Как найти длину медианы если известны стороны - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Рассмотрим задачу, в которой требуется по сторонам треугольника найти его медиану.

Задача.

Даны стороны треугольника. Найти длину медианы, проведенной к наибольшей стороне.

Дано: ∆ ABC,

BC=a, AC=b, AB=c,

сторона AC — наибольшая,

BO- медиана.

Найти: BO.

Решение:

1) На луче BO отложим отрезок OD, OD=BO.

2) Проведем отрезки AD и CD.

3) Рассмотрим четырехугольник ABCD.

AO=CO (так как BO — медиана треугольника ABC по условию);

BO=DO (по построению).

Так как диагонали четырехугольника ABCD в точке пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку).

4) По свойству диагоналей параллелограмма,

$[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})]$

$[{b^2} + B{D^2} = 2({a^2} + {c^2})]$

$[B{D^2} = 2({a^2} + {c^2}) - {b^2}]$

$[BD = sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} ]$

так как BO=1/2 BD (по построению),

$[underline {BO = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} .} ]$

Если ввести обозначение

$[BO = {m_b},]$

формула для нахождения медианы треугольника по его сторонам примет вид:

$[{{m_b} = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} }]$

Запоминать эту формулу не обязательно. При решении конкретной задачи следует привести все рассуждения.

Если медиана проведена не к наибольшей, а к наименьшей либо средней по величине стороне, решение задачи аналогично.

Соответственно, формулы для нахождения длины медианы в этих случаях:

$[{m_a} = frac{1}{2}sqrt {2({b^2} + {c^2}) - {a^2}} ]$

$[{m_c} = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {b^2}) - {c^2}} ]$

Приём, который применили для решения задачи — метод удвоения медианы.

Источник

Все формулы медианы треугольника

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a, b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 08 октября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Чтобы по сторонам треугольника найти медиану, не обязательно запоминать дополнительную формулу. Достаточно знать алгоритм решения.

Для начала рассмотрим задачу в общем виде.

Дан треугольник со сторонами a, b, c. Найти длину медианы, проведенной к стороне b.

AB=a, AC=b, BC=c.

Решение.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF.

Соединим точку D с точками A и C.

Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по признаку), так как у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Отсюда: AC²+BD²=2(AB²+BC²), значит, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². По построению, BF — половина BD, следовательно,

$[BD = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} ]$

Это — формула нахождения медианы треугольника по его сторонам. Обычно ее записывают так:

$[{m_b} = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} ]$

Переходим к рассмотрению конкретной задачи.

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найти медиану треугольника, проведенную к его средней по длине стороне.

Решение:

Применяя аналогичные рассуждения, получаем:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

Отсюда

14²+BD²=2(13²+15²)

BD²=2(169+225)-196=592

$[BF = frac{1}{2}DD = frac{1}{2} cdot 4sqrt {37} = 2sqrt {37} (cm)]$

Ответ:

Источник

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ ( displaystyle BD):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»

Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC).

Она называлась у нас ( displaystyle M).

pryamougolnik mediana v treugolnike diagonal

Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Задача №1:

В ( displaystyle Delta ABC) стороны ( displaystyle AC=5); ( displaystyle BC=12). Из вершины ( displaystyle C) проведена медиана ( displaystyle CN).

Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).

Рисуем:

mediana v pryamougolnom treugolnike ravenstvo

Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)

Ответ: ( AB=13)

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.

Запомни:

( displaystyle AO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OM);
( displaystyle BO) – вдвое больше, чем ( displaystyle ON);
( displaystyle CO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OK).

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).

Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?

mediany treugolnika otnoshenie dokazatelstvo

Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?

( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle AC);
( displaystyle NK=frac{AC}{2}).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) — поставим точку ( displaystyle G).

Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:

( displaystyle FG) параллельна ( displaystyle AC);
( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac{AC}{2}), и ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Что из этого следует?

( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle FG);
( displaystyle NK=FG)

Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?

mediany treugolnika otnoshenie dokazatelstvo parallelogramm

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что?

А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

mediany treugolnika otnoshenie dokazatelstvo parallelogramm 1

Получилось что:

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам

Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно.

Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения.

Как с этим справиться?

Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать.

ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники.

ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия

Большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше.

И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Источник

Длина медианы треугольника

Воскресенье, 20 октября, 2019

Очень часто в ЕГЭ, ОГЭ и других экзаменах по математике встречаются задачи, в которых требуется найти длину медианы треугольника, если известны его стороны. Это действительно возможно, ведь длины трёх сторон треугольника полностью его определяют. В данной статье профессиональный репетитор по математике и физике объясняет, как это можно сделать.

Вопрос о том, как найти длину медианы треугольника, если известны все стороны треугольника, действительно имеет смысл. Ведь треугольник определяется длинами его сторон. То есть нет двух разных треугольников с одинаковыми сторонами. По третьему признаку равенства треугольников это должны быть два равных треугольника. Это означает, что если мы знаем все стороны в треугольнике, то мы можем найти в нём все основные элементы. В том числе и длины всех медиан. Разберёмся, как находится длина медианы треугольника.

Изобразим треугольник ABC. Обозначим его стороны маленькими буквами , и , причём сторона пусть лежит напротив угла A, сторона — напротив угла B и сторона — напротив угла C. Это стандартное обозначение, которое часть используется в учебниках по геометрии. Проведём также медиану AM, которая разделит сторону BC на два равных отрезка, длины которых составляют по $dfrac{1}{2}a$ . Обозначим длину этой медианы , имея в виду, что эта медиана проведена именно к стороне :

То есть — это длина медианы треугольника, которую нам нужно найти. Наша задача состоит в том, чтобы выразить её через длины сторон треугольника , и .

Ну и идея состоит в том, чтобы использовать стандартное в таких случаях дополнительное построение, которое условно называют «удвоением медианы». Продлим медиану AM за точку M на отрезок MD, равный по длине медиане AM. То есть длина отрезка MD тоже равна . Как это нам поможет? Дело в том, что, соединив точку D c точками B и C, мы получаем четырёхугольник ABDC, который в действительности является параллелограммом:

Удвоение медианы в треугольнике ABC, которое приводит к достраиванию его до параллелограмма

Естественно! Ведь есть такой признак. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Здесь у нас получается ровно эта ситуация. M — середина AD, и одновременно — середина BC. Значит, ABDC — параллелограмм. Это означает, в частности, что BD = b, а DC = c, так как противоположные стороны параллелограмма равны.

Ну а дальше действовать можно по-разному. Но поскольку у всех всегда разный уровень знаний по геометрии, то я постараюсь обойтись в дальнейшем самыми известными фактами из геометрии. Я имею в виду теорему Пифагора. Я думаю, что вы все прекрасно её знаете. Ну или хотя бы про неё слышали.

Итак, проведём высоты нашего параллелограмма BF и DH. Обозначим длины этих высот буквой . А вот отрезочки AF и CH обозначим за . Они будут одинаковые по длине, потому что равны прямоугольные треугольники ABF и CDH. Они, конечно же, равны, ведь у них равны гипотенузы AB и CD, а также катеты BF и DH:

Нахождение длины медианы треугольника по известным длинам его сторон

Ну а теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BFC. Запишем для него теорему Пифагора:

(1) $begin{equation*} BC^2 = BF^2+FC^2 = a^2 = h^2+(b-x)^2 end{equation*}$

Аналогично для прямоугольного треугольника ADH получаем по теореме Пифагора:

(2) $begin{equation*} AD^2 = DH^2+AH^2 = 4m_a^2=h^2+(b+x)^2 end{equation*}$

Ну и для прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора получаем:

(3) $begin{equation*} AB^2 = BF^2+AF^2 = c^2=h^2+x^2 end{equation*}$

То есть получается три уравнения. Нужно их использовать, чтобы найти . Как же это сделать? Во-первых, сложим вместе уравнения (1) и (2), раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. В результате получаем следующее выражение:

Ну и теперь осталось использовать уравнение (3), только сперва нужно умножить обе части этого уравнения на 2. Тогда получим, что . Ну и тогда мы получаем выражение , из которого получаем окончательно:

$[ m_a = dfrac{1}{2}sqrt{2c^2+2b^2-a^2} ]$

Вот искомая формула, которую мы не просто записали, но ещё и доказали. Но ирония заключается в том, что запоминать её совсем не обязательно. Лучше просто знать, как её вывести, и получать её каждый раз при решении каждой конкретной задачи.

Задавайте свои вопросы по математике и физике в комментариях. Здесь на сайте и на моём Youtube-канале. На самые часто задаваемые вопросы я отвечу в следующих видео и статьях. Всего доброго!

Репетитор по математике и физике Сергей Валерьевич

Источник