Как найти длину диагонали конуса

Фигура конус является объектом изучения стереометрии. Основными свойствами конуса являются наличие у него объема и площади поверхности, которые можно вычислить с помощью линейных параметров. Одним из них является диаметр конуса. В данной статье покажем, как этот диаметр можно рассчитать по другим известным характеристикам фигуры.

Круглый прямой конус

В общем случае конусом является фигура, построенная в результате движения отрезка вдоль некоторой кривой на плоскости, при этом второй конец отрезка зафиксирован в определенной точке пространства. Сам отрезок называется генератрисой, или образующей, а кривая — директрисой, или направляющей.

Согласно приведенному определению, кривая, которая ограничивает фигуру, может быть совершенно любого типа. Самыми известными из них являются парабола, гипербола, эллипс и окружность. В последнем случае говорят о круглом конусе.

Круглый конус может быть наклонным и прямым. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.

Здесь r — радиус окружности, которая ограничивает основание фигуры. Буквой h обозначена высота, которая представляет опущенный на основание из вершины конуса перпендикуляр. Буквой a обозначена ось конуса. Видно, что в случае прямой фигуры его высота совпадает с осью, то есть пересекает окружность в ее центре.

Помимо радиуса r и высоты h, важным линейным параметром конуса является длина его образующей g. Как было сказано, образующая — это отрезок, соединяющий директрису с высотой. Для прямого круглого конуса все образующие равны друг другу.

Далее в статье, раскрывая вопрос касательно того, как найти диаметр конуса, будет рассматриваться только конус круглый и прямой.

Вычисление диаметра фигуры через линейные параметры и угол при основании

Описанную пространственную фигуру можно получить, если вращать вокруг любого катета прямоугольный треугольник. Этот факт демонстрирует рисунок ниже.

Из рисунка видно, что два катета AC и AB являются радиусом r и высотой h объемной фигуры соответственно. Генератриса g — это гипотенуза BC. Эти соответствия позволяют записать формулу диаметра конуса через известные g и h:

d = 2*√(g² — h²)

При записи этой формулы использовалась теорема Пифагора, а также определение диаметра, который в два раза больше радиуса основания конуса.

Если известен угол φ между основанием и любой из образующих g фигуры, тогда диаметр конуса можно определить по следующим формулам:

d = 2*g*cos(φ);

d = 2*h/tg(φ)

Оба равенства являются следствием применения определения тригонометрических функций тангенса и косинуса.

Вычисление диаметра через площадь поверхности и генератрису

Поверхность рассматриваемого конуса образована конической поверхностью и круглым основанием. Развертка конуса показана ниже.

Общая площадь развертки определяется по следующей формуле:

S = pi*r² + pi*r*g

Если известна площадь S и генератриса g, тогда это уравнение позволяет вычислить радиус фигуры, а значит, и ее диаметр. Заметим, что речь идет об уравнении второго порядка относительно радиуса r. Решать его следует с использованием дискриминанта. При решении, как правило, получаются два корня, один из которых отрицательный. Он должен быть отброшен, ввиду его не физического значения.

С использованием описанной методики в конце статьи будет решена задача, и будет получен ответ на вопрос о том, чему равен диаметр конуса.

Определение диаметра через объем и высоту

Теперь покажем, как найти диаметр конуса, зная его объем V и высоту h. Для этого необходимо вспомнить, что объем конуса, как и объем любой пирамиды, можно определить, пользуясь следующим равенством:

V = 1/3*S*h

Здесь S — площадь основания. Поскольку площадь основания в рассматриваемом случае является площадью круга, то это выражение можно переписать в таком виде:

V = 1/3*pi*r²*h

Остается выразить отсюда радиус и умножить его в два раза, и мы получим ответ на вопрос о том, как найти диаметр конуса через величины V и h. Имеем:

r = √(3*V/(pi*h));

d = 2*r = 2*√(3*V/(pi*h))

Заметим, что в правой части получается размерность длины. Это доказывает правильность полученной формулы.

Все записанные в статье формулы для диаметра d фигуры также являются справедливыми для радиуса, который будет в два раза меньше диаметра.

Задача на определение диаметра через известную площадь конуса и его образующую

Дан конус, площадь поверхности которого составляет 150 см². Генератриса равна 14 см. Чему равен диаметр конуса?

Для получения ответа на поставленный вопрос используем описанную в статье методику. Сначала выпишем соответствующее уравнение:

S = pi*r² + pi*r*g =>

r² + 14*r — 150/3,14 = 0

При получении последнего равенства мы разделили левую и правую его части на число Пи. Рассчитываем дискриминант D. Имеем:

D = 14² — 4*1*(-150/3,14) = 387,0828

Полученный дискриминант приведен с точностью до 0,0001. Формула для корней уравнения r имеет следующий вид:

r = (-14±√D)/2

Очевидно, что один из корней будет отрицательным. Его не будем вычислять. Определим лишь искомый положительный радиус фигуры:

r = (-14+√387,0828)/2 = 2,837 см

Чтобы найти диаметр конуса, остается умножить это значение на два и записать ответ: d = 5,674 см.

В конце отметим, что, зная два любых параметра круглого конуса прямого, можно определить любую его характеристику, включая объем и площадь поверхности.

Элементы конуса

Определение. Вершина конуса — это точка (K), из которой исходят лучи.

Определение. Основание конуса — это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.

Определение. Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.

Определение. Направляющая конуса — это кривая, которая описывает контур основания конуса.

Определение. Боковая поверхность конуса — это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.

Определение. Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.

Определение. Высота конуса (H) — это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.

Определение. Ось конуса (a) — это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.

Уравнение конуса

Основные свойства кругового конуса

Определение и элементы конуса

Под конусом понимают тело, состоящее из круга и точки, которая удалена от его поверхности на определённое расстояние.

При этом точка соединяется с основанием посредством проведения лучей, которые называются образующими. Линия, соединяющая центр круга с удалённой точкой, является высотой данной фигуры.

Обратите внимание! Также существует такое понятие, как ось конуса. Это линия, проходящая через его центр и совпадающая с высотой. Образующие строятся относительно оси.

Хотелось бы рассмотреть ещё несколько понятий по этой теме:

• Под конусностью понимают отношение диаметра основания фигуры и её высоты:

Конусность отвечает за угол наклона образующих. Чем больше данный параметр, тем острее угол.

• Осевое сечение предполагает наличие плоскости, которая будет рассекать фигуру, проходя через ось:

• Касательная— это плоскость, которая соприкасается с образующей конуса. При этом важно, чтобы она была перпендикулярна осевому сечению.

Основные сведения

• R – радиус круга, являющегося основанием конуса. Центр круга – точка D, диаметр – отрезок AB.
• h (CD) – высота конуса, одновременно являющаяся осью фигуры и катетом прямоугольных треугольников ACD или BCD.
• Точка C – вершина конуса.
• l (CA, CB, CL и CM) – образующие конуса; это отрезки, соединяющие вершину конуса с точками на окружности его основания.
• Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник ABC, который образуется в результате пересечения конуса плоскостью проходящей через его ось.
• Поверхность конуса – состоит из его боковой поверхности и основания. Формулы для расчета площади поверхности, а также объема прямого кругового конуса представлены в отдельных публикациях.

Между образующей конуса, его высотой и радиусом основания есть взаимосвязь (согласно теореме Пифагора):

l2 = h2 + R2

Развёртка конуса – боковая поверхность конуса, развернутая в плоскость; является круговым сектором.

• длина дуги сектора равняется длине окружности основания конуса (т.е. 2πR);
• α – угол развёртки (или центральный угол);
• l – радиус сектора.

Виды конусов

1. Прямой конус – имеет симметричное основание. Ортогональная проекция вершины данной фигуры на плоскость основания совпадает с центром этого основания.
2. Косой (наклонный) конус – ортогональная проекция вершины фигуры на ее основание не совпадает с центром этого основания.
3. Усеченный конус (конический слой) – часть конуса, которая остается между его основанием и секущей плоскостью, параллельной данному основанию.
4. Круговой конус – основанием фигуры является круг. Также бывают: эллиптический, параболический и гиперболический конусы.
5. Равносторонний конус – прямой конус, образующая которого равняется диаметру его основания.

Свойства кругового конуса

Выделяют несколько особенностей, которыми обладает фигура данного типа:

1. Образующие кругового конуса равны друг другу.
2. Чтобы найти центр тяжести фигуры, нужно её высоту поделить на четыре части.
3. Место пересечения плоскости сечения и основы образует параболу. Если через вершину тела провести плоскость сечения, то получится равнобедренный треугольник.

Интересный факт! Если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов, то получится конус. При этом важно, чтобы угол вращения был не менее 360 градусов.

Общая формула объёма фигуры

Чтобы найти объём кругового конуса, необходимо умножить число Пи на его высоту, на радиус в квадрате и всё это произведение поделить на три:

Дополнительная информация! Чтобы узнать объём фигуры, нужно умножить площадь её основы на высоту и поделить на три:

Расчет объема

Формула объема любого конуса выглядит следующим образом:

V = 1/3 * π * h * r2

где

• V – это объем конуса;
• h – высота;
• r – радиус;
• π — константа, равная 3,14.

Для того чтобы рассчитать обьем конуса, необходимо иметь данные о высоте и радиусе основания тела.

Для расчета высоты тела необходимо знать радиус основания и длину его образующей. Поскольку радиус, высота и образующая объединяются в прямоугольный треугольник, то высоту можно рассчитать по формуле из теоремы Пифагора (a2+ b2= c2 или в нашем случае h2+ r2= l2, где l – образующая). Высота при этом будет рассчитываться путем извлечения квадратного корня из разности квадратов гипотенузы и другого катета:

a = √c2- b2

То есть высота конуса будет равна величине, полученной после извлечения квадратного корня из разности квадрата длины образующей и квадрата радиуса основания:

h = √l2 — r2

Рассчитав таким методом высоту и зная радиус его основания, можно вычислить объем конуса. Образующая при этом играет важную роль, так как служит вспомогательным элементом в расчетах.

Аналогичным образом, если известна высота тела и длина его образующей, можно узнать радиус его основания, извлекая квадратный корень из разности квадрата образующей и квадрата высоты:

r = √l2 — h2

После чего по той же формуле, что указана выше, рассчитать объем конуса.

Объём усечённого конуса

Это часть прямого конуса, которая находится в пространстве между основой и плоскостью, параллельной этому основанию. В общем виде выглядит следующим образом:

Объём данного тела можно вычислить по формуле:

Важно! S и S1 это площади соответствующих основ, которые равняются ПR2 и ПR12 При нахождении этих значений поможет онлайн калькулятор.

Первый способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

[ LARGE V = frac{1}{3} left( Hcdot S_2 + h cdot s_1 right) ]

где:

• V – объем конуса
• h – расстояния от плоскости верхнего основания до вершины
• H – расстояния от плоскости нижнего основания до вершины
• S1 – площадь верхнего (ближнего к вершине) основания
• S2 – площадь нижнего основания

Второй способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

[ LARGE V = frac{1}{3} pi h left( R^2 + R cdot r + r^2 right) ]

где:

• V – объем конуса
• h – высота конуса
• R – радиус нижнего основания
• r – радиус верхнего основания

Объем наклонного конуса

Так как формула объема конуса одинакова для всех видов тела вращения, отличие в его расчете составляет поиск высоты.

Для того чтобы узнать высоту наклонного конуса, вводные данные должны включать длину образующей, радиус основания и расстояние между центром основания и местом пересечения высоты тела с плоскостью его основания. Зная это, можно с легкостью рассчитать ту часть диаметра основания, которая будет являться основанием прямоугольного треугольника (образованного высотой, образующей и плоскостью основания). После чего, снова используя теорему Пифагора, произвести расчет высоты конуса, а впоследствии и его объема.

Площадь поверхности фигуры

Для вычисления данного параметра потребуется знать площадь боковой поверхности. Она равняется произведению числа π, радиуса и длины образующей.

Чтобы рассчитать площадь всей поверхности, нужно сложить площади его основы и боковой поверхности.

Формула образующей конуса

Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:

L = √H2 + R2

Формула площади боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:

Sбок.пов = πRL

Формула площади основания конуса

Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:

Sосн = πR2

Сечение конуса

Осевым сечением конуса называется плоскость, проходящая по его оси либо высоте. В прямом конусе такое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором высотой треугольника является высота тела, его сторонами выступают образующие, а основание – это диаметр основания. В равностороннем геометрическом теле осевое сечение является равносторонним треугольником, так как в этом конусе диаметр основания и образующие равны.

Плоскость осевого сечения в прямом конусе является плоскостью его симметрии. Причиной этому служит то, что его вершина находится над центром его основания, то есть плоскость осевого сечения делит конус на две одинаковые части.

Так как в наклонном объемном теле высота и ось не совпадают, плоскость осевого сечения может не включать в себя высоту. Если осевых сечений в таком конусе можно построить множество, так как для этого необходимо соблюдать лишь одно условие — оно должно проходить только через ось, то осевое сечение плоскости, которому будет принадлежать высота этого конуса, можно провести лишь одно, потому что количество условий увеличивается, а, как известно, две прямые (вместе) могут принадлежать только одной плоскости.

Площадь сечения

Упомянутое ранее осевое сечение конуса представляет собой треугольник. Исходя из этого, его площадь можно рассчитать по формуле площади треугольника:

S = 1/2 * d * h или S = 1/2 * 2r * h

где

• S – это площадь сечения;
• d – диаметр основания;
• r – радиус;
• h – высота.

В косом, или наклонном конусе сечение по оси также является треугольником, поэтому в нем площадь сечения рассчитывается аналогично.

Площадь усечённого конуса

Для нахождения данного параметра нужно воспользоваться формулами:

• площади боковой поверхности усечённого конуса Sбок;
• полной площади усечённой фигуры Sпол, которая равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

Здесь l — длина образующей, а R и r — радиусы большего и меньшего оснований соответственно.

Уравнение конуса

Часто требуется при решении математических задач. Записывается в следующем виде:

где x0, y0,z0- координаты по соответствующим осям.

Таким образом, в данной статье были представлены основные сведения, которые могут понадобиться при решении задач на тему «Конус».

Составляющие конуса

Различают следующие виды конусов: косой (или наклонный) и прямой. Косым называется тот, ось которого пересекается с центром его основания не под прямым углом. По этой причине высота в таком конусе не совпадает с осью, так как она является отрезком, который опущен из вершины тела на плоскость его основания под углом 90°.

Тот конус, ось которого расположена перпендикулярно к его основанию, называется прямым. Ось и высота в таком геометрическом теле совпадают по причине того, что вершина в нем расположена над центром диаметра основания.

Конус состоит из следующих элементов:

1. Круга, являющегося его основанием.
2. Боковой поверхности.
3. Точки, не лежащей в плоскости основания, называющейся вершиной конуса.
4. Отрезков, которые соединяют точки круга основания геометрического тела и его вершину.

Все эти отрезки являются образующими конуса. Они наклонные к основанию геометрического тела, и в случае прямого конуса их проекции равны, так как вершина равноотдалена от точек круга основания. Таким образом, можно сделать вывод, что в правильном (прямом) конусе образующие равны, то есть имеют одинаковую длину и образуют одинаковые углы с осью (или высотой) и основанием.

Так как в косом (или наклонном) теле вращения вершина смещена по отношению к центру плоскости основания, образующие в таком теле имеют разную длину и проекцию, поскольку каждая из них находится на разном расстоянии от двух любых точек круга основания. Кроме того, углы между ними и высотой конуса также будут отличаться.

Длина образующих в прямом конусе

Как написано ранее, высота в прямом геометрическом теле вращения перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, образующая, высота и радиус основания создают в конусе прямоугольный треугольник.

То есть, зная радиус основания и высоту, при помощи формулы из теоремы Пифагора, можно вычислить длину образующей, которая будет равна сумме квадратов радиуса основания и высоты:

l2 = r2+ h2 или l = √r2 + h2

где

• l – образующая;
• r – радиус;
• h – высота.

Образующая в наклонном конусе

Исходя из того, что в косом, или наклонном конусе образующие имеют не одинаковую длину, рассчитать их без дополнительных построений и вычислений не получится.

Прежде всего необходимо знать высоту, длину оси и радиус основания.

Имея эти данные, можно рассчитать часть радиуса, лежащую между осью и высотой, по формуле из теоремы Пифагора:

r1= √k2 — h2

где

• r1 – это часть радиуса между осью и высотой;
• k – длина оси;
• h – высота.

В результате сложения радиуса (r) и его части, лежащей между осью и высотой (r1), можно узнать полную сторону прямоугольного треугольника, сформированного образующей конуса, его высотой и частью диаметра:

R = r + r1

где

• R – катет треугольника, образованного высотой, образующей и частью диаметра основания;
• r – радиус основания;
• r1 – часть радиуса между осью и высотой.

Пользуясь все той же формулой из теоремы Пифагора, можно найти длину образующей конуса:

l = √h2+ R2

или, не производя отдельно расчет R, объединить две формулы в одну:

l = √h2 + (r + r1)2.

Несмотря на то, прямой или косой конус и какие вводные данные, все способы нахождения длины образующей всегда сводятся к одному итогу — использованию теоремы Пифагора.

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем конуса, если известна площадь его основания – 50,24 см2, а также, высота – 9 см.

Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее заданные значения:

Задание 2
Высота конуса равна 7 см, а его радиус – 4 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользовавшись второй, более расширенной, формулой получаем:

Прямой конус — это конус, у которого ось перпендикулярна основанию. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой

Косой (наклонный) конус — это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой

Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса.

Длина образующей, L

$$
L = sqrt{R^2 + h^2}
$$

Площадь основания, S_О

$$
S_О = pi * R^2
$$

Площадь боковой поверхности, S_Б

$$
S_Б = pi * R * L
$$

Общая площадь поверхности, S

$$
S = pi * R * L + pi * R^2 = S_О + S_Б
$$

Объём прямого конуса, V

$$
V = {1 over 3} * pi * h * R^2
$$

Объём любого конуса

$$
V = {1 over 3} * S_О * h
$$

Угол ∠ f для развертки

$$
∠ f = 360° * {R over L}
$$