Как найти длину дуги l на рисунке - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Длина дуги окружности — формула, обозначение, примеры расчета

Необходимость расчётов

Геометрическими формулами, связанными с подсчетом площади сектора, объема сегмента и периметра полукруга, следует виртуозно владеть людям, связавшим свою жизнь со строительством или благоустройством территорий. Чтобы обновить после зимы элементы архитектуры городского парка и закрасить дефекты абстрактных скульптур, не нужно вспоминать сложные уравнения, достаточно применить знание геометрических формул.

К примеру, для правильного нахождения веса декоративного камня, предназначенного для окантовки части клумбы, нужно уметь быстро посчитать размер полуокружности на поверхности ландшафта. Затем необходимо определиться с ценой и принять решение, какой камень можно покупать с учетом сметы. Аналогичная задача возникает при строительстве альпийской горки. Тяжесть камня обеспечит круговую укладку, это свойство позволит высадить декоративные растения в запланированных местах сечения, придав конструкции форму трапеции.

Что представляет собой часть клумбы? Это сектор геометрической фигуры. Внешняя его часть — окантовка клумбы — чаще всего представляет собой дугу окружности. Существует две методики вычисления этой величины:

градусная (с привязкой к центральному углу);
по формуле Гюйгенса (с использованием хорды).

Определение методики расчета в полевых условиях зависит от наличия инструментов и особенностей рельефа местности. Но сначала немного теории. Дугой называют часть окружности, расположенную между двумя произвольными точками, находящимися на ней.

Для удобства рассмотрим пример с двумя точками A и B, расположенными на окружности на небольшом расстоянии друг от друга. Они делят её на 2 части — большую и меньшую. Каждая из них называется дугой окружности.

Градусная мера

Длина дуги между точками окружности является функцией центрального угла, образованного радиусами круга (см. рисунок) в прямо пропорциональной зависимости. На этом основана градусная мера.

За 1° дуги принимают часть окружности.

Поскольку L равна , то развернутому углу 180° будет соответствовать длина дуги .

Если значение угла равно 1°, формула выглядит так: .

Следовательно, формула длины дуги окружности с центральным углом n° будет выражаться следующим образом: .

Определим значение l для угла 120° с радиусом, равным 5 мм: l=3,14*30*5/180=2,62 мм.

Применение хорды и высоты

Существует методика расчета длины дуги по хорде и высоте перпендикуляра. Она получила название формулы Гюйгенса. Хорда представляет собой часть прямой, расположенной внутри окружности. Проходящая через центр хорда называется диаметром.

Формулу Гюйгенса применяют, если центральный угол меньше 60 градусов. Для проведения вычислений необходимо сначала соединить точки окружности прямой линией. Это будет хорда. Далее нужно провести перпендикуляр из ее середины, а из точки соприкосновения перпендикуляра с дугой начертить две прямые линии к концам хорды.

Получился равнобедренный треугольник, стороны которого обозначим l , а саму хорду назовем L . Для углов более 60 градусов формулу Гюйгенса не стоит использовать, поскольку при расчетах может возникнуть ошибка. Чем больше угол, тем значительней будет погрешность.

Замерив хорды L и l, можно получить значение дуги, обозначенной на рисунке синим цветом. Если L равна 30 мм, а l — 20 мм, то Р=2*20+3,33=43,33 мм.

Теперь, когда существует понимание методики расчета, можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Этот инструмент хорош для проверки полученного экспериментальным путем результата, особенно при обработке большого количества данных, когда необходимо быстро получить ответ.

Онлайн-калькулятор позволяет сохранять полученные значения в буферной памяти компьютера. Оформить данные в виде произвольной таблицы или графика в системе координат не составит труда. Длина дуги окружности по онлайн-калькулятору считается с использованием любой из двух формул: либо по градусной мере, либо по хорде и высоте. Образно говоря, эти формулы являются синонимами, они взаимозаменяемы.

Практика с задачами

Нужно сказать несколько слов об изучении геометрии в средних классах общеобразовательной школы. Существует категория учащихся, для которых формулы сложны для восприятия. Таким ученикам требуется наглядный материал.

На уроке геометрии при изучении материала по вычислениям параметров окружности можно провести практическое занятие. Для этого следует предварительно подготовиться: сделать небольшой чертеж-проекцию гимнастического кольца. Цель занятия — научиться использовать формулы в процессе работы. Ход урока:

Попросить дежурного ученика принести из спортивного зала гимнастическое кольцо (хула-хуп) небольшого диаметра.
Отметить фломастером или цветным мелком 3 точки на наружной стороне кольца. После этого оно окажется поделенным на несколько секторов.
Сделать проекцию кольца на школьной доске с нанесенными точками. На чертеже обозначить центр круга, провести диаметр. Затем нужно соединить отмеченные на окружности точки радиусами с центром круга и хордами между собой.
Провести все замеры. Получить значения всех параметров и записать на доске. Её предварительно разделить на две части: в центре, доступном для обзора, будут значения центральных углов АОВ и ВОС, диаметр, длина прямых линий АВ, ВС и АС.
Ответы (искомые значения) записать в правой части доски и прикрыть шторкой до момента окончания практического занятия.

Далее следует разделить класс на 4 небольших группы. Каждой из них нужно дать задание по проведению вычислений с использованием изученных формул.

группа №1 вычисляет длину дуги между точками А и В, используя градусную меру центрального угла АОВ;
вторая группа получает аналогичное задание для отрезка между точками В и С;
третья группа вычисляет искомый параметр между точками А и С, используя длину хорды АС и вспомогательных линий АВ и ВС;
группа №4 работает с точками А и С, применяя значения угла АОС.

На выполнение задания отводится 12 минут. После истечения времени от каждой из четырех групп выходит ученик, поясняет формулу и записывает на доске полученный результат. Эти ответы сравниваются с уже готовыми замерами, записанными ранее на правой стороне доски.

Следующие 7 минут урока отводятся на обсуждение полученного результата и анализа возникновения погрешности.

Усложнение формулы

Группе продвинутых учеников предлагается задание «Как изменить градусную формулу?». Можно ли найти значение радиуса, используя другие геометрические выражения, например, представить его как половину диаметра круга? В этом случае формулы будет выглядеть следующим образом: r=1/2d, тогда l= πd/360*n.

Если использовать формулу вычисления площади круга и выразить радиус через неё, тогда можно получить s=πr 2 .

Обозначаться радиус будет интересно — в виде производной квадратного корня. Вывести формулу нетрудно, это станет прекрасной ментальной гимнастикой для учащихся.

Базовая цель уроков математики — развитие аналитического мышления учащихся достигается в процессе обсуждения и сравнения различных методик расчета. В качестве дополнительного задания можно предложить ученикам посчитать значение кривой линии наружного края школьной клумбы. Затем следует попросить обосновать свои расчеты.

Использование наглядности поможет учащимся подружиться с формулами, увидеть роль геометрии в повседневной практической жизни и облегчить усвоение конкретного материала.

Введение. Длина дуги окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы вспомним, что такое окружность, круг и части круга и числовая окружность. Дадим определение радиана и рассмотрим окружность с единичным радиусом. Далее рассмотрим четыре четверти окружности и решим несколько примеров на нахождение длины дуги единичной окружности.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки:

источники:

http://nauka.club/matematika/geometriya/dlina-dugi-okruzhnosti.html

http://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/vvedenie-dlina-dugi-okruzhnosti

Источник

Содержание материала

Длина дуги
Видео
Касательная кокружности
Вписанная окружность
Формулы для нахождения длины дуги сектора
Через центральный угол в градусах и радиус
Через угол сектора в радианах и радиус
Вписанный угол вдвое меньше центрального доказательство
Площадь сектора

Длина дуги

Рис.3

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Касательная кокружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC cdot BC = EC cdot DC

Видео

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr,

где:

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = frac{S}{p},

где p = frac{a + b + c}{2}

Формулы для нахождения длины дуги сектора

Через центральный угол в градусах и радиус

Длина (L) дуги сектора равняется числу π, умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.

Примечание: в расчетах используется число π, приблизительно равное 3,14.

Через угол сектора в радианах и радиус

Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (a_рад).

Вписанный угол вдвое меньше центрального доказательство

Имеет место удивительный факт:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре.

И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду (( displaystyle AC)), что и вписанный угол.

Почему же так? Почему вписанный угол вдвое меньше центрального?

Давай разберёмся сначала на простом случае.

Площадь сектора

Рис.4

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Длина дуги кривой — определение и вычисление с примерами решения

Длина дуги кривой:

Определение 1. Рассмотрим простую кривую L на плоскости (см. § 30), заданную параметрически в виде

Разобьем отрезок

Кривая называется спрямлякмой, если множество – длин всевозможных вписанных в кривую ломаных – ограничено, при этом – называется длиной кривой L.

Замечание. Эквивалентное утверждение: число l называется длиной кривой L, если такое, что ∀ разбиения диаметром Δ < δ выполнено неравенство (3)

Теорема 1. Пусть x (t) и y (t) – непрерывно-дифференцируемы, тогда кривая L вида (1) – спрямляемая.
Доказательство. по теореме Лагранжа где
Тогда

Таким образом – ограничено, и следовательно имеет точную верхнюю грань, что и требовалось доказать.
Найдем длину кривой L. Рассмотрим случай явного задания функции:

интегральная сумма для функции поэтому:
(4)

Аналогично для кривой L заданной по формулам (1)
(5)

Длина l пространственной кривой L: находится по формуле:

Пример 1.

Найдем длину дуги астроиды

Решение.

По формуле (5):

Пример 2.

Найти длину дуги линии

Решение.

Кривая симметрична относительно оси Ох:
– задают верхнюю и нижнюю ветви По формуле (4)
Длина всей кривой:

Замечание. Если кривая не является простой, необходимо учитывать возможность самоналожения участков кривой друг на друга.

Пример 3.

Найти длину кривой

Решение.

При получаем график:

При получаем тот же график, проходимый в обратном направлении (точки совпадают.
Поэтому (проверить).

Замечание. называется дифференциалом длины дуги. И тогда формула (5) перепишется в виде:
Найдем длину кривой L заданной в полярных координатах: r=r(ϕ), где функция r(ϕ) – непрерывно-дифференцируема. Тогда (см. формулы (1) § 31)
— параметрическое задание кривой;

Поэтому (7)

Пример 4.

Найти длину дуги части кардиоиды расположенной вне круга
(см. пример 4 § 31).

Решение.

Геометрические фигуры и их свойства
Основные фигуры геометрии и их расположение в пространстве
Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
Взаимное расположения прямых на плоскости
Объем пространственных фигур
Объёмы поверхностей геометрических тел
Фигуры вращения: цилиндр, конус, шар
Объем фигур вращения

Источник

Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. «Практикум из математического анализа» (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича).

Для запоминания основных моментов схема интегрирования и вычисление дуги кривой из примера в пример будет повторяться. По возможности сами решения будут проиллюстрированы графиками кривых.

Найти длины дуг кривых в прямоугольной системе координат

Пример 2.117 (2431) Вычислить длину дуги кривой y=x^3/2 (полукубическая парабола Нейля) xє[0;4] .
Вычисление: Найдем производную заданной функции по переменной x:

График полукубической параболы Нейля имеет вид

Выписываем пределы интегрирования:
a=0, b=4 (известны из начального условия).
По формуле находим длину дуги на заданном отрезке:

Во время интегрирования для приведения подынтегральной функции к табличному виду выполнили замену переменных.
При этом нужно перечислять пределы интегрирования.
В результате пришлось интегрировать корневую функцию, а длина дуги после вычислений приблизительно равна l=9,07.
Помните, что все длины измеряются в единицах (од.) !!!

Пример 2.118 (2432) Найти длину дуги кривой y²=2px (парабола) xє[0;x₀].
Вычисление: Поскольку отрезок дуги параболы задан в пределах [0;x₀], то заданная функция будет иметь вид положительной ветки корневой функции
Вычислим производную функции по переменной x:

Запишем пределы интегрирования:
a=0, b=x₀ .

График параболы приведен ниже

Вычислим длину дуги через определенный интеграл:
для сведения к простым формулам интегрирования применяем замену переменных, при этом не забываем перечислить изменение пределов интегрирования:

В конце вычислений применено интегрирование частями.

Пример 2.119 (2434) Найти длину дуги кривой y=e^x, [0;x₀].
Вычисление: Для интегрирования находим производную (по переменной x) экспоненты :
y’=(e^x)’=e^x.
Поскольку показатель не содержит никаких коэффициентов при переменной, то производная равна самой экспоненте.
Из начального условия выписываем пределы интегрирования:
a=0, b=x₀.
График экспоненты имеет вид

Чтобы вычислить длину дуги экспоненты переходим к новой переменной.
Это ведет к изменению и пределов интегрирования и самого дифференциала:

Напоследок расчетов приходим к формуле дуги, которая содержит корневую и логарифмическую зависимости от бегущей координаты.

Пример 2.120 ( 2435) Найти длину дуги кривой x=1/4y²-ln(y)/2, yє[1;e].
Вычисление: Вычислим производную (по переменной y ) заданной функции:

Приведенная формула работает и для обратных функций x=x(y), особенно если функция изменяется как показано на графике

Пределы интегрирования: a=1, b=e .
Находим длину дуги кривой на заданном отрезке:

При возведении к квадрату производной получим простую для интегрирования функцию, которая в результате дает l=(e²+1)/4.

Пример 2.121 (2436) Вычислить длину дуги кривой

Вычисление: Найдем производную по переменной x функции:

Пределы интегрирования для этой дуги равны [0;b].
График исследуемого логарифма имеет вид

Интегрированием находим длину дуги кривой:

Со всеми превращениями подинтегральной функции попробуйте разобраться самостоятельно.

Пример 2.122 (2437) Вычислить длину дуги кривой y=ln(cos(x)), 0<x<a<Pi/2.
Вычисление: Найдем производную (по переменной x) заданной функции :

Запишем пределы интегрирования: (известны за условием).

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Если воспользоваться тригонометрическими формулами то перейдем к тангенсу, а сама длина дуги равна
l=ln(tg (Pi/4+a/2)).

Пример 2.123 Найти длину дуги кривой y=ln(x),
Вычисление: Вычисляем производную от логарифма:
y’=1/x.
Пределы интегрирования переписываем из условия:

График логарифма имеет вид

Интегрирование по длине дуги достаточно непростое, требует добрых умений.
Расписав подынтегральную функцию, и применив замену переменных к одному из интегралов, приходим к логарифмам, которые при указанных пределах интегрирования несколько упрощаются.

Невзирая на трехэтажные выражения конечное значение длины дуги выраженно простой зависимостью.

Пример 2.124 Найти длину дуги кривой y=ln(1-x₂), x[0;0,5].
Вычисление: Найдем производную (по переменной x) заданной функции :

Из начального условия имеем такие пределы интегрирования: [0;0,5].
График исследуемого логарифма имеет вид

Вычисляем длину дуги логарифма:

Если округлить конечное значение, то будем иметь l=0,5986.

Пример 2.125 (2439) Вычислить длину дуги кривой
Вычисление: Поскольку график заданной функции симметричен относительно оси Ox, то вычислим длину дуги для положительной части функции

и результат умножим на 2.
Найдем производную функции и саму подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования известны:

График веток в декартовой плоскости имеет вид.

При нахождении длины дуги дважды выполняем замену переменных.
Как и в предыдущих примерах ответ получаем через логарифмы

Кому в учебе придется вычислять подобное задание, просьба разобраться с превращениями.
А еще лучше — придумать и решить подобный пример.

Пример 2.126 (2438) Найти длину дуги кривой (трактриса).
Вычисление: Запишем производную по переменной y трактрисы (см. 2408):

Пределы интегрирования:

График трактрисы имеет вид

По формуле дуги кривой интегрируем и находим длину трактрисы:

Конечная формула достаточно простая для расчетов.
От края следует несколько отойти, в ином случае длина трактрисы направляется к безконечности.

Пример 2433 Найти длину дуги кривой (цепная линия) от точки A(0;a) к точке B(b;h) .
Вычисление: Цепная линия — это кривая, форму которой принимает цепь (нить) под действием силы притяжения, которая подвешена за оба конца.
Поскольку и , то

Найдем производную трактрисы:

Пределы интегрирования по аргументу следующие:

Рисунок цепной линии приведен ниже

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2440 Найти длину дуги астроиды
Вычисление: Для астроиды оси прямоугольной системы координат делят линию на 4 части (смотри 2429), поэтому длину будем искать для чверти и результат умножим на 4.
Выражаем функцию для чверти астроиды

Найдем производную от полученной зависимости и подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования: [0;a] (для чверти астроиды).
Вычислить длину дуги астроиды на практике достаточно легко:

Дело в том, что единицы сокращаются и получаем простой табличный интеграл.
В результате длина астроиды равна l=6a.