Как найти длину дуги сектора кольца

Вычисление

Зная внутренний и внешний радиус кольца, а также угол сектора кольца, можно найти длину дуги a и b, а также площадь сектора кольца. Для этого нужно общую длину дуги разделить на 360 градусов, из которых состоит круг, и умножить на заданный угол сектора. Площадь сектора круга рассчитывается аналогичным способом.
p=2πrα/(360°)=rα
P=Rα
S=((R^2-r^2)α)/2

План урока:

Длина окружности и число пи

Длина дуги

Площадь круга

Площадь сектора

Площадь кольца и других сложных фигур

Длина окружности и число пи

Окружность представляет собой линию, а значит, у нее есть длина. Действительно, представим себе нить, опоясывающую какой-нибудь круглый предмет. Если эту нить разрезать, то ее можно будет развернуть на плоскости в отрезок. Её длина и будет длиной окружности.

Однако определить точно эту длину довольно сложно, так как окружность является «кривой» линией, а до этого в курсе геометрии мы рассматривали только длины отрезков. Для приближенной оценки длины окружности можно использовать правильные многоугольники.

Возьмем произвольную окружность и впишем в нее правильный n-угольник, и одновременно ещё один n-угольник опишем около окружности. Можно считать, что периметры этих n-угольника приближенно равны длине окружности, причем периметр вписанного многоугольника – это приближение с округлением в меньшую сторону (оценка снизу), а периметр описанного многоугольника – это уже оценка сверху.

Обычно длину окружности обозначают буквой С. Обозначим периметры вписанного и описанного многоугольника как Р_в и Р_о. Тогда можно записать двойное неравенство:

Далее будем увеличивать число n. При этом n-угольник будет всё плотнее «прилегать» к окружности, и тем самым его периметр будет являться все более точным приближением длины окружности.

Напомним две формулы, которые мы вывели, изучая правильные многоугольники:

Здесь а_n – это сторона n-угольника, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности. Из второй формулы можно выразить R и подставить это выражение в первую формулу:

Здесь R радиус окружности, а_в и а_о – стороны вписанного и описанного многоугольника соответственно. Умножим эти равенства на n, чтобы в левой части получился периметр многоугольников:

Это неравенство позволяет для любой окружности оценить отношение длины ее окружности к ее диаметру (2R – это как раз диаметр окружности).

Можно доказать, что при увеличении n величина

при росте n, наоборот, убывает, но также стремится к пределу. Более того, оказывается, что эти пределы у обоих выражений одинаковы, то есть являются одним и тем же числом. Это значит, что и само отношение длины окружности к диаметру является этим же числом, которое традиционно обозначается буквой π. Записать этот факт можно так:

Ещё раз обратите внимание, что число π (читается как «число пи») не зависит от диаметра окружности или расположения ее центра, это некоторое постоянное число. Обычно его определяют так:

Чем большее n мы сюда подставим, тем более точную оценку числа π мы получим. Ещё Архимед использовал в этом неравенстве n = 96 (это значение было удобно взять, так как соответствующие значения синуса и тангенса угла 180°/96 уже умели вычислять в Древней Греции). Если мы воспользуемся калькулятором, то при n = 96 получим:

Вы можете и сами найти более точную оценку числа пи, используя неравенство (1) и калькулятор, умеющий высчитывать синусы и тангенсы. Попробуйте, например, подставить в него n = 1 000 000.

Используя метод многоугольников, Людольфу ван Цейлену в 1596 г. удалось вычислить 20 верных десятичных знаков числа пи после запятой:

Дальнейший прогресс в этой области был связан уже с использованием более сложных методов, основанных на бесконечных рядах чисел. Также в XVIII в. было доказано, что число π – иррациональное, то есть оно является бесконечной непериодической десятичной дробью. На сегодня даже на обычном персональном компьютере можно вычислить триллионы цифр после запятой в числе π. В большинстве школьных задач число π принимается равным 3,14. Однако если в задаче не просят округлить ответ, то вместо числа π вообще не надо ничего подставлять.

Из определения числа π вытекает формула для вычисления длины окружности c радиусом R или диаметром D:

Задание. Найдите длину окружности, если ее радиус составляет 5 см.

Решение. Просто подставляем в формулу число 5:

Обратите внимание, что вместо числа π НЕ надо подставлять его приближенное значение, так как в условии не говорится, что ответ надо округлять. Только та запись, в которой число π оставлено как есть, является точным, а не приближенным ответом.

Ответ: 10π см.

Задание. Диаметр окружности составляет 40 см. Вычислите приближенно ее длину, принимая число π примерно равным 3,14.

Решение. Так как ответ надо будет округлить, то вместо числа π подставим значение 3,14:

Ответ: 125,6 см.

Задание. Длина окружности составляет 100 см. Вычислите приближенно её радиус.

Решение. Из формулы для длины окружности легко получить формулу и для вычисления радиуса:

Ответ: 15,9 см.

Задание. Вычислите радиус Земли, если известно, что длина экватора составляет 40 000 км.

Решение. Задача аналогична предыдущей, только вместо длины окружности надо подставить 40 000 км:

Ответ: ≈ 6369 км.

Задание. Автомобиль проехал 1978 метров, при этом одно из его колес совершило 1000 оборотов. Вычислите приближенно диаметр этого колеса.

Решение. В таких задачах неявно предполагается, что колесо плавно катится по дороге, а не скользит по нему. Можно посчитать, какое передвижение соответствует 1 обороту колеса:

1978 м : 1000 обор. = 1,978 м/об

Это величина как раз является длиной окружности колеса. Тогда легко найти и диаметр:

Ответ: 63 см.

Длина дуги

Иногда требуется вычислить не длину всей окружности, а только лишь длину ее части, то есть дуги.

Напомним, что дуги имеют такую характеристику, как градусную меру, которая равна величине центрального угла, на который дуга опирается. Оказывается, что длина дуги окружности и ее градусная мера связаны. Для начала попытаемся найти длину дуги величиной в 1°. Напомним, что вся окружность составляет 360°. Значит, ее можно разбить на 360 маленьких дуг по 1°. Так как все эти дуги одинаковы, то длина каждой из них будет в 360 раз меньше длины все окружности:

Теперь предположим, что нам надо найти длину дуги с градусной мерой α, причем α – это целое число. Тогда мы можем разбить эту дугу на α маленьких дуг по 1°, и ее длина будет равна сумме их длин:

Задание. На окружности с радиусом 6 см отмечена дуга величиной в 30°. Найдите ее длину.

Решение. Просто подставляем в формулу числа:

Ответ: π см.

Задание. На железнодорожном пути есть закругленный участок радиусом 5 км, а его длина составляет 400 м. Какова градусная мера этого закругления? Дайте приближенный ответ без использования числа π.

Решение. Выведем из формулы выражение для угла α:

Ответ: 4,6°.

Задание. Длина дуги окружности равна 20 см, ей соответствует центральный угол в 60°. Каков радиус окружности? Ответ не округляйте.

Решение. Теперь из формулы выражаем радиус окружности:

Ответ: 60/π см.

Задание. Точки А и В разбивают окружность на две дуги. Длина меньшей дуги равна 63, а опирается она на центральный угол в 28°. Какова длина большей дуги?

Решение. Сначала найдем радиус окружности:

Вся окружность составляет 360°. Если градусная мера меньшей дуги – это 28°, то у большей дуги градусная мера (обозначим ее как β) определяется так:

Ответ: 747 см.

Задание. Какой должна быть градусная мера дуги, чтобы ее длина в точности совпадала с длиной радиуса?

Решение. Запишем формулу:

Ответ: ≈ 57,32°.

Площадь круга

Напомним, что кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Для нахождения площади круга можно использовать все тот же метод многоугольников, который мы применили для нахождения длины окружности и вычисления числа π.

Возьмем окружность и впишем в нее n-угольник. В свою очередь в него впишем окружность.

Выпишем изученные нами ранее две формулы:

Здесь r и R – радиусы вписанной и описанной окружности соответственно, Р – периметр многоугольника, S_мног. – площадь многоугольника. С ростом n периметр многоугольника приближается к длине описанной окружности, что можно записать в таком виде

Одновременно с этим и площадь многоугольника приближается к площади круга (имеется ввиду больший, то есть описанный круг), что позволяет вычислить ее:

Задание. Определите площадь круга, ограниченного окружностью 10 см.

Решение. В этой задаче надо просто подставить числа в формулу:

Ответ: 100π см².

Задание. Площадь круглого бассейна составляет 10 м². Каков его радиус? При расчете примите число π равным 3,14.

Решение. Здесь надо из формулы площади получить выражение для вычисления радиуса:

Ответ: ≈ 1,8 м.

Задание. Во сколько раз увеличится площадь круга, если его радиус увеличится в 2 раза?

Решение. Пусть радиус исходного круга – это R. Тогда его площадь рассчитывается так:

Ответ: в 4 раза.

Примечание. В общем случае увеличение радиуса круга в k раз приводит к увеличению его площади в k² раз.

Задание. Ваня и Петя решили купить пиццу. Сначала Ваня заметил пиццу диаметром 30 см, цена которой – 300 рублей. Но тут же Петя обнаружил на витрине такую же пиццу диаметром 40 см, которая стоила уже 450 рублей, и предложил ее купить. Ваня сказал, что этот невыгодная покупка, ведь радиус у второй пиццы больше только на треть, а цена больше уже наполовину. Прав ли Ваня?

Решение. Масса пиццы пропорциональна их площади. У второй пиццы радиус больше в 4/3 раза (так как 40/30 = 4/3), значит, площадь у нее больше в

Получается, что вторая пицца больше в 1,78 раза, а цена у нее выше только в 1,5 раза. То есть выгодней купить именно вторую, то есть большую пиццу.

Ответ: Ваня не прав, лучше купить пиццу диаметром 40 см.

Примечание. В этой задаче можно было посчитать площадь каждой пиццы, а потом поделить их стоимость на площадь и получить цену 1 см² пиццы в каждом варианте. Ответ бы при этом не изменился.

Задание. Завод изготавливает круглые столы радиусом 1,5 метра. Их поверхность надо покрывать лаком, причем на каждый 1 м² поверхности необходимо тратить 20 г лака. Лак закупается раз в месяц, и в течение ближайшего месяца завод должен изготовить 5000 столов. Сколько лака должен закупить завод на ближайший месяц?

Решение. Считаем площадь поверхности каждого стола:

Ответ: 706,5 кг.

Площадь сектора

Напомним, что сектором называется часть круга, образованная двумя его радиусами. Если же в круге проведена хорда, то она отсекает от него сегмент:

Проведем из центра окружности 360 радиусов, причем угол между соседними радиусами будет ровно 1°. В результате мы разобьем окружность на 360 одинаковых секторов, площадь каждого такого сектора будет в 360 раз меньше площади круга:

Теперь рассмотрим сектор, который образован дугой величиной в α градусов. Если α – целое число, то такой сектор можно составить из α секторов, каждый из которых составляет по 1°. Тогда площадь сектора круга будет определяться формулой:

Задание. Круговой сектор опирается на дугу в 45°, а его радиус составляет 40. Определите площадь этого сектора.

Решение. Используем выведенную формулу:

Ответ: 12,5π.

Задание. Площадь сектора равна 200 см². Он опирается на дугу в 30°. Каков радиус кругового сектора? При решении примите π равным 3,14.

Решение. Из формулы площади сектора выразим радиус окружности:

Ответ: ≈ 27,6 см.

Задание. На сторонах произвольного прямоугольника построены полукруги:

Докажите, что площадь полукруга, опирающегося на полуокружность, равна сумме площадей полукругов, опирающихся на катеты.

Решение. Полукруг представляет собой сектор с центральным углом α = 180°, поэтому его площадь может быть рассчитана так:

Заметим, что эти стороны являются диаметрами полукругов. Обозначим как D₁ диаметр полукруга, опирающегося на гипотенузу, а два других диаметра как D₂ и D₃. Тогда можно выполнить преобразования:

Именно это равенство нам и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим более сложную задачу, в которой необходимо определить площадь сегмента.

Задание. В окружности радиусом 20 проведена хорда длиной 12. Она разбивает окружность на два круговых сегмента. Найдите площадь каждого из них. При расчете примите π ≈3,14.

Чтобы найти площадь меньшего сегмента, можно вычесть из площади кругового сектора площадь треугольника АВО. Для нахождения обоих площадей в любом случае надо сначала определить величину угла ∠АОВ. Это можно сделать, применив теорему косинусов:

Далее надо рассчитать площадь ∆АВС. Это можно сделать с помощью разных формул, мы используем формулу с синусом угла. Для этого предварительно вычислим синус ∠АОВ, применив основное тригонометрическое тождество:

Осталось вычесть из площади сектора площадь ∆АВС, чтобы найти площадь кругового сегмента S₁:

Примечание. В подобных задачах ответы и промежуточные ответы могут немного отличаться в зависимости от того, с какой точностью берется число π, вычисляется ∠АОВ и его синус, и как именно округляются промежуточные результаты и т. п. Более точные расчеты показывают, что в описанной задаче величины S₁ и S₂ примерно равны:

Площадь кольца и других сложных фигур

Если какая-либо фигура образована с помощью нескольких окружностей, то найти ее площадь можно, представив ее в виде суммы площадей нескольких более простых фигур. В качестве простейшего примера можно привести кольцо. По сути оно представляет собой круг, в котором есть круговое отверстие:

Если обозначить наружный радиус кольца буквой R, а радиус отверстия буквой r, то площадь кольца можно найти, вычтя из площади большего круга площадь отверстия:

Задание. Внешний радиус кольца составляет 20 см, а радиус отверстия в нем равен 15 см. Определите площадь кольца.

Решение. Подставляем числа в формулу:

Ответ: 175π.

Задание. Есть диск радиусом 1 метр. Необходимо вырезать в нем отверстие так, чтобы масса диска уменьшилась в два раза. Какой радиус должен быть у отверстия?

Решение. Можно считать, что масса диска пропорциональна его площади, поэтому нам надо, чтобы площадь диска уменьшилась вдвое. Начальная площадь диска определяется так:

Площадь кольца должна быть вдвое меньше, то есть она будет составлять π/2. Если радиус отверстия мы обозначим как r, то можно составить уравнение:

Ответ: ≈ 70,7 см.

В прямоугольной плите с габаритами 180 и 60 см сделано 27 отверстий диаметром 10 см. Вычислите площадь этой плиты. Считайте, что π ≈ 3,1416, и округлите ответ до целых.

Решение. Надо найти площадь плиты без учета отверстий, а потом вычесть из нее площадь всех отверстий. Площадь плиты равна произведению ее сторон

Ответ: ≈ 8679 см².

Задание. Из вершин квадрата со стороной а проведены дуги радиусом а/2. В результате получили следующую фигуру:

Найдите заштрихованную площадь.

Решение. Площадь заштрихованной области может быть получена, если из площади квадрата мы вычтем площади 4 секторов. Площадь квадрата рассчитывается так:

Задание. В квадрате, сторона которого обозначается буквой а, из вершин провели дуги, чей радиус совпадает со стороной квадрата. В результате в центре квадрата получили следующую фигуру:

Определите, какую долю квадрата занимает эта центральная фигура. Ответ дайте в процентах и округлите его до десятых.

Решение. Задача решается в несколько действий, причем нам потребуется составить формулы для вычисления площадей вспомогательных фигур. Сначала найдем площадь маленького треугольника с «кривыми» сторонами, для чего используем такое построение:

Площадь, которую мы пытаемся найти, обозначена здесь как S₁. Ее можно получить, просто вычтя из площади квадрата (она составляет а²) площади двух секторов и площадь треугольника. Треугольник на рисунке – равносторонний, ведь и сторона квадрата, и радиусы окружностей равны величине а. Тогда каждый его угол составляет 60°, и его площадь можно найти так:

Также мы можем найти центральные углы обоих секторов. Так как углы в квадраты составляют 90°, а в равностороннем треугольнике 60°, то эти углы окажутся равными 90° – 60° = 30°. Тогда площадь сектора вычисляется по формуле:

На следующем шаге вычислим площадь другой фигуры:

Попытаемся выразить величину S₂. Для этого из площади квадрата надо вычесть площадь сектора, у которого центральный угол составляет 90°. Найдем площадь этого сектора:

Здесь мы ищем площадь S₃. Обратите внимание, что ее можно выразить через уже найденные нами величины S₁ и S₂:

Мы составили выражения для всех необходимых нам вспомогательных фигур. Теперь вернемся к исходному рисунке и отметим на нем эти вспомогательные фигуры:

Итак, мы составили выражение для вычисления площади центральной фигуры. По условию надо указать, сколько процентов она составляет от площади всего квадрата. Для ответа на этот вопрос поделим площадь фигуры на площадь квадрата и умножив это отношение на 100%:

Ответ: 31,5%.

В рамках этого урока мы узнали, как вычислять длину окружности и дуги, площади круга, сектора, сегмента, кольца и других фигур, одна или несколько сторон которых представляют собой дуги окружности. Эти навыки могут пригодиться и в реальной жизни, так как именно от площади многих предметов часто зависит потребность в краске, лаке, клее и т. п.

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.

Определение дуги сектора круга

Дуга – это участок между двумя точками на окружности.

Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.

На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).

• OA = OB = R (r);
• α – угол сектора или центральный угол.

Формулы для нахождения длины дуги сектора

Через центральный угол в градусах и радиус

Длина (L) дуги сектора равняется числу π, умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.

Примечание: в расчетах используется число π, приблизительно равное 3,14.

Через угол сектора в радианах и радиус

Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (a_рад).

Примеры задач

Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.

Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:

Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.

Решение
Для начала вычислим угол в радианах:

1 радиан ≈ 57,2958°

Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59° (2 рад ⋅ 57,2958°).

Онлайн калькулятор площади сектора кольца поможет быстро и просто вычислить площадь сектора кольца по имеющимся данным. 
Сделав расчет площади сектора кольца на этом калькуляторы Вы сможете получить детальное пошаговое решение с ответом.

• Калькулятор
• Инструкция
• Теория
• История
• Сообщить о проблеме

Ваша оценка?

Как рассчитать площадь сектора кольца

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь сектора кольца онлайн. Для расчета задайте радиус и угол сектора кольца.

Сектор кольца – это часть круга, ограниченная дугами разных радиусов, проведенных из одной точки, и двумя радиусами, проведенными к концам большей дуги.