Как найти дисперсию в задаче

Как найти дисперсию?

Дисперсия — это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая — значения сравнительно близки друг к другу, если большая — далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).

Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии — среднеквадратическое отклонение $sigma(X)=sqrt{D(X)}$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.

Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: «Дисперсия — это второй центральный момент случайной величины» (напомним, что первый начальный момент — это как раз математическое ожидание).

Формула дисперсии случайной величины

Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле:
$$
D(X)=M(X-M(X))^2,
$$
которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$

Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.

Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$), то формула принимает вид:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2.
$$
Если же речь идет о непрерывной случайной величине (заданной плотностью вероятностей $f(x)$ в общем случае), формула дисперсии Х выглядит следующим образом:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx — left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$

Пример нахождения дисперсии

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить и сравнить дисперсию двух законов распределения:
$$
x_i quad 1 quad 2 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$
и
$$
y_i quad -10 quad 10 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$

Для убедительности и наглядности расчетов мы взяли простые распределения с двумя значениями и одинаковыми вероятностями. Но в первом случае значения случайной величины расположены рядом (1 и 2), а во втором — дальше друг от друга (-10 и 10). А теперь посмотрим, насколько различаются дисперсии:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2 =\
= 1^2cdot 0.5 + 2^2 cdot 0.5 — (1cdot 0.5 + 2cdot 0.5)^2=2.5-1.5^2=0.25.
$$
$$
D(Y)=sum_{i=1}^{n}{y_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{y_i cdot p_i} right)^2 =\
= (-10)^2cdot 0.5 + 10^2 cdot 0.5 — (-10cdot 0.5 + 10cdot 0.5)^2=100-0^2=100.
$$
Итак, значения случайных величин различались на 1 и 20 единиц, тогда как дисперсия показывает меру разброса в 0.25 и 100. Если перейти к среднеквадратическому отклонению, получим $sigma(X)=0.5$, $sigma(Y)=10$, то есть вполне ожидаемые величины: в первом случае значения отстоят в обе стороны на 0.5 от среднего 1.5, а во втором — на 10 единиц от среднего 0.

Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной дискретным рядом распределения:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Снова используем формулу для дисперсии дискретной случайной величины:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$
В случае, когда значений много, удобно разбить вычисления по шагам. Сначала найдем математическое ожидание:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Потом математическое ожидание квадрата случайной величины:
$$
M(X^2)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}
= (-1)^2cdot 0.1 + 2^2 cdot 0.2 +5^2cdot 0.3 +10^2cdot 0.3+20^2cdot 0.1=78.4.
$$
А потом подставим все в формулу для дисперсии:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=78.4-6.8^2=32.16.
$$
Дисперсия равна 32.16 квадратных единиц.

Пример 3. Найти дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины Х, заданному плотностью $f(x)=x/18$ при $x in(0,6)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для расчета формулу дисперсии непрерывной случайной величины:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx — left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$
Вычислим сначала математическое ожидание:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x^2}{18} dx =
left.frac{x^3}{54} right|_0^6=frac{6^3}{54} = 4.
$$
Теперь вычислим
$$
M(X^2)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x^3}{18} dx = left.frac{x^4}{72} right|_0^6=frac{6^4}{72} = 18.
$$
Подставляем:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=18-4^2=2.
$$
Дисперсия равна 2.

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление дисперсии онлайн

Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку «Вычислить».
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$ и затем искомое значение дисперсии $D(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала — еще примеры решений задач по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Имеются данные о распределении семей сотрудников финансовой корпорации по количеству детей:

Вычислить:

а) внутригрупповые дисперсии;

б) среднюю из внутригрупповых дисперсий;

в) межгрупповую дисперсию;

г) общую дисперсию;

Проверьте правильность произведения расчётов с помощью правила сложения дисперсий.

Решение:

Совокупность семей сотрудников финансовой корпорации разбита на три группы по количеству детей.

а) Групповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы. Внутригрупповые дисперсии вычисляются по формуле:

Нахождению внутригрупповой дисперсии предшествует расчёт средней арифметической по каждой группе.

Рассчитаем внутригрупповые дисперсии:

б) Средняя из внутригрупповых дисперсий – это средняя арифметическая взвешенная из дисперсий групповых:

в) Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней:

Для её расчета необходимо вычислить общую среднюю:

Определим межгрупповую дисперсию:

Вычислим общую дисперсию обычным способом:

Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию по правилу сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

Вычисление дисперсии

Теорема.
Дисперсия
равна разности между математическим
ожиданием квадрата случайной величины


и квадратом ее математического ожидания.

Доказательство.
С учетом того, что математическое
ожидание
и квадрат математического ожидания– величины постоянные, можно записать:

Применим
эту формулу для рассмотренного
выше примера:

	0	1	2
	0	1	4
	0,0625	0,375	0,5625

Свойства дисперсии

1. Дисперсия
   постоянной величины равна нулю.

2.
Постоянный множитель можно выносить
за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3.
Дисперсия суммы двух независимых
случайных величин равна сумме дисперсий
этих величин.

4.
Дисперсия разности двух независимых
случайных величин равна сумме дисперсий
этих величин.

Справедливость
этого равенства вытекает из свойства
2.

Теорема.
Дисперсия
числа появления события

в

независимых испытаний, в каждом из
которых вероятность

появления события постоянна, равна
произведению числа испытаний на
вероятности появления и не появления
события в каждом испытании.

Среднее квадратическое отклонение

Определение.
Средним
квадратическим отклонением
случайной
величины Х называется квадратный корень
из дисперсии.

Теорема.
Среднее
квадратичное отклонение суммы конечного
числа взаимно независимых случайных
величин равно квадратному корню из
суммы квадратов средних квадратических
отклонений этих величин.

Пример
18. Завод
выпускает 96% изделий первого сорта и 4%
изделий второго сорта. Наугад выбирают
1000 изделий. Пусть
– число изделий первого сорта в данной
выборке. Найти закон распределения,
математическое ожидание и дисперсию
случайной величины.

 Выбор
каждого из 1000 изделий можно считать
независимым испытанием, в котором
вероятность появления изделия первого
сорта одинакова и равна р
= 0,96.

Таким
образом, закон распределения может
считаться биноминальным.



Пример
19. Найти
дисперсию дискретной случайной величины
– числа появлений событияв двух независимых испытаниях, если
вероятности появления этого события в
каждом испытании равны и известно, что.

 Так
как случайная величина
распределена по биноминальному закону,
то



Функция распределения

Во
всех рассмотренных выше случаях случайная
величина определялась путем задания
значений самой величины и вероятностей
этих значений.

Однако,
такой метод применим далеко не всегда.
Например, в случае непрерывной случайной
величины, ее значения могут заполнять
некоторый произвольный интервал.
Очевидно, что в этом случае задать все
значения случайной величины просто
нереально.

Даже
в случае, когда это сделать можно,
зачастую задача решается чрезвычайно
сложно. Рассмотренный только что пример
даже при относительно простом условии
(приборов только четыре) приводит к
достаточно неудобным вычислениям, а
если в задаче будет несколько сотен
приборов?

Поэтому
встает задача по возможности отказаться
от индивидуального подхода к каждой
задаче и найти по возможности наиболее
общий способ задания любых типов
случайных величин.

Пусть
х
– действительное число. Вероятность
события, состоящего в том, что
примет значение, меньшеех,
то есть
,
обозначим через.

Определение.
Функцией
распределения
называют функцию
,
определяющую вероятность того, что
случайная величинав результате испытания примет значение,
меньшеех.

Функцию
распределения также называют интегральной
функцией.

Функция
распределения существует как для
непрерывных, так и для дискретных
случайных величин. Она полностью
характеризует случайную величину и
является одной из форм закона распределения.

Для
дискретной случайной величины функция
распределения имеет вид:

Знак
неравенства под знаком суммы показывает,
что суммирование распространяется на
те возможные значения случайной величины,
которые меньше аргумента х.

Функция
распределения дискретной случайной
величины
разрывна и возрастает скачками при
переходе через каждое значениех_i.

Пример
20. Задана
интегральная функция распределения:

Построить
ее график.





Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Была ли эта статья полезной?