Как найти длину дуги от параболы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. «Практикум из математического анализа» (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича).

Для запоминания основных моментов схема интегрирования и вычисление дуги кривой из примера в пример будет повторяться. По возможности сами решения будут проиллюстрированы графиками кривых.

Найти длины дуг кривых в прямоугольной системе координат

Пример 2.117 (2431) Вычислить длину дуги кривой y=x^3/2 (полукубическая парабола Нейля) xє[0;4] .
Вычисление: Найдем производную заданной функции по переменной x:

График полукубической параболы Нейля имеет вид

Выписываем пределы интегрирования:
a=0, b=4 (известны из начального условия).
По формуле находим длину дуги на заданном отрезке:

Во время интегрирования для приведения подынтегральной функции к табличному виду выполнили замену переменных.
При этом нужно перечислять пределы интегрирования.
В результате пришлось интегрировать корневую функцию, а длина дуги после вычислений приблизительно равна l=9,07.
Помните, что все длины измеряются в единицах (од.) !!!

Пример 2.118 (2432) Найти длину дуги кривой y²=2px (парабола) xє[0;x₀].
Вычисление: Поскольку отрезок дуги параболы задан в пределах [0;x₀], то заданная функция будет иметь вид положительной ветки корневой функции
Вычислим производную функции по переменной x:

Запишем пределы интегрирования:
a=0, b=x₀ .

График параболы приведен ниже

Вычислим длину дуги через определенный интеграл:
для сведения к простым формулам интегрирования применяем замену переменных, при этом не забываем перечислить изменение пределов интегрирования:

В конце вычислений применено интегрирование частями.

Пример 2.119 (2434) Найти длину дуги кривой y=e^x, [0;x₀].
Вычисление: Для интегрирования находим производную (по переменной x) экспоненты :
y’=(e^x)’=e^x.
Поскольку показатель не содержит никаких коэффициентов при переменной, то производная равна самой экспоненте.
Из начального условия выписываем пределы интегрирования:
a=0, b=x₀.
График экспоненты имеет вид

Чтобы вычислить длину дуги экспоненты переходим к новой переменной.
Это ведет к изменению и пределов интегрирования и самого дифференциала:

Напоследок расчетов приходим к формуле дуги, которая содержит корневую и логарифмическую зависимости от бегущей координаты.

Пример 2.120 ( 2435) Найти длину дуги кривой x=1/4y²-ln(y)/2, yє[1;e].
Вычисление: Вычислим производную (по переменной y ) заданной функции:

Приведенная формула работает и для обратных функций x=x(y), особенно если функция изменяется как показано на графике

Пределы интегрирования: a=1, b=e .
Находим длину дуги кривой на заданном отрезке:

При возведении к квадрату производной получим простую для интегрирования функцию, которая в результате дает l=(e²+1)/4.

Пример 2.121 (2436) Вычислить длину дуги кривой

Вычисление: Найдем производную по переменной x функции:

Пределы интегрирования для этой дуги равны [0;b].
График исследуемого логарифма имеет вид

Интегрированием находим длину дуги кривой:

Со всеми превращениями подинтегральной функции попробуйте разобраться самостоятельно.

Пример 2.122 (2437) Вычислить длину дуги кривой y=ln(cos(x)), 0<x<a<Pi/2.
Вычисление: Найдем производную (по переменной x) заданной функции :

Запишем пределы интегрирования: (известны за условием).

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Если воспользоваться тригонометрическими формулами то перейдем к тангенсу, а сама длина дуги равна
l=ln(tg (Pi/4+a/2)).

Пример 2.123 Найти длину дуги кривой y=ln(x),
Вычисление: Вычисляем производную от логарифма:
y’=1/x.
Пределы интегрирования переписываем из условия:

График логарифма имеет вид

Интегрирование по длине дуги достаточно непростое, требует добрых умений.
Расписав подынтегральную функцию, и применив замену переменных к одному из интегралов, приходим к логарифмам, которые при указанных пределах интегрирования несколько упрощаются.

Невзирая на трехэтажные выражения конечное значение длины дуги выраженно простой зависимостью.

Пример 2.124 Найти длину дуги кривой y=ln(1-x₂), x[0;0,5].
Вычисление: Найдем производную (по переменной x) заданной функции :

Из начального условия имеем такие пределы интегрирования: [0;0,5].
График исследуемого логарифма имеет вид

Вычисляем длину дуги логарифма:

Если округлить конечное значение, то будем иметь l=0,5986.

Пример 2.125 (2439) Вычислить длину дуги кривой
Вычисление: Поскольку график заданной функции симметричен относительно оси Ox, то вычислим длину дуги для положительной части функции

и результат умножим на 2.
Найдем производную функции и саму подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования известны:

График веток в декартовой плоскости имеет вид.

При нахождении длины дуги дважды выполняем замену переменных.
Как и в предыдущих примерах ответ получаем через логарифмы

Кому в учебе придется вычислять подобное задание, просьба разобраться с превращениями.
А еще лучше — придумать и решить подобный пример.

Пример 2.126 (2438) Найти длину дуги кривой (трактриса).
Вычисление: Запишем производную по переменной y трактрисы (см. 2408):

Пределы интегрирования:

График трактрисы имеет вид

По формуле дуги кривой интегрируем и находим длину трактрисы:

Конечная формула достаточно простая для расчетов.
От края следует несколько отойти, в ином случае длина трактрисы направляется к безконечности.

Пример 2433 Найти длину дуги кривой (цепная линия) от точки A(0;a) к точке B(b;h) .
Вычисление: Цепная линия — это кривая, форму которой принимает цепь (нить) под действием силы притяжения, которая подвешена за оба конца.
Поскольку и , то

Найдем производную трактрисы:

Пределы интегрирования по аргументу следующие:

Рисунок цепной линии приведен ниже

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2440 Найти длину дуги астроиды
Вычисление: Для астроиды оси прямоугольной системы координат делят линию на 4 части (смотри 2429), поэтому длину будем искать для чверти и результат умножим на 4.
Выражаем функцию для чверти астроиды

Найдем производную от полученной зависимости и подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования: [0;a] (для чверти астроиды).
Вычислить длину дуги астроиды на практике достаточно легко:

Дело в том, что единицы сокращаются и получаем простой табличный интеграл.
В результате длина астроиды равна l=6a.

Источник

Парабола

Длина дуги параболы — это число, характеризующее протяжённость дуги параболы в единицах измерения длины.

Содержание

1 Обозначения
2 Формула
3 Вывод формулы
4 Другие формулы

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината (меньшая) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината (большая) второй точки дуги;

y² = 2px — каноническое уравнение параболы;

L_{дуг.пар} — длина дуги параболы.

Формула[править]

${displaystyle L_{text{дуг.пар}}={frac {y_{2}{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}-y_{1}{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}{2p}}+{frac {p}{2}}ln left|{frac {y_{2}+{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}}{y_{1}+{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}}right|Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow L_{text{дуг.пар}}={frac {y_{2}{sqrt {2px_{2}+p^{2}}}-y_{1}{sqrt {2px_{1}+p^{2}}}}{2p}}+{frac {p}{2}}ln left|{frac {y_{2}+{sqrt {2px_{2}+p^{2}}}}{y_{1}+{sqrt {2px_{1}+p^{2}}}}}right|Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow L_{text{дуг.пар}}=signy_{2}{sqrt {x_{2}}}{sqrt {x_{2}+{frac {p}{2}}}}-signy_{1}{sqrt {x_{1}}}{sqrt {x_{1}+{frac {p}{2}}}}+{frac {p}{2}}ln left|{frac {signy_{2}{sqrt {x_{2}}}+{sqrt {x_{2}+{frac {p}{2}}}}}{signy_{1}{sqrt {x_{1}}}+{sqrt {x_{1}+{frac {p}{2}}}}}}right|}$

Заметим, что формула верна для точек с положительными и отрицательными ординатами, причём y₂ > y₁.

Вывод формулы[править]

${displaystyle L_{text{дуг.пар}}=int limits _{y_{1}}^{y_{2}}{sqrt {1+left[left({frac {y^{2}}{2p}}right)'right]^{2}}}dy=int limits _{y_{1}}^{y_{2}}{sqrt {1+left({frac {y}{p}}right)^{2}}}dy=int limits _{y_{1}}^{y_{2}}{sqrt {1+{frac {y^{2}}{p^{2}}}}}dy=}$

${displaystyle ={frac {1}{p}}int limits _{y_{1}}^{y_{2}}{sqrt {y^{2}+p^{2}}}dy=left.{frac {1}{2p}}left(y{sqrt {y^{2}+p^{2}}}+p^{2}ln left|y+{sqrt {y^{2}+p^{2}}}right|right)right|_{y_{1}}^{y_{2}}=}$

${displaystyle ={frac {1}{2p}}left(y_{2}{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}+p^{2}ln left|y_{2}+{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}right|-y_{1}{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}-p^{2}ln left|y_{1}+{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}right|right)}$

${displaystyle ={frac {y_{2}{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}-y_{1}{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}{2p}}+{frac {p}{2}}ln left|{frac {y_{2}+{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}}{y_{1}+{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}}right|Rightarrow }$

${displaystyle Rightarrow L_{text{дуг.пар}}={frac {y_{2}{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}-y_{1}{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}{2p}}+{frac {p}{2}}ln left|{frac {y_{2}+{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}}{y_{1}+{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}}right|}$

Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой в прямоугольных координатах.
Для нахождения интеграла используется формула 1 интегралы функций с корнями.

Другие формулы[править]

длина дуги плоской кривой;
длина дуги окружности;
длина дуги параболы;
длина дуги эллипса;
длина дуги гиперболы;
длина дуги синусоиды;
длина дуги косинусоиды;
длина дуги циклоиды;
длина дуги кардиоиды;
длина дуги астроиды;
длина дуги эпициклоиды;
длина дуги гипоциклоиды;
длина дуги эвольвенты окружности;
длина дуги цепной линии;
длина дуги трактрисы;
длина дуги лемнискаты Бернулли.

Источник

Длина дуги параболы

Длина дуги параболы — это число, характеризующее протяжённость дуги параболы в единицах измерения длины.

Содержание

[править] Обозначения

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината (меньшая) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината (большая) второй точки дуги;

y 2 = 2px — каноническое уравнение параболы;

L_{дуг.пар} — длина дуги параболы.

[править] Формула

Заметим, что формула верна для точек с положительными и отрицательными ординатами, причём y₂ > y₁.

[править] Вывод формулы

Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой в прямоугольных координатах.
Для нахождения интеграла используется формула 1 интегралы функций с корнями.

[править] Другие формулы

длина дуги параболы; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Персональные инструменты

Пространства имён

Статья
Обсуждение

Варианты

Просмотры

Читать
Правка
История

Действия

Поиск

Инструменты

Последнее изменение этой страницы: 12:42, 6 октября 2021.
К этой странице обращались 23 168 раз.

Текст страницы доступен по условиям лицензии GNU Free Documentation License. Материалы могут быть скопированы при условии указания активной ссылки на источник копирования в теле статьи (на той же странице). В отдельных случаях могут действовать условия лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike (CC BY-SA 3.0), информацию об этом можно просмотреть на странице обсуждения или в истории правок. В частности, условия лицензии CC BY-SA 3.0 действуют в отношении статей, перенесенных из Википедии (указание на факт переноса всегда есть в истории правок статьи или на ее странице обсуждения).

В текстах упоминаются организации, признанные на территории Российской Федерации террористическими и/или в отношении которых судом принято вступившее в законную силу решение о запрете деятельности. В том числе:

Признаны террористическими организациями: «Исламское государство» (другие названия: «Исламское Государство Ирака и Сирии», «Исламское Государство Ирака и Леванта», «Исламское Государство Ирака и Шама»), «Высший военный Маджлисуль Шура Объединенных сил моджахедов Кавказа», «Конгресс народов Ичкерии и Дагестана», «База» («Аль-Каида»), «Братья-мусульмане» («Аль-Ихван аль-Муслимун»), «Движение Талибан», «Имарат Кавказ» («Кавказский Эмират»), Джебхат ан-Нусра (Фронт победы) (другие названия: «Джабха аль-Нусра ли-Ахль аш-Шам» (Фронт поддержки Великой Сирии), Всероссийское общественное движение «Народное ополчение имени К. Минина и Д. Пожарского», Международное религиозное объединение «АУМ Синрике» (AumShinrikyo, AUM, Aleph) — см. полный список.

Деятельность запрещена по решению суда: Межрегиональная общественная организация «Национал-большевистская партия», Межрегиональная общественная организация «Движение против нелегальной иммиграции», Украинская организация «Правый сектор», Украинская организация «Украинская национальная ассамблея — Украинская народная самооборона» (УНА — УНСО), Украинская организация «Украинская повстанческая армия» (УПА), Украинская организация «Тризуб им. Степана Бандеры», Украинская организация «Братство», Межрегиональное общественное объединение — организация «Народная Социальная Инициатива» (другие названия: «Народная Социалистическая Инициатива», «Национальная Социальная Инициатива», «Национальная Социалистическая Инициатива»), Межрегиональное общественное объединение «Этнополитическое объединение „Русские“», Общероссийская политическая партия «ВОЛЯ», Общественное объединение «Меджлис крымскотатарского народа», Религиозная организация «Управленческий центр Свидетелей Иеговы в России» и входящие в ее структуру местные религиозные организации, Межрегиональное общественное движение «Артподготовка» — см. полный список.

Вычисление длин дуг плоских кривых

В элементарной геометрии измерялись длины прямолинейных отрезков, а также длина окружности и ее частей. За длину окружности принимается предел периметров правильных вписанных в окружность многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон. Обобщим это понятие для любой кривой.

Определение.ДлинойL дуги АВ называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломанной, когда число ее звеньев неограниченно растет, а наибольшая из длин звеньев стремится к нулю:

Кривые, для которых этот предел существует, называются спрямляемыми.

Теорема.Пусть криваяАВ задана уравнением y=f(x), где f(x) – непрерывная функция, имеющая непрерывную производную во всех точках сегмента [a;b]. Тогда дуга АВ имеет длину:

Пример 2.Вычислить длину дуги параболы у 2 =4х от х=0 до х=1.

Для наглядности выполним чертеж.

Для этого выразим из уравнения параболы х и найдем производную по «игреку»:

Тогда длина дуги будет равна:

Замечание.

Парабола свойства и график квадратичной функции

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

x0 = -b / (2 * a),
y0 = y (x0).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

х = -16 / (2 * 4) = -2,
y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D0,5) / (2 * a),
D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a),
D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

определить направление ветвей,
найти координаты вершины,
найти пересечение с осью ординат,
найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

а = 1, следовательно, ветви направлены вверх,
координаты экстремума: х = (-5) / 2 = 5/2, y = (5/2)2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4,
с осью ординат пересекается в значении у = 4,
найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9,
ищем корни:

Х1 = (5 + 3) / 2 = 4, (4, 0),
Х2 = (5 — 3) / 2 = 1, (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

а = 3, следовательно, ветви направлены вверх,
координаты экстремума: х = (-2) / 2 * 3 = 1/3, y = 3 * (1/3)2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3,
с осью у будет пересекаться в значении у = -1,
найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

Х1 = (2 + 4) / 6 = 1, (1,0),
Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3, (-1/3, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Источник

Длина
S
дуги гладкой кривой y=
f(x),
содержащейся между двумя точками с
абсциссами x
= a
и x
= b
равна

Пример
2.1. Вычислить
длину дуги

,
цепной линии, заданной уравнением

,
от точки x
= 0 до точки
x
= 4.

Решение.
Воспользуемся указанной формулой.
Имеем:

Отсюда

2.2.
Длина дуги кривой, заданной параметрически.

Если
кривая задана уравнениями в параметрической
форме

где
φ (t)
и ψ (t)
– непрерывно дифференцируемые функции,
то длина дуги S
кривой равна

где
t₁и t₂
значения параметра, соответствующие
концам дуги.

Пример
2.1.. Вычислить
длину дуги кривой:

от
t
= 0 до

Решение.
Дифференцируя по t
параметрические уравнения кривой,
получим

Преобразуем
подынтегральную функцию:

Пользуясь
формулой для длины дуги в параметрическом
виде, получим

2.3. Длина дуги кривой в полярной системе координат

Если
гладкая кривая задана уравнением

в полярных координатах ρ
и φ,
то длина дуги S
равна

где
α и β –значения полярного угла в крайних
точках дуги.

Пример
2.3. Найти
длину всей кривой

Вся
кривая описывается точкой (ρ,
φ) при
изменении φ
от 0 до 3π.

Решение.
Имеем

поэтому
длина всей дуги кривой

Задачи
для самостоятельного решения.

1.
Определить длину дуги кривой,

,отсеченной
осью Oх.

Ответ:

2.
Определить длину дуги кривой

от x=0
до x=1

Ответ:

3.
Определить длину дуги кривой

между
точками, абсциссы которых π/2 и π/3.

Ответ:

4.
Определить длину дуги кривой

от
начала координат до точки, для которой
x=1.

Ответ:
e
– 1.

5.
Определить длину дуги кривой

от x₁=a
до x₂=b.

Ответ:

Вычислить
длину дуги кривой

в пределах от 0 до

.

Ответ:

Вычислить
длину дуги кривой

от
t₁=0
до t₂=π.

Ответ:

Найти
длину развертки окружности

от
t=0
до t=T.

Ответ:

9.
Найти длину кривой

Ответ:
16a.

10.
Найти всю длину кардиоиды

Ответ:
8a.

11.
Вычислить длину прямой линии

в пределах от φ₁=0
до φ₂=π/2.

Ответ:

12.
Вычислить длину дуги части параболы

отсекаемой от параболы вертикальной
прямой, проходящей через полюс.

Ответ:

.

13.
Вычислить длину кривой

Ответ:

Занятие
3.
Вычисление объема тел.

3.I. Объем тела вращения

Объемы
тел, образованных вращением криволинейной
трапеции, ограниченной кривой

,
осью Ох и
двумя вертикалями х=а
и х=b,
вокруг осей Ох
и Oy,
выражаются соответственно формулами:

Объем
тела, образованного вращением около
оси Oy
фигуры, ограниченной кривой

Осью Oy
и двумя прямыми y=c
и y
= d
можно получить
по формуле

получающейся
из формулы 1. путем перестановки координат
X
и Y.

В
более общем случае объемы тел, образованных
вращением фигуры, ограниченной кривыми

(причем

)
и прямыми х=а,
x=b,
вокруг координатных осей Ох
и Oy
соответственно
равны

П
ример
3.1. Вычислить
объем тела, образованного вращением
фигуры вокруг оси Ох,
ограниченной линиями

,
х=а.

Решение.
Построив параболу

и
прямую х=а,
получим
параболический сегмент ОАВ
(рис.5).

При
вращении его вокруг оси Ох
образуется
сегмент параболоида вращения. Согласно
общим указаниям найдем объем этого
тела.

Пример
3.2. Вычислить
объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной одной полуволной
синусоиды y=sinx
и отрез-ком

оси Ох
вокруг оси Oy.

Решение.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022503.81 Кб02.doc
#
#
30.04.2022381.44 Кб120.doc
#
#
#
#
#
#
#
#

Источник

При вычислении любой длины следует помнить, что это величина конечная, то есть просто число. Если имеется в виду длина дуги кривой, то такая задача решается с помощью определенного интеграла (в плоском случае) или криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Дуга АВ будет обозначаться UАВ.

Первый случай (плоский). Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ (см. рис. 1а). Для решения этой задачи разбейте рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В результате UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдете длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получите результат, приведенный на рисунке 1b.

Как вычислить длину кривой

Второй случай (дуга UАВ задана параметрически). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на отрезке этом отрезке. Найдите их дифференциалы. dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставьте эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесите dt из квадратного корня под интегралом, положите х(α)=а, x(β)=b и придете к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).

Третий случай. Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ) Полярный угол φ при прохождении дуги изменяется от α до β. Функция ρ(φ)) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще всего использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберите φ в качестве параметра и подставьте в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ y=ρsinφ. Продифференцируйте эти формулы и подставьте квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получите формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).

Четвертый случай (пространственная кривая, заданная параметрически). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Криволинейные интегралы вычисляют переводом их в обычные определенные. В результате ответ останется практическим таким же как и случае два, с тем лишь отличием, что под корнем появится добавочное слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).

Примеры:

Пример 1. Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у’ = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками х₀= а, х₁…, х_n = b (х₀ < x₁ < …< х_n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М₀ = А, M₁,…,M_n =В на кривой АВ. Проведем хорды М₀M₁, M₁M₂,…, М_n-1М_n, длины которых обозначим соответственно через ΔL₁, AL₂,…, ΔL_n. Получим ломаную M₀M₁M₂ … M_n-ιM_n, длина которой равна L_n=ΔL₁ + ΔL₂+…+ ΔL_n =

2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL₁ можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δx_i и Δу_i:

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δу_i=ƒ'(с_i)•Δх_i, где ci є (x_i-1;x_i). Поэтому

а длина всей ломаной M₀M₁… М_n равна

3.Длина l кривой АВ, по определению, равна

Заметим, что при ΔL_i→0 также и Δx_i →0 ΔLi =и, следовательно, |Δx_i|<ΔL_i).

Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δx_i→ 0:

Таким образом,или в сокращенной записи l =

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) — непрерывныефункции с непрерывными производными и х(а) = а, х(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой x = x(t),dx = x'(t)dt,

Пример 2. Определить длину окружности x² + y² = r². Решение. Вычислим сначала длину четвертой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги AB будет, откуда,следовательно,

Длина всей окружности L = 2πr.

Пример 3. Найти длину дуги кривой y² = x³ от x = 0 до x = 1 (y > 0). Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем y’ = (3/2)x^1/2, откуда

Пример 4. Пусть кривая лежит в плоскости x0y и описывается уравнением y = f(x).

Для нахождения длины дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами a и b, разобьем дугу на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было аппроксимируовать прямолинейным участком (см. рисунок 1).

Рис. 1. Аппроксимация элемента дуги кривой прямолинейным участком.

Длину dL бесконечно малого участка можно выразить через dx и dy с помощью теоремы Пифагора:

(1)

где y ‘ – производная функции y = f(x) по переменной x.

Длина дуги равна сумме длин составляющих ее элементов:

Пример 5.

Источник

Найти длины дуг кривых в прямоугольной системе координат

Содержание

Обозначения[править]

Формула[править]

Вывод формулы[править]

Другие формулы[править]

Длина дуги параболы

Содержание

[править] Обозначения

[править] Формула

[править] Вывод формулы

[править] Другие формулы

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Действия

Поиск

Навигация

Инструменты

Вычисление длин дуг плоских кривых

Парабола свойства и график квадратичной функции

Что такое парабола и как она выглядит

Каноническое уравнение параболы

Свойства и график квадратичной функции

Как определить, куда направлены ветви параболы

Как найти вершину параболы по формуле

Смещение параболы

Как строить параболу по квадратному уравнению

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Заключение

2.3. Длина дуги кривой в полярной системе координат

3.I. Объем тела вращения