2021-07-22 
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ длина отрезка, соединяющего середины сторон $AB$ и $CD$ равна 1. Прямые $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей $AC$ и $BD$.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ — середины сторон соответственно $AB$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$, а $P$ и $Q$ — середины его диагоналей соответственно $AC$ и $BD$. Тогда $MP$ — средняя линия треугольника $ABC$, а $QN$ — средняя линия треугольника $DBC$. Поэтому
$MP=frac{1}{2}BC=QN,~MPparallel BCparallel QN.$
Значит, четырёхугольник $MPNQ$ — параллелограмм. Его соседние стороны $MP$ и $MQ$ соответственно параллельны прямым $BC$ и $AD$, поэтому $MPperp MQ$. Следовательно, четырёхугольник $MPNQ$ — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, поэтому
$PQ=MN=1.$
В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна одному метру. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.
Спрятать решение
Решение.
Пусть точка K — середина AB, точка P — середина CD, точка H — середина диагонали AC, точка E — середина диагонали BD. Тогда KH — средняя линия треугольника ABC, поэтому KH параллельно BC и 
Аналогично получаем: KE — средняя линия треугольника ABD, поэтому KE параллельно AD и 
PH — средняя линия треугольника DAC, поэтому PH параллельно AD и 
PE — средняя линия треугольника BDC, поэтому PE параллельно BC и 
Отсюда заключаем, что в четырёхугольнике KHPE стороны попарно параллельны и попарно равны, поэтому KHPE — параллелограмм. А так как KH параллельно BC, KE параллельно AD, а BC перпендикулярно AD, то и KH перпендикулярно KE. Поэтому KHPE — прямоугольник. А так как диагонали прямоугольника равны, то 
метру.
Ответ: 1 метр.
Приведём решение методом координат.
Пусть сторона BC лежит на оси Ox, а сторона AD лежит на оси Oy. Найдем координаты вершин четырехугольника: 
Пусть M — середина AB, и N — середина CD. По формуле нахождения координат середины отрезков, найдем координаты точек M и N: 
Определим длину отрезка MN через координаты его концов: 
Пусть точки P и Q — середины диагоналей AC и BD. Аналогично получаем: 
Тема самым, что 
Следовательно, искомая длина равна 1 метру.
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: Тренировочные работы. Иркутск — 2013, вариант 2.
Длины отрезков, соединяющие середины ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ сторон, заданы в условиии.
В самом деле, треугольники, образованные диагоналями и основаниями, очевидно подобны, то есть их стороны относятся, как основания. Раз диагонали равны, то равны и отрезки этих диагоналей от вершин до точки пересечения, то есть это равнобедренные треугольники, с равными улами при основаниях, а это означает, что треугольники, образованные (например) большим основанием, боковой стороной и диагональю, равны по двум сторонам и углу между ними.
Поэтому трапеция, у которой диагонали равны — равнобедренная.
Раз так, то отрезок, соединяющий середины оснований — это попросту высота, по условию это 8. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — это средняя линяя, она равна 8.
Остается найти длину отрезков, соединяющих середины соседних сторон. Для этого надо найти длину диагонали.
Проводится высота из вершины малого основания, получается прямоугольный треугольник с катетами 8 (это высота) и 8 — это часть большого основания. В самом деле, от ближайшего конца большого основания до конца проведенной высоты
(9 — 7)/2 = 1, поэтому до другого конца 9 — 1 = 8.
Диагональ — гипотенуза в этом треугольнике, она равна 8*корень(2).
Длина отрезка, соединяющего середины соседних сторон, равна половине диагонали — как средняя линяя в треугольнике, образованном диагональю и двумя сторонами трапеции. То есть она равна 4*корень(2).
Ясно, что такая длина у всех четырех отрезков, соединяющих середины любой пары соседних сторон. Поэтому эти отрезки образуют ромб. Однако в данной задаче это не просто ромб, а квадрат, поскольку высота равна средней линии. 
Репетитор по математике
Меня зовут Виктор Андреевич, — я репетитор по математике . Последние десять лет я занимаюсь только преподаванием. Я не «натаскиваю» своих учеников. Моя цель — помочь ребенку понять предмет, научить его мыслить, а не применять шаблоны, передать свои знания, а не просто «добиться результата».
Предусмотрен дистанционный формат занятий (через Skype или Zoom). На первом же уроке оцениваем уровень подготовки ребенка. Если ребенка устраивает моя подача материала, то принимаем решение о дальнейшем сотрудничестве — составляем расписание и индивидуальный план работы. После каждого занятия дается домашнее задание — оно всегда обязательно для выполнения. [в личном кабинете родители могут контролировать успеваемость ребенка]
Стоимость занятий
Набор на 2020/2021 учебный год открыт. Предусмотрен дистанционный формат.
Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021
Решения авторские, то есть мои (автор ютуб-канала mrMathlesson — Виктор Осипов). На видео подробно разобраны все задания.
Теория представлена в виде лекционного курса, для понимания методик, которые используются при решении заданий.
Группа Вконтакте
В группу выкладываются самые свежие решения и разборы задач. Подпишитесь, чтобы быть в курсе и получать помощь от других участников.
Преимущества
Педагогический стаж
Сейчас существует много сайтов, где вам подберут репетитора по цене/опыту/возрасту, в зависимости от желаний. Но большинство анкет там принадлежат либо студентам, либо школьным учителям. Для них репетиторство — дополнительный временный заработок, из этого формируется отношение к деятельности. У студентов нет опыта и желания совершенствоваться, у школьных учителей — нет времени и сил после основной деятельности. Я занимаюсь только репетиторством с 2010 года. Все свои силы и знания трачу на совершенствование только в этой области.
Собственная методика
За время работы я накопил огромное количество материала для подготовки к итоговым экзаменам. Ребенку не будет даваться неадаптированная школьная программа. С каждым я разберу поэтапно специфичные примеры, темы, способы решений, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. При этом это не будет «натаскиванием» на решение конкретных задач, но полноценная структурированная подготовка. Естественно, если таковые найдутся, устраню «пробелы» и в школьной программе.
Гарантированный результат
За время моей работы не было ни одного случая, где не прослеживалась бы четкая тенденция к улучшению знаний у ученика. Ни один откровенно не «завалил» экзамен. Каждый вырос в «понимании» математики в сравнении со своим первоначальным уровнем. Естественно, я не могу гарантировать, что двоечник за полгода подготовится на твердую «пять». Но могу с уверенностью сказать, что я подготовлю ребенка на его максимально возможный уровень за то время, что осталось до экзамена.
Индивидуальная работа
Все дети разные, поэтому способ и форма объяснения корректируются в зависимости от уровня понимания ребенком предмета. Индивидуальная работа с каждым учеником — каждому даются отдельные задания, теоретический материал.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна одному метру?
Геометрия | 5 — 9 классы
В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна одному метру.
Прямые BC и AD перпендикулярны.
Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.
Обозначены : M — середина AB ; N — середина BD ; K — середина CD ; P — середина AC ;
В треугольнике ABC MP — средняя линия, то есть MP II BC ; MP = BC / 2 ;
В треугольнике BDC NK — средняя линия, то есть NK II BC ; NK = BC / 2 ;
В треугольнике ABD MN — средняя линия, то есть MN II AD ; MN = AD / 2 ;
В треугольнике ADC KP — средняя линия, то есть KP II AD ; KP = AD / 2 ;
Легко видеть, что MNKP — прямоугольник.
У прямоугольника диагонали равны, то есть PN = MK ;
В выпуклом четырёхугольнике KLMN длина отрезка соединяющего середины диагоналей равна 1м?
В выпуклом четырёхугольнике KLMN длина отрезка соединяющего середины диагоналей равна 1м.
Прямые LM и KN перпендикулярны.
Найти длину отрезка соединяющего середины сторон KL и MN.
Основания трапеции равны 17 и 4 а боковые стороны 12 и 5 см найдите длину отрезка соединяющего середины оснований?
Основания трапеции равны 17 и 4 а боковые стороны 12 и 5 см найдите длину отрезка соединяющего середины оснований.
В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны?
В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны.
Докажите, что диагонали четырехугольника перпендикулярны.
АЙТИ ДЛИНЫ ОТРЕЗКОВ СОЕДИНЯЮЩИХ СЕРЕДИНЫ СТОРОН ТРАПЕЦИИ С РАВНЫМИ ДИАГОНАЛЯМИ ЕСЛИ ЕЁ ОСНОВАНИЯ = 7 СМ И 9 СМ, А ВЫСОТА = 8 СМ?
АЙТИ ДЛИНЫ ОТРЕЗКОВ СОЕДИНЯЮЩИХ СЕРЕДИНЫ СТОРОН ТРАПЕЦИИ С РАВНЫМИ ДИАГОНАЛЯМИ ЕСЛИ ЕЁ ОСНОВАНИЯ = 7 СМ И 9 СМ, А ВЫСОТА = 8 СМ.
Доказать что отрезки соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны?
Доказать что отрезки соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны.
В выпуклом четырехугольнике ABCT длина отрезка , соединяющего середины сторон AB и СТ равна одному метру?
В выпуклом четырехугольнике ABCT длина отрезка , соединяющего середины сторон AB и СТ равна одному метру.
Прямые BC и AT перпендикулярны.
Найдите длину отрезка , соединяющего середины.
Диагоналей АС и ВТ.
С полным оформлением и решением.
Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на части длиной 3 см и 8 см?
Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на части длиной 3 см и 8 см.
Найдите сумму длины отрезка, соединяющего середины боковых сторон, и отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Основание трапеции 15 и 35 см ?
Основание трапеции 15 и 35 см .
Найдите длину отрезка соединяющего середины диагоналей трапеции.
В четырехугольнике отрезки соединяющие середины противоположных сторон равны?
В четырехугольнике отрезки соединяющие середины противоположных сторон равны.
Докажите что угол между диагоналями этого четырехугольника равен 90.
Верно ли, что длина стороны треугольника в два раза больше длины отрезка, соединяющего середины двух других сторон?
Верно ли, что длина стороны треугольника в два раза больше длины отрезка, соединяющего середины двух других сторон?
На этой странице находится ответ на вопрос В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD, равна одному метру?, из категории Геометрия, соответствующий программе для 5 — 9 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Геометрия. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.
Угол САВ = 180 — 94 = 86 * Треугольник АВС — равнобедренный следовательно угол А равен углу В следовательно угол В = углу А = 86. Сумма углов треугольника равна 180 * . Следовательно угол АСВ = 180 — А — В = 180 — 86 — 86 = 8. Угол АСВ = 8 * Угол ..
Нехай кут А і С — кути при основі, тоді кут А = С = 180 — 94 = 86градусів Кут В — протилежний до основи, кут В = 180 — 86 * 2 = 8 Зовнішній кут при вершині В = 180 — 8 = 172 градуси В — дь : 172.
Они будут н л , они равны а ост. Смежные их сумма равна 180° = > 180° — 43° =.
Пусть биссектриса х. Стороны треугольника a, b, c a + b + c = 36 (периметр треугольника) a + b + c + 2x = 24 + 30 (периметры двух треугольников, на которые разбивает биссектриса данный треугольник) 36 + 2х = 54 2х = 54 — 36 2х = 18 х = 18 : 2 х = 9 ..
Решение в прикрепленном файле.
Трапеция прямоугольная = > два угла, прилежащие к одной боковой стороне, по 90°, Сумма углов, прилежащих к другой боковой стороне, = 180° 180° — 100° = 80° четвертый угол. Ответ : 90°, 90°, 80° и 100°.
Г. И. Ковалева Итоговое повторение курса планиметрии с привлечением метода ключевой задачи
Главная > Документ
| Информация о документе | |
| Дата добавления: | |
| Размер: | |
| Доступные форматы для скачивания: |
Треугольник, образованный основаниями высот
данного остроугольного треугольника
Ключевая задача. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – высоты остроугольного треугольника АВС . Докажите, что а) треугольники АА 1 С и ВВ 1 С подобны; б) треугольники АВС и А 1 В 1 С подобны и 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Треугольники АА 1 С и ВВ 1 С подобны по двум углам.
Из этого следует, что 
или 
. Треугольники АВС и А 1 В 1 С подобны, так как и 
– общий и 
.
Задача 1. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – высоты остроугольного треугольника АВС . Докажите, что АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – биссектрисы углов треугольника А 1 В 1 С 1 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Треугольники АВС и А 1 В 1 С подобны, следовательно, 
.
Треугольники АВС и А 1 ВС 1 подобны, следовательно, 
.
. Следовательно, АА 1 – биссектриса 
.
Задача 2. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – высоты остроугольного треугольника АВС . Докажите, что 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 
.
, 
, 
.
Имеем 
или 
. 
. Откуда 
.
Задача 3. АА 1 , ВВ 1 , СС 1 – высоты остроугольного треугольника АВС . Докажите, что отношение периметров треугольников А 1 В 1 С 1 и АВС равно 
, где r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей около треугольника АВС .
Р е ш е н и е. Так как 
, 
и , то 
.
. С другой стороны
, где О – центр описанной около треугольника АВС окружности.
Найдем площади треугольников АОВ , ВОС и АОС .
.
Анологично, 
, 
.
.
Приравнивая площади, получим 
.
Задача 4. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите стороны треугольника.
Р е ш е н и е. Так как 
, то треугольник А 1 В 1 С 1 – прямоугольный. Следовательно, 
, 
.
, 
.
, 
.
Используя формулу понижения степени 
, найдем 
. 
, 
.
Рассуждая аналогично, можно найти сторону ВС . 
, 
, 
.
О т в е т: 
; 
; 
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Высота АН и СК остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке D , причем 
, 
, 
. Найдите сторону ВС .
2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА 1 , ВВ 1 , и СС 1 . Докажите, что 
.
3. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12, а боковой стороны – 18. К боковым сторонам треугольника проведены высоты. Найдите длину отрезка с концами в основаниях высот.
О т в е т: 
.
4. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты СС 1 и АА 1 . Известно, что 
и 
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника С 1 ВА 1 .
О т в е т: 
.
5. В остроугольном треугольнике АВС 
. На стороне ВС как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и ВС соответственно в точках P и Q . Найдите отношение площадей треугольников ABC и APQ .
О т в е т: 
.
Четырехугольник, вершины которого
являются серединами сторон данного четырехугольника
Ключевая задача. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник.
M , N , P , K – середины сторон АВ, ВС, CD и А D соответственно.
Отрезок MN параллелен диагонали АС и равен ее половине по свойству средней линии.
Аналогично, отрезок PK параллелен АС и равен ее половине. Следовательно, отрезки MN и PK равны и параллельны. По признаку MNPK – параллелограмм.
Для невыпуклого и пространственного четырехугольников доказательство аналогичное.
1. Если ABCD – выпуклый четырехугольник и M , N , P , K – середины его сторон АВ, ВС, CD и AD соответственно, то 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Треугольники MBN и АВС подобны, следовательно, 
. Аналогично, 
. 
.
Аналогично, 
, 
, 
.
Имеем, 
.
2. Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
3. Середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.
4. Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Осмыслению ключевой задачи будут способствовать вопросы: Каким условиям должны удовлетворять диагонали данного четырехугольника, чтобы середины его сторон были вершинами прямоугольника, ромба, квадрата? Докажите, что середины сторон трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями являются вершинами прямоугольника.
Составьте обратную задачу. Верна ли она?
Задача 1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть медианы АА 1 и СС 1 пересекаются в точке О . Отметим точки К и Р – середины отрезков АО и СО . Тогда точки К, Р, С 1 и А 1 середины сторон невыпуклого четырехугольника
АВСО . Следовательно, по ключевой задаче КРС 1 А 1 – параллелограмм. Его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Тогда 
.
Рассуждая аналогично, докажем, что медианы АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке Q и 
. Так как отрезок АА 1 делится в отношении 2:1, считая от точки А, однозначно, то точки О и Q совпадают. Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Задача 2. Докажите, что отрезки, соединяющие середины сторон скрещивающихся ребер тетраэдра пересекаются в одной точке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По ключевой задаче MKPN и MLPR – параллелограммы. Их диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Задача 3. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, длина одной из них равна 6. Длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 5. Найдите площадь трапеции.
Р е ш е н и е. Пусть M и P – середины боковых сторон трапеции. Тогда по ключевой задаче MNPK – прямоугольник. Так как 
, то 
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MNK 
. Тогда 
, а 
.
Задача 4. В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей 2 и 4. Найдите площадь четырехугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон равны.
Р е ш е н и е. По ключевой задаче MNPK – параллелограмм. Так как его диагонали равны, то MNPK – прямоугольник. Диагонали данного выпуклого четырехугольника параллельны сторонам прямоугольника и, следовательно, перпендикулярны. Найдем площадь выпуклого четырехугольника как половину произведения диагоналей на синус угла между ними. 
.
Задача 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD , равна одному метру. Прямые BC и А D перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и В D .
Р е ш е н и е. Обозначим через M , N , P , K – середины сторон АВ, В D , CD и АС соответственно. Тогда MK ║ NP ║ BC как средние линии треугольников BAC и BDC . Аналогично, MN ║ KP ║ AD . Так как прямые BC и А D перпендикулярны, то параллельные им прямые МК и MN также перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм MNPK является прямоугольником и 
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что отрезки, соединяющие середины его смежных сторон, равны 2 и 3, а угол между ними 30 0 .
2. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны 3 и 4, а длина одной из диагоналей четырехугольника равна 5.
3. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что отрезки, соединяющие середины его смежных сторон, равны 3 и 4, а длина одного из отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равна 5.
4. В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.
5. В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P , Q сторон AB , CD и S , T сторон BC , DE соединены отрезками PQ и ST . Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST . Найдите длину MN .
http://geometria.my-dict.ru/q/5549270_v-vypuklom-cetyrehugolnike-abcd-dlina-otrezka/
http://gigabaza.ru/doc/161012-p4.html
Содержание материала
- Средняя линия треугольника + Задачи по теме
- ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
- Видео
- Понятие средней линии прямоугольного треугольника
- Средняя линия
- Важные свойства
- Решение задачи
- Формула для расчета
- Примеры решения задач
Средняя линия треугольника + Задачи по теме
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника: 1. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. 2. Средняя линия трeугольника отсекает от него треугольник, подобный данному (с коэффициентом подобия 1/2 ). 3. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия 1/2.
Свойство средней линии треугольника является следствием теоремы Фалеса.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
Задача № 1. Дано: ΔABC; AB = 8 см; BC = 10 см; AC = 12 см; M — середина AB; N — середина BC; L — середина AC. Найти: MN, NL, ML.
Задача № 2.
Задача № 3. ΔABC; K — середина AB; O — середина BC; P — середина AC; PABC = 52 см. Найти: PКOР
Задача № 4.
Это конспект по теме «Средняя линия треугольника + Задачи по теме». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту:
- Вернуться к Списку конспектов по геометрии
Видео
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.
Важное свойство
Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольных треугольника.
Средняя линия
Чтобы понять, как найти середину треугольника, можно воспользоваться обычной линейкой. Для этого необходимо выбрать произвольные две стороны фигуры. Затем отметить на каждой из них точки, отстоящие на одинаковом расстоянии от соответствующих вершин, которые ограничивают данную сторону. Полученные две точки следует соединить, чтобы начертить средний отрезок. Его название является интуитивно понятным каждому, поскольку он соединяет середины двух сторон.
Важные свойства
Существует три основных свойства, которыми обладает рассматриваемый отрезок. Пусть имеется треугольник произвольного типа ABC, в котором точки P и Q лежат на серединах сторон AB и AC соответственно. При таком обозначении отрезок PQ будет средней линией треугольника ABC. Справедливы следующие геометрические свойства:
- Полученный треугольник APQ является подобным исходной фигуре ABC. Доказать это утверждение несложно, если обратить внимание на два факта: во-первых, угол A у обеих фигур является общим, во-вторых, отношение AB/AP равно величине AC/AQ и составляет 2 согласно выполненным геометрическим построениям. Таким образом, выполняется один из признаков подобия.
- Длина средней линии PQ оказывается в два раза меньше, чем сторона BC. Кроме того, оба отрезка параллельны друг другу. Утверждение о равенстве PQ = ½*BC следует из факта подобия треугольников APQ и ABC, коэффициент которых составляет 2. Это равенство также можно доказать, если воспользоваться координатным методом.
- Треугольник APQ имеет в 4 раза меньшую площадь, чем исходная фигура ABC.
Утверждение № 3 из списка справедливо для произвольного треугольника. Для его доказательства следует воспользоваться формулой Герона. Согласно ей, площадь рассматриваемой фигуры может быть вычислена следующим образом:
S = (p*(p-a)*(p-b)*(p-c))^0,5.
Здесь p = (a+b+c)/2 — полупериметр фигуры. Буквами a, b и c обозначены длины ее сторон. Пусть таким же образом обозначаются стороны для треугольника ABC. Тогда для фигуры APQ они будут иметь длины a/2, b/2 и c/2. Полупериметр для APQ составит величину p1 = (a+b+c)/4 = ½*p. Теперь необходимо подставить все известные величины в формулу Герона, получается площадь S1:
S1 = (p1*(p1-a/2)*(p1-b/2)*(p1-c/2))^0,5 = (½*p*(½*p-a/2)*(½*p-b/2)*(½*p-c/2))^0,5 = ¼*S.
Иными словами, площадь треугольника APQ составляет четвертую часть от этой величины для ABC.
Решение задачи
В треугольнике ABC проведен средний отрезок PQ, граничные точки которой P и Q находятся на сторонах AB и AC соответственно. Необходимо с использованием метода координат доказать, что эта линия имеет в два раза меньшую длину, чем сторона BC.
Прежде чем находить решение этой задачи, следует обозначить координаты вершин исходной фигуры. Они будут следующие:
- A (x1, y1);
- B (x2, y2);
- C (x3, y3).
Поскольку точка P делит ровно пополам сторону AB, то для нахождения ее координат необходимо провести следующие вычисления:
P = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).
Аналогичным образом рассчитываются координаты точки Q:
Q = ((x1+x3)/2, (y1+y3)/2).
Вспоминая формулу для длины вектора, координаты конца и начала которого известны, для средней линии PQ можно произвести следующие вычисления:
PQ = (((x1+x3)/2 — (x1+x2)/2)^2 + ((y1+y3)/2 — (y1+y2)/2)^2)^0,5 = ½*((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.
В свою очередь, длина стороны BC равна:
BC = ((x3-x2)^2 + (y3-y2)^2)^0,5.
Из сопоставления этих двух равенств следует искомая формула, которую требовалось доказать:
PQ = ½*BC.
Поскольку в процессе доказательства были использованы произвольные координаты для вершин треугольника, полученный вывод является общим и универсальным для любого типа рассматриваемых фигур.
Формула для расчета
Теорема
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна её половине.
(A_1C_1=frac12AC)
Доказательство
Дано:
(triangle ABC)
(A_1C_1)— средняя линия
Доказать:
(A_1C_1parallel AC)
(A_1C_1=frac12AC)
Рассмотрим (triangle BA_1C_1) и (triangle BAC):
(left{begin{array}{l}angle B;-;общий\frac{BA_1}{BA}=frac{BC_1}{BC}=frac12end{array}right.)
Из этого следует, что треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Следовательно, (angle BA_1C_1=angle BAC) , как соответственные элементы подобных треугольников. Следовательно (A_1C_1parallel AC) по признаку параллельности.
Кроме того, из подобия следует, что (frac{A_1C_1}{AC}=frac12)
Следовательно, (A_1C_1=frac12AC)
Утверждение доказано.
Примечание
Данная формула одинаково работает для любого треугольника: равнобедренного, равностороннего (правильного).
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике провели среднюю линию , параллельную. Найти площадь треугольника , если известно, что см, а высота , опущенная на сторону , равна 5 см. Решение В треугольнике (см. рис. 1) средняя линия равна половине стороны , поэтому
Найдем площадь треугольника :
Так как средняя линия отсекает треугольник , площадь которого равна одной четвёртой площади исходного треугольника , то площадь треугольника равна:
Ответ см.
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике провели средние линии см, см и см. Найти периметр треугольника . Решение Так как средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна, то можем найти длины всех сторон треугольника :
см см см
Теперь можно найти периметр треугольника как сумму длин всех его сторон:
см Ответ см.