Как найти длину дуги данного сектора - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.

Определение дуги сектора круга
Формулы для нахождения длины дуги сектора
- Через центральный угол в градусах и радиус
- Через угол сектора в радианах и радиус
Примеры задач

Определение дуги сектора круга

Дуга – это участок между двумя точками на окружности.

Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.

На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).

OA = OB = R (r);
α – угол сектора или центральный угол.

Формулы для нахождения длины дуги сектора

Через центральный угол в градусах и радиус

Длина (L) дуги сектора равняется числу π, умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.

Примечание: в расчетах используется число π, приблизительно равное 3,14.

Через угол сектора в радианах и радиус

Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (a_рад).

Примеры задач

Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.

Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:

Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.

Решение
Для начала вычислим угол в радианах:

1 радиан ≈ 57,2958°

Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59° (2 рад ⋅ 57,2958°).

Источник

В этом простом онлайн-калькуляторе для нахождения величин сектора круга можно быстро определить длину дуги сектора, зная площадь, периметр или центральный угол сектора. Для этого нужно заполнить по одному пустующему слота в калькуляторах окружности и сектора окружности, после чего нажать на кнопку “Рассчитать”. В результате высветятся все недостающие значения вместе с формулами.

Калькулятор окружности:

Достаточно заполнить только одну ячейку — остальное калькулятор посчитает сам.

Периметр или длина окружности (P)

Калькулятор сектора окружности:

Достаточно ввести только одно значение и указать радиус окружности — остальное калькулятор посчитает сам.

Центральный угол сектора в градусах (α)

Площадь сектора окружности (S1)

Калькулятор сегмента окружности:

Достаточно ввести только одно* значение и указать радиус окружности — остальное калькулятор посчитает сам.
Исключения:
* — при известном периметре (P2) нужно дополнительно указать длину дуги (l1) или хорды (c).
* — при известной площади (S2) нужно дополнительно указать длину хорды (c) или высоты (h).

Угол сегмента в градусах (α1)

Площадь сегмента окружности (S2)

Округление:

* — обязательно заполнить

Источник

Содержание материала

Длина дуги
Видео
Касательная кокружности
Вписанная окружность
Формулы для нахождения длины дуги сектора
Через центральный угол в градусах и радиус
Через угол сектора в радианах и радиус
Вписанный угол вдвое меньше центрального доказательство
Площадь сектора

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.3

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Касательная кокружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC cdot BC = EC cdot DC

Видео

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr,

где:

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = frac{S}{p},

где p = frac{a + b + c}{2}

Формулы для нахождения длины дуги сектора

Через центральный угол в градусах и радиус

Примечание: в расчетах используется число π, приблизительно равное 3,14.

Через угол сектора в радианах и радиус

Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (a_рад).

Вписанный угол вдвое меньше центрального доказательство

Имеет место удивительный факт:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре.

И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду (( displaystyle AC)), что и вписанный угол.

Почему же так? Почему вписанный угол вдвое меньше центрального?

Давай разберёмся сначала на простом случае.

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.4

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Определение дуги сектора круга

Дуга – это участок между двумя точками на окружности.

На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).

OA = OB = R (r);
α – угол сектора или центральный угол.

Источник: http://MicroExcel.ru/dlina-dugi/

Основные определения и свойства

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность		Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности
Дуга		Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг		Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор		Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент		Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник		Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
	Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Окружность

Длина окружности дуги площадь круга сектора сегмента число пи

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Источник: http://resolventa.ru/demo/diaggia6.htm

Основные свойства окружности

1. Диаметр окружности равен двум радиусам.

D = 2r

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.

3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.

4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.

5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.

Источник: http://ru.onlinemschool.com/math/formula/circle/

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.

Рис.1

Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна

Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна

Следовательно,

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу πR2.

Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна

S = πR2.

Источник: http://resolventa.ru/demo/diaggia6.htm

Уравнение окружности

1. Уравнение окружности с радиусом

и центром в начале декартовой системы координат:

r2 = x2 + y2

2. Уравнение окружности с радиусом

и центром в точке с координатами (

a, b

) в декартовой системе координат:

r2 = (x – a)2 + (y – b)2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом

и центром в точке с координатами (

a, b

) в декартовой системе координат:

{	x = a + r cos t
y = b + r sin t

Источник: http://ru.onlinemschool.com/math/formula/circle/

Формула площади сегмента круга через радиус и длину дуги круга, высоту и основание треугольника

S=12⋅R⋅s−12⋅h⋅aS=frac{1}{2}cdot Rcdot s-frac{1}{2}cdot hcdot aS=21⋅R⋅s−21⋅h⋅a

RRR — радиус круга;
sss — длина дуги;
hhh — высота равнобедренного треугольника;
aaa — длина основания этого треугольника.

Пример

Дан круг, его радиус, численно равный 5 (см.), высота, которая проведена к основанию треугольника, равная 2 (см.), длина дуги 10 (см.). Найти площадь сегмента круга.

Решение

R=5R=5R=5
h=2h=2h=2
s=10s=10s=10

Для вычисления площади нам не хватает только основания треугольника. Найдем его по формуле:

a=2⋅h⋅(2⋅R−h)=2⋅2⋅(2⋅5−2)=8a=2cdotsqrt{hcdot(2cdot R-h)}=2cdotsqrt{2cdot(2cdot 5-2)}=8a=2⋅h⋅(2⋅R−h)=2⋅2⋅(2⋅5−2)=8

Теперь можно вычислить площадь сегмента:

S=12⋅R⋅s−12⋅h⋅a=12⋅5⋅10−12⋅2⋅8=17S=frac{1}{2}cdot Rcdot s-frac{1}{2}cdot hcdot a=frac{1}{2}cdot 5cdot 10-frac{1}{2}cdot 2cdot 8=17S=21⋅R⋅s−21⋅h⋅a=21⋅5⋅10−21⋅2⋅8=17 (см. кв.)

Ответ: 17 см. кв.

Источник: http://studwork.org/spravochnik/matematika/ploshchad/ploshchad-segmenta-kruga

Длина дуги

Рис.3

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Источник: http://resolventa.ru/demo/diaggia6.htm

Сегмент. Площадь сегмента

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:

Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.

Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:

где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.

Источник: http://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/krug.html

( 1 оценка, среднее 5 из 5 )

Источник

Вы здесь

Угол и длина дуги сектора круга

Так как площадь сектора круга можно выразить через длину дуги и одновременно через угол сектора, то приравняв эти выражения друг к другу, можно вычислить радиус сектора круга.
S=pr/2
S=(r^2 α)/2
pr/2= (r^2 α)/2
p/2=rα/2
r=p/α

Найдя радиус сектора круга, можно подставить его в любую из первоначальных формул, чтобы рассчитать площадь сектора круга.
S=pr/2=p^2/2α

Подтемы

Смотрите также

Источник

Определение дуги сектора круга

Формулы для нахождения длины дуги сектора

Через центральный угол в градусах и радиус

Через угол сектора в радианах и радиус

Примеры задач

Калькулятор окружности:

Калькулятор сектора окружности:

Калькулятор сегмента окружности:

Округление:

Длина дуги

Касательная кокружности

Видео

Вписанная окружность

Формулы для нахождения длины дуги сектора

Через центральный угол в градусах и радиус

Через угол сектора в радианах и радиус

Вписанный угол вдвое меньше центрального доказательство

Площадь сектора

Теги

Определение дуги сектора круга

Основные определения и свойства

Основные свойства окружности

Площадь круга

Уравнение окружности

Формула площади сегмента круга через радиус и длину дуги круга, высоту и основание треугольника

Длина дуги

Сегмент. Площадь сегмента

Вы здесь

Угол и длина дуги сектора круга

Подтемы

Смотрите также