Как найти длину перпендикуляра
Строго говоря, перпендикуляром называют прямую, которая пересекает заданную линию под углом в 90°. Прямая бесконечна по определению, поэтому говорить о длине перпендикуляра неправильно. Говоря так, обычно имеют в виду расстояние между двумя точками, лежащими на перпендикуляре. Например, между заданной точкой и ее нормальной проекцией на плоскость или между точкой в пространстве и точкой пересечения перпендикуляра, опущенного из нее, с прямой линией.
Необходимость рассчитать длину перпендикуляра может возникнуть, если он опущен из точки с указанными в условиях координатами A(X₁;Y₁) на прямую, заданную уравнением a*X + b*Y + C = 0. В этом случае сначала подставьте координаты точки в уравнение прямой и рассчитайте абсолютное значение левой части тождества: |a*X₁ + b*Y₁ + C|. Например, при координатах точки A(15;-17) и уравнении прямой 3*X + 4*Y + 140 = 0 результатом этого шага должно стать число |3*15 + 4*(-17) + 140| = |45-61+140| = 124.
Рассчитайте нормирующий множитель. Это дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — квадратный корень из суммы квадратов множителей по обеим координатным осям из уравнения прямой: 1/√(X²+Y²). Для использованного выше примера величина нормирующего множителя должна быть равна 1/√(3²+4²) = 1/√25 = 0,2.
Приведите уравнение прямой к нормальному виду — умножьте обе части равенства на нормирующий множитель. В общем виде результат должен выглядеть так: (a*X+b*Y+C)/√(X²+Y²) = 0. Левая часть этого уравнения и определяет длину перпендикуляра в общем виде: d = (a*X+b*Y+C)/√(X²+Y²). А в практических расчетах просто перемножьте полученное на первом шаге число и рассчитанный на втором шаге коэффициент. Для примера из первого шага ответом должно стать число 124*0,2=24,8 — такова длина перпендикулярного линии отрезка, соединяющего ее с заданной точкой.
Для нахождения длины перпендикуляра, опущенного из точки с известными трехмерными координатами A(X₁;Y₁;Z₁) на плоскость, заданную уравнением a*X + b*Y + c*Z + D = 0 используйте такую же последовательность операций. В этом случае под знак радикала в нормирующем множителе добавится третье слагаемое √(X²+Y²+Z²), как и в числитель дроби формулы, определяющей длину перпендикуляра в общем виде: d = (a*X+b*Y+c*Z+D)/√(X²+Y²+Z²).
Простейшие расстояния на плоскости
Расстояние – это длина, на которую объекты удалены друг от друга.
Чтобы измерить длину или расстояние используют различные измерительные приборы: линейку, рулетку, ленты и даже лазерные дальномеры. Все они показывают, как далеко находится один объект до другого. Длина всегда измеряется в определенных величинах: миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах, километрах.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ:
1. Представим тетрадный лист в клетку. Мы знаем, что длина и ширина каждой клетки равна 5 мм или половине сантиметра (5мм х 5мм). Попробуем найти расстояние между двумя точками:
Проведем отрезок между этими точками. Этот отрезок проходит 5 клеток. Каждая клетка = 5 мм.
Значит расстояние между точками равно длине отрезка, заключенного между ними:
(5мм bullet 5 = 25мм).
2. Добавим еще две точки на наш лист в клетку и посчитаем расстояние между ними:
Расстояние между этими двумя точками (5мм bullet 2 = 10мм). Теперь мы можем сравнить расстояния до разных точек, зная их длину:
(25мм > 10мм)
Значит расстояние между оранжевыми точками больше, чем расстояние между серыми.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПРЯМОЙ:
Теперь рассмотрим на клетчатой бумаге, клетки которой равны 1см х 1 см точку и прямую линию:
Найдем расстояние между точкой и прямой. Таким расстоянием будет являться наикратчайшее расстояние.
Наикратчайшее расстояние – это перпендикуляр, проведенный между двумя точками.
Это значит, что расстоянием между точкой и прямой будет длина перпендикуляра между ними.
Перпендикуляр – это отрезок, проходящий под прямым углом к чему-либо.
Теперь если мы посчитаем длину перпендикуляра – найдем расстояние между прямой и точкой:
(1см bullet 3 = 3см)
Длины каких отрезков НЕ будут являться расстоянием между прямой и точкой:
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ:
Длина любого перпендикуляра между двумя параллельными прямыми везде одинакова, поэтому, чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, можно взять любой перпендикуляр между ними и измерить его длину:
Проведем перпендикуляр между прямыми:
Длина перпендикуляра между прямыми будет равна
расстоянию между ними, т.к. перпендикуляр – кратчайшее расстояние:
(1см bullet 5 = 5см)
Длины каких отрезков НЕ будут являться расстоянием между параллельными прямыми:
План урока:
Понятие перпендикуляра
Расстояния между плоскостями и прямыми
Теорема о трех перпендикулярах
Угол между прямой и плоскостью
Задачи на перпендикуляры, наклонные, расстояния
Понятие перпендикуляра
Пусть есть некоторая плоскость α и точка М в пространстве, не лежащая на α. Проведем через М прямую, перпендикулярную α. Она пересечет α в какой-нибудь точке К. Отрезок МК именуют перпендикуляром к плоскости α.
Если через М мы проведем ещё одну прямую, пересекающую α, то она пересечет α в какой-нибудь точке Н. В результате мы получим прямоугольный ∆МНК:
Запомним некоторые геометрические термины. В таком построении:
- отрезок МН – это наклонная;
- отрезок НК – это проекция наклонной, или просто проекция;
- К – основание перпендикуляра;
- Н – основание наклонной.
Заметим, что в ∆МНК отрезок МН – это гипотенуза, а МК – это катет. Напомним, что катет всегда меньше гипотенузы. Отсюда вытекает вывод – длина перпендикуляра всегда меньше длины наклонной (конечно, если они проведены из одной точки).
Это значит, что из всех отрезков, которыми можно соединить точку и плоскость, именно перпендикуляр будет кратчайшим. Поэтому его называют расстоянием между точкой и плоскостью.
Расстояния между плоскостями и прямыми
Докажем довольно очевидный факт:
Действительно, пусть α и β – параллельные плоскости. Выберем на α произвольные точки М и Р, а далее опустим перпендикуляры из точек М и Р на β, которые пересекут β в точках Н и К соответственно:
Так как МН и РК перпендикулярны плоскости α, то они параллельны. Но также и α||β. Тогда, по теореме 12 из этого урока, отрезки МН и РК одинаковы, ч. т. д.
Этот факт позволяет ввести понятия расстояния между параллельными плоскостями.
Уточним, что если плоскости пересекаются, то расстояние между ними не может быть определено.
Далее рассмотрим случай с плоскостью α и параллельной ей прямой m. Оказывается, и в этом случае точки прямой равноудалены от плоскости.
Действительно, отметим на m произвольную точку К. Далее через K проведем такую плоскость β, что α||β. Так как точки β равноудалены от α, то нам достаточно показать, что m будет полностью принадлежать β:
Так как m и β уже имеют общую точку K, то они m либо пересекает β, либо лежит в ней. Будем рассуждать от противного и предположим, что m и β пересекаются. Так как m||α, то в α можно построить прямую n, параллельную m. Если m пересекает β, то и nтакже должна ее пересекать (по теореме 3 из этого урока). Но если n пересекает β, то точка их пересечения будет одновременно принадлежать и β, и α. То есть у этих плоскостей будет общая точка. Но α и β параллельны и потому не могут иметь общих точек. Значит, на самом деле m и β НЕ пересекаются. Остается один вариант – m принадлежит β, ч. т. д.
Из этой теоремы вытекает понятие расстояния между прямой и плоскостью.
Уточним, что если плоскость и прямая не параллельны, то расстояние между ними определить нельзя.
Осталось понять, как определять расстояние между прямыми в пространстве. Для параллельных прямых определение расстояния известно ещё из курса планиметрии. Естественно, что для пересекающихся прямых расстояние определить невозможно. Остается только случай скрещивающихся прямых.
Пусть прямые m и n скрещиваются. Тогда через n можно построить плоскость α, параллельную m. И наоборот, через m возможно провести плоскость β, параллельную n:
Далее опустим из какой-нибудь точки m перпендикуляр на α. Обозначим этот перпендикуляр как р. Тогда через пересекающиеся прямые m и р можно провести единственную плоскость γ:
Заметим, что плоскости α и γ обязательно пересекутся по некоторой прямой m’, причем m’||m. Действительно, m’ и m не могут скрещиваться, ведь они находятся в одной плоскости γ. Не могут они и пересекаться, ведь в противном случае точка их пересечения была бы общей для m и α, а они параллельны и общих точек не имеют.
Также заметим, что прямые n и m’ пересекаются, ведь они располагаются в одной плоскости α. Параллельными они быть не могут, ведь тогда по свойству транзитивности параллельности получилось бы, что и n||m, а это не так. Обозначим точку пересечения n и m’ буквой K.
Далее через K в плоскости γ проведем прямую р’, параллельную р:
Теперь начнем рассуждения. Если р⊥α, то также р⊥m’. Так как р’||р, то и р’⊥m’, ведь прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, будет перпендикулярна и второй прямой. По этому же правилу из того факта, что m’||m и р’⊥m’ вытекает, что и m⊥р’. Наконец, если р⊥α, то р⊥n. Для ясности отметим все найденные нами прямые углы на рисунке:
В итоге получилось, что отрезок HK перпендикулярен и n, и m. По этой причине его называют общим перпендикуляром к прямым n и m. Именно он и считается расстоянием между скрещивающимися прямыми m и n.
Отдельно отметим, что HK – это ещё и общий перпендикуляр к α и β. Понятно, что так как р⊥α и р’||р, то и р’⊥α, то есть HK – перпендикуляр к α.
Теперь через точку H проведем прямую n’, параллельную n. Так как β||n, то n’ будет находиться в β (по теор. 6 в этом уроке).
Раз n||n’ и р’⊥n, то и р’⊥n’. Тогда получается, что в β есть сразу две пересекающихся прямых (это m и n’), которые перпендикулярны р’. Поэтому можно утверждать, что р’⊥β, то есть HK– перпендикуляр к β.
Отсюда сразу вытекает ещё один важный вывод – плоскости α и β параллельны, так как имеют общий перпендикуляр.
Итак, мы показали, что общий перпендикуляр можно построить для любых двух скрещивающихся прямых. Но можно построить ещё один такой перпендикуляр? Нельзя, и это можно показать.
Сначала заметим, что второй перпендикуляр нельзя провести через точку К, ведь в таком случае получалось бы, что к m проведены два различных перпендикуляра из одной и той же точки, что невозможно. Аналогично перпендикуляр не может проходить и через Н.
Предположим тогда, что второй перпендикуляр проходит через точки С и D, причем С находится на m, а D находится на n. То есть CD⊥m и СD⊥n:
Проведем через С прямую n’’, параллельную n. Раз СD⊥n и n||n’’, то и СD⊥n’’. При этом n’’ находится в β (это доказывается также, как и в случае с n’). Тогда получается, что в β есть две прямые, n’’ и m, каждая из которых перпендикулярна СD, и при этом n’’ и m пересекаются. Тогда CD⊥β. Из этого вытекает, что СD и HK параллельны, а потому через них можно провести плоскость δ. Этой плоскости будут принадлежать точки С, H, К и D. Но тогда в этой плоскости должны находиться прямые m и n, ведь они имеют с ней по две общих точки. Но m и n – скрещивающиеся прямые, то есть они никак не могут находиться в одной плоскости. Это противоречие означает, что второй общий перпендикуляр CD не существует.
Итак, из всех наших рассуждений мы можем сделать следующие выводы:
Теорема о трех перпендикулярах
Сформулируем важное утверждение, которое называют теоремой о трех перпендикулярах.
Проиллюстрируем теорему с помощью картинки:
Доказательство этой теоремы очень простое. Так как МК⊥α, то также МК⊥m. Теперь рассмотрим расположение плоскости МНК и прямой m. МК⊥m и HK⊥m. Тогда по признаку перпендикулярности можно утверждать, что m перпендикулярна всей плоскости HM, то есть каждой находящейся в ней прямой. В частности, m⊥HK, ч. т. д.
Оказывается, верно и обратное утверждение (так называемая обратная теорема о трех перпендикулярах):
Доказательство аналогично предыдущему. Так как m⊥MH и m⊥MK, то m⊥HMK. Отсюда вытекает, что и m⊥HK.
Угол между прямой и плоскостью
Проекция наклонной позволяет ввести такое понятие, как угол между прямой и плоскостью.
Пусть надо определить угол между прямой HM и плоскостью α:
Здесь надо просто построить перпендикуляр МК. В результате появится отрезок HK– проекция HM на α. Тогда угол между HM и HK, то есть ∠MHK, как раз и будет углом между HM и α.
Однако не всегда таким образом можно построить проекцию прямой. Проблемы возникнут, если прямая либо параллельна, либо перпендикулярна плоскости. В таких случаях используются такие правила:
Задачи на перпендикуляры, наклонные, расстояния
Рассмотрим несколько задач, в каждой из которых рассматривается куб АВСDEFGH. При этом предполагается, что ребро такого куба имеет длину, равную единице.
Задание. В кубе АВСDEFGH найдите расстояние между точкой А и гранью CDHG:
Решение. Ребро AD перпендикулярно грани DH (так как AD⊥DH и AD⊥CD). Поэтому как раз АD и является расстоянием между А и СDHG. Значит, оно равно единице.
Ответ: 1.
Примечание. Для решения следующих задач запомним, что ребро DH перпендикулярно грани АВСD. Вообще в кубе все ребра, пересекающиеся с гранями, перпендикулярны таким граням.
Задание. Найдите в кубе расстояние между вершиной А и плоскостью BDH:
Решение. Проведем на грани АВСD перпендикуляр АК из А к прямой BD:
Докажем, что АК – перпендикуляр в BDH. Для этого надо найти две прямые в BDH, перпендикулярные АК. Первая такая прямая – это BD (мы специально провели АК⊥BD). Вторая такая прямая – это DH. Действительно, DH перпендикулярна всей грани АВСD, а значит, и прямой АК.
Теперь найдем длину АК. Ее можно вычислить из прямоугольного ∆АКD. В нём ∠ADB =45°, ведь это угол между стороной квадрата АВСD и его диагональю.
Найти АК можно с помощью тригонометрии в ∆АКD:
Задание. Найдите расстояние от H до плоскости EDG:
Решение. Обозначим середину отрезка ЕD буквой М.Далее в ∆МНG опустим высоту из НК на сторону MG:
Попытаемся доказать, что HK – это перпендикуляр к EDG. Заметим, что ∆HDG и ∆EHG равны, ведь у них одинаковую длину имеют ребра DH, EH, ребро GH – общее, а ∠DHG и ∠EHG прямые. Тогда одинаковы отрезки EG и DG. Это означает, что ∆EGD – равнобедренный.
В ∆EGDMG– это медиана. Так как ∆EGD – равнобедренный, то MG одновременно ещё и высота, поэтому MD⊥MG.
Аналогично ∆EHD– равнобедренный (EH = HD), а потому MH в нем – и медиана, и высота. Поэтому MD⊥MH.
Получили, что MD перпендикулярен и MH, и MG, то есть двум прямым в плоскости MHG. Тогда MD перпендикулярен всей плоскости MHG, и, в частности, отрезку HK: HK⊥MD.
Но также MD⊥MG. Получается, KH перпендикулярен двум прямым в плоскости EDG, и потому он является перпендикуляром к плоскости EDG. Значит, именно его длину нам и надо найти.
Рассмотрим ∆MDH. Он прямоугольный, а ∠MDH = 45° (угол между стороной и диагональю квадрата). Тогда длину MH можно найти так:
Так как ребро GH перпендикулярно грани АЕНD, то ∆MHG – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора можно найти MG:
Далее можно найти HK разными способами, но проще воспользоваться подобием ∆MHG и ∆MKH. Они оба – прямоугольные, и у них есть общий угол ∠KMH, этого достаточно для подобия треугольников. Записываем пропорцию:
Здесь слева записано отношение сторон, лежащих против ∠KMH, а справа – отношение сторон, лежащих против прямых углов (то есть отношение гипотенуз). Используем пропорцию дальше:
Задание. Найдите расстояние между прямыми ВС и DH:
Решение. ВС и DH – скрещивающиеся. Надо найти общий перпендикуляр к ним. В данном случае он очевиден – это отрезок CD. Действительно, CD⊥ВС как стороны квадрата АВСD, но и DH⊥CD как стороны в другом квадрате, СDHG.. Длина же ребра CD равна единице, ведь у куба все ребра одинаковы.
Ответ: 1.
Задание. Каково расстояние между прямыми ВС и DG:
Решение.На грани СDHG опустим из С перпендикуляр СК на диагональ GD:
Будет ли СК являться расстоянием между ВС и DG? Ясно, что СК⊥DG. При этом ребро ВС перпендикулярно грани СGHD, так как ВС⊥СG и ВС⊥СD. Значит, также ВС⊥СК. То есть СК – общий перпендикуляр к ВС и DG, и по определению как раз и является искомым расстоянием.
Длину СК найдем из прямоугольного ∆СKG. ∠СGK составляет 45°, ведь это угол между диагональю DG и стороной квадрата СG. Тогда можно записать:
Задание. Найдите расстояние между ребрами АВ и HG:
Решение. Здесь ребра АВ и HG параллельны, так как каждая их них параллельна ребру CD. Проведем отрезок АН. Так как и АВ, и HG перпендикулярны грани АЕНD, то эти ребра одновременно перпендикулярны и АН. То есть АН – общий перпендикуляр к АВ и HG, и поэтому именно его длину и надо найти.
Сделать это можно из прямоугольного ∆АНD, в котором ∠НАD составляет 45°:
Задание. Чему равно расстояние между ребром AB и диагональю FD:
Решение. Пусть А1, D1, H1 и Е1 – середины ребер АВ, DC, HG, и EF соответственно. Проведем через А1, D1, H1 плоскость. Диагональ FD пересечет ее в какой-нибудь точке К:
Сначала покажем, что плоскости α и ADH (то есть нижняя грань) параллельны.
Заметим, что в четырехугольнике АА1D1D стороны АА1 и DD1 параллельны (ведь они лежат на сторонах квадрата АВСD) и одинаковы (ведь они составляют половину от длины ребер АВ и CD, то есть имеют длину 0,5). Тогда АА1D1D – параллелограмм. Более того, раз у него есть прямые углы ∠А1АDи ∠АDD1, то можно утверждать, что АА1D1D – прямоугольник. Тогда АD||A1D1. Аналогично можно показать, что DHH1D1 – прямоугольник, и DH||D1H1.
Далее можно действовать разными способами. Первый способ – это использование признака параллельности плоскостей (теорема 9 из этого урока). Так как в α есть пересекающиеся прямые А1D1и D1H1, а в плоскости ADH находятся прямые AD и DH, и АD||A1D1, и DH||D1H1, то по этому признаку α||ADH.
Однако, если этот признак вдруг оказался «забыт», то можно использовать отрезок DD1. Он перпендикулярен и грани ADHE, и плоскости α, ведь в каждой из них есть по две прямых, перпендикулярных ему. Это AD и DH на грани ADHE и A1D1и D1H1 в α. Тогда α и ADH перпендикулярны одной и той же прямой, а потому они параллельны. Так или иначе, мы выяснили, что α||ADH.
Отсюда вытекает, что α должна проходить через середину Е1. Действительно, расстояние между параллельными плоскостями не зависит от выбора точек измерения. В данном случае оно равно отрезку АА1, то есть 0,5. Но FE– это также общий перпендикуляр к α и ADH. Значит, α пересекает FE в точке, находящейся на расстоянии 0,5 от Е. А это как раз и есть середина FE, то есть точка Е1.
Далее докажем, что точка К, в которой прямая FD пересекает α – это середина отрезка Е1D1. Для этого удобно отдельно показать плоскость, проходящую через параллельные ребра FE и CD, то есть четырехугольник FEDC:
Заметим, так как ребра FE и CD перпендикулярны верхней и нижней грани, то они перпендикулярны и отрезкам FC и ED, то есть FEDC прямоугольник. Тогда FC||ED, и ∠Е1FD = ∠D1DF (накрест лежащие углы при секущей FD). ∠FKE1 и ∠DKD1 одинаковы уже как вертикальные углы. Тогда ∆FKE1 и ∆DKD1 подобны по 2 углам. Но отрезки FE1 и DD1 одинаковы как половины равных ребер FE и CD. Получается, что ∆FKE1 и ∆DKD1 равны, и поэтому Е1К = KD1. Это и значит, что К – середина Е1D1.
Также отметим, что Е1D1 – диагональ в четырехугольнике А1Е1Н1D1. Докажем, что А1Е1Н1D – это квадрат. Ранее мы уже показали, что АА1D1D и DHH1D1 – прямоугольники. Аналогично можно продемонстрировать, что прямоугольниками являются также АА1Е1Е и ЕЕ1Н1Н. Из этого вытекает равенство сторон:
То есть в А1Е1Н1D1 все стороны одинаковы, и эта фигура – ромб. Теперь надо показать, что и углы в этом четырехугольнике составляют 90°. Продемонстрируем это на примере ∠А1D1H1. AD⊥CDHG и AD||A1D1, поэтому А1D1⊥CDHG. Значит, также А1D перпендикулярна любой прямой на грани CDHG, в том числе и D1H1. То есть ∠А1D1H1 = 90°. Но если в ромбе хотя бы один угол прямой, то он является квадратом.
Итак, мы выяснили, что А1Е1Н1D1 – квадрат, а К – середина его диагонали Е1D1. Получается, что К – точка пересечения диагоналей квадрата А1Е1Н1D1, ведь эта точка пересечения как раз делит диагонали пополам.
Теперь мы можем наконец доказать, что А1К – это и есть искомое расстояние. Действительно, так как АВ – перпендикуляр к α, та А1К принадлежит α, то А1К⊥АВ. Но как же доказать, что А1К⊥FD. Здесь поможет теорема о трех перпендикулярах. Е1К – это проекция FK на α, и Е1К⊥А1К, ведь диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Раз отрезок А1К перпендикулярен проекции, то он перпендикулярен и самой наклонной, то есть А1К⊥FK.
Осталось лишь вычислить длину А1К. Для этого по аналогии с предыдущими задачами используем прямоугольный∆А1Е1К, в котором ∠А1Е1К = 45°:
Отвлечемся от куба и рассмотрим другую задачу.
Задание. В ∆АВС вписана окружность. Через центр этой окружности (точку О) проведена прямая ОН, причем она перпендикулярна плоскости АВС. Верно ли, что точка Н находится на одинаковом расстоянии от прямых АВ, АС и ВС?
Решение. Пусть N, K и M – точки касания окружности и сторон АВ, АС и ВС соответственно. Тогда ОN, OK и OM– радиусы, а они должны быть перпендикулярны касательным, то есть
Заметим, что ОN, OK и OM – это также проекции прямых HN, HK и HM соответственно. Раз отрезки АВ, АС и ВС перпендикулярны этим проекциям, то они должны быть перпендикулярны и наклонным:
Это значит, что HN, HK и HM– это расстояния от H до сторон ∆АВС. Осталось показать, что они одинаковы. Это можно сделать с помощью ∆HON, ∆HOK и ∆HOM. Они все прямоугольные, причем катет OH– общий, а катеты ON, OM и OK одинаковы как радиусы одной окружности. Отсюда вытекает вывод, что эти треугольники равны, то есть одинаковы и их гипотенузы HN, HKи HM, ч. т. д.
Теперь снова вернемся к кубу, чтобы на практике научиться определять угол между прямой и плоскостью.
Задание. Найдите угол между ребром куба BD и гранью СDHG:
Решение. ВС – это перпендикуляр к грани СDHG, поэтому CD– проекция BD на грань СDHG. Тогда нам надо найти ∠BDC. Он составляет 45°, так как это угол между стороной и диагональю квадрата АВСD:
Ответ: 45°.
Задание. Вычислите угол между ребром CD и плоскостью BDHF:
Решение. Нам надо из С опустить перпендикуляр на BDHF. Несложно догадаться, что для этого надо на грани ABCD опустить перпендикуляр СК на диагональ BD:
Действительно, СK⊥BD. Надо найти ещё одну прямую в BDHF, перпендикулярную СК. И такой прямой может быть BF. Так как BF перпендикулярна всей грани АВСD, то она обязательно перпендикулярна и СК. Получаем, что СК⊥BF и CK⊥BD, и тогда СK⊥BDHF.
Если СK– перпендикуляр, то KD – это проекция СD. Тогда искомый нами угол – это ∠СDK. Он равен 45°, ведь BD – диагональ квадрата АВСD, а CD – его сторона.
Ответ: 45°
Задание. Чему равен угол между прямой BD и плоскостью ABGH:
Решение. На нижней грани АЕНD опустим на АН перпендикуляр DK:
Заметим, что ребро АВ перпендикулярно грани АЕНD, поэтому KD⊥АВ. Но также KD⊥AH (мы специально построили так KD). Тогда можно утверждать, что KD – это перпендикуляр ко всей плоскости АВGH.
В таком случае BK – это проекция BD на AB. Значит, нам необходимо вычислить ∠DBK. Его можно найти из прямоугольного ∆DBK, но сперва надо вычислить длины сторон KD и BD.
ВD найдем из прямоугольного ∆ABD:
Теперь мы можем найти ∠DBK, а точнее его синус, из ∆DBK:
По таблице синусов легко определить, что ∠DBK = 30°.
Ответ: 30°.
В ходе сегодняшнего урока мы узнали о перпендикуляре к плоскости. Перпендикуляры используются для определения расстояний в стереометрии, а также угла между прямой и плоскостью.
Что называется расстоянием от точки до прямой? Как найти расстояние от точки до прямой?
Определение.
Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.
рисунок 1
Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, надо из точки к прямой провести перпендикуляр и найти его длину.
Например, на рисунке 1 расстояние от точки A до прямой a равно длине перпендикуляра AB, опущенного из точки A на прямую a.
Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой сводятся к рассмотрению прямоугольного треугольника.
Задачи.
№ 1. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 2:3, а длины их проекций соответственно равны 2 см и 7 см. Найти расстояние от точки до прямой.
Дано: A∉a,
AC и AD — наклонные, AC:AD=2:3,
BC и BD — их проекции, BC=2 см, BD=7 см
Найти: AB.
Решение:
1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AC=2k см, AD=3k см.
2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора
откуда
3) Аналогично, из треугольника ABD
4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим k:
5) Зная k, найдем AB:
Ответ: 4√2 см.
№ 2. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найти расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных равна 4 см.
Дано: A∉a,
AC и AD — наклонные, AC=13 см, AD=15 см,
BC и BD — их проекции, BD-BC=4 см
Найти: AB.
Решение:
1) Пусть BC=x см, тогда BD=x+4 см.
2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора
откуда
3) Аналогично, из треугольника ABD
4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим x:
5) Зная x, найдем AB:
Ответ: 12 см.
№ 3. Найти расстояние от точки A до прямой a, если известно, что наклонная AF, длина которой равна c, образует с прямой a угол α.
Дано: A∉a,
AF — наклонная,
AF=c, ∠AFB=α.
Найти: AB.
Решение:
Треугольник ABF — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). AB — катет, противолежащий углу ACB, AF — гипотенуза.
По определению синуса
Ответ: c∙sinα.
Perpendicular Length/Distance Tutorial
Perpendicular Length/Distance Definition
This is used to generate the Length of the perpendicular from point(x1, y1) to the line Ax + By + C = 0.
Length of the perpendicular Formula
Perpendicular Length/Distance
where
(x1, y1) is the given point, Ax + By + C = 0 is the given equation.
Perpendicular Length/Distance Diagram
Length of the perpendicular Example
Find the length of the perpendicular from the point (4,3) on the line
x + 2y + 5 = 0.
x1 = 4,
y1 = 3,
A = 1,
B = 2,
C = 5
Substitute in the formula as
Length of the perpendicular = 3
The above example will clearly illustrates how to calculate the Perpendicular Length/Distance manually.
This tutorial will help you dynamically to find the Analytical Geometry problems.
Related Tutorials:
- Learn How To Calculate Distance Between Two Points
- Learn How To Calculate Coordinates Of Point Externally/Internally
- Learn How To Calculate Mid Point/Coordinates Of Point
- Centroid Of A Triangle Tutorial
- Learn How To Calculate Two Intercept Form
- Learn How To Calculate Distance Between 2 Points For 3 Dimension