Как найти длину биссектрисы в квадрате - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Утверждение 1

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

$[ l = sqrt {ab - a_1 b_1 } ]$

Дано:

ΔABC,

СF — биссектриса ∠ABC

Доказать:

Доказательство:

Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

∠CBF=∠CDA (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AC).

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$[ frac{{BC}}{{CD}} = frac{{CF}}{{AC}}, Rightarrow CD = frac{{BC cdot AC}}{{CF}}. ]$

$[ FD = CD - CF = frac{{BC cdot AC}}{{CF}} - CF. ]$

По свойству пересекающихся хорд

Отсюда

$[ BF cdot AF = CF cdot (frac{{BC cdot AC}}{{CF}} - CF) ]$

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Утверждение 2

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

$[ l_c = frac{1}{{a + b}}sqrt {ab(a + b + c)(a + b - c)} . ]$

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника:

$[ [ frac{a}{{a_1 }} = frac{b}{{b_1 }}, Rightarrow a_1 b = ab_1 . ]$

a₁+b₁=c, b₁=c-a₁, поэтому

$[ a_1 = frac{{ac}}{{a + b}}. ]$

Согласно утверждению 1,

$[ l^2 = ab - a_1 (c - a_1 ) = ab - frac{{ac}}{{a + b}}(c - frac{{ac}}{{a + b}}) = ]$

$[ = ab - frac{{ac^2 }}{{a + b}} + frac{{a^2 c^2 }}{{(a + b)^2 }} = frac{{ab(a + b)^2 - ac^2 (a + b) + a^2 c^2 }}{{(a + b)^2 }} = ]$

$[ = frac{{ab(a + b)^2 - a^2 c^2 - abc^2 + a^2 c^2 }}{{(a + b)^2 }} = frac{{ab(a + b)^2 - abc^2 }}{{(a + b)^2 }} = ]$

$[ = frac{{ab}}{{(a + b)^2 }}((a + b)^2 - c^2 ) = frac{{ab}}{{(a + b)^2 }}((a + b) + c)((a + b) - c) = ]$

$[ = frac{{ab}}{{(a + b)^2 }}(a + b + c)(a + b - c), ]$

откуда

$[ l = sqrt {frac{{ab}}{{(a + b)^2 }}(a + b + c)(a + b - c)} , ]$

$[ l_c = frac{1}{{a + b}}sqrt {ab(a + b + c)(a + b - c)} . ]$

Что и требовалось доказать.

Аналогично,

$[ l_a = frac{1}{{b + c}}sqrt {bc(b + c + a)(b + c - a)} , ]$

$[ l_b = frac{1}{{a + c}}sqrt {ac(a + c + b)(a + c - b)} . ]$

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Утверждение 3

Длина биссектрисы треугольника через две стороны, образующие угол, из вершины которого исходит биссектриса, и угол между этими сторонами выражается по формуле

$[ l_c = frac{{2abcos frac{alpha }{2}}}{{a + b}} ]$

Доказательство:

Найдем площади треугольников BCF, ACF и ABC.

$[ S_{Delta BCF} = frac{1}{2}BC cdot CF cdot sin angle BCF, ]$

$[ S_{Delta ACF} = frac{1}{2}AC cdot CF cdot sin angle ACF, ]$

$[ S_{Delta ABC} = frac{1}{2}AC cdot BC cdot sin angle BCA. ]$

Так как

$[ S_{Delta ABC} = S_{Delta BCF} + S_{Delta ACF} , ]$

то

$[ frac{1}{2}AC cdot BC cdot sin angle BCA = ]$

$[ = frac{1}{2}BC cdot CF cdot sin angle BCF + frac{1}{2}AC cdot CF cdot sin angle ACF, ]$

$[ ab cdot sin alpha = al cdot sinfrac{alpha }{2} + bl cdot sinfrac{alpha }{2}, ]$

$[ ab cdot sin alpha = l cdot sinfrac{alpha }{2}(a + b), ]$

$[ l = frac{{ab cdot sin alpha }}{{sinfrac{alpha }{2}(a + b)}} = frac{{ab cdot sin (2 cdot frac{alpha }{2})}}{{sinfrac{alpha }{2}(a + b)}} = frac{{ab cdot 2sin frac{alpha }{2}cos frac{alpha }{2}}}{{sinfrac{alpha }{2}(a + b)}} = frac{{2abcos frac{alpha }{2}}}{{a + b}}. ]$

Что и требовалось доказать.

Источник

Библиографическое описание:

Магомедов, С. А. Ещё раз о квадрате длины биссектрисы в произвольном треугольнике / С. А. Магомедов, В. В. Акопов. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2021. — № 4 (45). — С. 8-12. — URL: https://moluch.ru/young/archive/45/2431/ (дата обращения: 25.05.2023).

В

данной статье рассматривается вывод формулы квадрата длины биссектрисы в произвольном треугольнике. Вывод формулы разными способами даёт возможность учащимся повторить широкий спектр геометрических фактов, совершенствовать навыки применения разных методов и приёмов решения задач, способствует более глубокому и прочному пониманию и запоминанию материала.

Ключевые слова:

биссектриса, длина, произвольный треугольник.

Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.

А. Пуанкаре

Когда-то геометрия олицетворяла всю математику. Геометрия, как и всякая наука, возникла под влиянием жизненных потребностей. Необходимость их повседневного удовлетворения ставит человека перед целым рядом вопросов о форме окружающих его предметов, вычислениях, связанных с землемерием, строительным делом и т. д. Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Человек не только пассивно наблюдал природу, но и практически осваивал и использовал её богатство. Имеются вполне достоверные сведения о значительном развитии геометрических знаний в Египте более чем за две тысячи лет до нашей эры. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтёсывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Люди натягивали свои луки, изготавливали разные предметы с прямыми рёбрами и постепенно дошли до отвлечённого понятия прямой линии. Узкая плодородная полоса земли между пустыней и рекой Нил ежегодно подвергались затоплению, и каждый раз разлив смывал границы участков, принадлежащих отдельным лицам. После спада воды требовалось с возможно большей точностью восстановить эти границы, ибо каждый из участков ценился весьма высоко. Это заставило египтян заниматься вопросами измерения, то есть землемерием. Помимо этого, они вели развитую торговлю и поэтому нуждались в умении измерять ёмкость сосудов. Искусство кораблевождения привело их к астрономическим сведениям. Выдающиеся постройки египтян — пирамиды, которые сохранились до нашего времени, свидетельствуют, что их сооружение требовало знания пространственных форм. Всё это указывает на чисто опытное происхождение геометрии.

Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлечённых понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений. Со времён, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилась потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Геометрия стала наукой лишь после появления в ней теорем и доказательств.

К числу основных геометрических фактов следует отнести и теорему о квадрате длины биссектрисы угла произвольного треугольника. Эта теорема часто используется при решении геометрических задач.

Биссектриса это очень интересная, удивительная и замечательная линия в треугольнике. Поэтому и к числу основных геометрических фактов следует отнести и теорему о том, что биссектриса делит противоположную сторону треугольника в отношении прилежащих сторон.

Из различных источников Интернета известна формула квадрата длины биссектрисы произвольного треугольника (рис.1):

. Теорема интересна тем, что существует три способа (метода) её доказательства:

Через вписанные углы.
Через теорему косинусов.
Через теорему Стюарта.

Рис. 1

Предлагается четвёртый способ доказательства этой теоремы.

Теорема.

Квадрат длины биссектрисы произвольного треугольника равен разности произведения образующих его сторон и произведения отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону треугольника.

Доказательство. В произвольном ∆

АВС

биссектриса угла

С

обозначается

. Через стороны треугольника она выражается следующей формулой:

, (1)

где

p

— полупериметр.

Возведём обе части выражения (1) в квадрат и с учётом, что

, будем иметь:

(2)

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника

АВС

имеем:

, (3)

где

a
₁

,

b
₁

— отрезки стороны

АВ=с

.

Из выражений (2) и (3) найдём квадрат биссектрисы:

(4)

Используя выражение (4) с учётом, что

, получим:

, что и требовалось доказать.

А теперь сформулируем теорему о квадрате длины биссектрисы в треугольнике иначе.

Теорема.

Квадрат длины биссектрисы треугольника равен произведению суммы двух сторон одного треугольника и разности двух сторон другого, на которые он разделён биссектрисой (рис.1):

Доказательство. Воспользуемся формулой квадрата длины биссектрисы произвольного треугольника:

. (5)

Биссектриса

CD

делит треугольник

АВС

на два треугольника: ∆

АСD

и ∆

ВСD

. По свойству биссектрисы внутреннего угла ∆

АВС

будем иметь:

или

, (6)

Сложив выражения (5) и (6), получим:

или

. Произведём группировку:

, отсюда

, что и требовалось доказать.

Задача 1.

В треугольнике

AВC

известно, что

a=9см, b=6см, с=12см

.

Из вершины угла

C

проведена биссектриса

CD

. Найти длину биссектрисы

CD

(рис.1).

Ответ:

Задача 2.

В треугольнике

AВC

из вершины угла

C

проведена биссектриса

CD

, которая делит сторону

АВ

в

отношении

. Известно, что

d=CD=12см,a=BC=18см.

Найти длину стороны

АВ=c

(рис.1).

Ответ:

см

.

Учитель, приучая учащихся к самостоятельному поиску доказательства, поощряя их работу в этом направлении (даже, если найденное доказательство сложнее известного), может добиться более прочных и глубоких знаний, способствовать повышению интереса к предмету.

Обучение учащихся доказательству теорем зачастую оказывается малоэффективным. Одна из причин этого, на мой взгляд, отсутствие возможности у авторов школьных учебников представлять различные способы доказательства той или иной теоремы. Следовательно, для активизации познавательной деятельности учащихся и для повышения логического уровня их мышления, учителю необходимо ставить перед учащимися проблему поиска различных способов доказательства одной и той же теоремы. Учитель должен на примере показать, как это делается. Затем перед учителем возникает проблема побудить у учащихся желание самостоятельно искать различные способы доказательства теорем.

Таким образом, отыскание различных способов доказательства одной и той же теоремы — важнейшее средство развития творческого мышления учащихся.

Литература:

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. Москва. «Наука». 1986.
Некрасов В. Б. Школьная математика. Санкт-Петербург. «Авалон». 2006.
Научно-исследовательская работа по теме «Биссектриса угла треугольника». Учащийся: Александров А. А. Научный руководитель: Чуканова И. И. Республика Татарстан. Бугульма, 2012.

Источник

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Дано:

СF — биссектриса ∠ABC

Доказательство:

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

По свойству биссектрисы треугольника:

Согласно утверждению 1,

Что и требовалось доказать.

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Все формулы биссектрисы в треугольнике

L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p =(a+b+ c )/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол, ( L ):

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через три стороны, ( L ):

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d , e , ( L ):

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

Докажите, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.

Пусть M — точка пересечения продолжения биссектрисы CD треугольника ABC с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник CBD подобен треугольнику CMA по двум углам. Поэтому

= , или CD(CD + DM) = AC . BC,

( CD . DM = AD . DB по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд).

= , или CD(CD + DM) = AC . BC,

( CD . DM = AD . DB по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд).

= , или CD(CD + DM) = AC . BC,

( CD . DM = AD . DB по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд).

источники:

http://www-formula.ru/bisectortriangle

http://gitun.com/q/17952

Источник

Квадрат длины биссектрисы треугольника. Помогите ребят забыл как доказать формулу квадрата длина биссектрисы

Ответы

Удобнее всего по 2 сторонам и углу между ними,через который проведена бессектриса.
ПЛощадь треугольника равна сумме площадей треугольников на которых их бьет бессектриса. Откуда: 1/2*ab*sinФ=1/2ax*sinФ/2+1/2bx*sinФ/2
absinФ=x(a+b)*sinФ/2
x=ab*sinФ/(a+b)*sinФ/2=2ab*cosФ/2/(a+b)

Приложения:

Я даже такой формулы не знаю

Думаю что вывести не проблема. Напишите формулу

объяснять обозначения долго поэтому просто последняя формула на этом сайте http://www-formula.ru/index.php/bisectortriangle

Интересные вопросы

Источник

См. также биссектриса угла.

БИССЕКТРИСА УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

У биссектрис угла треугольника есть масса свойств, которые описываются через свойства треугольника. Это поможет в решении задач.

Свойства биссектрис треугольника

Биссектриса треугольника, проведенная из данной вершины, тождественна биссектрисе соответствующего угла. Биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот угол треугольника пополам
Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая расположена всегда в плоскости треугольника и является центром вписанной окружности. Примечание. Имеются ввиду биссектрисы внутренних углов треугольника.

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
В равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, а третья биссектриса является его медианой и высотой
Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный

Свойства биссектрис равностороннего треугольника

У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам
У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны
У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.

Формулы нахождения биссектрисы угла

a, b, c — стороны треугольника, при этом биссектриса проведена из угла, находящегося между сторонами a, b
α,β,γ — углы треугольника, противолежащие сторонам a,b,c соответственно
p — полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон)
c_a, c_b — отрезки, на которые биссектрисой, проведенной из угла c разбита сторона c

l_c — длина биссектрисы, проведенной к стороне c из угла γ.

Длина биссектрис треугольника может быть выражена через равенство с квадратом суммы всех его сторон.

Формулы нахождения расстояния от угла до точки пересечения биссектрис

где

l_co — длина отрезка, лежащего на биссектрисе от вершины угла до центра пересечения биссектрис
r — радиус окружности, вписанной в треугольник
R — радиус описанной окружности
a, b, c — стороны треугольника, при этом биссектриса проведена из угла, находящегося между сторонами a, b
γ — угол треугольника, противолежащий стороне c
p — полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон)

Примеры решения задач

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о биссектрисе. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача.

Луч AD является биссектрисой угла A. На сторонах угла A отмечены точки B,C так что угол ADC равен углу ADB. Доказать, что AB=AC.

Решение.
Рассмотрим треугольники ADB и ADC. Сторона AD у них общая, углы DAC и DAB равны, так как биссектриса AD делит угол А пополам, а углы ADC и ADB равны по условию задачи. Таким образом, треугольники ADB и ADC равны по стороне и двум углам.

Следовательно AB = AC.

Биссектриса угла |

Описание курса

| Биссектриса внешнего угла

Источник