Как найти длину линии пересечения шара - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Пересечение двух сфер

Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Доказательство: Пусть О1 и О2 — центры сфер и А — их точка пересечения. Проведем через точку А плоскость б, перпендикулярную прямой О1О2

Обозначим через В точку пересечения плоскости б с прямойО1О2. Плоскость б пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.

Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Проведем плоскость через точку Х и прямую О1О2 . Она пересечет сферы по окружностям с центрами О1 и О2 . Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке Х. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения .Мы пришли к противоречию . Итак, пересечение наших сфер есть окружность. Теорема доказана.

Чертежик

Пересечение двух сфер на примере. Подробное описание.

Пересечение двух сфер рассмотрим на примере, представленное ниже. А для начало необходимо ознакомиться с заданием. Как видите, даны две сферы, у которых центры смещены друг от друга.

Алгоритм пересечение двух сфер:

1.) Чертится первоначальный вид геометрических фигур согласно заданию.

2.) Вид линии пересечения будем определять методом секущих плоскостей, и обозначим a, b, m.

Как видно из нижнего изображения, часть секущей плоскости «а» и обозначил синим цветом . Затем провел из крайних точек двух фигур прямые до осевых линий и начертил синим цветом дополнительные окружности, они пересекаются в точке.

3.) Рассмотрим секущую плоскость «b», часть ее имеет сиреневый цвет . Из крайних точек фигур опускаем линии до осей на вид сверху и чертим окружности, которые пересекаются в 2 точках.

4.) Секущая «m» также делит сферы на окружности, крайние точки которых переносим на вид сверху, точнее на осевые линии и чертим окружности (имеют зеленый цвет ), пересекающие в 2 точках.

5.) У основания, точки находятся аналогичным путем как и в предыдущих 3-х пунктах.

6.) Найденные точки, описанные в пунктах 2,3 и 4, необходимо перенести на вид спереди (фронталь).

Я не зря обозначил разными цветами , это поможет лучше понять как чертить.

Сначала построим точки,показывающие линию с видимой передней стороны. Все точки с вида сверху переносятся на вид спереди.

От точки синего цвет а ведется прямая до секущей плоскости «a»(часть имеет также синий цвет ) и в месте пересечения указывается точка.

От точек сиреневого цвета ведутся линии вверх до пересечения с плоскостью «b» и вместе их пересечения ставятся точки.

От точек зеленого цвета ведутся прямые до пересечения с плоскостью «m», в месте пересечения ставятся точки.

Точки оснований проще перенести. Проводятся линии от вида сверху до вида спереди, которые имеют место пересечения в точках (имеют черный цвет).

8.) Последним шагом является удаление дополнительных линий построения. А также, если это необходимо, обозначают точки согласно расположениям в проекциях.

Презентация по геометрии на тему «Пересечение двух сфер» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок геометрии в 11 классе . Полушина Елена Владимировна учитель математики Зудиловской школы Алтайского края

Истинное знание состоит не в знакомстве с фактами, которые делают человека лишь педантом, а в использовании фактов, которые делают его философом. Г. Боклъ

Что называется сферой, шаром? Что называется радиусом и диаметром шара? Какие точки называются диаметрально противоположными? Какая фигура образуется при пересечении шара с плоскостью, сферы с плоскостью? Где лежит центр этой окружности? Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара? Какая плоскость называется касательной плоскостью сферы?

Пересечение двух сфер

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность Дано: сфера (О1, R), сфера (О2, R), А – точка пересечения

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность Дано: сфера (О1, R), сфера (О2, R), А – точка пересечения Доказать: линия пересечения – окружность Доказательство:

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность , Дано: сфера (О1 , R), сфера (О2 , R), А – точка пересечения Доказать: линия пересечения – окружность Доказательство: 1. через А проведем α перпендикулярную О1О2

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность Дано: сфера (О1, R), сфера (О2 , R), А – точка пересечения Доказать: линия пересечения – окружность Доказательство: 1. через А проведем α перпендикулярную О1О2 , 2. α∩сферы по окружности (В,АВ),

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность Дано: сфера (О1 , R), сфера (О2 , R), А и В – точки пересечения сфер Доказать: линия пересечения – окружность Доказательство: 1. через А проведем α перпендикулярную О1О2 , 2. α∩сферы по окружности (В,АВ), 3. т.о. окружность (В,АВ)- линия пересечения сфер.

Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности. Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R) Найти: длину линии пересечения. Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,

Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R) Найти: длину линии пересечения. Решение: 1. проведем сечение через центры шаров, 2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности,

Задача 2. Две сферы, радиусы которых 15 и 20, пересекаются по окружности, радиус которой равен 12. Найти расстояние между центрами сфер, если они находятся по разные стороны от линии пересечения. Дано: сфера (О1,R1 ), сфера (О2, R2), R1 = 20, R2 = 15 Найти: О1 О2 Решение: 1. АО =12, 2. О1О = √400-144 = 16, 3. ОО2 = √225 – 144 = 9, 4. О1 О2 = 16 + 9 = 25 О

Задача 2. Две сферы, радиусы которых 15 и 20, пересекаются по окружности, радиус которой равен 12. Найти расстояние между центрами сфер, если они находятся по одну сторону от линии пересечения. Дано: сфера (О1,R1 ), сфера (О2, R2), R1 = 20, R2 = 15 Найти: О1 О2 Решение: 1. АО =12, 2. О1О = √400-144 = 16, 3. ОО2 = √225 – 144 = 9, 4. О1 О2 = 16 — 9 = 7 О

Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно 1,6 R. Дано: сфера (О1,R ), сфера (О2, R),О1 О2 =1,6 R Найти: АВ Решение: 1. АО1 =R, АО2 =R, О1 О2 = 1,6 R

Итог урока 1. Мы доказали, что линия пересечения двух сфер есть окружность 2. Научились практически применять теорему при решении задач. 3. Проверили свой уровень знаний

Домашнее задание: Повторить п. 187-190 Выучить теорему 20.6 (существование окружности ) п.191 Самостоятельно доказать единственность окружности Решить задачу № 45

Критерий оценивания 25 – 27 баллов – «5» 21 – 24 балла – «4» 15 – 20 баллов – «3»

Дорогу осилит идущий, а геометрию – мыслящий.

На этом наш урок закончен Спасибо за работу

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 942 человека из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 316 человек из 68 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 691 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 489 206 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.

62. Пересечение двух сфер

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

30.01.2018
283

28.01.2018
861

27.01.2018
584

22.01.2018
1995

20.01.2018
297

14.01.2018
3244

13.01.2018
604

13.01.2018
399

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

01.02.2018 3292 —> —> —> —>
PPTX 889.5 кбайт —> —>
Рейтинг: 2 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Полушина Елена Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 4 года
Подписчики: 0
Всего просмотров: 3326
Всего материалов: 1

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

548 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России могут создать комиссию по поддержке одаренных детей

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Пандемия позволила детям получить больше внимания со стороны родителей

Время чтения: 1 минута

Минспорта утвердило программу подготовки киберспортсменов

Время чтения: 1 минута

В Петербурге дали рекомендации по переводу школьников на дистант

Время чтения: 3 минуты

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

источники:

Пересечение двух сфер на примере. Подробное описание.

http://infourok.ru/prezentaciya-po-geometrii-na-temu-peresechenie-dvuh-sfer-klass-2533510.html

Источник

Скачать материал

Сейчас обучается 1160 человек из 83 регионов

Сейчас обучается 83 человека из 35 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Урок геометрии в 11 классе
.

Полушина Елена Владимировна
учитель математики Зудиловской школы Алтайского края
2 слайд

Истинное знание состоит не в знакомстве с фактами, которые делают человека лишь педантом, а в использовании фактов, которые делают его философом.
Г. Боклъ
4 слайд

Что называется сферой, шаром?
Что называется радиусом и диаметром шара?
Какие точки называются диаметрально противоположными?
Какая фигура образуется при пересечении шара с плоскостью, сферы с плоскостью?
Где лежит центр этой окружности?
Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?
Какая плоскость называется касательной плоскостью сферы?
5 слайд

Пересечение двух сфер
6 слайд

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
7 слайд

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
8 слайд

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
Дано: сфера (О1, R), сфера (О2, R), А – точка пересечения
9 слайд

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
Дано: сфера (О1, R), сфера (О2, R), А – точка пересечения
Доказать: линия пересечения – окружность
Доказательство:
10 слайд

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
,
Дано: сфера (О1 , R), сфера (О2 , R), А – точка пересечения
Доказать: линия пересечения – окружность
Доказательство:
1. через А проведем α перпендикулярную О1О2
11 слайд

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
Дано: сфера (О1, R), сфера (О2 , R), А – точка пересечения
Доказать: линия пересечения – окружность
Доказательство:
1. через А проведем α перпендикулярную О1О2 ,
2. α∩сферы по окружности (В,АВ),
12 слайд

Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
Дано: сфера (О1 , R), сфера (О2 , R), А и В – точки пересечения сфер
Доказать: линия пересечения – окружность
Доказательство:
1. через А проведем α перпендикулярную О1О2 ,
2. α∩сферы по окружности (В,АВ),
3. т.о. окружность (В,АВ)- линия пересечения сфер.
13 слайд

Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
14 слайд

Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
15 слайд

Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
Найти: длину линии пересечения.
16 слайд

Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
Найти: длину линии пересечения.
Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
17 слайд

Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
Найти: длину линии пересечения.
Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности,
18 слайд

Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
Найти: длину линии пересечения.
Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности,
3. ∆АО1О2 – равносторонний,
19 слайд

Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
Найти: длину линии пересечения.
Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности,
3. ∆АО1О2 – равносторонний,
4. радиус окружности равен высоте ∆А О1О2 ,
20 слайд

Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
Найти: длину линии пересечения.
Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности,
3. ∆АО1О2 – равносторонний,
4. радиус окружности равен высоте ∆А О1О2 ,
5. h =½R√3
6. C = π R√3
21 слайд

Задача 2. Две сферы, радиусы которых 15 и 20, пересекаются по окружности, радиус которой равен 12. Найти расстояние между центрами сфер, если они находятся по разные стороны от линии пересечения.

Дано: сфера (О1,R1 ), сфера (О2, R2), R1 = 20, R2 = 15
Найти: О1 О2
Решение: 1. АО =12,
2. О1О = √400-144 = 16,
3. ОО2 = √225 – 144 = 9,
4. О1 О2 = 16 + 9 = 25
О
22 слайд

Задача 2. Две сферы, радиусы которых 15 и 20, пересекаются по окружности, радиус которой равен 12. Найти расстояние между центрами сфер, если они находятся по одну сторону от линии пересечения.
Дано: сфера (О1,R1 ), сфера (О2, R2), R1 = 20, R2 = 15
Найти: О1 О2
Решение: 1. АО =12,
2. О1О = √400-144 = 16,
3. ОО2 = √225 – 144 = 9,
4. О1 О2 = 16 — 9 = 7

О
23 слайд

Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно
1,6 R.

Дано: сфера (О1,R ),
сфера (О2, R),О1 О2 =1,6 R
Найти: АВ
Решение: 1. АО1 =R,
АО2 =R, О1 О2 = 1,6 R
24 слайд

Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно
1,6 R.
Дано: сфера (О1,R ),
сфера (О2, R),О1 О2 =1,6 R
Найти: АВ
Решение: 1. АО1 =R,
АО2 =R, О1 О2 = 1,6 R
2. ∆АО1О2 – равнобедренный,
АВ – высота→медиана
25 слайд

Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно
1,6 R.
Дано: сфера (О1,R ),
сфера (О2, R),О1 О2 =1,6 R
Найти: АВ
Решение: 1. АО1 =R,
АО2 =R, О1 О2 = 1,6 R
2. ∆АО1О2 – равнобедренный,
АВ – высота→медиана
3. О1В = 0,8 R
4. АВ = √ R2 -0,64 R2,=0,6R
26 слайд

Итог урока
1. Мы доказали, что линия пересечения двух сфер есть окружность

2. Научились практически применять теорему при решении задач.
3. Проверили свой уровень знаний
27 слайд

Домашнее задание:
Повторить п. 187-190
Выучить теорему 20.6 (существование окружности ) п.191
Самостоятельно доказать единственность окружности
Решить задачу № 45
28 слайд

Критерий оценивания

25 – 27 баллов – «5»
21 – 24 балла – «4»
15 – 20 баллов – «3»
29 слайд

Дорогу осилит идущий, а геометрию – мыслящий.
30 слайд

На этом наш урок закончен
Спасибо за работу