Загрузить PDF
Загрузить PDF
Найти длину вертикального или горизонтального отрезка на координатной плоскости можно с помощью координат, а вот сделать это с диагональным отрезком сложнее. Длину диагонального отрезка можно вычислить по формуле, которая основана на теореме Пифагора, где гипотенузой прямоугольного треугольника является наш диагональный отрезок.[1]
С помощью этой формулы можно быстро найти длину любого отрезка на координатной плоскости.
-
1
Запишите формулу для вычисления длины. Формула:
, где — длина отрезка, — координаты начальной точки отрезка, — координаты конечной точки отрезка.[2]
-
2
Найдите координаты точек отрезка. Возможно, они будут даны. Если нет, найдите их по осям Х и Y.[3]
-
3
Подставьте координаты в формулу. Будьте внимательны и подставьте значения соответствующих переменных. Две координаты
должны находится внутри первой пары скобок, а две координаты — внутри второй пары скобок.[4]
Реклама
-
1
Выполните вычитание в скобках. Сделайте это, потому что операции в скобках имеют приоритет.[5]
-
2
Возведите в квадрат полученные значения. В нашем случае возведение в степень — это вторая по важности операция.[6]
-
3
Сложите числа под знаком корня. Делайте вычисления так, как будто работаете с целыми числами.
-
4
Вычислите длину отрезка
. Для этого извлеките корень из полученной суммы чисел.
Реклама
Советы
- Не путайте эту формулу с другими, например, с формулой для вычисления углового коэффициента или с линейным уравнением.
- Помните о порядке выполнения математических операций. Сначала вычтите, затем возведите в квадрат, затем сложите, а затем извлеките квадратный корень.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 24 709 раз.
Была ли эта статья полезной?
Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.
Если даны две точки плоскости 
и 
, то длину отрезка 
можно вычислить по формуле:
Если даны две точки пространства 
и 
, то длину отрезка 
можно вычислить по формуле:
Примечание: соответствующие координаты можно переставить местами: 
и 
,
но это нестандартный вариант.
Задача 3
Даны точки 
и 
. Найти длину отрезка 
.
Решение: по соответствующей формуле:
Ответ: 
(единицы)
Обратите внимание на вынесение множителя из-под корня: 
(см. Приложение Школьные материалы). Это крайне
желательное действие, если оно возможно. Ибо будет придирка со стороны преподавателя. С высокой вероятностью.
И для наглядности снова выполню чертёж, тут есть что сказать:
Отрезок 
– это не вектор, а обычный ненаправленный
отрезок. И перемещать его куда-либо, конечно, нельзя.
Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ 
можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину
отрезка 
. Но проще, конечно, использовать Калькулятор (приложен к книге).
Кстати, в ответе не забываем указать размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это – миллиметры, сантиметры, метры
или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».
Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:
Задача 4
Даны точки 
и 
. Найти длину отрезка 
.
Решение и ответ в конце книги.
1.5.3. Как найти длину вектора?
1.5.1. Как найти вектор по двум точкам?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Отрезок. Формула длины отрезка.
Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.
Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).
В данном примере вектор AB задан координатами (х2— х1, y2— y1). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:
Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек
Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов(х1y1) и (х2,у2).
Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.
Установим длину этих проекций.
На ось у длина проекции равна y2 — y1, а на ось х длина проекции равна х2 — х1. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)².
В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.
Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.
Как вычислить длину отрезка по координатам
В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.
Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.
Количество просмотров этой статьи: 15 763.
Найти длину вертикального или горизонтального отрезка на координатной плоскости можно с помощью координат, а вот сделать это с диагональным отрезком сложнее. Длину диагонального отрезка можно вычислить по формуле, которая основана на теореме Пифагора, где гипотенузой прямоугольного треугольника является наш диагональный отрезок. [1] X Источник информации С помощью этой формулы можно быстро найти длину любого отрезка на координатной плоскости.
Длина отрезка. Расстояние между точками: онлайн-калькулятор
Чтобы найти расстояние между точками (длину отрезка) онлайн, необходимо:
- Задать размерность (плоскость или пространство).
- Ввести в поля координаты точек.
- Нажать «рассчитать».
Как найти длину отрезка (расстояние между точками) с помощью онлайн-калькулятора
Рассмотрим пример, наглядно демонстрирующий работу с онлайн-калькулятором. Найдем длину произвольного отрезка, начальная и конечная точки которого имеют координаты (1;4) и (3;0). Для этого:
- Выберем размерность (2 или 3). Калькулятор позволяет задать отрезок соответственно на плоскости, или в пространстве. В нашем конкретном примере выберем плоскость (2):
- Введем в пустые поля координаты начальной и конечной точек отрезка:
- После ввода координат остается нажать «Рассчитать» и получить ответ с решением:
Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:
- Середина отрезка
- Каноническое уравнение прямой проходящей через две точки
- Параметрическое Уравнение прямой проходящей через две точки
- Расстояние от точки до прямой на плоскости
- Уравнение плоскости (координаты трех точек)
- Уравнение плоскости (координаты вектора нормали и точки)
- Точка пересечения прямых (с угловыми коэффициентами)
- Расстояние от точки до прямой в пространстве
- Расстояние от точки до плоскости
- Расстояние между плоскостями
- Угол между плоскостями
- Угол между прямой и плоскостью
Расстояние между точками онлайн
Для нахождения длины отрезка по координатам существует формула. Для отрезка AB в трехмерном пространстве она имеет вид:
d = x b — x a 2 + y b — y a 2 + z b — z a 2
Даже если вы забыли данную формулу, расстояние между точками всегда можно найти по координатам онлайн. Калькулятор не только предоставляет правильный ответ, но и подробно расписывает решение.
Онлайн-калькулятор нахождения длины отрезка по координатам будет полезен школьникам и студентам в самостоятельной подготовке, а также преподавателям и всем любителям математики.
Обзор основных сведений и формул для векторов в координатах
В координатной плоскости любой вектор 
однозначно разлагается по векторам 
и 
Числа 
определяются единственным образом и называются координатами вектора в данной системе координат (рис. 1).
Рис. 1. Координаты вектора
Если есть точка 
, то вектор с началом в начале координат, который называется радиус-вектором точки 
, имеет те же самые координаты: 
.
Основываясь на этом, мы рассмотрели 3 стандартные задачи:
Определение координат середины отрезка 
по координатам концов отрезка
и 
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Определение длины вектора 
с координатами 
.
Определение длины отрезка 
по координатам концов 
и 
.
Теперь применим эти сведения для решения задач.
Решение задач с использованием метода координат
Задача 1.
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Дан треугольник с вершинами 
. Найти медиану 
.
Дано: 
;
Найти: 
.
Решение:
Найдем координаты точки 
как середины отрезка ВС:
Найдем длину отрезка :
.
Ответ: 
.
Задача 2.
Вершина 
параллелограмма 
лежит на положительной полуоси 
, вершина 
имеет координаты 
; 
. Найти координаты точки 
сторону 
диагональ 
.
Решение:
Построим данный параллелограмм в прямоугольной системе координат (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Так как , то координаты точки 
. Пусть координаты точки 
.
Так как 
параллелограмм, то 
;
Координаты равны, следовательно,
Итак, 
;
так как вектор 
имеет те же координаты, что и точка .
так как координаты вектора 
совпадают с координатами точки 
Ответ: ; 
Задача 3.
Найти периметр треугольника, если известны координаты его вершин (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Дано: 
;
.
Найти: периметр 
.
Решение:
Воспользуемся формулой вычисления расстояния между точками.
Найдем длину 
:
Найдем длину 
:
Найдем длину 
:
Найдем периметр:
Ответ: 
Заключение
Мы сделали обзор сведений о координатах, о простейших задачах и применили эти сведения для решения конкретных геометрических задач.
Список литературы
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
- Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
- Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- E-science.ru (Источник).
- E-science.ru (Источник).
- Mathematics.ru (Источник).
Домашнее задание
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 943, 945, 947.