Как найти длину медианы если даны координаты

Лучший ответ

Другие ответы

Медиана треугольника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.

Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной из каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в центре треугольника. В случае равнобедренного и равностороннего треугольников, медиана делит пополам любой угол в вершине у которого две смежные стороны равны.

Калькулятор длины медианы треугольника

Онлайн калькулятор расчета длины медианы треугольника при условии, что известны координаты его вершин. Нахождение длины трех медиан треугольника

Формула расчета длины медианы

где,

• a,b,c — Длина сторон треугольника.

Пример расчета медиан:

Даны точки A( 1 , 5 ), B( 8 , 9 ) и C( 5 , 6 ). Найдите медианы треугольника.

Получаем:

A( 1 , 5 ) B( 8 , 9 ) C( 5 , 6 )

Решение:

Шаг 1:

Найдем длину сторон a,b,c используя формулу

d = √((x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)²⁾

Найдем длину стороны A между точками B( 8 , 9 ) and C( 5 , 6 )

a = √((5 — ² + (6 — 9)² )= 4.242

Найдем длину стороны B между точками C( 5 , 6 ) и A( 1 , 5 )

b = √((1 — 5)² + (5 — 6)²⁾ = 4.123

Найдем длину стороны C между точками A( 1 , 5 ) и B( 8 , 9 )

c = √((8 — 1)² + (9 — 5)²⁾ = 8.062

Шаг 2:

Полученные значения a,b,c применяем в формулы

m_a = (1/2) √2c² + 2b² — a²

m_b = (1/2) √(2c² + 2a² — b² )

m_c = (1/2) √(2a² + 2b² — c² )

• m_a = (1/2)√(2(8.062)² + 2(4.123)² — 4.242² )= 6.042
• m_b = (1/2)√(2(8.062)² + 2(4.242)² — 4.123² )= 6.103
• m_c = (1/2)√2(4.242)² + 2(4.123)² — 8.062² = 1.118

Свойства Медиан Треугольника

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
• Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
• Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равняется половине гипотенузы.
• Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, то есть их длины удовлетворяют неравенству треугольника.

людей нашли эту статью полезной. А Вы?

Пример 1:

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А (2; 4), В (-3; 2), С (-3; -4). Найти:

1) уравнения сторон треугольника АВС;

2) координаты точки пересечения медиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Уравнение, прямой проходящей через две точки
1) Уравнения сторон треугольника АВС

2) Координаты точки пересечения медиан

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Координаты т. E как середины отрезка ВС.

Уравнение АЕ

Координаты т. К как середины отрезка АВ.

Уравнение СК

3) Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины А

Расстояние от точки до прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

Уравнение AN

4) Площадь треугольника

Длина ВС

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

По координатам вершин треугольника ABC найти:

• периметр треугольника;
• уравнения сторон AB и BC;
• уравнение высоты AD; угол ABC;
• площадь треугольника.

Сделать чертеж.

А(1; 2); В (–1; 2); С(3; 0).

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Даны координаты вершин треугольникаА, В, С.

Требуется найти:

1) уравнение и длину стороны ВС;

2) уравнение и длину высоты, проведённой из вершиныА;

3) уравнение медианы, проведённой из вершиныА;

4) площадь треугольника.

Сделать чертёж.

А(4;-3), B(-2;-1), C(3;-2).

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

1)

2)

3) Находим координаты точки М – середины стороны ВС:

       

Определяем длину медианы АМ:

4) Составляем уравнение медианы – прямой АМ:

5) Если ВН – высота, проведенная из вершины В к стороне АС, то, поскольку ВН проходит через точку В перпендикулярно вектору , то составляем уравнение высоты по формуле , где (a,b) – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой,  – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Находим координаты вектора АС:

и подставляем в формулу, ,

6) Длину высоты ВН находим как расстояние от точки В до прямой АС:

7) Площадь треугольника АВС:

Находим угол ВАС треугольника:

9) Составляем уравнение прямой, проходящей через т.А параллельно ВС:

Ответ:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1. Уравнение прямой 
   Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями: 
   
   Уравнение прямой AB 
   Каноническое уравнение прямой: 
   
   или 
   
   или 
   y = ^-3/₇x + ¹⁶/₇ или 7y + 3x — 16 = 0 
2. Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 
   
   
   M(3;1) 
   Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-8;2) и М(3;1), поэтому: 
   Каноническое уравнение прямой: 
   
   или 
   
   или 
   y = ^-1/₁₁x + ¹⁴/₁₁ или 11y + x — 14 = 0 
3. Уравнение высоты через вершину C 
   Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 
   
   Найдем уравнение высоты через вершину C 
   
   y = ⁷/₃x + ⁶²/₃ или 3y -7x — 62 = 0
4. уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку (-8,2)
   Уравнение прямой AB: y = ^-3/₇x + ¹⁶/₇
   Уравнение KN параллельно AB находится по формуле:
   y — y₀ = k(x — x₀)
   Подставляя x₀ = -8, k = ^-3/₇, y₀ = 2 получим:
   y-2 = ^-3/₇(x-(-8))
   или
   y = ^-3/₇x — ¹⁰/₇ или 7y + 3x +10 = 0

Пример 7:

Даны координаты вершин треугольника: A(1,1), B(4,13), C(10,5). 

Решение от преподавателя:

4) Уравнение высоты через вершину C 
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 

Найдем уравнение высоты через вершину C 

y = ^-1/₄x + ¹⁵/₂ или 4y +x -30 = 0 
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой AB. 
Уравнение AB: y = 4x -3, т.е. k₁ = 4 
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1. 
Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим: 
4k = -1, откуда k = ^-1/₄ 
Так как перпендикуляр проходит через точку C(10,5) и имеет k = ^-1/₄,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀). 
Подставляя x₀ = 10, k = ^-1/₄, y₀ = 5 получим: 
y-5 = ^-1/₄(x-10) 
или 
y = ^-1/₄x + ¹⁵/₂ или 4y + x — 30 = 0 
Найдем точку пересечения с прямой AB: 
Имеем систему из двух уравнений: 
y -4x +3 = 0 
4y + x — 30 = 0 
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. 
Получаем: 
x = ⁴²/₁₇ 
y = ¹¹⁷/₁₇ 
D(⁴²/₁₇;¹¹⁷/₁₇) 
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C 
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины: 

Найдем расстояние между точкой C(10;5) и прямой AB (y -4x +3 = 0) 

5,7) Уравнение медианы треугольника 
Обозначим середину стороны BC буквой Е. Тогда координаты точки Е найдем по формулам деления отрезка пополам. 


Е(7;9) 
Уравнение медианы AЕ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A(1;1) иЕ(7;9), поэтому: 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = ⁴/₃x ^-1/₃ или 3y -4x +1 = 0 
Найдем длину медианы. 
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой: 

6) CD—диаметр окружности. Центр окружности точка О лежит в середине отрезка CD

Уравнение окружности  (x-x₀)²+(y-y₀)²=r²

(x-106/17)²+(y-101/17)²=256/17 

Уравнение прямой, параллельной CD, проходящей через точку A 

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Точка D – середина стороны АВ , ее координаты равны полусумме координат А и В. Получим D(1, -1)

Пример 9:

Даны координаты вершин треугольника АВС: А (3,-2), В (-5,-4),  С (-1,6).

Найдите: 1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС;

2) периметр (сумму длин) треугольника;

3) уравнение высоты СН;

4) расстояние d от точки С до прямой АВ;

5) сделайте чертеж.

Решение от преподавателя:

Решение.

1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС

Уравнение, прямой проходящей через две точки

2) периметр (сумму длин) треугольника

Расстояние между двумя точками

3) уравнение высоты СН

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) расстояние d от точки С до прямой АВ

Расстояние от точки до прямой

Пример 10:

Даны вершины A (x₁; y₁), B (x₂; y₂), C (x₃; y₃)    треугольника.

Найти: 1) уравнение стороны AB;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины C;

3) уравнение высоты, проведенной из вершины C ;

4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .

A (6; 0), B (2; − 6), C (−3; −9).

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Дан треугольник  с координатами вершин найти:

а) длину стороны AB;

б) косинус угла ABC;

в) площадь треугольника ABC (через векторное произведение);

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(6,0), B(2,-6), C(-3,-9). 
1) Уравнение прямой 
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями: 

Уравнение прямой AB 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = ³/₂x -9 или 2y -3x +18 = 0 

2) Уравнение медианы треугольника 
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 


M(4;-3) 
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-3;-9) и М(4;-3), поэтому: 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = ⁶/₇x ^-45/₇ или 7y -6x +45 = 0 
3) Уравнение высоты через вершину C 
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 

Найдем уравнение высоты через вершину C 

y = ^-2/₃x -11 или 3y +2x + 33 = 0 
4) Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через С(-3,-9) 
Уравнение прямой AB: 2y -3x +18 = 0 
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле: 

Или     2y -3x +9 = 0 

Пример 14:

Даны вершины треугольника А(8,1), В(0,3), С(-2,-3). Напишите уравнения стороны AB, медианы AD, высоты BE.

Решение от преподавателя:

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 


M(-1;0) 
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(8;1) и М(-1;0), поэтому: 

или 

или 
y = ¹/₉x + ¹/₉ или 9y -x — 1 = 0 
3) Уравнение высоты через вершину B

Пример 15:

Дан треугольник АВС. Найти:

а) величину угла А;

б) уравнение стороны АС;

в) уравнение высоты и медианы, опущенных из вершины В.

Сделать чертеж.

А(-1,2); В(1,3); С(3,-4).

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Треугольник задан вершинами А(-6; -2);  В(4; 8); С(2; -8). Найти:

а) уравнение прямой BN, параллельной  стороне АС;

б) уравнение медианы CD;

в) уравнение высоты АЕ;

Решение от преподавателя:

а) уравнение прямой BN, параллельной  стороне АС;

Уравнение прямой AC:

Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-3/₄x ^-13/₂ или 4y + 3x +26 = 0

Уравнение BN параллельно AC находится по формуле:
y — y₀ = k(x — x₀)
Подставляя x₀ = 4, k = ^-3/₄, y₀ = 8 получим:
y-8 = ^-3/₄(x-4)
или
y = ^-3/₄x + 11 или 4y + 3x — 44 = 0

б) уравнение медианы CD;

Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(-1;3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(2;-8) и М(-1;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-11/₃x ^-2/₃ или 3y + 11x +2 = 0

в) уравнение высоты АЕ;

Прямая, проходящая через точку Е₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину A

y = ^-1/₈x — ¹¹/₄ или 8y +x + 22 = 0

Пример 17:

A(1, 2), В(5, 8), С(11, 3).

Решение от преподавателя:

Пример 18:

В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1).

Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК)  и медианы (CМ).

Решение от преподавателя:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
x +4 = 0 или x = -4
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-1/₄x + 3 или 4y + x — 12 = 0

Найдем уравнение высоты через вершину B

y = 4x + 13 или y -4x — 13 = 0

Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(8;1) и М(-4;¹/₂), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ¹/₂₄x + ²/₃ или 24y -x — 16 = 0

Пример 19:

Дан треугольник ABC с координатами вершин A(-5;-3; 2), B(-2;-6;-3) и C(-2; 2;-1).
Найти:
а) длину стороны АВ;
б) косинус угла ABC;
в) площадь треугольника АВС (через векторное произведение).

Решение от преподавателя: