется в приложениях, в частности, в теории надежности,

одним из основных понятий которой является функция надежности.

Также закон показательного распределения используется в системах массового обслуживания.

В частности, по показательному закону изменяется промежуток времени между двумя последовательными событиями или соседними заявками для простейших потоков в теории массового обслуживания (см. подразд. 2.4).

Пусть непрерывная случайная величина распределена по показательному закону. Найдем ее математическое ожидание:

Таким образом, математическое ожидание показательного распределения равно величине, обратной параметру Поэтому, если переменная время некоего процесса, то имеет смысл времени релаксации этого процесса, когда плотность вероятности уменьшается в раз. Тогда вероятность, что событие произойдет (например, лампочка перегорит) за время равна

Найдем дисперсию:

откуда

Получили, что показательное распределение определяется всего одним параметром

Действительно, замеченная нами особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и в математической статистике приходится находить их оценки (приближенные значения). Очевидно, проще оценить один параметр, чем два, три и т.д.

Найдем вероятность попадания распределенной по показательному закону, на интервал Воспользуемся общей формулой вероятности попадания на заданный интервал:

Тогда имеем

Лекции:

Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие о методе Рунге—Кутта
Усеченный конус. Поверхность усеченного конус
Функция Лагранжа
Признак Даламбера. Признак Коши. Критерий Коши сходимости ряда
Решение дифференциальных уравнений
Формула Ньютона-Лейбница
Найти первую и вторую производные функции
Производная котангенса: пример решения
Дифференцируемая функция: пример решения
Действия над матрицами

Источник

Показательное распределение

Краткая теория

Числовые характеристики показательного (экспоненциального) распределения

Примеры решения задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Задачи контрольных и самостоятельных работ

29) Показательное распределение. Дисперсия.

30) Функции случайных величин. Примеры.

Показательное распределение

Функция показательного распределения

Вероятность попадания случайной величины при показательном распределении

Пример задачи на показательное распределение

Definitions[edit]

Probability density function[edit]

Cumulative distribution function[edit]

Alternative parametrization[edit]

Properties[edit]

Mean, variance, moments, and median[edit]

Memorylessness property of exponential random variable[edit]

Quantiles[edit]

Conditional Value at Risk (Expected Shortfall)[edit]

Buffered Probability of Exceedance (bPOE)[edit]

Kullback–Leibler divergence[edit]

Maximum entropy distribution[edit]

Distribution of the minimum of exponential random variables[edit]

Joint moments of i.i.d. exponential order statistics[edit]

Sum of two independent exponential random variables[edit]

[edit]

Statistical inference[edit]

Parameter estimation[edit]

Fisher information[edit]

Confidence intervals[edit]

Bayesian inference[edit]

Occurrence and applications[edit]

Occurrence of events[edit]

Prediction[edit]

Random variate generation[edit]

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

Показательное распределение

Задача с решением