Загрузить PDF
Загрузить PDF
Найти длину вертикального или горизонтального отрезка на координатной плоскости можно с помощью координат, а вот сделать это с диагональным отрезком сложнее. Длину диагонального отрезка можно вычислить по формуле, которая основана на теореме Пифагора, где гипотенузой прямоугольного треугольника является наш диагональный отрезок.[1]
С помощью этой формулы можно быстро найти длину любого отрезка на координатной плоскости.
-
1
Запишите формулу для вычисления длины. Формула: , где — длина отрезка, — координаты начальной точки отрезка, — координаты конечной точки отрезка.[2]
-
2
Найдите координаты точек отрезка. Возможно, они будут даны. Если нет, найдите их по осям Х и Y.[3]
-
3
Подставьте координаты в формулу. Будьте внимательны и подставьте значения соответствующих переменных. Две координаты должны находится внутри первой пары скобок, а две координаты — внутри второй пары скобок.[4]
Реклама
-
1
Выполните вычитание в скобках. Сделайте это, потому что операции в скобках имеют приоритет.[5]
-
2
Возведите в квадрат полученные значения. В нашем случае возведение в степень — это вторая по важности операция.[6]
-
3
Сложите числа под знаком корня. Делайте вычисления так, как будто работаете с целыми числами.
-
4
Вычислите длину отрезка . Для этого извлеките корень из полученной суммы чисел.
Реклама
Советы
- Не путайте эту формулу с другими, например, с формулой для вычисления углового коэффициента или с линейным уравнением.
- Помните о порядке выполнения математических операций. Сначала вычтите, затем возведите в квадрат, затем сложите, а затем извлеките квадратный корень.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 24 709 раз.
Была ли эта статья полезной?
Калькулятор длины дуги кривой линии в декартовых координатах
Одним из приложений определенного интеграла является вычисление длины дуги плоской кривой. На рисунке изображен график функции :
Для того, чтобы узнать длину дуги кривой линии изображенной на рисунке, необходимо вычислить определенный интеграл:
В более общем случае, если у нас задана функция в декартовых координатах и стоит задача найти длину дуги этой кривой между точками и , нам необходимо вычислить интеграл:
В приведенной выше формуле, выражение означает, что сначала нужно вычислить производную функции , а затем полученное выражение возвести в квадрат.
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислить длину кривой, заданной в декартовых координатах для любой, даже очень сложной функции.
График линейной функции, его свойства и формулы
О чем эта статья:
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. |
---|
Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:
Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.
Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу. |
---|
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент. |
---|
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:
если х = 0, то у = -2;
если х = 2, то у = -1;
если х = 4, то у = 0 и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.
Функция | Коэффициент k | Коэффициент b |
---|---|---|
y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.
Свойства линейной функции
Область определения функции — множество всех действительных чисел.
Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.
Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);
ось ординат OY — в точке (0; b).
x = −b/k — является нулем функции.
Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).
При k 0, то этот угол острый, если k
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
если k > 0, то график наклонен вправо;
если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b
В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.
Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
Например, график уравнения х = 3:
Условие параллельности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.
Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.
Как найти длину функции по уравнению
Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции
Что умеет находить этот калькулятор:
- Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
- Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
- Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
- Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
- Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
- Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
- Наклонные асимптоты графика функции: Да
- Четность и нечетность функции: Да
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
http://skysmart.ru/articles/mathematic/grafik-linejnoj-funkcii
http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/issledovanie/
ousende191
Вопрос по алгебре:
Объясните, как решить данную задачу!!
Чему равна длина отрезка, на котором определена функция ?
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
Ответы и объяснения 1
lyacla
Т.к под корнем не может быть отриц. число, значит
нужно чтобы
Значит функция определена при
длина этого отрезка =8-2=6
Знаете ответ? Поделитесь им!
Гость ?
Как написать хороший ответ?
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
правильный ответ; - Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
побуждал на дополнительные вопросы к нему; - Писать без грамматических, орфографических и
пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
уникальные и личные объяснения; - Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
знаю» и так далее; - Использовать мат — это неуважительно по отношению к
пользователям; - Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Алгебра.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи —
смело задавайте вопросы!
Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.
Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.
Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле:
Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле:
Примечание: соответствующие координаты можно переставить местами: и ,
но это нестандартный вариант.
Задача 3
Даны точки и . Найти длину отрезка .
Решение: по соответствующей формуле:
Ответ: (единицы)
Обратите внимание на вынесение множителя из-под корня: (см. Приложение Школьные материалы). Это крайне
желательное действие, если оно возможно. Ибо будет придирка со стороны преподавателя. С высокой вероятностью.
И для наглядности снова выполню чертёж, тут есть что сказать:
Отрезок – это не вектор, а обычный ненаправленный
отрезок. И перемещать его куда-либо, конечно, нельзя.
Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину
отрезка . Но проще, конечно, использовать Калькулятор (приложен к книге).
Кстати, в ответе не забываем указать размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это – миллиметры, сантиметры, метры
или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».
Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:
Задача 4
Даны точки и . Найти длину отрезка .
Решение и ответ в конце книги.
1.5.3. Как найти длину вектора?
1.5.1. Как найти вектор по двум точкам?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
4 / 3 / 1 Регистрация: 30.10.2012 Сообщений: 343 |
|
1 |
|
Вычисление длины отрезка по координатам его концов31.10.2012, 16:19. Показов 3825. Ответов 3
Подскажите пожалуйста, нужно написать функцию,вычисляющую длину отрезка по координатам его концов.На ввод функция должна принимать 4 числа, т.е x1,y1 и x2,y2.
0 |
Programming Эксперт 94731 / 64177 / 26122 Регистрация: 12.04.2006 Сообщений: 116,782 |
31.10.2012, 16:19 |
3 |
easybudda Модератор 11885 / 7258 / 1720 Регистрация: 25.07.2009 Сообщений: 13,276 |
||||
31.10.2012, 17:27 |
2 |
|||
1 |
bohdan_si 12 / 12 / 6 Регистрация: 03.10.2012 Сообщений: 83 |
||||
31.10.2012, 18:05 |
3 |
|||
1 |
4 / 3 / 1 Регистрация: 30.10.2012 Сообщений: 343 |
|
31.10.2012, 21:51 [ТС] |
4 |
easybudda,bohdan_si спасибо за оказанную помощь.
0 |
IT_Exp Эксперт 87844 / 49110 / 22898 Регистрация: 17.06.2006 Сообщений: 92,604 |
31.10.2012, 21:51 |
4 |