Как найти длину данной кривой - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Одним из приложений определенного интеграла является вычисление длины дуги плоской кривой. На рисунке изображен график функции
:

Для того, чтобы узнать длину дуги кривой линии изображенной на рисунке, необходимо
вычислить определенный интеграл:

В более общем случае, если у нас задана функция

в декартовых координатах и стоит задача найти длину дуги этой кривой между точками

и
,
нам необходимо вычислить интеграл:

В приведенной выше формуле, выражение

означает, что сначала нужно вычислить производную функции
,
а затем полученное выражение возвести в квадрат.

Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить длину кривой, заданной в декартовых координатах для любой, даже очень сложной функции.

Источник

При вычислении любой длины следует помнить, что это величина конечная, то есть просто число. Если имеется в виду длина дуги кривой, то такая задача решается с помощью определенного интеграла (в плоском случае) или криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Дуга АВ будет обозначаться UАВ.

Первый случай (плоский). Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ (см. рис. 1а). Для решения этой задачи разбейте рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В результате UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдете длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получите результат, приведенный на рисунке 1b.

Как вычислить длину кривой

Второй случай (дуга UАВ задана параметрически). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на отрезке этом отрезке. Найдите их дифференциалы. dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставьте эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесите dt из квадратного корня под интегралом, положите х(α)=а, x(β)=b и придете к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).

Третий случай. Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ) Полярный угол φ при прохождении дуги изменяется от α до β. Функция ρ(φ)) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще всего использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберите φ в качестве параметра и подставьте в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ y=ρsinφ. Продифференцируйте эти формулы и подставьте квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получите формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).

Четвертый случай (пространственная кривая, заданная параметрически). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Криволинейные интегралы вычисляют переводом их в обычные определенные. В результате ответ останется практическим таким же как и случае два, с тем лишь отличием, что под корнем появится добавочное слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).

Примеры:

Пример 1. Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у’ = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками х₀= а, х₁…, х_n = b (х₀ < x₁ < …< х_n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М₀ = А, M₁,…,M_n =В на кривой АВ. Проведем хорды М₀M₁, M₁M₂,…, М_n-1М_n, длины которых обозначим соответственно через ΔL₁, AL₂,…, ΔL_n. Получим ломаную M₀M₁M₂ … M_n-ιM_n, длина которой равна L_n=ΔL₁ + ΔL₂+…+ ΔL_n =

2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL₁ можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δx_i и Δу_i:

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δу_i=ƒ'(с_i)•Δх_i, где ci є (x_i-1;x_i). Поэтому

а длина всей ломаной M₀M₁… М_n равна

3.Длина l кривой АВ, по определению, равна

Заметим, что при ΔL_i→0 также и Δx_i →0 ΔLi =и, следовательно, |Δx_i|<ΔL_i).

Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δx_i→ 0:

Таким образом,или в сокращенной записи l =

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) — непрерывныефункции с непрерывными производными и х(а) = а, х(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой x = x(t),dx = x'(t)dt,

Пример 2. Определить длину окружности x² + y² = r². Решение. Вычислим сначала длину четвертой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги AB будет, откуда,следовательно,

Длина всей окружности L = 2πr.

Пример 3. Найти длину дуги кривой y² = x³ от x = 0 до x = 1 (y > 0). Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем y’ = (3/2)x^1/2, откуда

Пример 4. Пусть кривая лежит в плоскости x0y и описывается уравнением y = f(x).

Для нахождения длины дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами a и b, разобьем дугу на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было аппроксимируовать прямолинейным участком (см. рисунок 1).

Рис. 1. Аппроксимация элемента дуги кривой прямолинейным участком.

Длину dL бесконечно малого участка можно выразить через dx и dy с помощью теоремы Пифагора:

(1)

где y ‘ – производная функции y = f(x) по переменной x.

Длина дуги равна сумме длин составляющих ее элементов:

Пример 5.

Источник

Содержание

Длина дуги, угол между линиями, площадь области на поверхности

Краткие теоретические сведения

Зная первую квадратичную форму поверхности, мы можем решить три задачи:

1. Найти длину дуги на поверхности:
begin{equation*}
s=intlimits_{t_1}^{t_2}|vec{r’}(t)dt|=intlimits_{P_1}^{P_2}|dvec{r}(u,v)|=intlimits_{P_1}^{P_2}sqrt{I_1}.
end{equation*}
begin{equation*}
s=intlimits_{t_1}^{t_2}sqrt{Eleft(frac{du}{dt}right)^2+2Ffrac{du}{dt}frac{dv}{dt}+Gleft(frac{dv}{dt}right)^2}dt.
end{equation*}

2. Найти угол между двумя линиями на поверхности в точке их пересечения:

Если две линии, лежащие на поверхности с первой квадратичной формой $I_1=E,du^2+2F,du,dv+G,dv^2$, пересекаются в некоторой точке $P$ поверхности и имеют в этой точке направления $(du:dv)$ и $(delta u:delta v)$, то косинус угла между ними определяется по формуле:
begin{gather*}
mbox{cos},varphi = displaystylefrac{I_1(d,delta)}{sqrt{I_1(d)}cdotsqrt{I_1(delta)}} \
mbox{cos},varphi = displaystylefrac{E,du,delta u+F,(du,delta v+delta u,dv)+G,dv,delta v}{sqrt{E,du^2+2F,du,dv+G,dv^2}cdotsqrt{E,delta u^2+2F,delta u,delta v+G,delta v^2}}.
end{gather*}
Говорим, что кривая на поверхности $vec{r}=vec{r}(u,v)$ в точке $(u,v)$ имеет направление $(du:dv)$, если вектор $dvec{r}=vec{r}_udu+vec{r}_vdv$ является касательным вектором кривой в этой точке.

3. Найти площадь области $Omega$ на поверхности:
begin{equation*}
S = iintlimits_{D}sqrt{EG-F^2}du,dv,
end{equation*}
где $D$ — прообраз $Omega$ на плоскости $(u,v)$.

Решение задач

Задача 1 (почти Феденко 684)

Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями $v=3u$ на поверхности с первой квадратичной формой
begin{equation*}
I_1=du^2+frac19,mbox{sh}^2u,dv^2
end{equation*}
между точками $M_1(u_1,v_1)$ и $M_2(u_2,v_2)$.

Решение задачи 1

begin{equation*}
E=1, ,, F=0,,, G=frac19,mbox{sh}^2u.
end{equation*}
begin{equation*}
v=3u ,, Rightarrow ,,dv=3du.
end{equation*}
begin{equation*}
I_1=du^2+frac19,mbox{sh}^2ucdot9,du^2=(1+mbox{sh}^2u)du^2=mbox{ch}^2u,du^2.
end{equation*}
begin{equation*}
s=left|intlimits_{u_1}^{u_2} mbox{ch},u,duright| = |mbox{sh},u_2-mbox{sh},u_1|.
end{equation*}

Задача 2 (почти Феденко 682)

Под каким углом пересекаются линии
$$ u+v=a, ,, u-v=a,$$
лежащие на поверхности:
begin{equation*}
x=u,mbox{cos}v, ,, y=u,mbox{sin},v, ,, z=au.
end{equation*}

Решение задачи 2

Первая квадратичная форма данной поверхности:
begin{equation*}
I_1=(1+a^2),du^2+u^2,dv^2.
end{equation*}

Данные линии пересекаются в точке:
begin{equation*}
left{
begin{aligned}
u+v&=a,\
u-v&=a.
end{aligned}
right. quad Rightarrow quad P(u=a,v=0).
end{equation*}

Направления данных линий:
begin{equation*}
du+dv=0, ,, delta u-delta v=0,, Rightarrow
end{equation*}
begin{equation*}
du = -dv, ,, delta u = delta v.
end{equation*}

Подставляем всё в формулу:
begin{gather*}
mbox{cos},varphi = displaystylefrac{(1+a^2),du,delta u + u^2,dv,delta v}{sqrt{(1+a^2),du^2+u^2,dv^2}cdotsqrt{(1+a^2),delta u^2+u^2,delta v^2}} = \
= left( dv = -du, ,, delta v = delta u right) = \
= displaystylefrac{(1+a^2- u^2),du,delta u}{sqrt{(1+a^2+u^2)^2,du,delta u}}= frac{1+a^2-u^2}{1+a^2+u^2}=\
= left(P(u=a,v=0)right) = \
= frac{1}{1+2a^2}.
end{gather*}

Задача 3

Дана поверхность:
$$z=axy.$$
Найти углы между координатными линиями.

Решение задачи 3

Координатные линии на данной поверхности задаются уравнениями: $x=x_0$, $y=y_0$.
Запишем коэффициенты первой квадратичной формы:
begin{align*}
&E=1+(z_x)^2=1+a^2y^2,\
&F=z_xz_y=a^2xy, \
&G=1+(z_y)^2=1+a^2x^2.
end{align*}

Направления координатных линий:
begin{align*}
&x=x_0 ,, Rightarrow dx=0,\
&y=y_0 ,, Rightarrow delta y=0.
end{align*}

Угол между линиями $x=x_0$, $y=y_0$ в точке $(x_0,y_0)$:
begin{align*}
&mbox{cos}, varphi = displaystylefrac{E,dx,delta x + F(dxdelta y+delta xdy)+Gdydelta y}{sqrt{Edx^2+2Fdxdy+Gdy^2}cdotsqrt{Edelta x^2+2Fdelta xdelta y+Gdelta y^2}}=\
&= displaystylefrac{Fdelta xdy}{sqrt{Gdy^2}cdotsqrt{Edelta x^2}}=displaystylefrac{(a^2x_0y_0)delta xdy}{sqrt{(1+a^2x_0^2)dy^2}cdotsqrt{(1+a^2y_0^2)delta x^2}}=\
& = displaystylefrac{a^2x_0y_0}{sqrt{(1+a^2x_0^2) }cdotsqrt{(1+a^2y_0^2) }}.
end{align*}

Задача 4 (Дополнение к Задаче 3)

Как мы вывели в примере выше, угол между координатными линиями равен

begin{equation*}
mbox{cos}, varphi = displaystylefrac{F}{sqrt{EG}}.
end{equation*}

Из формулы следует, что координатная сеть поверхности ортогональна (координатные линии пересекаются под прямым углом), тогда и только тогда, когда $F$=0.

Задача 5 (Феденко 683)

Найти периметр и внутренние углы криволинейного треугольника
$$ u=pm av^2/2,,, v=1,$$
расположенного на поверхности
$$I_1=du^2+(u^2+a^2)dv^2.$$

Вершины треугольника:
begin{align*}
&A(u=0,, v=0),\
&B(u=-frac{a}{2},, v=1), \
&C(u=frac{a}{2},, v=1).
end{align*}

Зная координаты вершин и уравнения сторон, найдем длины дуг, составляющих стороны треугольника $ABC$, и углы между линиями в точках их пересечения, то есть в вершинах треугольника:
begin{align*}
&s_1 = |BC| = a,\
&s_2 = |AC| = frac76 a,\
&s_3 = |BC| = frac76 a,\
&P_{triangle ABC}=s_1+s_2+s_3=frac{10}{3}a.
end{align*}
begin{align*}
&mbox{cos},A = 1, ,, mbox{cos},B=mbox{cos},C=frac23.
end{align*}

Источник

Длина дуги кривой

Краткая теория

Длина дуги в прямоугольных координатах

Длина

дуги гладкой
кривой

, содержащейся между двумя точками с абсциссами

, равна:

Длина дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана уравнениями в
параметрической форме

(

– непрерывно
дифференцируемые функции)

то длина дуги

кривой равна:

где

– значения
параметра, соответствующие концам дуги.

Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах

Если гладкая кривая задана
уравнением

в полярных
координатах

, то длина дуги

равна:

где

– значения
полярного угла в крайних точках дуги.

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислите
длину дуги кривой.

Решение

Длину дуги можно вычислить по
формуле:

Преобразуем подынтегральную функцию:

Искомая длина дуги кривой:

Ответ:

Задача 2

Вычислите
длину дуги кривой.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Длину дуги
кривой можно вычислить по формуле:

Ответ:

Задача 3

Найти
длин дуги кривой

Решение

Длину
дуги кривой, заданной параметрически, можно найти по формуле:

Ответ:

Задача 4

Вычислить
длину дуги кривой:

Решение

Длина
дуги кривой, заданной в полярных координатах:

Ответ:

Источник

Длина
S
дуги гладкой кривой y=
f(x),
содержащейся между двумя точками с
абсциссами x
= a
и x
= b
равна

Пример
2.1. Вычислить
длину дуги

,
цепной линии, заданной уравнением

,
от точки x
= 0 до точки
x
= 4.

Решение.
Воспользуемся указанной формулой.
Имеем:

Отсюда

2.2.
Длина дуги кривой, заданной параметрически.

Если
кривая задана уравнениями в параметрической
форме

где
φ (t)
и ψ (t)
– непрерывно дифференцируемые функции,
то длина дуги S
кривой равна

где
t₁и t₂
значения параметра, соответствующие
концам дуги.

Пример
2.1.. Вычислить
длину дуги кривой:

от
t
= 0 до

Решение.
Дифференцируя по t
параметрические уравнения кривой,
получим

Преобразуем
подынтегральную функцию:

Пользуясь
формулой для длины дуги в параметрическом
виде, получим

2.3. Длина дуги кривой в полярной системе координат

Если
гладкая кривая задана уравнением

в полярных координатах ρ
и φ,
то длина дуги S
равна

где
α и β –значения полярного угла в крайних
точках дуги.

Пример
2.3. Найти
длину всей кривой

Вся
кривая описывается точкой (ρ,
φ) при
изменении φ
от 0 до 3π.

Решение.
Имеем

поэтому
длина всей дуги кривой

Задачи
для самостоятельного решения.

1.
Определить длину дуги кривой,

,отсеченной
осью Oх.

Ответ:

2.
Определить длину дуги кривой

от x=0
до x=1

Ответ:

3.
Определить длину дуги кривой

между
точками, абсциссы которых π/2 и π/3.

Ответ:

4.
Определить длину дуги кривой

от
начала координат до точки, для которой
x=1.

Ответ:
e
– 1.

5.
Определить длину дуги кривой

от x₁=a
до x₂=b.

Ответ:

Вычислить
длину дуги кривой

в пределах от 0 до

.

Ответ:

Вычислить
длину дуги кривой

от
t₁=0
до t₂=π.

Ответ:

Найти
длину развертки окружности

от
t=0
до t=T.

Ответ:

9.
Найти длину кривой

Ответ:
16a.

10.
Найти всю длину кардиоиды

Ответ:
8a.

11.
Вычислить длину прямой линии

в пределах от φ₁=0
до φ₂=π/2.

Ответ:

12.
Вычислить длину дуги части параболы

отсекаемой от параболы вертикальной
прямой, проходящей через полюс.

Ответ:

.

13.
Вычислить длину кривой

Ответ:

Занятие
3.
Вычисление объема тел.

3.I. Объем тела вращения

Объемы
тел, образованных вращением криволинейной
трапеции, ограниченной кривой

,
осью Ох и
двумя вертикалями х=а
и х=b,
вокруг осей Ох
и Oy,
выражаются соответственно формулами: