Гипотенуза — сторона в прямоугольном треугольнике, находящаяся напротив прямого угла. Две других стороны — катеты. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катетов.
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (формула: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты). Очень часто для вычисления гипотенузы используется именно эта теорема.
Как найти гипотенузу?
Как найти гипотенузу, зная катеты?
Если известны оба катета (две другие стороны прямоугольного треугольника), можно применить Теорему Пифагора.
Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты).
Например:
Один катет равен 3 см, другой — 4 см. Таким образом, а = 3, b = 4, подставляем в формулу:
c² = 3² + 4² <=> c² = 9 + 16 <=> c² = 25 <=> c = √25 <=> c = 5.
Ответ: длина гипотенузы 5 см (или x = 5).
Как найти катет в прямоугольном треугольнике
По той же формуле можно найти и длину одного неизвестного катета, нужно только немного её изменить:
Начальная формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты), и найти катет можно по этой:
Например: Один катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см. Нужно узнать длину второго катета.
Применяем формулу b = √c² — a² ⇔
b = √5² — 3² ⇔ b = √25 — 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.
Как найти гипотенузу, зная катет и угол?
Если есть противолежащий катет — теорема синусов
Если в условии задачи дан угол и противолежащий катет, то ищем гипотенузу по Теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Примечание: гипотенуза есть только в прямоугольном треугольнике, однако теорему синусов можно применять к любым треугольникам (не только к прямоугольным).
Формула:
Например:
Известна одна сторона треугольника 𝐴𝐶 = √2 и ∠β = 45º.
∠α = 90º (т.к. мы ищем гипотенузу, то второй угол в треугольнике прямой, значит имеет 90º).
Так как во всех треугольниках сумма всех углов равна 180º, то можем узнать оставшийся ∠c.
Значит: ∠c = 180º — (90º + 45º) = 45º.
Подставляем в формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) известные:
BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º
В таблице вы найдёте значения для синуса:
| sin 45º | √2/2 |
| sin 60º | √3/2 |
| sin 90º | 1 |
В условии задачи нам дано: 𝐴𝐶 = √2, значит:
BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º
Подставляем значения синуса из таблицы:
BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудем на время про катет AB) ⇔
BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гипотенуза равна 2)
Если хотите вычислить катет, уже зная другой катет и гипотенузу:
AB/(√2/2) = 2 ⇔ AB = √2
Ответ: гипотенуза BC равна 2 см, а катет AB √2 см.
Если есть прилежащий катет — по косинусу
Если в условии задачи дан угол и прилежащий катет, то ищем гипотенузу по косинусу (в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла (cos) — это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе(c), таким образом cos a = b/c, из этого получается c = b / cos α).
Т.е. гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α.
Например:
Известна одна сторона треугольника AB = 1 и ∠β = 45º. Нужно вычислить гипотенузу (BC).
Помним, что гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α. Т.е.: BC = AB / cosβ ⇔ BC = 1/ cos 45º.
Смотрим в таблице, чему равен cos 45º.
BC = 1/ (√2/2) = √2
Ответ: гипотенуза BC равна √2 см.
Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике есть гипотенуза только в том случае, если он одновременно и прямоугольный, т.к. гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках (и его основание будет гипотенузой).
Чтобы найти такую гипотенузу, нужно любой из двух одинаковых катетов возвести в квадрат, умножить на 2 и посчитать квадратный корень: b = √2a² (где b — гипотенуза, а — катет). Это следствие из теоремы Пифагора.
Например:
Катет равнобедренного треугольника равен 7см. Нужно найти гипотенузу.
Формула b = √2a². Подставляем:
b = √2*7² = √2*49 ≈ √98 ≈ 9.899
Если забудете эту формулу, можно использовать уже знакомую формулу Пифагора для гипотенузы (c² = a² + b²):
c² = a² + b²
c² = 7² + 7²
c² = 49 + 49
c² = 98
c = √98
c ≈ 9.899
Ответ: гипотенуза равна 9.899.
Узнайте больше про Теорему Пифагора, Теорему косинусов, а также, что такое Тангенс и Аксиома.
Гипотенуза прямоугольного треугольника в см по катетам (сторонам)
Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны его катеты?
Гипотенуза — это сторона противоположная прямому углу (90 градусов) прямоугольного треугольника, является самой длинной стороной.
Катеты — это стороны прилегающие к прямому углу (90 градусов) прямоугольного треугольника.
Гипотенузу прямоугольного треугольника можно найти по теореме Пифагора: длина гипотенузы в квадрате равна сумме длин катетов в квадрате.
Формула теоремы Пифагора для поиска длины гипотенузы прямоугольного треугольника:
c2 = a2 + b2 ⇒
c = √(a2 + b2)
a — известная длина первого катета прямоугольного треугольника в см (сантиметрах);
b — известная длина второго катета прямоугольного треугольника в см (сантиметрах);
c — длина гипотенузы прямоугольного треугольника в см (сантиметрах).
Например:
Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 см и 12 см.
Краткое решение: c = √(a2 + b2) = √(52 + 122) = 13 см
Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 4 см.
Краткое решение: c = √(a2 + b2) = √(32 + 42) = 5 см
Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см.
Краткое решение: c = √(a2 + b2) = √(62 + 82) = 10 см
Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 9 см и 12 см.
Краткое решение: c = √(a2 + b2) = √(92 + 122) = 15 см
Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 25 см и 60 см.
Краткое решение: c = √(a2 + b2) = √(252 + 602) = 65 см
Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 12 см и 16 см.
Краткое решение: c = √(a2 + b2) = √(122 + 162) = 20 см
Длину гипотенузы можно узнать при помощи теоремы синусов если известен хотябы один острый угол и длина одного катета. для этого нужно обозначить катеты как а и b, а гепотинузу как с, далее прямой угол треугольника обозначаем как С, угол лежащий напротив катета а обозначаем как А, а угол напротив катета b обозначаем как В. Тогда по теореме синусов будет верно равенство:
а/sinA = b/sinB = c/sinC
Далее нам нужно найти все углы, так как один из острых углов нам известен, а второй угол — прямой, т.е. равен 90°, то исходя из теоремы о сумме углов треугольника можно найти третий угол: для этого складываем известные углы и вычетаем их сумму из 180°(суммы углов треугольника) и получаем величину третьего угла. Далее берем известный катет и делим его на синус нужного угла (значение синуса смотрим в таблице синусов). Далее итог наших вычеслений будет равен с/sinC, то есть мы сможем выразить из этого уравнения длину гипотенузы (обозначенную как с). То есть то что мы и искали.
Теорема пифагора
Определение теоремы пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Обозначив гипотенузу буквой — c, катеты буквами a и b получим следующее равенство
c2=a2+b2
Расчёт катета по теореме пифагора
Введите гипотенузу
c =
Введите катет
b =
Формула пифагора для катета
Где a, b — катеты прямоугольного треугольника,
с — гипотенуза прямоугольного треугольника
Расчёт гипотенузы по теореме пифагора
Введите первый катет
a =
Введите второй катет
b =
Формула пифагора для гипотенузы
Где a, b — катеты прямоугольного треугольника,
с — гипотенуза прямоугольного треугольника
Доказательство теоремы пифагора
Дано
Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.
Доказать
c2=a2+b2
Доказательство
Достроим треугольник HFG до квадрата со стороной a+b.
Запишем площадь получевшегося квадрата двумя способами
S=(a+b)2
S=4*0.5*a*b +c2
Приравняем площади
(a+b)2=4*0.5*a*b +c2
a2+2*a*b +b2=2*a*b +c2
a2+b2=c2
Теорема доказана
Как найти стороны прямоугольного треугольника
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Как найти стороны прямоугольного треугольника
Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- для гипотенузы (с):
- длины катетов a и b
- длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
- для катета:
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Найти гипотенузу (c)
Найти гипотенузу по двум катетам
Катет a =
Катет b =
Гипотенуза c =
0
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?
Формула
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
c² = a² + b²
следовательно: c = √a² + b²
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:
c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см
Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
Катет (a или b) =
Прилежащий угол (β или α) =
Гипотенуза c =
0
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?
Формула
c = a/cos(β) = b/cos(α)
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:
c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
Катет (a или b) =
Противолежащий угол (α или β) =
Гипотенуза c =
0
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?
Формула
c = a/sin(α) = b/sin(β)
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:
c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по двум углам
Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.
Найти катет
Найти катет по гипотенузе и катету
Гипотенуза c =
Катет (известный) =
Катет (искомый) =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?
Формула
a = √c² — b²
b = √c² — a²
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:
a = √5² — 4² = √25 — 16 = √9 = 3 см
Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
Гипотенуза c =
Угол (прилежащий катету) = °
Катет =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?
Формула
a = c ⋅ cos(β)
b = c ⋅ cos(α)
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:
b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см
Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
Гипотенуза c =
Угол (противолежащий катету) = °
Катет =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?
Формула
a = c ⋅ sin(α)
b = c ⋅ sin(β)
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:
a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см
Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
Катет (известный) =
Угол (прилежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?
Формула
a = b ⋅ tg(α)
b = a ⋅ tg(β)
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:
b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см
Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
Катет (известный) =
Угол (противолежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =
0
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?
Формула
a = b / tg(β)
b = a / tg(α)
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:
a = 3 / tg(35) ≈ 3 / 0.7 ≈ 4.28 см