Как найти длину меньшей средней линии треугольника

Что такое средняя линия треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.

Определение средней линии треугольника

Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

• KL – средняя линия треугольника ABC
• K – середина стороны AB: AK = KB
• L – середина стороны BC: BL = LC

Свойства средней линии треугольника

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.

На рисунке выше:

Свойство 2

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.

На рисунке выше:

• △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
• Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
  AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL.
• S_△ABC = 4 ⋅ S_△KBL

Свойство 3

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.

Свойство 4

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.

Пример задачи

Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.

Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.

BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
BC = 10.

Таким образом, средняя линия LM = 1 /₂ ⋅ BC = 1 /₂ ⋅ 10 = 5.

Как найти среднюю линию треугольника?

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

• Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
• Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
• Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

• В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
• Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
• Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

​Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

​Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.

Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

1. Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
2. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
3. Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
4. Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

Докажем теорему:

По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

(по второму признаку подобия треугольников).

△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.

△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.

Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.

Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:

Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:

Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:

Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.

Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:

Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.

Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:

S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.

Меньшая средняя линия треугольника Как найти меньшую среднюю линию треугольника?

Геометрия | 5 — 9 классы

Меньшая средняя линия треугольника Как найти меньшую среднюю линию треугольника?

В разностороннем треугольнике всегда есть меньшая сторона.

Средняя линия, параллельная меньшей стороне и будет меньшей средней линией (смотри рисунок).

Средняя линия треугольника на 3, 6 см меньше основания треугольника?

Средняя линия треугольника на 3, 6 см меньше основания треугольника.

Найдите сумму средней линии треугольника и основания.

Стороны треугольника, относятся как 4 ; 5 ; 6, а периметр треугольника, образованного его средними линиями, равен 30 см?

Стороны треугольника, относятся как 4 ; 5 ; 6, а периметр треугольника, образованного его средними линиями, равен 30 см.

Найти средние линии треугольника.

Как найти среднию линию треугольника?

Как найти среднию линию треугольника.

Средняя линия треугольника меньше его основания на 5, 4 см?

Средняя линия треугольника меньше его основания на 5, 4 см.

Найдите сумму длин средней линии и основания треугольника.

Средняя линия треугольнка на 3, 6 см меньше основания треугольника?

Средняя линия треугольнка на 3, 6 см меньше основания треугольника.

Найдите сумму средней линии и основания.

Стороны треугольника относятся как 4 : 5 : 6 , а периметр треугольника , образованного средними линиями, равен 30см?

Стороны треугольника относятся как 4 : 5 : 6 , а периметр треугольника , образованного средними линиями, равен 30см.

Найти средние линии.

Средняя линия треугольника на 3, 6 см меньше основания треугольника?

Средняя линия треугольника на 3, 6 см меньше основания треугольника.

Найдите сумму средней линии и основания треуголника.

Дано треугольник BCD, PK средняя линия треугольника BD = 8 найти MN среднюю линию?

Дано треугольник BCD, PK средняя линия треугольника BD = 8 найти MN среднюю линию.

Средняя линия треугольника на 2, 4 см меньше основания треугольника?

Средняя линия треугольника на 2, 4 см меньше основания треугольника.

Найдите сумму средней линии и основания.

Средняя линия треугольника на 2, 4 см меньше основания треугольника?

Средняя линия треугольника на 2, 4 см меньше основания треугольника.

Найдите сумму средней линии и основания.

На этой странице сайта размещен вопрос Меньшая средняя линия треугольника Как найти меньшую среднюю линию треугольника? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

Ответ : |BC| = a = 2√3. |2AO + 2CO| = 4. |AС — (3 / 2) * ОС| = 3. Объяснение : В равностороннем треугольнике центр описанной окружности лежит на пересечении высот треугольника, которые являются и биссектрисами и медианами. АО — радиус описанной о..

Привет, BD — выстота = >BDC = 90° найдем угол DBC = 180 — (90 + 42) = 48° Треугольники авd и abd равны = >ABD = 48 ABC = 48 + 48 = 96°.

Пусть A1 — начало координат Ось X — A1B Ось Y — A1D1 Ось Z — A1A A1D1 (0 ; 1 ; 0) M(1 ; 1 ; 0. 5) D(0 ; 1 ; 1) Уравнение A1MD ax + by + cz = 0 подставляем координаты точек a + b + 0. 5c = 0 b + c = 0 Пусть с = — 2 тогда b = 2 a = — 1 — x + 2y — 2z ..

Р = а + в + с (68 — 16) : 2 = 26(см) боковая сторона треугольника.

68 — 16 = 52приходится на две стороны, так как треугольник равнобедренный то стороны равные 52 : 2 = 26 боковая сторона.

36 : 2 = 18 — отрезок КВ 18 : 2 = 9 — отрезок МК.

1) Точки в пл. АДД1 : А , Д Д1 , А1 . Точки в пл. АВС : А , В , С , Д . 2) MS лежит в пл. АВСД МД в пл. АВСД и АА1Д1Д АВ в пл. АВСД и АА1В1В 3) АА1 , ВВ1 , СС1 , ДД1 перпендикулярны пл. АВСД 4) прямой АД параллельны пл. ВВ1С1С и А1В1С1Д1 5) ..

1)Угол 1 = 65, 2)180 — 65 = 115(угол 2) 3)180 — 115 = 65 градусов (угол 3) Эх, вернуться бы в 7 класс.

Пусть B начало координат Ось X — BA Ось Y — BC Ось Z — BB1 направляющий вектор BD (1 ; 0 ; 1) направляющий вектор DA1 (0 ; — 1 ; 1) Длина√2 | i j k | | 1 0 1| = i | 0 1| + j |1 1 | + k | 1 0 | | 0 — 1 1| | — 1 1| |0 1| | 0 — 1 | Длина√3 Расстояние√3 ..

В градусе 60 минут, значит 5°48′ + 7°35′ = 13°83′ = 14°23′ 32°17′ + 8°45′ = 40°62′ = 41°02′.

Вы открыли страницу вопроса Найдите длину меньшей средней линии треугольника?. Он относится к категории
Математика. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 — 11 классов.
Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие
ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ,
можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Математика,
воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других
пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя
ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.