Как найти длину отрезка с выражением - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Найти длину вертикального или горизонтального отрезка на координатной плоскости можно с помощью координат, а вот сделать это с диагональным отрезком сложнее. Длину диагонального отрезка можно вычислить по формуле, которая основана на теореме Пифагора, где гипотенузой прямоугольного треугольника является наш диагональный отрезок.^[1] С помощью этой формулы можно быстро найти длину любого отрезка на координатной плоскости.

1

Запишите формулу для вычисления длины. Формула: $d={sqrt {(x_{{2}}-x_{{1}})^{{2}}+(y_{{2}}-y_{{1}})^{{2}}}}$ , где — длина отрезка, $(x_{{1}},y_{{1}})$ — координаты начальной точки отрезка, $(x_{{2}},y_{{2}})$ — координаты конечной точки отрезка.^[2]
2

Найдите координаты точек отрезка. Возможно, они будут даны. Если нет, найдите их по осям Х и Y.^[3]
3

Подставьте координаты в формулу. Будьте внимательны и подставьте значения соответствующих переменных. Две координаты должны находится внутри первой пары скобок, а две координаты — внутри второй пары скобок.^[4]

Реклама

1

Выполните вычитание в скобках. Сделайте это, потому что операции в скобках имеют приоритет.^[5]
2

Возведите в квадрат полученные значения. В нашем случае возведение в степень — это вторая по важности операция.^[6]
3

Сложите числа под знаком корня. Делайте вычисления так, как будто работаете с целыми числами.
4

Вычислите длину отрезка . Для этого извлеките корень из полученной суммы чисел.

Реклама

Советы

Не путайте эту формулу с другими, например, с формулой для вычисления углового коэффициента или с линейным уравнением.
Помните о порядке выполнения математических операций. Сначала вычтите, затем возведите в квадрат, затем сложите, а затем извлеките квадратный корень.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 24 709 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Отрезок. Формула длины отрезка.

Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.

Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).

В данном примере вектор AB задан координатами (х₂— х₁, y₂— y₁). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:

Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек

Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов(х₁y₁) и (х₂,у₂).

Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.

Установим длину этих проекций.

На ось у длина проекции равна y₂ — y₁, а на ось х длина проекции равна х₂ — х₁. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y₂ – y₁)² + (x₂ – x₁)².

В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.

Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.

Длина отрезка. Расстояние между точками: онлайн-калькулятор

Чтобы найти расстояние между точками (длину отрезка) онлайн, необходимо:

Задать размерность (плоскость или пространство).
Ввести в поля координаты точек.
Нажать «рассчитать».

Как найти длину отрезка (расстояние между точками) с помощью онлайн-калькулятора

Рассмотрим пример, наглядно демонстрирующий работу с онлайн-калькулятором. Найдем длину произвольного отрезка, начальная и конечная точки которого имеют координаты (1;4) и (3;0). Для этого:

Выберем размерность (2 или 3). Калькулятор позволяет задать отрезок соответственно на плоскости, или в пространстве. В нашем конкретном примере выберем плоскость (2):
Введем в пустые поля координаты начальной и конечной точек отрезка:
После ввода координат остается нажать «Рассчитать» и получить ответ с решением:

Длина отрезка

Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.

Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.

Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1, а на ось Х длина проекции равна x2-x1. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 — y1)² + (x2 — x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.

Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 — 1)² + (5 — 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.

Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.

Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.

Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

источники:

http://zaochnik.com/online-calculators/tochka-pryamaya-ploskost/dlina-otrezka-rasstoyanie-mezhdu-tochkami/

http://studyguide.ru/note.php?id=14

Источник

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле:

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле:

Примечание: соответствующие координаты можно переставить местами: и ,

но это нестандартный вариант.

Задача 3

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ: (единицы)

Обратите внимание на вынесение множителя из-под корня: (см. Приложение Школьные материалы). Это крайне

желательное действие, если оно возможно. Ибо будет придирка со стороны преподавателя. С высокой вероятностью.

И для наглядности снова выполню чертёж, тут есть что сказать:

Отрезок – это не вектор, а обычный ненаправленный

отрезок. И перемещать его куда-либо, конечно, нельзя.

Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину

отрезка . Но проще, конечно, использовать Калькулятор (приложен к книге).

Кстати, в ответе не забываем указать размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это – миллиметры, сантиметры, метры

или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Задача 4

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце книги.

1.5.3. Как найти длину вектора?

1.5.1. Как найти вектор по двум точкам?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Источник

Выражение длины отрезка через координаты его концов

Обновлено: 27.05.2023

Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.

Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).

Формула длины отрезка.

Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек

Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов(х₁y₁) и (х₂,у₂).

Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.

Установим длину этих проекций.

На ось у длина проекции равна y₂ — y₁, а на ось х длина проекции равна х₂ — х₁. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y₂ – y₁)² + (x₂ – x₁)².

В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.

Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.

Читайте также: