1. Формула боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
d — боковая сторона
α — угол при нижнем основании
h — высота трапеции
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формулы длины боковой стороны (с) :
2. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через диагонали и угол между ними
a — нижнее основание
b — верхнее основание
d1 , d2 — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формулы длины боковой стороны (с):
3. Формулы боковой стороны (с) прямоугольной трапеции через площадь
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия трапеции
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
Формула длины боковой стороны (с) :
4. Формулы боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через другие стороны и угол при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — боковая сторона под прямым углом к основаниям
α — угол при нижнем основании
h — высота трапеции
d — боковая сторона
Формулы длины боковой стороны (d) :
5. Формула боковой стороны (d) прямоугольной трапеции через площадь
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия трапеции
α — угол при нижнем основании
d — боковая сторона
Формула длины боковой стороны (d) :
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 17 октября 2013
-
Обновлено: 13 августа 2021
Прямоугольная трапеция. Формулы, признаки и свойства прямоугольной трапеции
Определение.
Прямоугольная трапеция — это трапеция у котрой одна из боковых стороны перпендикулярна основам.
 |
| Рис.1 |
Признаки прямоугольной трапеции
Трапеция будет прямоугольной если выполняется одно из этих условий:
1. В тапеции есть два смежных прямых угла:
∠BAD = 90° и ∠ABC = 90°
2. Одна боковая сторона перпендикулярна основам:
AB ┴ BC, AB ┴ AD
Основные свойства прямоугольной трапеции
1. В трапеции есть два смежных прямых угла:
∠BAD = ∠ABC = 90°
2. Одна боковая сторона перпендикулярна основам:
AB ┴ BC ┴ AD
3. Высота равна меньшей боковой стороне:
h = AB
Стороны прямоугольной трапеции
Формулы длин сторон прямоугольной трапеции:
1. Формулы длины оснований через стороны и угол при нижнем основании:
a = b + d cos α = b + c ctg α = b + √d 2 — c2
b = a — d cos α = a — c ctg α = a — √d 2 — c2
2. Формулы длины оснований через стороны, диагонали и угол между ними:
| a = | d1d2 | · sin γ — b = | d1d2 | · sin δ — b |
| c | c |
| b = | d1d2 | · sin γ — a = | d1d2 | · sin δ — a |
| c | c |
3. Формулы длины оснований трапеции через площадь и другие стороны:
| a = | 2S | — b b = | 2S | — a |
| c | c |
4. Формула боковой стороны через другие стороны и угол при нижнем основании:
c = √d 2 — (a — b)2 = (a — b) tg α = d sin α
5. Формулы боковой стороны через основы, диагонали и угол между ними:
| c = | d1d2 | · sin γ = | d1d2 | · sin δ |
| a + b | a + b |
6. Формулы боковой стороны через площадь, основы и угол при нижнем основании:
| d = | S | = | 2S |
| m sin α | (a + b) sin α |
7. Формула боковой стороны через другие стороны, высоту и угол при нижнем основании:
| d = | a — b | = | c | = | h | = √c2 + (a — b)2 |
| cos α | sin α | sin α |
Средняя линия прямоугольной трапеции
Формулы длины средней линии прямоугольной трапеции:
1. Формулы средней линии через основание, высоту (она же равна стороне c ) и угол α при нижнем основании:
| m = | a — h · | ctg α | = | b + h · | ctg α |
| 2 | 2 |
2. Формулы средней линии через основания и боковые стороны сторону:
| m = | a — | √d 2 — c2 | = | b + | √d 2 — c2 |
| 2 | 2 |
Прямоугольная трапеция является трапецией, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Средняя линия прямоугольной трапеции равна половине суммы ее оснований. (рис.105.1)
m=(b+d)/2
Высота прямоугольной трапеции равна ее боковой стороне-перпендикуляру. Следовательно, площадь трапеции, которая обычно равна произведению высоты на среднюю линию, преобразуется в произведение боковой стороны на среднюю линию. (рис.105.2)
S=hm=am=(a(b+d))/2
Вторая боковая сторона прямоугольной трапеции, находящаяся под углом к основаниям, отличным от 90 градусов, вычисляется по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с высотой.
c=√(h^2+〖(d-b)〗^2 )=√(a^2+〖(d-b)〗^2 )
Периметр такой трапеции вычисляется также как обычной, сложением всех ее сторон.
P=a+b+c+d=a+b+d+√(a^2+〖(d-b)〗^2 )
Обе диагонали прямоугольной трапеции являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках со стороной, перпендикулярной основаниям. Поэтому вычислить их становится возможным, используя теорему Пифагора. (рис.105.3)
d_1=√(a^2+b^2 )
d_2=√(a^2+d^2 )
Если боковые стороны прямоугольной трапеции в сумме дают то же, что и основания, то внутри такой трапеции можно вписать окружность. Радиусом вписанной окружности будет служить половина высоты или, в данном случае, половина квадратного корня из произведения оснований.
r=√bc/2
Вокруг прямоугольной трапеции нельзя описать окружность, для этого она должна стать либо равнобокой трапецией, либо прямоугольником
В прямоугольной трапеции , как впрочем и в любой другой трапеции 2 боковых стороны. Одна из боковых сторон в прямоугольной трапеции перпендикулярна обоим основаниям , и является высотой трапеции,обозначенной h.Остальные стороны пусть будут a и b — основания, и с — 2-я боковая сторона.Другие обозначения S-площадь трапеции.И вот формула боковой стороны h через площадь S :
h = S * 2 / (a + b) ,
Другая боковая сторона рассматривается из прямоугольного треугольника ,
где катеты h , (a-b) , а гипотенуза — искомая с :
c^2 = h^2 + (a- b)^2
В случае других данных , находить стороны можно по другим формулам.Но эти формулы чаще всего бывают. Ещё находят через углы , если они даны.
Как найти боковую сторону прямоугольной трапеции
У каждой трапеции имеются две боковые стороны и два основания. Для того, чтобы узнать площадь, периметр или другие параметры этой фигуры, нужно знать хотя бы одну из боковых сторон. Также нередко по условиям задач требуется находить боковую сторону прямоугольной трапеции.
Инструкция
Начертите прямоугольную трапецию ABCD. Боковые стороны этой фигуры обозначьте, соответственно, как AB и DC. Первая боковая сторона DC совпадает с высотой трапеции. Она перпендикулярна двум основаниям прямоугольной трапеции.
Существует несколько способов нахождения боковых сторон. Так например, если в задаче дана вторая боковая сторона BA и угол ABH=60, то первую высоту найдите наиболее простым из способов, проведя высоту BH:
BH=AB*sinα
Поскольку BH=CD, то СD=AB*sinα=√3AB/2
Если, наоборот, дана сторона трапеции, обозначенная, как CD, а требуется найти ее же сторону AB, такая задача решается несколько иным образом. Так как BH=CD, и при этом, BH представляет собой катет треугольника ABH, можно сделать вывод, что сторона AB равна:
AB=BH/sinα=2BH/√3
Задачу можно решить и в том случае, если значения углов неизвестны, при условии, что даны два основания и боковая сторона AB. Однако, в этом случае можно найти только сторону CD, которая является высотой трапеции. Первоначально, зная значения оснований, найдите длину отрезка AH. Он равен разности большего и меньшего оснований, поскольку известно, что BH=CD:
AH=AD-BC
Затем, используя теорему Пифагора, найдите высоту BH, равную стороне CD:
BH=√AB^2-AH^2
Если у прямоугольной трапеции есть диагональ BD и угол 2α, как показано на рисунке 2, то сторону AB можно найти также по теореме Пифагора. Для этого, сначала вычислите длину основания AD:
AD=BD*cos2α
Затем найдите сторону AB следующим образом:
AB=√BD^2-AD^2
После этого докажите подобие треугольников ABD и BCD. Так как у этих треугольников одна общая сторона — диагональ, и при этом, два угла равны, как видно из рисунка, то эти фигуры подобны. На основании этого доказательства найдите вторую боковую сторону. Если известно верхнее основание и диагональ, то сторону найдите обычным образом с использованием стандартной теоремы косинусов:
c^2=а^2+b^2-2ab cos α, где а, b, с — стороны треугольника, α — угол между сторонами а и b.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.