Как найти длину линии с помощью интеграла

При вычислении любой длины следует помнить, что это величина конечная, то есть просто число. Если имеется в виду длина дуги кривой, то такая задача решается с помощью определенного интеграла (в плоском случае) или криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Дуга АВ будет обозначаться UАВ.

Первый случай (плоский). Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ (см. рис. 1а). Для решения этой задачи разбейте рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В результате UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдете длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получите результат, приведенный на рисунке 1b.

Как вычислить длину кривой

Второй случай (дуга UАВ задана параметрически). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на отрезке этом отрезке. Найдите их дифференциалы. dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставьте эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесите dt из квадратного корня под интегралом, положите х(α)=а, x(β)=b и придете к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).

Третий случай. Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ) Полярный угол φ при прохождении дуги изменяется от α до β. Функция ρ(φ)) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще всего использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберите φ в качестве параметра и подставьте в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ y=ρsinφ. Продифференцируйте эти формулы и подставьте квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получите формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).

Четвертый случай (пространственная кривая, заданная параметрически). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Криволинейные интегралы вычисляют переводом их в обычные определенные. В результате ответ останется практическим таким же как и случае два, с тем лишь отличием, что под корнем появится добавочное слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).

Примеры:

Пример 1. Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у’ = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками х₀ = а, х₁…, х_n = b (х₀ < x₁ < …< х_n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183).  Пустьэтим точкам соответствуют точки М₀ = А, M₁,…,M_n =В на кривой АВ. Проведем хорды М₀M₁, M₁M₂,…, М_n-1М_n, длины которых обозначим соответственно через ΔL₁, AL₂,…, ΔL_n. Получим ломаную M₀M₁M₂ … M_n-ιM_n, длина которой равна L_n=ΔL₁ + ΔL₂+…+ ΔL_n =

2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL₁ можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δx_i и Δу_i:

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δу_i=ƒ'(с_i)•Δх_i, где ci є (x_i-1;x_i). Поэтому

а длина всей ломаной M₀M₁… М_n равна

3.Длина l кривой АВ, по определению, равна

.

Заметим, что при ΔL_i→0 также и Δx_i →0 ΔLi =и, следовательно, |Δx_i|<ΔL_i).

Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δx_i→ 0:

Таким образом,или в сокращенной записи l =

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) — непрерывныефункции с непрерывными производными и х(а) = а, х(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой x = x(t),dx = x'(t)dt,

Пример 5.

Длину
плоских кривых, заключенных между двумя
точками А
и В,
можно найти с помощью криволинейного
интеграла

если положить f(x,y)
≡ 1. В этом случае криволинейный интеграл,
также как и двойной, будет равен размерам
области интегрирования, т.е. длине части
линии L_AB.

Меру
элементарной части (дифференциал длины)
— dℓ
выражают через уравнение данной линии
L_AB
и переходят к линейному интегралу. Если
кривая L_AB
задана в декартовой системе координат
непрерывной и дифференцируемой функцией
y
= y(x),
то вычисление ее длины сводят к вычислению
линейного интеграла вида:

где

Пределы
в линейном интеграле α
и b
– являются проекциями на ось Oх
точек линии А
и В
соответственно.

Длину
дуги АВ
кривой, заданной параметрическими
уравнениями x
= x(t);
y
= y(t),
находят по формуле

где
t₁
и t₂
значения параметра t
в точках А
и В.

И
наконец, длина линии L_AB,
уравнение которой r
= r(φ)
задано в полярной системе координат,
равна линейному интегралу

где
φ₁
и φ₂
полярные углы точек А
и В.

Пример
5. Найти длину
полукубической параболы y²
= x³
от точки А(0,0)
до точки В(4;8).

Решение.
Длина отрезка полукубической параболы
между точками А
и В
равна криволинейному интегралу

Дифференциал
длины кривой в
декартовой системе координат
выражают через ее уравнение y
= y(x)
по формуле

Найдем
его для данной линии

Переход
от криволинейного интеграла к линейному
и вычисление последнего дает искомую
длину:

Пример
6. Найти длину
астроиды, заданную
параметрическими уравнениями

Решение.

Длину астроиды
также найдем с помощью криволинейного
интеграла

Дифференциал
длины кривой, заданной параметрически,
выражают через ее уравнение по формуле

Найдем его для
астроиды

Подставляя
найденное выражение для dℓ
в криволинейный интеграл и переходя к
линейному, получим:

3.11.3.Вычисление объемов тел

Объем
тел, в зависимости от их формы и условий
задачи, можно находить различными
способами.В частом случае, когда известна
площадь поперечных сечений тела, его
объем вычисляют с помощью линейного
интеграла
по формуле:

где
S(x)
– площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной оси Ox,
α
и b
– проекции его крайних точек на ту же
ось.

Исходя
из этой формулы, находят объем тел
вращения.

П
усть
криволинейная трапеция, ограниченная
сверху графиком непрерывной функции y
= y(x)
и прямыми x
= α,

x
= b,
вращается вокруг оси Oх
(Рис. 3.11.7).

В
результате ее вращения образуется тело.
Его плоскими сечениями, перпендикулярными
оси Oх,
являются круги с различными радиусами

R
= y(x),
площадь которых равна:

Следовательно,
объем полученного тела можно найти по
формуле

П
ри
вращении линии, ограничивающей
криволинейную трапецию, вокруг оси Oy
(Рис. 3.11.8) объем полученного тела равен:

где
x(y)
– уравнение вращающейся линии решенное
относительно переменной x.

Пример
7. Найти объем
тела, полученного при вращении эллипса
относительно осей Ox
и Oy.

Р
ешение.
График эллипса

изображен на рисунке 3.11.9.

Координаты
его крайних точек по оси Oх:

x₁
= –α,
x₂
= α,
по оси Oy:
y₁
= –b,
y₂
= b.

Объем
тела, образованного вращением эллипса
относительно оси Oх,
найдем по формуле:

где

С учетом симметрии

Аналогично,
вычислим объем Vy

где

Если
α
= b,
то тела вращения относительно осей Oх
и Oy
становятся шаром, объем которого равен

.

Р
ассмотрим
теперь общий случай вычисления объемов
тел с помощью кратныx
интегралов.

Пусть
тело произвольной формы ограничено
двумя поверхностями, уравнения которых
известны:

Проекцией данного тела на плоскость
xOy
является область D
(Рис. 3.11.10). Двойной интеграл по области
D
геометрически равен объему цилиндра,
построенного на этой области и
ограниченного сверху графиком
подынтегральной функции. Поэтому объем
тела, изображенного на рисунке 3.11.10,
можно представить как разность объемов
двух цилиндрических тел, или как разность
двух двойных интегралов:

В
самом общем случае объем тел произвольной
формы находят с помощью тройного
интеграла,
в котором подынтегральная функция равна
единице

Легко
заметить, что предыдущая формула является
следствием последней, в самом деле:

Пример
8. Найти
объем, ограниченный поверхностями:

z
= 0, z
+ x
= 6

Р
ешение.
Тело ограничено двумя цилиндрическими
поверхностями

с образующими, параллельными оси Oz,
и двумя плоскостями z
= 0, z
= 6 – x.
Искомый объем равен объему цилиндрического
тела, построенного на области D
и ограниченного сверху плоскостью z
= 6 – x
(Рис. 3.11.11). Найдем его с помощью двойного
интеграла

Переменная
x
внутри области D
изменяется от 0 до 6, а переменная y
от ее значений на линии

до значений на линии

.
Перейдем к двукратному интегрированию:

Вычисляя последний
интеграл, получим

Для сравнения
найдем этот же объем с помощью тройного
интеграла

После
подстановки пределов для переменной z
мы приходим к такому же двойному
интегралу.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Длина дуги кривой

Краткая теория

---

Длина дуги в прямоугольных координатах

Длина

 дуги гладкой
кривой

, содержащейся между двумя точками с абсциссами

 и

, равна:

Длина дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана уравнениями в
параметрической форме

 и

(

 и

 – непрерывно
дифференцируемые функции)

то длина дуги

 кривой равна:

где

 и

 – значения
параметра, соответствующие концам дуги.

Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах

Если гладкая кривая задана
уравнением

 в полярных
координатах

 и

, то длина дуги

 равна:

где

 и

 – значения
полярного угла в крайних точках дуги.

Примеры решения задач

---

Задача 1

Вычислите
длину дуги кривой.

Решение

Длину дуги можно вычислить по
формуле:

Преобразуем подынтегральную функцию:

Искомая длина дуги кривой:

Ответ:

---

Задача 2

Вычислите
длину дуги кривой.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Длину дуги
кривой можно вычислить по формуле:

Ответ:

---

Задача 3

Найти
длин дуги кривой

Решение

Длину
дуги кривой, заданной параметрически, можно найти по формуле:

Ответ:

---

Задача 4

Вычислить
длину дуги кривой:

Решение

Длина
дуги кривой, заданной в полярных координатах:

Ответ: