Как найти длину дуги примеры

Arc length is defined as the distance between the two points placed on the circumference of the circle and measured along the circumference. Arc length is the curved distance along the circumference of the circle. Length of the arc between two points is always greater than the chord between those two points.

What is Arc Length?

The arc length is defined as the circular distance between two points along the circumference of the circle. The length of the arc is directly dependent on the radius and central angle of the circle. The central angle is the angle subtended by the endpoints of the arc to the center of the circle. It is denoted by θ. It is measured both in degrees and radians. The figure given below shows the arc AB when the radius is r and the central angle is θ.

Arc Length Formula

Length of the arc is calculated using different formulas, the formula used is based on the central angle of the arc. Central angle is measured in degrees or radians, and accordingly, the length of an arc of the circle is calculated. For a circle, the formula for arc length formula is θ times the radius of the circle.

Arc Length Formula (θ in degrees)	s = 2×π×r ×(θ/360°)
Arc Length Formula (θ in radians)	s = θ × r
Arc Length Formula (Integral Form)	s = ∫√(1 + (dy/dx)2dx

There are different cases that are used accordingly to find the required Arc Length

Case 1: When Radius and Angle are given

Formula to calculate the length of an arc is given by:

L = 2πr × (θ / 360)… (1)

where
r is the radius of the circle
θ is the angle in degrees
L is the Arc length  

Arc length when the angle is represented in radians

1 radian = π/180°

Substituting the value of radian in equation (1)

L = 2πr × (θ × / 360)

L = r θ…(2)

where,
r is the radius of the circle
θ is the angle in radians.

Case 2: When Area and Central Angle of the Arc are given

Formula to calculate the length of an arc is given by:

L = 2πr × (θ / 360) 

where,
r is the radius of the circle
θ is the angle in degrees

We need to find the radius of the circle from the given area. After finding the radius, we will substitute the value of radius in the formula.

Area of the circle = πr²

Example: If area of the circle is 314 m² and centeral angle of the arc is π radian find the length of the arc.

Sloution:

πr² = 314 m²

r² = 314/π     (π = 3.14)

r² = 314/3.14

r² = 100

r = √100 = 10 m

Length of the arc with angle π radians will be:

L = r θ 

L = 10 × π

L = 10 × 3.1415

L = 31.415 m

The value of r can be used in the same formula, as discussed above.  

Case 3: Arc length In Integral Form

Arc length in integral form is given by:

L = ∫√(1 + (dy/dx)²)dx

where,
Y is the f(x) function
limit of integral is [a, b]

How to Find Arc Length?

Use the steps given below to find the Arc length of the given arc.

Step 1: Mark the central angle and length of the radius of the given arc.

Step 2: Use the formula as given above according to the value of the angle in degrees or radians accordingly.

Step 3: Simplify the above equation to get the required answer.

Also, Check

• Equation of a Circle
• Degrees To Radians
• Radians to Degrees

Solved Examples on Arc Length

Example 1: Find the length of the arc with a radius of 2m and angle π/2 radians.

Solution: 

The formula to calculate the length of the arc is given by:

L = r θ

Where,

L is the length of the arc

Given: r = 2m and θ = π/2 radians

Length of arc = 2 × π/2

Length of arc = π

(π = 3.1415)

Length of arc = 3.1415 m

Thus, the length of the arc is 3.1415 m.

Example 2: Find the length of the arc of function f(x) = 8 between x =2 and x = 4.

Solution: 

The formula to calculate the arc length for the function is given by:

L = ∫√(1 + (dy/dx)²)dx

The limit of integral is [a, b]

Substituting the values a = 2, b = 4, and y = 6 or dy/dx = 0 in the above formula, 

L = ∫√(1 + (0)²)dx

L = ∫√1 dx

L =  ∫1 dx

L = x

(Integral of 1 is x)

The limit of integral is [2, 4]

L = (4 – 2) 

L = 2

Thus, the length of the arc of function f(x) = 8 between x = 2 and x = 4 is 2.

Example 3: Find the length of the arc with a radius of 5cm and an angle of 60°.

Solution: 

The formula to calculate the length of the arc is given by:

L = 2πr × (θ / 360)  

Where,

L is the length of the arc

Given: r = 5cm and θ = 60°

Length of arc = 2πr × (60 / 360)  

Length of arc = 2πr × 1/6

Length of arc = 2 × 3.1415 × 5/6

(π = 3.1415)

Length of arc = 5.235cm

Thus, the length of the arc is 5.235cm

Example 4: Find the length of the arc with a radius of 0.5m and an angle of π/4 radians.

Solution: 

The formula to calculate the length of the arc is given by:

L = r θ

Where,

L is the length of the arc

Given: r = 0.5m and θ = π/4 radians

Length of arc = 0.5 × π/4

Length of arc = 0.392 m

(π = 3.1415)

Thus, the length of the arc is 0.392 m

Example 5: Find the length of the arc with a radius of 10cm and an angle of 135°.

Solution: 

The formula to calculate the length of the arc is given by:

L = 2πr × (θ / 360)  

Where,

L is the length of the arc

Given: r = 10cm and θ = 135°

Length of arc = 2πr × (135/360)    

Length of arc = (2 × 3.1415 × 10 × 135)/360°

(π = 3.1415)

Length of arc = 23.56cm

Thus, the length of the arc is 23.56cm.

Example 6: Find the length of the arc with a radius of 20mm and angle π/6 radians.

Solution: 

The formula to calculate the length of the arc is given by:

L = r θ

Where,

L is the length of the arc

Given: r = 20mm and θ = π/6 radians

Length of arc = 20 × π/6

Length of arc = 10.47 mm

(π = 3.1415)

Thus, the length of the arc is 10.47 mm

Example 7: Find the length of the arc with a radius of 2 cm and an angle of 90°.

Solution: 

The formula to calculate the length of the arc is given by:

L = 2πr × (θ / 360)  

Where,

L is the length of the arc

Given: r = 2cm and θ = 90°

Length of arc = 2πr × (90 / 360)  

Length of arc = 2πr × 1/4

Length of arc = 2 ×3.1415 × 2 × 1/4

(π = 3.1415)

Length of arc = 3.1415 cm

Thus, the length of the arc is 3.1415 cm.

FAQs on Arc Length

Question 1: What is the Arc Length of a Circle?

Answer:

Arc length of a circle is the length made by the arc which is measured along its circimference.

Question 2: Length of the arc is measured in which unit?

Answer:

Length of arc is of a circle is either measured in m or in cm.

Question 3: Does arc length is measured in radians?

Answer:

Angles are measured in radians and arc length is a measurement of distance, thus it cannot be measured in radians.

Question 4: How do you find the circumference if the arc length (l) and central angle (θ) are given?

Answer:

When arc length (l) and central angle (θ) is given then the circumference by the formula

Arc Length (L) / Circumference = θ/360º

Last Updated :
20 Jan, 2023

Like Article

Save Article

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Длина дуги окружности — формула, обозначение, примеры расчета

Необходимость расчётов

Геометрическими формулами, связанными с подсчетом площади сектора, объема сегмента и периметра полукруга, следует виртуозно владеть людям, связавшим свою жизнь со строительством или благоустройством территорий. Чтобы обновить после зимы элементы архитектуры городского парка и закрасить дефекты абстрактных скульптур, не нужно вспоминать сложные уравнения, достаточно применить знание геометрических формул.

К примеру, для правильного нахождения веса декоративного камня, предназначенного для окантовки части клумбы, нужно уметь быстро посчитать размер полуокружности на поверхности ландшафта. Затем необходимо определиться с ценой и принять решение, какой камень можно покупать с учетом сметы. Аналогичная задача возникает при строительстве альпийской горки. Тяжесть камня обеспечит круговую укладку, это свойство позволит высадить декоративные растения в запланированных местах сечения, придав конструкции форму трапеции.

Что представляет собой часть клумбы? Это сектор геометрической фигуры. Внешняя его часть — окантовка клумбы — чаще всего представляет собой дугу окружности. Существует две методики вычисления этой величины:

• градусная (с привязкой к центральному углу);
• по формуле Гюйгенса (с использованием хорды).

Определение методики расчета в полевых условиях зависит от наличия инструментов и особенностей рельефа местности. Но сначала немного теории. Дугой называют часть окружности, расположенную между двумя произвольными точками, находящимися на ней.

Для удобства рассмотрим пример с двумя точками A и B, расположенными на окружности на небольшом расстоянии друг от друга. Они делят её на 2 части — большую и меньшую. Каждая из них называется дугой окружности.

Градусная мера

Длина дуги между точками окружности является функцией центрального угла, образованного радиусами круга (см. рисунок) в прямо пропорциональной зависимости. На этом основана градусная мера.

За 1° дуги принимают часть окружности.

Поскольку L равна , то развернутому углу 180° будет соответствовать длина дуги .

Если значение угла равно 1°, формула выглядит так: .

Следовательно, формула длины дуги окружности с центральным углом n° будет выражаться следующим образом: .

Определим значение l для угла 120° с радиусом, равным 5 мм: l=3,14*30*5/180=2,62 мм.

Применение хорды и высоты

Существует методика расчета длины дуги по хорде и высоте перпендикуляра. Она получила название формулы Гюйгенса. Хорда представляет собой часть прямой, расположенной внутри окружности. Проходящая через центр хорда называется диаметром.

Формулу Гюйгенса применяют, если центральный угол меньше 60 градусов. Для проведения вычислений необходимо сначала соединить точки окружности прямой линией. Это будет хорда. Далее нужно провести перпендикуляр из ее середины, а из точки соприкосновения перпендикуляра с дугой начертить две прямые линии к концам хорды.

Получился равнобедренный треугольник, стороны которого обозначим l , а саму хорду назовем L . Для углов более 60 градусов формулу Гюйгенса не стоит использовать, поскольку при расчетах может возникнуть ошибка. Чем больше угол, тем значительней будет погрешность.

Замерив хорды L и l, можно получить значение дуги, обозначенной на рисунке синим цветом. Если L равна 30 мм, а l — 20 мм, то Р=2*20+3,33=43,33 мм.

Теперь, когда существует понимание методики расчета, можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Этот инструмент хорош для проверки полученного экспериментальным путем результата, особенно при обработке большого количества данных, когда необходимо быстро получить ответ.

Онлайн-калькулятор позволяет сохранять полученные значения в буферной памяти компьютера. Оформить данные в виде произвольной таблицы или графика в системе координат не составит труда. Длина дуги окружности по онлайн-калькулятору считается с использованием любой из двух формул: либо по градусной мере, либо по хорде и высоте. Образно говоря, эти формулы являются синонимами, они взаимозаменяемы.

Практика с задачами

Нужно сказать несколько слов об изучении геометрии в средних классах общеобразовательной школы. Существует категория учащихся, для которых формулы сложны для восприятия. Таким ученикам требуется наглядный материал.

На уроке геометрии при изучении материала по вычислениям параметров окружности можно провести практическое занятие. Для этого следует предварительно подготовиться: сделать небольшой чертеж-проекцию гимнастического кольца. Цель занятия — научиться использовать формулы в процессе работы. Ход урока:

1. Попросить дежурного ученика принести из спортивного зала гимнастическое кольцо (хула-хуп) небольшого диаметра.
2. Отметить фломастером или цветным мелком 3 точки на наружной стороне кольца. После этого оно окажется поделенным на несколько секторов.
3. Сделать проекцию кольца на школьной доске с нанесенными точками. На чертеже обозначить центр круга, провести диаметр. Затем нужно соединить отмеченные на окружности точки радиусами с центром круга и хордами между собой.
4. Провести все замеры. Получить значения всех параметров и записать на доске. Её предварительно разделить на две части: в центре, доступном для обзора, будут значения центральных углов АОВ и ВОС, диаметр, длина прямых линий АВ, ВС и АС.
5. Ответы (искомые значения) записать в правой части доски и прикрыть шторкой до момента окончания практического занятия.

Далее следует разделить класс на 4 небольших группы. Каждой из них нужно дать задание по проведению вычислений с использованием изученных формул.

• группа №1 вычисляет длину дуги между точками А и В, используя градусную меру центрального угла АОВ;
• вторая группа получает аналогичное задание для отрезка между точками В и С;
• третья группа вычисляет искомый параметр между точками А и С, используя длину хорды АС и вспомогательных линий АВ и ВС;
• группа №4 работает с точками А и С, применяя значения угла АОС.

На выполнение задания отводится 12 минут. После истечения времени от каждой из четырех групп выходит ученик, поясняет формулу и записывает на доске полученный результат. Эти ответы сравниваются с уже готовыми замерами, записанными ранее на правой стороне доски.

Следующие 7 минут урока отводятся на обсуждение полученного результата и анализа возникновения погрешности.

Усложнение формулы

Группе продвинутых учеников предлагается задание «Как изменить градусную формулу?». Можно ли найти значение радиуса, используя другие геометрические выражения, например, представить его как половину диаметра круга? В этом случае формулы будет выглядеть следующим образом: r=1/2d, тогда l= πd/360*n.

Если использовать формулу вычисления площади круга и выразить радиус через неё, тогда можно получить s=πr 2 .

Обозначаться радиус будет интересно — в виде производной квадратного корня. Вывести формулу нетрудно, это станет прекрасной ментальной гимнастикой для учащихся.

Базовая цель уроков математики — развитие аналитического мышления учащихся достигается в процессе обсуждения и сравнения различных методик расчета. В качестве дополнительного задания можно предложить ученикам посчитать значение кривой линии наружного края школьной клумбы. Затем следует попросить обосновать свои расчеты.

Использование наглядности поможет учащимся подружиться с формулами, увидеть роль геометрии в повседневной практической жизни и облегчить усвоение конкретного материала.

Введение. Длина дуги окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы вспомним, что такое окружность, круг и части круга и числовая окружность. Дадим определение радиана и рассмотрим окружность с единичным радиусом. Далее рассмотрим четыре четверти окружности и решим несколько примеров на нахождение длины дуги единичной окружности.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки:

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.

Определение дуги сектора круга

Дуга – это участок между двумя точками на окружности.

Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.

На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).

• OA = OB = R (r);
• α – угол сектора или центральный угол.

Формулы для нахождения длины дуги сектора

Через центральный угол в градусах и радиус

Длина (L) дуги сектора равняется числу π, умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.

Примечание: в расчетах используется число π, приблизительно равное 3,14.

Через угол сектора в радианах и радиус

Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (a_рад).

Примеры задач

Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.

Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:

Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.

Решение
Для начала вычислим угол в радианах:

1 радиан ≈ 57,2958°

Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59° (2 рад ⋅ 57,2958°).