Как найти длину биссектрисы треугольника по клеткам

Отметим точки

причем Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, в равностороннем
треугольнике серединные перпендикуляры — это и высоты, и медианы, и биссектрисы.

То есть центр описанной окружности лежит на высоте которая также является и медианой. Пусть — центр этой
окружности (а значит, и точка пересечения медиан треугольника). Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в
отношении считая от вершины, то откуда

Заметим, что по определению радиус описанной около треугольника окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности
с вершиной треугольника, то есть Таким образом, радиус равен 6.

Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса, проведенная к гипотенузе-основанию, является также медианой. По
свойству медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. У
данного прямоугольного треугольника гипотенуза равна 5. Следовательно, медиана (она же биссектриса) равна
2,5.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции есть

Проведем перпендикуляр к стороне Получим прямоугольный треугольник Из него

Из рисунка видно, что треугольник равнобедренный (). Следовательно, биссектриса, опущенная из вершины будет
также являться медианой и высотой. Тогда биссектриса равна 3:

Проведем диагонали данного ромба:

Площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, следовательно,

Пусть

По свойству средней линии с коэффициентом подобия, равным 2. Следовательно, их площади относятся как
коэффициент подобия в квадрате, то есть

Высота треугольника опущенная из равна 2, Следовательно,

Тогда

Будем искать радиус вписанной окружности по формуле где — площадь, — полупериметр.

Заметим, что треугольник равнобедренный:

Так как длина стороны клетки равна 3, то следовательно,

Тогда

Заметим, что в задачах подобного типа можно вычислять все длины, как будто длина стороны клетки равна 1, а затем
умножать полученный ответ на 3. Если бы длина одной клетки была равна 1, то и
Тогда после умножения на 3 также получили бы При решении задачи таким способом вычисления будут
легче.

Заметим, что закрашенная фигура состоит из двух непересекающихся частей,
равных и от круга:

Таким образом, ее площадь равна

Площадь фигуры 1 можно посчитать следующим образом:

Площадь фигуры 2 — следующим образом:

Тогда

Искомая фигура состоит из квадрата без вырезанного круга с центром и двух половин круга такого же радиуса,
следовательно, площадь искомой фигуры равна площади квадрата

Дорисуем несколько отрезков как показано на рисунке ниже:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту к этому основанию. Площадь треугольника
равна

Площадь треугольника равна

Площадь трапеции равна

Тогда

У данного четырёхугольника две стороны параллельны, а две другие не параллельны, следовательно, это трапеция. Площадь
трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции равна

Так как радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, ищется по формуле где — катеты,
— гипотенуза, то

Продлим одну из сторон тупого угла на отрезок так, чтобы

Заметим, что все вершины треугольника находятся в узлах решетки,
причем Тогда

Так как синус острого угла (в прямоугольном треугольнике) — это отношение
противолежащего катета к гипотенузе, то

Угол с тупым углом — смежные, следовательно, их синусы равны,
значит, синус тупого угла равен также