Призма является геометрической объемной фигурой, характеристики и свойства которой изучают в старших классах школ. Как правило, при ее изучении рассматривают такие величины, как объем и площадь поверхности. В данной же статье раскроем несколько иной вопрос: приведем методику определения длины диагоналей призмы на примере четырехугольной фигуры.
Какая фигура называется призмой?
В геометрии дается следующее определение призме: это объемная фигура, ограниченная двумя многоугольными одинаковыми сторонами, которые параллельны друг другу, и некоторым числом параллелограммов. Рисунок ниже показывает пример призмы, соответствующий данному определению.
Мы видим, что два красных пятиугольника равны друг другу и находятся в двух параллельных плоскостях. Пять розовых параллелограммов соединяют эти пятиугольники в цельный объект — призму. Два пятиугольника называются основаниями фигуры, а ее параллелограммы — это боковые грани.
Призмы бывают прямые и наклонные, которые также называют прямоугольными и косоугольными. Разница между ними заключается в углах между основанием и боковыми гранями. Для прямоугольной призмы все эти углы равны 90o.
По количеству сторон или вершин многоугольника в основании говорят о призмах треугольных, пятиугольных, четырехугольных и так далее. Причем если этот многоугольник является правильным, а сама призма прямой, то такую фигуру называют правильной.
Приведенная на предыдущем рисунке призма является пятиугольной наклонной. Ниже же изображена пятиугольная прямая призма, которая является правильной.
Все вычисления, включая методику определения диагоналей призмы, удобно выполнять именно для правильных фигур.
Какие элементы характеризуют призму?
Элементами фигуры называют составные части, которые ее образуют. Конкретно для призмы можно выделить три главных типа элементов:
- вершины;
- грани или стороны;
- ребра.
Гранями считаются основания и боковые плоскости, представляющие параллелограммы в общем случае. В призме всегда каждая сторона относится к одному из двух типов: либо это многоугольник, либо параллелограмм.
Ребра призмы — это те отрезки, которые ограничивают каждую сторону фигуры. Как и грани, ребра также бывают двух типов: принадлежащие основанию и боковой поверхности или относящиеся только к боковой поверхности. Первых всегда в два раза больше, чем вторых, независимо от вида призмы.
Вершины — это точки пересечения трех ребер призмы, два из которых лежат в плоскости основания, а третье — принадлежит двум боковым граням. Все вершины призмы находятся в плоскостях оснований фигуры.
Числа описанных элементов связаны в единое равенство, имеющее следующий вид:
Р = В + С — 2.
Здесь Р — количество ребер, В — вершин, С — сторон. Это равенство называется теоремой Эйлера для полиэдра.
На рисунке показана треугольная правильная призма. Каждый может посчитать, что она имеет 6 вершин, 5 сторон и 9 ребер. Эти цифры согласуются с теоремой Эйлера.
Диагонали призмы
После таких свойств, как объем и площадь поверхности, в задачах по геометрии часто встречается информация о длине той или иной диагонали рассматриваемой фигуры, которая либо дана, либо ее нужно найти по другим известным параметрам. Рассмотрим, какие бывают диагонали у призмы.
Все диагонали можно разделить на два типа:
- Лежащие в плоскости граней. Они соединяют несоседние вершины либо многоугольника в основании призмы, либо параллелограмма боковой поверхности. Значение длин таких диагоналей определяется, исходя из знания длин соответствующих ребер и углов между ними. Для определения диагоналей параллелограммов всегда используются свойства треугольников.
- Лежащие внутри объема призмы. Эти диагонали соединяют неоднотипные вершины двух оснований. Эти диагонали оказываются полностью внутри фигуры. Их длины рассчитать несколько сложнее, чем для предыдущего типа. Методика расчета предполагает учет длин ребер и основания, и параллелограммов. Для прямых и правильных призм расчет является относительно простым, поскольку он осуществляется с использованием теоремы Пифагора и свойств тригонометрических функций.
Далее приведем примеры вычисления различных диагоналей.
Диагонали сторон четырехугольной прямой призмы
На рисунке выше изображены четыре одинаковые прямые призмы, и даны параметры их ребер. На призмах Diagonal A, Diagonal B и Diagonal C штриховой красной линией изображены диагонали трех разных граней. Поскольку призма является прямой с высотой 5 см, а ее основание представлено прямоугольником со сторонами 3 см и 2 см, то отыскать отмеченные диагонали не представляет никакого труда. Для этого необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.
Длина диагонали основания призмы (Diagonal A) равна:
DA = √(32+22) = √13 ≈ 3,606 см.
Для боковой грани призмы диагональ равна (см. Diagonal B):
DB = √(32+52) = √34 ≈ 5,831 см.
Наконец, длина еще одной боковой диагонали равна (см. Diagonal C):
DС = √(22+52) = √29 ≈ 5,385 см.
Длина внутренней диагонали
Теперь рассчитаем длину диагонали четырехугольной призмы, которая изображена на предыдущем рисунке (Diagonal D). Сделать это не так сложно, если заметить, что она является гипотенузой треугольника, в котором катетами будут высота призмы (5 см) и диагональ DA , изображенная на рисунке вверху слева (Diagonal A). Тогда получаем:
DD = √(DA2+52) = √(2 2+32+52) = √38 ≈ 6,164 см.
Правильная призма четырехугольная
Диагональ правильной призмы, основанием которой является квадрат, рассчитывается аналогичным образом, как и в приведенном выше примере. Соответствующая формула имеет вид:
D = √(2*a2+c2).
Где a и c — длины стороны основания и бокового ребра, соответственно.
Заметим, что при вычислениях мы использовали только теорему Пифагора. Для определения длин диагоналей правильных призм с большим числом вершин (пятиугольные, шестиугольные и так далее) уже необходимо применять тригонометрические функции.
Зная стороны оснований треугольной призмы и боковые ребра, можно вычислить все необходимые параметры треугольной призмы. Равносторонний треугольник в основании позволяет найти высоту основания, равную ребру основания, деленному на корень из двух. Радиусы окружностей, которые могут быть вписаны и описаны около оснований треугольной призмы, также можно найти по формулам для равностороннего треугольника.
h=a/√2
r=a/(2√3)
R=a/√3
Чтобы найти диагональ боковой грани призмы, нужно знать не только сторону ее основания, но и боковое ребро, тогда диагональ станет гипотенузой в прямоугольном треугольнике из бокового ребра и ребра основания.
d=√(a^2+b^2 )
Периметр треугольной призмы складывается из шести сторон оснований, по три на каждое, и трех боковых ребер. Площадь основания треугольной призмы равна площади равностороннего треугольника, а площадь боковой поверхности – трем площадям прямоугольников со сторонами ребром основаниям и боковым ребром. Чтобы посчитать площадь полной поверхности треугольной призмы, нужно сложить две площади основания и площадь боковой поверхности.
P=3(2a+b)
S_(осн.)=(√3 a^2)/4
S_(б.п.)=3ab
S_(п.п.)=3ab+(√3 a^2)/2
Чтобы вычислить объем треугольной призмы, как и любого другого объемного тела с двумя основаниями, необходимо площадь основания умножить на высоту тела/боковое ребро призмы.
V=S_(осн.) b=(√3 a^2 b)/4
Вокруг любой треугольной призмы можно описать сферу, ее радиус будет равен квадратному корню из суммы квадрата радиуса описанной вокруг основания окружности и квадрата половины бокового ребра призмы, которые путем алгебраических преобразований приводят к квадратному корню из пяти шестых, умноженному на сторону основания.
R_1=√(5/6) a
В треугольную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда половина ее высоты равна радиусу вписанной в основание окружности, в таком случае радиус вписанной в треугольную призму сферы будет равен радиусу вписанной в основание окружности (половине бокового ребра).
r_1=r
Как найти диагональ правильной призмы
Нахождение диагонали правильной призмы часто используется как промежуточный этап при решении более сложных задач. Общая формула легко выводится при рассмотрении двух прямоугольных треугольников.
Инструкция
Для нахождения диагонали правильной призмы вам необходимо разобраться всего в нескольких определениях.
Призмой называется многогранник, имеющий в качестве оснований два равных многоугольника (треугольника, четырехугольника и т.д.), лежащих в параллельных плоскостях, а в качестве боковых граней — параллелограммы.
Прямой призмой называется призма, у которой боковые грани-прямоугольники.
Правильной призмой называется прямая призма, основания которой являются правильными многоугольниками (равносторонний треугольник, квадрат, и т.д.)
АВСDА1В1С1D1 — Правильная четырехугольная призма.
АА1В1В — боковая грань правильной четырехугольной призмы.
Все четыре боковых грани данной призмы равны.
АВСD и А1В1С1D1 -основания призмы (квадраты, лежащие в параллельных плоскостях).
Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его не смежные вершины, т.е вершины, которые не принадлежат одной грани.
Из рисунка видно, что точка А и точка С 1 не принадлежат одной грани и следовательно отрезок АС1 — диагональ данной призмы.
Для того чтобы найти диагональ, призмы надо рассмотреть треугольник АСС1. Этот треугольник прямоугольный. Диагональ призмы АС1 в рассматриваемом треугольнике будет являться гипотенузой, а отрезки АС и СС1 катетами. Из теоремы Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) следует, что:
АС12 = АС2 + СС12 (1);
Далее следует рассмотреть треугольник АСD. Треугольник АСD тоже прямоугольный (т.к. основание призмы — квадрат). Для удобства можно обозначить сторону основания буквой а. Таким образом по теореме Пифагора:
АС2 = а2 +а2, АС = √2а (2);
Если обозначить высоту призмы буквой h и подставить выражение (2) в выражение (1), получится:
АС12 = 2а2+h2, АС1 = √(2a^2+h^2 ), где а — сторона основания, h — высота.
Данная формула справедлива для любой правильной призмы.
Источники:
- диагональная призма
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Найдите длину диагонали боковой грани призмы, если ребро ее основания равно 12 см, а боковое ребро составляет 5 см.
Вы перешли к вопросу Найдите длину диагонали боковой грани призмы, если ребро ее основания равно 12 см, а боковое ребро составляет 5 см?. Он относится к категории Геометрия,
для 10 — 11 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот
вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического
умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории
Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном
объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части
сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете
ознакомиться с вариантами ответов пользователей.
Призма. Формулы и свойства призмы
Определение.
Призма — это многогранная объемная фигура, которая состоит из двух одинаковых плоских многоугольников (основ), находящихся в двух параллельных плоскостях, а другие грани (боковые грани) — параллелограммы, что имеют общие стороны с этими многоугольниками.
Определение. Основы призмы — две грани, которые являются равными параллельными плоскими многоугольниками (ABCEF, GMNJK).
Определение. Боковые грани призмы — все остальные грани за исключением основ.
Определение. Боковая поверхность призмы — совокупность всех боковых граней призмы.
Определение. Поверхность призмы — это совокупность поверхностей двух оснований и боковой поверхности.
Определение. Боковое ребро призмы — общая сторона двух боковых граней.
Определение. Высота — это перпендикуляр, который соединяет две основы призмы под прямым углом.
Определение. Диагональ основания призмы — это отрезок, соединяющий две не соседние вершины, принадлежащие этой же основе.
Определение. Диагональ боковой грани призмы — это отрезок, соединяющий две противоположные вершины, лежащие на одной боковой грани однако принадлежат различным основам.
Определение. Диагональ призмы (AN) — это отрезок, соединяющий две вершины, лежащие на разных основаниях, но не лежат на одной боковой стороне.
Определение. Диагональное сечение — это пересечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания призмы и боковое ребро. Треугольная призма (в основе призмы треугольники) не имеет диагональных сечений.
Определение. Перпендикулярное сечение — это пересечение призмы плоскостью, пересекающей боковые ребра призмы под прямым углом.
Определение. Прямая призма — это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.
Определение. Наклонная призма — это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.
Определение. Правильная призма — это призма, в которой основы являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.
Определение. Усечённая призма — это призма, в которой две основы не параллельны (рис. 2). Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.
Объём призмы
Формула. Объём призмы через площадь основания и высоту:
V = SоснH
Формула. Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра:
V = SпL
Формула.
Объём правильной прямой призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):
Площадь поверхности призмы
Формула. Площадь боковой поверхности призмы через периметр основания и высоту:
Sb = P·h
Формула. Площадь поверхности призмы через площадь основания, периметр основания и высоту:
S = 2Soсн + P·h
Формула.
Площадь поверхности правильной призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):
| S = | n | a2ctg | π | + nah |
| 2 | n |
Основные свойства призмы
Основы призмы — равные многоугольники.
Боковые грани призмы — параллелограммы.
Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
В прямой призме гранями могут быть прямоугольниками или квадратами.