Как найти длину диагонали трапеции формула


Найти длину диагонали трапеции

зная все четыре стороны

или две стороны и угол

или высоту, сторону и угол

или площадь, другую диагональ и угол

и еще много других формул.

1. Формулы длины диагоналей трапеции по теореме косинусов или через четыре стороны

Формулы диагонали трапеции по теореме косинусов

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β углы трапеции

d1 , d2 — диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции по теореме косинусов:

Все формулы диагонали трапеции

Все формулы диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции через четыре стороны:

Формулы диагонали трапеции через стороны

Формулы диагонали трапеции через стороны

2. Формула длины диагоналей трапеции через высоту

Формула длины диагоналей трапеции через высоту

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β углы трапеции

h — высота трапеции

d1 , d2 — диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции через высоту:

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту

Формулы диагонали трапеции через высоту


3. Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ

Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ

a — нижнее основание

b — верхнее основание

α, β углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия трапеции

S — площадь трапеции

d1 , d2 — диагонали трапеции

Формулы диагоналей трапеции :

Формулы диагонали трапеции через другую диагональ

Формулы диагонали трапеции через другую диагональ

Справедливо для данного случая :


4. Формулы длины диагонали трапеции через сумму квадратов диагоналей

Формулы длины диагоналей трапеции через сумму квадратов диагоналей

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

d1 , d2 — диагонали трапеции

Формула суммы квадратов диагоналей :

Сумма квадратов диагоналей трапеции

Формулы диагоналей трапеции :

Формула длины диагонали через сумму квадратов диагоналей трапеции

Формула длины диагонали через сумму квадратов диагоналей трапеци



Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 23 октября 2013

Обновлено: 13 августа 2021

Диагональ выпуклого четырехугольника – это отрезок, соединяющий 2 противолежащие вершины. В
зависимости от типа геометрической фигуры диагональ обладает особыми свойствами, которые необходимо
знать и уметь применять на практике, так как большинство решений задач основывается именно на них. В
данной статье рассмотрены пути определения диагоналей, проведенных в трапеции.

Основные свойства фигуры и проведенных диагоналей способствуют выведению сокращенных формул, которые
помогут в решении задач по геометрии повышенного уровня. Рассмотрим несколько способов нахождения
искомого отрезка.

  • Диагональ трапеции через нижнее основание, боковую сторону
    и угол между ними
  • Диагональ трапеции через четыре стороны
  • Диагональ трапеции через высоту, нижнее основание и угол
    при нижнем основание
  • Диагональ трапеции через высоту, верхнее основание и угол
    при нижнем основание
  • Диагональ трапеции через высоту, нижнее основание и боковую
    сторону
  • Диагональ трапеции через высоту, основании и другую
    известную диагональ
  • Диагональ трапеции через площадь и другую известную
    диагональ
  • Диагональ трапеции через высоту, среднию линию и другую
    известную диагональ
  • Диагональ равнобедренной трапеции через основании и боковую
    сторону
  • Диагональ равнобедренной трапеции через высоту и среднию
    линию
  • Диагональ равнобедренной трапеции через высоту и
    основании
  • Диагональ равнобедренной трапеции через площадь и угол
    между диагоналями
  • Диагональ прямоугольной трапеции через основание и
    сторону
  • Диагональ прямоугольной трапеции через основание и
    высоту

Вычисление через нижнее основание, боковую сторону и угол между ними

Зная длину стороны, большего основания трапеции и противолежащий по отношению к диагонали угол, можно
быстро найти результат благодаря формуле:

D = √(a² + b² — 2ac * cos β)

где c — сторона трапеции, a — основание, β – угол между ними.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В трапеции проведена диагональ, противолежащий к ней острый угол равен 75
градусам. Прилежащие к данному углу основание и сторона трапеции равны 6,1 и 7 см. Найти проведенный
отрезок. D = √(6,1² + 7³ —  2 * 6,1 * 7 * cos75°) = 8 см – искомая
величина.

Вычисление через известные длины четырех сторон трапеции

Допустим, что a, b – основания, c и d – боковые стороны. Значение диагонали с учетом этих данных
легко можно найти, подставив их в формулу:

D =√(c² + ab — a * (c² — d²) / (a — b))

где a, b — основания, c, d — боковые стороны трапеции.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана трапеция с боковыми сторонами 6 и 5 см, основаниями 4 и 8 см. Нужно
найти диагональ, которая лежит против угла. Применим данную формулу для решения: D = √(36 + 4 * 8 — 4(36 — 25) / (8 — 4)) = √(36 + 32 — 44 / 4) = 7,5 см
– неизвестная диагональ.

Вычисление через высоту, нижнее основание и угол при нижнем основании

Зная длину проведенной в трапеции высоты к нижнему основанию, значение которого также известно, и
один из двух углов при нижнем основании фигуры, можно найти диагональ, применив формулу:

D = √(h² + (a — h * ctg β)²)

где h — высота, a — нижнее основание, β – внутренний угол при основании.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. К нижнему основанию трапеции равному 7 м проведена высота, длина которой 8
м. Известен угол между нижним основанием и боковой стороной — 71°. Найти диагональ,
противолежащую известному углу. D = √(64 + (7 — 8 * ctg 71°)²) = 9 м
– длина искомого отрезка.

Вычисление через высоту, верхнее основание и угол при нижнем основании

В данном случае не нужно тратить время на поиски нижнего основания трапеции, стоит воспользоваться
формулой:

D = √(h² + (b + h * ctg α)²)

где b – длина верхнего основания трапеции.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. К нижнему основанию трапеции проведена высота длиной 6 мм. Длина верхнего
основания фигуры равна 4 мм, а внутренний угол — 71°. Найти: значение диагонали трапеции,
проходящей через вершину известного угла. D = √(36 + (4 + 6 * ctg 71°)²) = 8,5 мм.

Вычисление через высоту, нижнее основание и боковую сторону

Если известна длина одной из боковых сторон, нижнее основание и высота, проведенная к нему,
необходимо применить формулу:

D = √(a² + c² — 2a * √(c² — h²))

где a – нижнее основание трапеции, c – боковая сторона, h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В трапеции проведена высота длиной 8 см к нижнему основанию длиной 7 см.
Известно, что одна из боковых сторон равна 9 см. Найти: диагональ, противолежащую острому углу между
нижним основанием и известной боковой стороной. D = √(49 + 81 — 14√81 — 64) = √(130 — 14√17) = √72,3 = 8,5 см
– искомая величина.

Вычисление через высоту, основании и другую известную диагональ

Кроме данных о высоте, верхнем и нижнем основании, одной из диагоналей, необходимо значить величину
углов, образующихся при пересечении диагоналей трапеции. Известно, что углы между отрезками
считаются смежными, а значит их синусы равны. Таким образом, подставляем все данные в формулу:

D = h(a+b) / d * sin α

где a, b – основания трапеции, α – острый или тупой угол между диагоналями, h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана трапеция с основаниями 15 и 5 мм. Проведена высота длиной 10 мм, а
длина большей диагонали равна 20 мм. Найти: вторую диагональ, если известно, что угол при
пересечении отрезков равен 60°. D = 20(15 + 5) / 20 * sin 60° = 20 / sin 60° = 11,54 мм.

Вычисление через площадь трапеции и другую известную диагональ

Здесь также понадобится значение угла между данными отрезками. Способ нахождения через известную
площадь фигуры и другую диагональ имеет формулу вида:

D = 2S / d * sin α

где S – площадь, α – угол, d — известная диагональ

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана трапеция площадью 87 мм² с диагональю длиной 14,7 мм. Как найти
неизвестную диагональ, если угол между отрезками равен 65 градусам. D = 2 * 87 / 14,7 * sin 65° = 174 / 14,7 * sin 65° = 13 мм
– искомая величина.

Вычисление через высоту, среднюю линию и другую известную диагональ

Средняя линия трапеции – это отрезок, проходящий через середины боковых сторон данного
четырёхугольника. Через это значение искомая диагональ находится по формуле:

D = 2 * mh / d * sin α

где буквой m обозначается средняя линия трапеции, h — высота, d — известная
диагональ.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Диагонали трапеции, одна из которых равна 19 мм, пересекаются под углом 65
градусов. Проведена средняя, длина которой 8 мм, а высота трапеции равна 15,5 мм. Найти: вторую
диагональ. D = 2 * 8 * 15,5 / 19 * sin 65° = 13 * sin 65° = 14,4 мм
длина неизвестной диагонали.

Диагональ равнобедренной трапеции через основания и боковую сторону

Равнобедренная трапеция – часто встречающийся вид данного четырёхугольника. Основными признаками
равнобедренной фигуры служит равенство внутренних углов при основании, а также равенство диагоналей.
Найти диагональ, проведенную в равнобедренной трапеции, можно несколькими способами. К примеру,
вычислить искомую величину можно по формуле:

D = √(c² + a * b)

где c – известная боковая сторона, a и b – верхнее и нижнее основание трапеции.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Углы трапеции при основаниях, равных 8 и 18 см, имеют одинаковую градусную
меру. Одна из боковых сторон равна 6 см. Найти: диагональ. Из равенства углов делаем вывод, что дана
равнобедренная трапеция. Затем подставляем известные значения в формулу: D = √(36 + 8 * 18) = √180 = 13,4 см
– длина диагоналей равнобедренной трапеции.

Диагональ равнобедренной трапеции через высоту и среднюю линию

Зная длину высоты и отрезок, проходящий через середины сторон равнобедренной трапеции, можно легко
найти искомую величину по формуле:

D = √(h² + m²)

где буквой m обозначена средняя линия, а h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В трапеции проведена высота длиной 7 м, диагонали равны. Как найти
диагонали, если известна длина средней линии – 9 м? Из равенства диагоналей можно сделать вывод, что
трапеция равнобедренная. А значит, что для быстрого решения нужно воспользоваться выше указанной
формулой: D = √(7² + 9²) = √(49+81) = √130 = 14,4 м – диагонали трапеции.

Диагональ равнобедренной трапеции через высоту, верхнее и нижнее основание

Формула нахождения искомого отрезка при помощи высоты и известных величин оснований имеет следующий
вид:

D = √(h² + (a² + b²) / 4)

где a и b – верхнее и нижнее основание равнобедренной трапеции, h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана равнобедренная трапеция, в которой к нижнему основанию проведена высота
длиной 7 см. Основания – 5 и 11 см. Найти: диагонали. D = √(7² +(5² + 11²) / 4) = √(49 + 146 / 4) = √85,5 = 10,6 см
– длина диагоналей.

Диагональ равнобедренной трапеции через площадь и угол между диагоналями

Как уже говорилось, синусы углов, образованных пересечением диагоналей, равны, так как углы являются
смежными. Поэтому для вычисления по следующей формуле, необходим любой из этих углов. Формула:

D = √2*S / sin α

где S — площадь, sin α — угол между диагоналями.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 86 мм². Найти: длину
диагоналей, один из углов при пересечении которых равен 120 градусам. D = √(2 * 86 / sin 120°) = √(172 / sin 120°) = 14 мм.

Диагональ прямоугольной трапеции через основание и сторону

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон расположена перпендикулярно основаниям (под углом
90°). Зная одно из оснований такого четырёхугольника и боковую сторону, можно легко найти диагональ,
применив следующую формулу:

D = √(a² + c²)

где a – основание, c — сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Внутренний угол трапеции между боковой стороной и основаниями равен 90
градусам. Сторона равна 20 м, нижнее основание – 15 м. Найти: диагональ трапеции, противолежащую
прямому углу. Исходя их известных данных, делаем вывод, что дана прямоугольная трапеция. Затем
подставляем значения в формулу: D = √(20²+15²) = 25 м. Аналогичный способ
решения можно применить для того случая, когда известна длина верхнего основания.

Диагональ прямоугольной трапеции через основание и высоту

В данном случае высота равна боковой стороне, перпендикулярной основанию, поэтому вместо стороны в
формулу просто подставляется значение высоты при необходимости:

D = √(a² + h²)

где a — основание, h — высота.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Дана прямоугольная трапеция с высотой равной 15 см и основанием — 10
см. Найти: диагональ. D = √(15² + 10²) = 18 см.

Трапеция – выпуклая плоская геометрическая фигура, которая представляет собой четырёхугольник.
Обязательным условием данного вида является параллельность двух сторон (они называются основаниями).
Как и упоминалось выше, в зависимости от боковых сторон трапеция может быть равнобедренной и
прямоугольной.

Рассмотрим некоторые свойства четырёхугольника, знание которых необходимо для решения самых
простейших задач:

  • В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон.
  • Средняя линия параллельна основаниям, M=(a+b)/2, где a и b – основания.
  • На одной прямой лежат точки пересечения диагоналей и продолжения длин боковых сторон.

Диагональ, построенная в данной фигуре, отличается следующими свойствами:

  • Диагонали разделяют фигуру на 2 подобных треугольника, углы которых равны, а стороны
    пропорциональны.
  • Проведенные диагонали также образуют 2 идентичных треугольника, стороны которых совпадают со
    сторонами трапеции.
  • Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий основания фигуры, делится в
    пропорции, равной соотношению оснований фигуры.
  • Отрезок, проходящий через середины диагоналей, делит боковые стороны трапеции на 2 равные
    части.

В решении задач значение диагонали поможет определить немалое количество нужных величин: высота,
площадь, периметр, все стороны и среднюю линию трапеции, внутренние углы. Хорошие навыки применения
тригонометрических функций способствуют быстрой скорости решения по данных формулам, которые
значительно облегчают и ускоряют процесс.

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Определение.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Элементы трапеции:

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Виды трапеций:

  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

d12 + d22 = 2ab + c2 + d2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

a = 2mb

b = 2ma

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = ah · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + cos α + cos β

b = acos αcos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Средняя линия трапеции

Определение.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = sin α = sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =  sin γ · d1 d2  =  sin δ · d1 d2
a + b a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =  sin γ · d1 d2  =  sin δ · d1 d2
2m 2m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d1 = √a2 + d2 — 2ad·cos β

d2 = √a2 + c2 — 2ac·cos α

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d1 =  d 2 + ab —  a(d 2c2)
ab
d2 =  c2 + ab —  a(c2d 2)
ab

3. Формула длины диагоналей через высоту:

d1 = √h2 + (ah · ctg β)2 = h2 + (b + h · ctg α)2

d2 = √h2 + (ah · ctg α)2 = h2 + (b + h · ctg β)2

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d1 = √c2 + d 2 + 2abd22

d2 = √c2 + d 2 + 2abd12

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =  d1d2 · sin γ  =  d1d2 · sin δ
2 2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =  a + b c2 ( (ab)2 + c2d 2 ) 2
2 2(ab)

5. Формула Герона для трапеции

S =  a + b (p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)
|a — b|

где

p =  a + b + c + d   — полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

P = a + b + c + d

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =  a·c·d1
4√p(pa)(pc)(pd1)

где

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =  b    KN = ML =  a    TO = OQ =  a · b
2 2 a + b

Трапеция является нестандартным четырехугольником, в котором две из сторон – основания трапеции, параллельны друг другу. Если в трапеции провести диагонали, то они образуют серию подобных треугольников, и пропорциональные соотношения их сторон приводят к основному свойству трапеции, объединяющему диагонали трапеции и ее четыре стороны:
d12+d22=c2+d2+2ab , где a и b – это основания трапеции, а c и d – ее боковые стороны.

Эти же свойства образованных диагоналями подобных и равновеликих треугольников обуславливают следующие отдельные формулы для диагоналей трапеции через стороны:

В приведенных формулах длина диагонали d1 обозначает диагональ трапеции, которая образует треугольник с основанием трапеции a и боковой стороной d, а длина диагонали d2 равна по значению, соответственно, той линии, которая соединяет основание трапеции b и боковую сторону c.

Диагонали трапеции

Диагональ

Трапеция представляет геометрическую фигуру с двумя параллельными сторонами, которые являются меньшим и большим основанием трапеции. Две другие стороны трапеции являются ее боковыми сторонами. У трапеции все стороны могут быть разными. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. Диагонали в равнобедренной трапеции тоже равны. Если известны величины нижнего (a) и верхнего основания трапеции (b), а также ее одинаковые боковые стороны с, то диагональ (d) трапеции находим, как корень квадратный из суммы квадрата боковой стороны и произведения двух оснований по формуле:

d = √c2 + ab

В остальных случаях для определения диагоналей трапеции через ее стороны следует воспользоваться формулами:

Диагонали трапеции

где d1 и d2 — длина диагонали, а, b, с, d — длины сторон трапеции.

Рассчитать диагональ трапеции зная длину сторон

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти модель сигнализации старлайн
  • Как найти толщину формула по физике
  • Как найти сумму сторон выпуклого многоугольника
  • Как найти чат по нику
  • Как найти площадь бокового ребра треугольной призмы