Как найти длину медианы отрезка

Все формулы медианы треугольника

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

Найти длину медианы треугольника по формулам

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a, b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через три стороны

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 08 октября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ ( displaystyle BD):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»

Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC).

Она называлась у нас ( displaystyle M).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Задача №1:

В ( displaystyle Delta ABC) стороны ( displaystyle AC=5); ( displaystyle BC=12). Из вершины ( displaystyle C) проведена медиана ( displaystyle CN).

Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).

Рисуем:

Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)

Ответ: ( AB=13)

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.

Запомни:

  • ( displaystyle AO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OM);
  • ( displaystyle BO) – вдвое больше, чем ( displaystyle ON);
  • ( displaystyle CO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OK).

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).

Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?

Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?

  • ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle AC);
  • ( displaystyle NK=frac{AC}{2}).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) — поставим точку ( displaystyle G).

Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:

  • ( displaystyle FG) параллельна ( displaystyle AC);
  • ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac{AC}{2}), и ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Что из этого следует?

  • ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle FG);
  • ( displaystyle NK=FG)

Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что?

А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Получилось что:

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам

Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно.

Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения.

Как с этим справиться?

Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать.

ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники.

ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия

Большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше.

И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Источник

МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА

Слово «медиана» переводится как «равноделящая сторону». Чтобы построить медиану, надо середину стороны треугольника соединить отрезком с противолежащей вершиной треугольника. Полученный отрезок и есть медиана треугольника.

Медиана CK произвольного треугольника ABC, которая опущена на сторону AB

Медиана треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

На рисунке красным цветом обозначена медиана CK. При этом она делит сторону AB треугольника пополам, AK = KB.

Свойства медианы треугольника

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, расположенной в плоскости треугольника и являющейся его центром тяжести. 

Произвольный треугольник с обозначенным на нем центром пересечения медиан, который называется центром тяжести (центроидом) треугольника

Для определения этой точки достаточно построить две медианы треугольника, и точка их пересечения будет принадлежать третьей медиане этого треугольника.

  • Точкой пересечения медиан треугольника каждая медиана делится в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Т.е. длина отрезка медианы от вершины треугольника до точки пересечения медиан составляет 2/3 всей ее длины, а от точки пересечения медиан до стороны треугольника — 1/3 ее длины.

  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.

  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.

  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.

  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.

  • У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают.

  • У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.

Средняя линия треугольника

Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией.

Средняя линия треугольника соединяет две точки концов медиан, лежащих на сторонах треугольника

Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

Формулы медианы произвольного треугольника

Медианы, проведенные к сторонам произвольного треугольника с обозначением символами длины каждого отрезка
Формулы расчета длины медианы произвольного треугольника через длины его сторон и других медиан. Формулы нахождения площади треугольника через медианы и стороны через медианы

  • Длина медианы, проведенной к стороне произвольного треугольника равна половине квадратного корня из удвоенной суммы квадратов двух других сторон из которой вычтен квадрат стороны, к которой проведена медиана (Формула 1)
  • Сумма квадратов медиан треугольника равна 3/4 суммы квадратов его сторон (Формула 2)
  • Длина стороны треугольника равна 2/3 квадратного корня из удвоенной суммы квадратов медиан, проведенных к двум другим его сторонам за вычетом квадрата медианы, проведенной к искомой стороне (Формула 3)
  • Площадь треугольника можно найти через длины его медиан, используя значение полусуммы длин медиан (Формулы 4 и 5)


0
 

 Площадь треугольника |

Описание курса

| Как найти длину медианы треугольника 

Источник

Содержание:

  • Определение медианы треугольника
  • Свойства медиан треугольника
  • Примеры решения задач

Определение медианы треугольника

Определение

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий
вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

В каждом треугольнике существует три различные медианы (на рисунке отрезки $A F, B D, C E$ ), которые пересекаются в одной
точке, лежащей внутри треугольника. Точка пересечения является центром масс данного треугольника.

Свойства медиан треугольника

  1. Медианы треугольника точкой их пересечения (на рисунке точка
    $O$ ) делятся в отношении $2 : 1$, считая от вершин треугольника.
  2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника равновелики, если их площади равны).
  3. Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников (на рисунке это треугольники
    $Delta A O E, Delta B O E, Delta B O F, Delta C O F, Delta C O D, Delta A O D$).

  4. Медиана треугольника $m_a$ , проведенная к стороне $a$, выражается через стороны треугольника по формуле

    $$m_{a}=frac{1}{2} sqrt{2 b^{2}+2 c^{2}-a^{2}}$$

Примеры решения задач

Пример

Задание. В треугольнике $Delta A B C$ медианы $A F$ и $B D$ пересекаются в точке $O$, $A F=6$ см. Найти длину отрезка $OF.

Решение. По свойству медиан треугольника точка их пересечения делит медиану в соотношении
$2 : 1$, считая от вершин треугольника.

Таким образом, $A O : O F=2 : 1$. Положим $O F=x$ см, тогда $A O=2 x$ см. Так как $A F=A O+O F$, приходим к уравнению

$6=2 x+x$

$6=3 x$

$x=2$

Ответ. $O F=2$ см

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. В треугольнике $ABC$ $AB=sqrt{3}$ см, $AC=2$ см и $BC=1$ см. Найти длину медианы $BM$.

Решение. Так как медиана треугольника $m_{a}$ , проведенная к стороне
$a$, выражается через стороны треугольника по формуле

$$m_{a}=frac{1}{2} sqrt{2 b^{2}+2 c^{2}-a^{2}}$$

то искомая медиана $BM$ равна:

$$B M=frac{1}{2} sqrt{2 A B^{2}+2 B C^{2}-A C^{2}}$$

Подставляя исходные данные, получим:

$B M=frac{1}{2} sqrt{2 cdot(sqrt{3})^{2}+2 cdot 1^{2}-2^{2}}$

$B M=frac{1}{2} sqrt{2 cdot 3+2-4}$

$B M=frac{1}{2} cdot sqrt{4}$

$B M=1$ (см)

Ответ. $B M=1$ см

Читать дальше: что такое высота треугольника.

Источник

Длина медианы треугольника

Воскресенье, 20 октября, 2019

Длина медианы треугольника

Очень часто в ЕГЭ, ОГЭ и других экзаменах по математике встречаются задачи, в которых требуется найти длину медианы треугольника, если известны его стороны. Это действительно возможно, ведь длины трёх сторон треугольника полностью его определяют. В данной статье профессиональный репетитор по математике и физике объясняет, как это можно сделать.

Вопрос о том, как найти длину медианы треугольника, если известны все стороны треугольника, действительно имеет смысл. Ведь треугольник определяется длинами его сторон. То есть нет двух разных треугольников с одинаковыми сторонами. По третьему признаку равенства треугольников это должны быть два равных треугольника. Это означает, что если мы знаем все стороны в треугольнике, то мы можем найти в нём все основные элементы. В том числе и длины всех медиан. Разберёмся, как находится длина медианы треугольника.

Изобразим треугольник ABC. Обозначим его стороны маленькими буквами a, b и c, причём сторона a пусть лежит напротив угла A, сторона b — напротив угла B и сторона c — напротив угла C. Это стандартное обозначение, которое часть используется в учебниках по геометрии. Проведём также медиану AM, которая разделит сторону BC на два равных отрезка, длины которых составляют по dfrac{1}{2}a. Обозначим длину этой медианы m_a, имея в виду, что эта медиана проведена именно к стороне a:

Медиана AM в треугольнике ABC

То есть m_a — это длина медианы треугольника, которую нам нужно найти. Наша задача состоит в том, чтобы выразить её через длины сторон треугольника a, b и c.

Ну и идея состоит в том, чтобы использовать стандартное в таких случаях дополнительное построение, которое условно называют «удвоением медианы». Продлим медиану AM за точку M на отрезок MD, равный по длине медиане AM. То есть длина отрезка MD тоже равна m_a. Как это нам поможет? Дело в том, что, соединив точку D c точками B и C, мы получаем четырёхугольник ABDC, который в действительности является параллелограммом:

Удвоение медианы в треугольнике ABC, которое приводит к достраиванию его до параллелограмма

Естественно! Ведь есть такой признак. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Здесь у нас получается ровно эта ситуация. M — середина AD, и одновременно — середина BC. Значит, ABDC — параллелограмм. Это означает, в частности, что BD = b, а DC = c, так как противоположные стороны параллелограмма равны.

Ну а дальше действовать можно по-разному. Но поскольку у всех всегда разный уровень знаний по геометрии, то я постараюсь обойтись в дальнейшем самыми известными фактами из геометрии. Я имею в виду теорему Пифагора. Я думаю, что вы все прекрасно её знаете. Ну или хотя бы про неё слышали.

Итак, проведём высоты нашего параллелограмма BF и DH. Обозначим длины этих высот буквой h. А вот отрезочки AF и CH обозначим за x. Они будут одинаковые по длине, потому что равны прямоугольные треугольники ABF и CDH. Они, конечно же, равны, ведь у них равны гипотенузы AB и CD, а также катеты BF и DH:

Нахождение длины медианы треугольника по известным длинам его сторон

Ну а теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BFC. Запишем для него теорему Пифагора:

(1)   begin{equation*} BC^2 = BF^2+FC^2 = a^2 = h^2+(b-x)^2 end{equation*}

Аналогично для прямоугольного треугольника ADH получаем по теореме Пифагора:

(2)   begin{equation*} AD^2 = DH^2+AH^2 = 4m_a^2=h^2+(b+x)^2 end{equation*}

Ну и для прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора получаем:

(3)   begin{equation*} AB^2 = BF^2+AF^2 = c^2=h^2+x^2 end{equation*}

То есть получается три уравнения. Нужно их использовать, чтобы найти m_a. Как же это сделать? Во-первых, сложим вместе уравнения (1) и (2), раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. В результате получаем следующее выражение:

    [ a^2+4m_a^2=2h^2+(b-x)^2+(b+x)^2= ]

    [ = 2b^2+2h^2+2x^2 ]

Ну и теперь осталось использовать уравнение (3), только сперва нужно умножить обе части этого уравнения на 2. Тогда получим, что 2h^2+2x^2 = 2c^2. Ну и тогда мы получаем выражение a^2+4m_a^2=2b^2+2c^2, из которого получаем окончательно:

    [ m_a = dfrac{1}{2}sqrt{2c^2+2b^2-a^2} ]

Вот искомая формула, которую мы не просто записали, но ещё и доказали. Но ирония заключается в том, что запоминать её совсем не обязательно. Лучше просто знать, как её вывести, и получать её каждый раз при решении каждой конкретной задачи.

Задавайте свои вопросы по математике и физике в комментариях. Здесь на сайте и на моём Youtube-канале. На самые часто задаваемые вопросы я отвечу в следующих видео и статьях. Всего доброго!

Репетитор по математике и физике Сергей Валерьевич

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Поза банан у новорожденных как исправить
  • Mediaget что за ошибка как исправить
  • Как найти количество теплоты зная сопротивление
  • Как составить банковское коммерческое предложение
  • Как найти своих родственников в уфе