Длина окружности
Длина окружности
Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):
Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:
где C — длина окружности, π — константа, D — диаметр окружности, R — радиус окружности.
Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.
Задачи на длину окружности
Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.
Решение: Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:
C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см).
Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.
Решение: Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:
теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:
C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м).
Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.
Решение: Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π:
следовательно, радиус будет равен:
| R | ≈ | 7,85 | = | 7,85 | = 1,25 (м). |
| 2 · 3,14 | 6,28 |
Задачи на площадь круга
Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.
Решение: Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:
S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2 ).
Ответ: 12,56 см 2 .
Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.
Решение: Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:
теперь вычислим площадь круга по формуле:
S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2 ).
Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:
| S = π | D 2 | ≈ 3,14 · | 7 2 | = 3,14 · | 49 | = |
| 4 | 4 | 4 |
| = | 153,86 | = 38,465 (см 2 ). |
| 4 |
Ответ: 38,465 см 2 .
Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м 2 .
Решение: Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:
Геометрия. Урок 5. Окружность
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Определение окружности
- Отрезки в окружности
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности .
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Дуга в окружности
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .
Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360 ° .
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ A C B – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Длина окружности, длина дуги
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .
Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Урок математики по теме «Длина окружности и длина дуги окружности». 9-й класс
Разделы: Математика
Класс: 9
Цель урока:
- Совершенствовать навыки решения задач на применение формул длины дуги окружности и длины окружности.
- Формировать у обучающихся регулятивные универсальные учебные действия: Учить способам самопроверки и самоанализа.
- Развивать логическое мышление, интерес к познавательной деятельности, творческие способности учащихся, математическую речь.
Тип урока: урок деятельного типа.
Оборудование: распечатки для выполнения задания «Лови ошибку!» и решения задач из различных источников для подготовки к ОГЭ и дополнительного домашнего задания, интерактивная доска, учебно-методическое пособие для подготовки к ОГЭ в 2019 году. 40 вариантов под редакцией Лысенко Ф.Ф. (у каждого ученика).
Ход урока
1. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности
Учитель. Приветствует всех. Предлагает вспомнить тему прошлого урока и тематику домашнего задания
Предполагаемые ответы учеников (длина окружности, длина дуги окружности).
Учитель. И если сегодня у нас не будет нового теоретического материала, значит что же нам предстоит делать на этом уроке?
Предполагаемые ответы учеников (решать задачи, повторять теоретический материал).
Учитель, с учётом ответов учащихся сообщает цель урока, акцентируя внимание на эпиграфе урока, особенно на заключительном предложении, подчёркивая важность формирования у себя регулятивных универсальных учебных действий.
II. Актуализация знаний учащихся
1.1 Проверка домашнего задания (три человека работают у доски)
а) Учитель, обращаясь к классу, выясняет, кто сможет решить дополнительную задачу с объяснениями у доски и сообщает, что это была задача с сайта «Решу ОГЭ» №24 по структуре ОГЭ. Решение с использованием интерактивной доски.
1 ученик. №24. Решу ОГЭ №311 650
В треугольнике АВС: R=4, В=72 о , С= 63 о , ВС = .
Найти:
а) радиус окружности, описанной около треугольника;
б) длину окружности;
в) длину дуги ВС.
Решение:
а) В треугольнике АВС А = 180 о — 135 о = 45 о . Применив следствие из теоремы синусов имеем:
Применив свойство пропорции получим:
б) По формуле вычисления длины окружности через полученное значение радиуса находим: .
в) По формуле длины дуги окружности l = где α = 90 о , по свойству центрального угла находим: l =
Ответ: 2; 4, .
б) 2 ученик (ГВЭ) Учебник № 1101(1)
С = 6,28 · 4= 25,12
Ответ: 25,12.
в) 3 ученик. Учебник №1109(1)
а) R = 6, дуга АВ = 30 о . Найти длину дуги АВ.
Ответ: .
1.2 Учитель проверяет решение домашней работы у доски, а класс выполняет самостоятельную работу по карточкам с последующей проверкой.
(Для диагностики и формирования регулятивных учебных действий использовать такой вид занятий как «Лови ошибку»).
Ответить на вопросы: «да» или «нет», заполнив таблицу
Да
2, 6, 8, 9
Нет
1, 3, 4, 5, 7
1. Окружность – это шар, все точки которого находятся на заданном расстоянии от одной данной точки. (нет)
2. Любой равносторонний треугольник является правильным? (Да)
3. Любой равносторонний четырёхугольник является правильным? (Нет, например ромб)
4. Угол, лежащий напротив радиуса – прямой. (нет)
5. Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов. (нет)
6. Сторона квадрата, вписанного в окружность равна. Длина этой окружности равна 12. (да)
7. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна 6. Длина этой окружности равна 6. (нет)
8. Длина окружности более чем в 3 раза превышает диаметр этой окружности. (да)
9. Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере. (да)
1.3 Самопроверка ответов с последующей самооценкой. (Правильные ответы заготовлены для проверки).
Критерии оценивания
Менее 3 баллов
3-4 балла
5-6 баллов
7-9 баллов
«2»
«3»
«4»
«5»
III. Решение задач
1 тип (прямоугольный треугольник в окружности …)
Учитель обращает внимание на 4 и 5 вопросы «Лови ошибку» и выясняют с классом правильный ответ, подводит итог с классом: применение каких дополнительных теоретических сведений требовалось для решения задачи и правильного ответа на вопросы.
Предлагает решить задачи (Лысенко. Варианты №5,6. Задание №16), но добавить вопрос: найти С окружности.
В треугольнике АВМ АМ=12, ВМ=5, угол М=90 о . Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника, длину окружности
Решение: АВ=13, R = 6,5; С=13.
Ответ: R = 6,5; С=13.
Вариант №6. Задание №16
В треугольнике ВСК ВС=8, СК=6, угол С=90 о . Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника, длину окружности.
Решение: АВ=10, R = 5; С=10.
Ответ: R = 5; С=10.
IV. Физкульминутка
V. Решение задач нового типа по рассматриваемой теме
Учитель обращает внимание учеников на последний 9 вопрос. Необходимо довести до учащихся тот факт, что длина дуги окружности прямо пропорциональна её градусной мере, т.е , где α, β — градусные меры дуг, т.е. центральные углы, а Х и У – длины этих дуг.
Учитель предлагает продолжить работу с учебно-методическим пособием по подготовке ОГЭ. Лысенко Ф.Ф. (40 вариантов).
Лысенко Вариант №13. Задание №16
На окружности с центром О отмечены точки С и Д так, что угол СОД равен 48 о . Длина меньшей дуги СД равна 34. Найти длину большей дуги.
Решение:
Пусть длина большей дуги СД равна х.
Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:
Ответ: 221.
Лысенко Вариант №14. Задание №16
На окружности с центром О отмечены точки К и L так, что угол КOL равен 76 о . Длина меньшей дуги КL равна 95. Найти длину большей дуги.
Решение:
Пусть длина большей дуги равна х. Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:
Ответ: 355.
VI. Рефлексия учебной деятельности
- Задачи какого содержания решали на уроке? Какие из них не совсем понятны?
- Что нового узнали на уроке?
- Какие знания сегодня приобрели, приумножили, а какие умело применили.
VII. Информация о домашнем задании
Стр. 284 вопросы 1,6,7,10 № 1108 (практич.содер.; межпред. Связь) №1104(б)
Индивидуальные задания. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите длину окружности, если AB = 15, AC = 25 (теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки).
Дополнительные задачи
1 часть. 50 вариантов заданий. ОГЭ 2019. Под редакцией И.В.Ященко. Задание №17.
Вариант 1.
- Центр окружности, описанной около треугольника АВС лежит на стороне АВ, АС = 16, ВС = 30. Найти длину окружности.
Вариант 2
- Центр окружности, описанной около треугольника АВС лежит на стороне АВ, АС = 32, ВС = 24. Найти длину окружности.
Вариант 3.
- Сторона равностороннего треугольника равна . Найти длину окружности, описанной около этого треугольника.
2 часть
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите длину окружности, если AB = 15, AC = 25 (теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки).
http://urok.1sept.ru/articles/673051
Окружность на ЕГЭ и ОГЭ — сложно. Все потому, что эта фигура не похожа на остальные: у неё нет углов и сторон, зато есть совсем другие элементы. В этой статье мы подробно поговорим про элементы окружности, углы, отрезки и прямые, которые с ней связаны, а также обсудим длину окружности и площадь круга. Ну и разберем основные задания ЕГЭ и ОГЭ, конечно же!
В этой статье:
Углы у окружности на ЕГЭ и ОГЭОтрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭДлина окружности и площадь кругаЧто нужно иметь в виду для ЕГЭ и ОГЭ
Для начала давайте разберёмся, что же такое окружность. Окружность — это замкнутая линия, состоящая из множества точек, которые равноудалены от центра окружности. Основной элемент окружности — это радиус, он соединяет центр с любой точкой на окружности.
Углы у окружности на ЕГЭ и ОГЭ
У окружности есть 2 вида углов:
- вписанные (их вершина лежит на окружности);
- центральные (тут всё понятно из названия, у них вершина в центре окружности).
Расположение и свойства углов в окружности можно увидеть на схеме ниже:
Давайте отработаем это на практике:
Решение
Можно заметить, что угол АСВ — вписанный и опирается на дугу АВ, соответственно, центральный угол АОD, опирающийся на ту же дугу будет в 2 раза больше, то есть 70 градусов. Теперь рассмотрим развёрнутый угол ВОD, он состоит из углов АОВ и АОD. Градусная мера развёрнутого угла 180 градусов, следовательно искомый угол АОD будет равен 180 – 70 = 110 градусов.
Отрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ
Теперь рассмотрим отрезки и прямые в окружности. Приготовьтесь, их будет много!
Есть хорда — это отрезок, который соединяет 2 любые точки на окружности. Если хорда пройдёт через центр окружности, то она превратится в диаметр. Кстати, если внимательно посмотреть, то можно увидеть, что диаметр — это 2 радиуса!
Теперь продлим хорду в обе стороны за пределы окружности, получим прямую, которая переСЕКает нашу окружность, отсюда и её название — секущая. Можно заметить, что секущая имеет 2 общих точки пересечения с окружностью. А ещё мы можем провести прямую так, чтобы она имела с окружностью только 1 точку пересечения, то есть касалась её, такая прямая будет называться касательная.
Подробнее со свойствами касательной и секущей можно ознакомиться на рисунке:
Рассмотрим на примерах заданий про окружность в ЕГЭ и ОГЭ:
4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭ
Теперь я предлагаю ознакомиться с теоремами, которые появляются в комбинациях различных прямых и отрезков в окружности.
Теорема № 1: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
Первая теорема про хорду и касательную звучит так:
Угол между касательной и хордой равен половине дуге, которую стягивает хорда.
Подробнее с выведением вы можете ознакомиться на рисунке:
Однако хочу обратить ваше внимание, что если вы просто запомните формулировку, то многие задачи на окружность в ЕГЭ и ОГЭ покажутся вам супер-простыми и будут решаться в 1 действие. Давайте в этом убедимся:
Вот так просто и быстро в 1 действие мы справились с задачей. Правда здорово?!
Теорема № 2: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
А теперь давайте посмотрим на одну из моих самых любимых теорем. А любимая она, потому что без неё некоторые задачи кажутся практически нерешаемыми, а с ней их можно решить быстро и просто! Звучит она так:
Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.
Я советую запоминать именно словесную формулировку, так как чертежи и буквы на них могут быть разными, и есть риск всё перепутать.
Наглядно познакомиться с теоремой можно на рисунке ниже:
И конечно же давайте отработаем на практике!
Если бы мы не знали ту теорему, которую только что прошли, то было бы много версий, как можно решить задачу. Кто-то начал бы строить радиус к касательной и рассматривать треугольники, а кто-то просто не стал бы решать, однако у нас есть формула: давайте её используем!
Решение:
Теорема № 3: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
Если вы ещё не устали от теорем, то давайте познакомимся с ещё одной, которая связывает хорду с диаметром (радиусом).
Эта теорема интересна тем, что работает в обе стороны:
Конечно же я не могу оставить вас без тренировки, поэтому посмотрим на следующую задачу:
Теорема № 4: пересекающиеся хорды
Последнее, с чем я вас познакомлю в контексте прямых и отрезков в окружности будет свойство пересекающихся хорд:
Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.
Для наглядности отрезки выделены разными цветами, так вам будет проще запомнить свойство.
А теперь отработаем его на практике:
Длина окружности и площадь круга
Вот мы и подошли с вами к самому интересному, формулам длины окружности и площади круга, давайте их запишем:
Эти формулы очень походы, в них есть двойка, число Pi и радиус, однако можно заметить, что у формулы длины окружности двойка слева, а у площади круга справа в степени.
Так как же их не путать? Очень просто: запомните, что вторая степень (или квадрат) должна быть у площади, значит двойка слева будет у длины.
Давайте это закрепим:
Вот так просто и быстро мы закрепили сразу обе формулы.
Как находить площадь и длину дуги сектора круга: задачи
А теперь перейдём к самому интересному — нахождению площади и длины дуги сектора круга. Многие ученики думаю, что это сложно, но на самом деле это не так. Я предлагаю записать 2 коротких алгоритма, с помощью которых вы сможете легко найти площадь или длину дуги сектора.
И конечно же давайте закрепим эти алгоритмы на практике:
Теперь вы умеете решать задания на поиск площади сектора. Согласитесь, что с алгоритмом всё намного понятнее и проще?
Что нужно иметь в виду для ЕГЭ и ОГЭ
На самом деле это всё, что я хотела вам рассказать в данной статье. Давайте ещё раз повторим, что вы узнали.
- Сначала мы познакомились с понятием окружность, потом посмотрели, какие бывают углы в окружности.
- Затем увидели множество отрезков и прямых в окружности, записали их свойства, а также несколько теорем с ними.
- В завершение мы поговорили про длину окружности, площадь круга, а также поиск площади и длины дуги сектора.
Самое ценное, что всю теорию мы закрепили на реальных заданиях из ОГЭ и ЕГЭ. Конечно, это далеко не всё, что вам может встретиться. Если вы хотите хорошо разбираться в окружности и в других темах, которые встречаются на экзаменах, записывайтесь на наши курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. На них мы подробно изучаем всю теорию, решаем много заданий, запоминаем удобные лайфхаки и решаем пробные экзамены, чтобы не стрессовать на реальном. Присоединяйтесь!
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.
- Определение дуги сектора круга
-
Формулы для нахождения длины дуги сектора
- Через центральный угол в градусах и радиус
- Через угол сектора в радианах и радиус
- Примеры задач
Определение дуги сектора круга
Дуга – это участок между двумя точками на окружности.
Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.
На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).
- OA = OB = R (r);
- α – угол сектора или центральный угол.
Формулы для нахождения длины дуги сектора
Через центральный угол в градусах и радиус
Длина (L) дуги сектора равняется числу π, умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.
Примечание: в расчетах используется число π, приблизительно равное 3,14.
Через угол сектора в радианах и радиус
Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (aрад).
Примеры задач
Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.
Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:
Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.
Решение
Для начала вычислим угол в радианах:
1 радиан ≈ 57,2958°
Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59° (2 рад ⋅ 57,2958°).
3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Нахождение длины окружности и площади круга
(blacktriangleright) Длина окружности равна (large{C=2pi R}), а в градусной мере составляет (360^circ).
(blacktriangleright) Длина дуги окружности равна (large{C_{alpha}=dfrac{2pi R}{360}cdot alpha}), где (alpha) – угол в градусах, задающий данную дугу (центральный угол, опирающийся на дугу).
(blacktriangleright) Площадь круга равна (large{S=pi R^2}).
(blacktriangleright) Площадь сектора круга равна (large{S_{alpha}=dfrac{pi R^2}{360}cdot alpha}), где (alpha) – угол в градусах, задающий данный сектор.
Задание
1
#2953
Уровень задания: Равен ЕГЭ
На клетчатой бумаге нарисован круг площадью (2,8). Найдите площадь закрашенного сектора.
Заметим, что закрашенная фигура состоит из двух непересекающихся частей, равных (frac14) и (frac12) от (frac14) круга:
Таким образом, ее площадь равна [dfrac14S+dfrac12cdot left(dfrac14Sright)=dfrac38S=dfrac38cdot 2,8=1,05.]
Ответ: 1,05
Задание
2
#302
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Длина окружности с центром в точке (O) равна 12. (angle AOB = 120^{circ}), точки (A) и (B) лежат на окружности и разбивают её на две дуги. Во сколько раз длина большей из получившихся дуг превосходит длину меньшей?
Длины дуг относятся так же, как их градусные меры. Так как (O) – центр окружности, то (angle AOB) – центральный.
Градусная мера дуги, меньшей, чем полуокружность, есть градусная мера центрального угла, который на неё опирается. Тогда градусная мера меньшей из дуг равна (120^{circ}), а большей из дуг (240^{circ}).
Градусная мера большей дуги в (240 : 120 = 2) раза больше, чем градусная мера меньшей дуги.
Ответ: 2
Задание
3
#1735
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите (angle AOB).
Длина всей окружности складывается из длин составляющих ее дуг (С = 1 + 2 + 5 + 10 = 18). Тогда (frac{C_{angle AOB}}{C} = frac{angle AOB}{360^circ}) (Rightarrow) (frac{5}{18} = frac{angle AOB}{360^circ}) (Rightarrow) (angle AOB = 100^circ).
Ответ: 100
Задание
4
#1791
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Длина окружности с центром в точке (O) равна 18 см. Площадь сектора (AOB) равна (dfrac{18}{pi})см(^2). Найдите длину дуги (AB) этого сектора. Ответ дайте в сантиметрах.
Длина окружности равна (2pi R), где (R) – радиус этой окружности. Для данной окружности (2pi R = 18) см, тогда (R = dfrac{9}{pi}) см.
Площадь сектора, градусная мера дуги которого есть (alpha) равна (pi R^2 cdot dfrac{alpha}{360}).
Длина дуги с градусной мерой (alpha) равна (2pi Rcdot dfrac{alpha}{360}).
Из этих формул видно, что длина дуги с градусной мерой (alpha) получится из площади сектора, градусная мера дуги которого есть (alpha), при помощи умножения этой площади на (dfrac{2}{R}).
Длина дуги (AB) данного сектора равна (dfrac{18}{pi} cdot
dfrac{2pi}{9} = 4) см.
Ответ: 4
Задание
5
#304
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Внутри большой окружности расположена маленькая, радиус которой в 2,5 раза меньше, чем радиус большой окружности. Найдите отношение площади зеленой области (U) к площади круга, ограниченного большой окружностью.
Обозначим радиус меньшей из окружностей за (r), тогда радиус большей окружности (2,5cdot r).
Площадь круга, ограниченного окружностью радиуса (R), равна (pi R^2).
Площадь меньшего круга равна (pi r^2), а площадь большего равна (pi cdot (2,5r)^2 = 6,25pi r^2).
Площадь области (U) равна разности площадей большего и меньшего кругов и равна (6,25pi r^2 — pi r^2 = 5,25pi r^2).
Искомое отношение площадей есть (dfrac{5,25pi r^2}{6,25pi r^2} = 0,84).
Ответ: 0,84
Задание
6
#1733
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Две окружности касаются внутренним образом так, что один из радиусов большей окружности совпадает с диаметром меньшей окружности (смотри рисунок). Найдите радиус большей окружности, если площадь зеленой области равна (48pi).
Обозначим за (R) – радиус большей окружности и одновременно диаметр меньшей. Тогда площадь зеленой области (S) можно выразить через площади кругов следующим образом: (S = pi R^2 — frac{pi R^2}{4} = frac{3}{4}pi R^2). Т.к. (S = 48pi) (Rightarrow) (frac{3}{4}pi R^2 = 48pi) (Rightarrow) (R^2 = 64) (Rightarrow) (R = 
.
Ответ: 8
Задание
7
#1732
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
На рисунке изображены две окружности с общим центром (O), где радиусы (OB = 3) и (OA = 1), а угол (angle BOD = 90^circ). Найдите площадь фигуры (ABCDEFA) деленную на (pi).
Площадь сектора с углом (90^circ) в большой окружности равна (S_{big} = frac{picdot3^2}{360^circ}cdot90^circ = frac{9pi}{4}), а в маленькой (S_{small} = frac{picdot1^2}{360^circ}cdot90^circ = frac{pi}{4}). Тогда (frac{S_{ABCDEFA}}{pi} = frac{S_{big} — S_{small}}{pi} = 2).
Ответ: 2
Задачи на нахождение площади круга — обязательная часть ЕГЭ по математике. Как правило, этой теме отводится сразу несколько заданий в аттестационном испытании. Понимать алгоритм нахождения длины окружности и площади круга должны все старшеклассники, независимо от уровня их подготовки.
Если подобные планиметрические задачи вызывают у вас затруднения, рекомендуем обратиться к образовательному порталу «Школково». С нами вы сможете восполнить пробелы в знаниях.
В соответствующем разделе сайта представлена большая подборка задач на нахождение длины окружности и площади круга, подобных тем, которые включены в ЕГЭ. Научившись их правильно выполнять, выпускник сможет успешно справиться с экзаменом.
Основные моменты
Задачи, в которых требуется применить формулы площади, могут быть прямыми и обратными. В первом случае известны параметры элементов фигуры. При этом искомой величиной является площадь. Во втором случае, наоборот, площадь известна, а найти необходимо какой-либо элемент фигуры. Алгоритм вычисления правильного ответа в подобных заданиях различается только порядком применения базовых формул. Именно поэтому, приступая к решению таких задач, необходимо повторить теоретический материал.
На образовательном портале «Школково» представлена вся базовая информация по теме «Нахождение длины окружности или дуги и площади круга», а также по другим темам, например, «Центральный угол окружности». Ее наши специалисты подготовили и изложили в максимально доступной форме.
Вспомнив основные формулы, учащиеся могут приступить к выполнению задач на нахождение площади круга, подобных тем, которые включены в ЕГЭ, в режиме онлайн. Для каждого упражнения на сайте представлено подробное решение и дан правильный ответ. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы в дальнейшем вернуться к нему и обсудить с преподавателем.
УСТАЛ? Просто отдохни
Слайд 1
Занятие по геометрии в 9 классе Решение задач по теме «Длина окружности, длина дуги окружности». Автор: Кузьминчук Елена Сергеевна учитель математики и информатики I квалификационной категории МБОУ гимназии №2 г. Сальска Ростовской области
Слайд 2
Цели : Закрепить умение решать задачи на применение формул длины окружности и длины дуги окружности. Рассмотреть задачи из ОГЭ по данной теме.
Слайд 3
Повторение (задачи из ГИА): ⦟АВС – вписанный, опирается на диаметр АС ⟹ ⦟АВС=90°
Слайд 4
Построим OA и OC радиусы. Центральный ⦟ AOC = 360°:8 = 45°. ⦟ ABC — вписанный и опирается на ту же дугу, поэтому он равен 45°:2 = 22,5°.
Слайд 5
Устная работа: 2) Что нужно знать для вычисления длины дуги окружности? Что нужно знать для вычисления длины окружности?
Слайд 6
Найдите длину окружности, у которой диаметр равен 10 см. Найдите радиус окружности, если ее длина равна 66 м ( π≈ 3) . Найдите длину дуги окружности радиуса 3 м, если градусная мера дуги равна 75°. Дуга в 107° имеет радиус 39 см. Найдите длину этой дуги ( π≈ 3). 10 π см 1 1 м 3,925 м 69,55 см
Слайд 7
Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение : Задачи из ГИА 2 способ:
Слайд 8
Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение :
Слайд 9
Самостоятельная работа: 1 вариант. 2 вариант. Найдите длины дуг на которые разбивают окружность два радиуса. Угол между радиусами равен 120 0 , радиус окружности 6 дм . 1. Найдите длины дуг на которые разбивают окружность два радиуса. Угол между радиусами равен 36 0 , радиус окружности 5 см. 2. Найдите длину окружности в которую вписан квадрат со стороной 5 см. Длина окружности, описанной около квадрата, равна 12 π см. Найдите длину окружности, вписанной в этот квадрат.
Слайд 10
Дополнительное задание: