Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
Взаимное расположение двух окружностей
Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
r1 – r2 лежит внутри другой
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
r1 – r2 лежит внутри другой
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Каждая из окружностей лежит вне другой
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
| Фигура | Рисунок | Свойства |
| Две окружности на плоскости |  |
|
| Каждая из окружностей лежит вне другой |  |
|
| Внешнее касание двух окружностей |  |
|
| Внутреннее касание двух окружностей | |
|
| Окружности пересекаются в двух точках |  |
|
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
|
||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
|
||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
|
||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
|
||
|
||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
|
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов |
||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
|
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов |
||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
|
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой |
||
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  |
|
| Внутреннее касание двух окружностей |  |
|
| Окружности пересекаются в двух точках |  |
|
| Внешнее касание двух окружностей |  |
|
 |
||
 |
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
| Внешняя касательная к двум окружностям |
 |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
|
| Внутреннее касание двух окружностей |
|
| Окружности пересекаются в двух точках |
|
| Внешнее касание двух окружностей |
|
|
| Каждая из окружностей лежит вне другой |
|
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Внутреннее касание двух окружностей |
| Окружности пересекаются в двух точках |
| Внешнее касание двух окружностей |
| Каждая из окружностей лежит вне другой |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
| Фигура | Рисунок | Формула |
| Внешняя касательная к двум окружностям |  |
|
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  |
|
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |  |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
| Внешняя касательная к двум окружностям |
|
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
|
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
|
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
|
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностейУтверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле
Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, Общая хорда двух окружностейОбщая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна прямой, проходящей через центры этих окружностей. Дано : окр. (O1; R) ∩ окр. (O2; r)=A, B. Соединим центры окружностей с точками A и B. Обозначим точку пересечения прямой O1O2 с хордой AB как F. Рассмотрим треугольники O1AO2 и O1BO2. 3) O1O2 — общая сторона. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AO1F=BO1F, то есть O1F- биссектриса угла AO1B. Треугольник AO1B — равнобедренный с основанием AB (O1A=O1B=R). Следовательно, биссектриса O1F является также его высотой и медианой. Таким образом, Аналогично доказывается, что По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку F можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой AB. Следовательно, центры окружностей O1, O2 и точка F лежат на одной прямой O1O2, а общая хорда окружностей перпендикулярна этой прямой: Please wait.We are checking your browser. mathvox.ruWhy do I have to complete a CAPTCHA?Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property. What can I do to prevent this in the future?If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware. If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices. Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store. Cloudflare Ray ID: 6cd9ee3e8e230058 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare источники: http://mathvox.ru/geometria/okrujnosti-i-ih-svoistva/glava-9-hordi-i-sekuschie/obschaya-horda-dvuh-okrujnostei/ |
$begingroup$
Two circles having radii $7$cm & $19$ cm are separated by a distance of $22$ cm between their centers. If they are intersecting each other at two points $P$ & $Q$ then what will be the length of the common chord PQ?
a.) $frac{9sqrt{205}}{13}$
b.) $frac{8sqrt{255}}{11}$
c.) $frac{9sqrt{233}}{13}$
d.) $frac{8sqrt{155}}{11}$
I tried this by assuming one circle to be centered at the origin but it’s creating utter mess. I am 12th grade. Thanks for your help!
asked Jun 11, 2015 at 18:15
Bhaskara-IIIBhaskara-III
1,5633 gold badges14 silver badges30 bronze badges
$endgroup$
2
$begingroup$
$$7^2-x^2=19^2-(22-x)^2$$
$$x=frac{43}{11}$$
so
$$h^2=7^2-frac{43^2}{11^2}=frac{4080}{121}$$
$$h=frac{4sqrt{255}}{11}$$
hence
the Chord $PQ$ = $2h$
$$PQ=frac{8sqrt{255}}{11}$$
answered Jun 11, 2015 at 18:33
$endgroup$
0
$begingroup$
Connect the centers and the intersection points.
Using this enter link description here you find the area to be $4 sqrt{255}$. $22h/2$ will also be the area. So you find $h$ to be $4 sqrt{255}/11$ But the chord is $2h$. So final answer
$$frac{8 sqrt{255}}{11}$$
answered Jun 11, 2015 at 18:25
$endgroup$
0
$begingroup$
OK, i found a general formula to compute the length of common chord of two intersecting circles radii $r_1, r_2$ separated by a distance $d$ between their center
$$=frac{sqrt{(d^2-(r_1-r_2)^2)((r_1+r_2)^2-d^2)}}{d}$$
inserting the values, $r_1=7, r_2=19$ & $d=20$, i get length of common chord
$$=frac{sqrt{(22^2-(7-19)^2)((7+19)^2-22^2)}}{22}=frac{sqrt{340cdot 192}}{22}=frac{8sqrt{255}}{11}$$
answered Oct 20, 2016 at 13:54
Bhaskara-IIIBhaskara-III
1,5633 gold badges14 silver badges30 bronze badges
$endgroup$
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
kindan34
Вопрос по геометрии:
Одна из двух равных окружностей проходит через центр другой окружности.
Вычисли длину общей хорды, если радиус окружности равен 8 м.
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
Ответы и объяснения 1
usidouslyio129
Вполне логично, что если одна из двух равных окружностей проходит через центр второй окружности, то и вторая окружность проходит через центр первой.
Смотрим рисунок:
Видим ромб 
, со стороной и малой диагональю равными см. АВ — общая хорда.
Далее всё по т. Пифагора: см
Знаете ответ? Поделитесь им!
Гость ?
Как написать хороший ответ?
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
правильный ответ; - Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
побуждал на дополнительные вопросы к нему; - Писать без грамматических, орфографических и
пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
уникальные и личные объяснения; - Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
знаю» и так далее; - Использовать мат — это неуважительно по отношению к
пользователям; - Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи —
смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Одна из двух равных окружностей проходит через центр другой окружности.
Вычисли длину общей хорды, если радиус окружности равен 20 м.
Вы зашли на страницу вопроса Одна из двух равных окружностей проходит через центр другой окружности?, который относится к
категории Математика. По уровню сложности вопрос соответствует учебной
программе для учащихся 5 — 9 классов. В этой же категории вы найдете ответ
и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью
автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в
комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для
обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют,
создайте свой вариант запроса в верхней строке.