Как найти длину параболы на отрезке - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Парабола

Длина дуги параболы — это число, характеризующее протяжённость дуги параболы в единицах измерения длины.

Содержание

1 Обозначения
2 Формула
3 Вывод формулы
4 Другие формулы

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината (меньшая) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината (большая) второй точки дуги;

y² = 2px — каноническое уравнение параболы;

L_{дуг.пар} — длина дуги параболы.

Формула[править]

${displaystyle L_{text{дуг.пар}}={frac {y_{2}{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}-y_{1}{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}{2p}}+{frac {p}{2}}ln left|{frac {y_{2}+{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}}{y_{1}+{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}}right|Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow L_{text{дуг.пар}}={frac {y_{2}{sqrt {2px_{2}+p^{2}}}-y_{1}{sqrt {2px_{1}+p^{2}}}}{2p}}+{frac {p}{2}}ln left|{frac {y_{2}+{sqrt {2px_{2}+p^{2}}}}{y_{1}+{sqrt {2px_{1}+p^{2}}}}}right|Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow L_{text{дуг.пар}}=signy_{2}{sqrt {x_{2}}}{sqrt {x_{2}+{frac {p}{2}}}}-signy_{1}{sqrt {x_{1}}}{sqrt {x_{1}+{frac {p}{2}}}}+{frac {p}{2}}ln left|{frac {signy_{2}{sqrt {x_{2}}}+{sqrt {x_{2}+{frac {p}{2}}}}}{signy_{1}{sqrt {x_{1}}}+{sqrt {x_{1}+{frac {p}{2}}}}}}right|}$

Заметим, что формула верна для точек с положительными и отрицательными ординатами, причём y₂ > y₁.

Вывод формулы[править]

${displaystyle L_{text{дуг.пар}}=int limits _{y_{1}}^{y_{2}}{sqrt {1+left[left({frac {y^{2}}{2p}}right)'right]^{2}}}dy=int limits _{y_{1}}^{y_{2}}{sqrt {1+left({frac {y}{p}}right)^{2}}}dy=int limits _{y_{1}}^{y_{2}}{sqrt {1+{frac {y^{2}}{p^{2}}}}}dy=}$

${displaystyle ={frac {1}{p}}int limits _{y_{1}}^{y_{2}}{sqrt {y^{2}+p^{2}}}dy=left.{frac {1}{2p}}left(y{sqrt {y^{2}+p^{2}}}+p^{2}ln left|y+{sqrt {y^{2}+p^{2}}}right|right)right|_{y_{1}}^{y_{2}}=}$

${displaystyle ={frac {1}{2p}}left(y_{2}{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}+p^{2}ln left|y_{2}+{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}right|-y_{1}{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}-p^{2}ln left|y_{1}+{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}right|right)}$

${displaystyle ={frac {y_{2}{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}-y_{1}{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}{2p}}+{frac {p}{2}}ln left|{frac {y_{2}+{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}}{y_{1}+{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}}right|Rightarrow }$

${displaystyle Rightarrow L_{text{дуг.пар}}={frac {y_{2}{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}-y_{1}{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}{2p}}+{frac {p}{2}}ln left|{frac {y_{2}+{sqrt {y_{2}^{2}+p^{2}}}}{y_{1}+{sqrt {y_{1}^{2}+p^{2}}}}}right|}$

Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой в прямоугольных координатах.
Для нахождения интеграла используется формула 1 интегралы функций с корнями.

Другие формулы[править]

длина дуги плоской кривой;
длина дуги окружности;
длина дуги параболы;
длина дуги эллипса;
длина дуги гиперболы;
длина дуги синусоиды;
длина дуги косинусоиды;
длина дуги циклоиды;
длина дуги кардиоиды;
длина дуги астроиды;
длина дуги эпициклоиды;
длина дуги гипоциклоиды;
длина дуги эвольвенты окружности;
длина дуги цепной линии;
длина дуги трактрисы;
длина дуги лемнискаты Бернулли.

Источник

Одним из приложений определенного интеграла является вычисление длины дуги плоской кривой. На рисунке изображен график функции
:

Для того, чтобы узнать длину дуги кривой линии изображенной на рисунке, необходимо
вычислить определенный интеграл:

В более общем случае, если у нас задана функция

в декартовых координатах и стоит задача найти длину дуги этой кривой между точками

и
,
нам необходимо вычислить интеграл:

В приведенной выше формуле, выражение

означает, что сначала нужно вычислить производную функции
,
а затем полученное выражение возвести в квадрат.

Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить длину кривой, заданной в декартовых координатах для любой, даже очень сложной функции.

Источник

Дискретизация Вычисление длины кривой

Содержание Длина отрезка Длина ломаной

Содержание

Длина отрезка
Длина ломаной
Построение графика функции на отрезке [a, b]
Вычисление длины кривой на отрезке [a, b]
Построение эллипса
Вычисление периметра эллипса

Длина отрезка

Длина отрезка X2-X1 Y2-Y1 ? Теорема

Длина отрезка

X2-X1

Y2-Y1

Теорема Пифагора!

Длина отрезка 𝐿= (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2

Длина отрезка

𝐿= (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2

Длина ломаной L1 L2 L=L1+L2 𝐿𝐿= (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 (𝑥𝑥2−𝑥𝑥1) (𝑥2−𝑥1) 2 2 (𝑥2−𝑥1) 2 +…

Длина ломаной

L=L1+L2

𝐿𝐿= (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 (𝑥𝑥2−𝑥𝑥1) (𝑥2−𝑥1) 2 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑦𝑦2−𝑦𝑦1) (𝑦2−𝑦1) 2 2 (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 + (𝑥3−𝑥2) 2 + (𝑦3−𝑦2) 2 (𝑥3−𝑥2) 2 + (𝑦3−𝑦2) 2 (𝑥3−𝑥2) 2 (𝑥𝑥3−𝑥𝑥2) (𝑥3−𝑥2) 2 2 (𝑥3−𝑥2) 2 + (𝑦3−𝑦2) 2 (𝑦𝑦3−𝑦𝑦2) (𝑦3−𝑦2) 2 2 (𝑦3−𝑦2) 2 (𝑥3−𝑥2) 2 + (𝑦3−𝑦2) 2

Длина ломаной L1 L3 L=L1+L2+L3

Длина ломаной

L=L1+L2+L3

h – шаг изменения
h = Х2-Х1 = Х3-Х2 = Х4-Х3

Построение графика функции на отрезке [a; b], вычисление длины кривой в

Построение графика функции на отрезке [a; b], вычисление длины кривой в MS Excel

Заполняем таблицу значений для х и у на отрезке [a; b].
Выделяем таблицу значений и строим точечную диаграмму.
Заполняем третий столбец таблицы для расчета длины кривой.
𝐿𝐿= (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 (𝑥𝑥2−𝑥𝑥1) (𝑥2−𝑥1) 2 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑦𝑦2−𝑦𝑦1) (𝑦2−𝑦1) 2 2 (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2
Чем меньше шаг изменения значения х (частота дискретизации), тем точнее получим результат!

4. Складываем длины отрезков на каждом участке кривой.

Построение параболы на отрезке [0; 10] с шагом 0,1

Построение параболына отрезке [0; 10] с шагом 0,1

Построение параболы Выделяем таблицу значений

Построение параболы

Выделяем таблицу значений.

Выполняем последовательность действий: Вставка – Диаграмма – Точечная.

Вычисляем длину кривой на каждом шаге дискретизации

Вычисляем длину кривойна каждом шаге дискретизации

Используем формулу:
𝐿𝐿= (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 (𝑥𝑥2−𝑥𝑥1) (𝑥2−𝑥1) 2 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑦𝑦2−𝑦𝑦1) (𝑦2−𝑦1) 2 2 (𝑦2−𝑦1) 2 (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2

Для расчета длины параболы, на заданном отрезке , складываем длину всех отрезков L

Чем меньше шаг изменения значения х (частота дискретизации), тем точнее получим результат!

Программа вычисления длины кривой на

Программа вычисления длины кривой на Pascal

begin
x:= a;
L:= 0;
while x < b do begin
y1:= f(x);
y2:= f(x+h);
L:= L + sqrt(h*h + (y2-y1)*(y2-y1));
x:= x + h
end;
writeln(‘Длина кривой ‘, L:10:3);
end.

[a, b] границы отрезка
h – шаг дискретизации

Описание переменных и констант const a=0; b=10; h=1; var n, i :integer;

Описание переменных и констант

const
a=0;
b=10;
h=1;
var
n, i :integer;
L, y1, x, y2: real;

Задание функции function f(x: real): real; begin f:=……; end;

Задание функции

function f(x: real): real;
begin
f:=……;
end;

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов: ( a и b – положительные действительные числа) –…

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:
( a и b – положительные действительные числа)

– каноническое уравнение эллипса;

2) – каноническое уравнение гиперболы;

3) – каноническое уравнение параболы;

4) – мнимый эллипс;

5) – пара пересекающихся прямых;

6) – пара мнимых пересекающихся прямых
(с единственной действительной точкой пересечения
в начале координат);

7) – пара параллельных прямых;

– пара мнимых параллельных прямых;

9) – пара совпавших прямых.

линий второго порядка

Эллипс A, B – полуоси эллипса О

Эллипс

A, B – полуоси эллипса

𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 = 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2

𝑥 2 𝑎 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥 2 𝑎 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 𝑦 2 𝑏 2 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 𝑦 2 𝑏 2 =1, a>b

Вычисление периметра эллипса

Приближенная формула Рамануджана

Построение эллипса Координаты центра x0 y0 3 2

Построение эллипса

Координаты центра
x0	y0
3	2

Длины полуосей
a (гориз.)	b(вертик.)
5	7

Число точек
20

Уравнение эллипса с центром в начале координат и с центром в точке (x0;y0).

Для построения эллипса будем использовать 20 точек с углом окружности от 0 до 2π.
Для построения эллипса рассчитаем значения х и у.
Координата х: х0+a*cos(a).
Координата y: y0+b*sin(a).

Нужно ввести соответствующие формулы в ячейки таблицы, установив, где требуется абсолютные ссылки. Затем построим график эллипса, выбирая точечную диаграмму с гладкими кривыми

(𝑥− 𝑥 0 ) 2 𝑎 2 (𝑥− 𝑥 0 ) 2 (𝑥𝑥− 𝑥 0 𝑥𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 ) (𝑥− 𝑥 0 ) 2 2 (𝑥− 𝑥 0 ) 2 (𝑥− 𝑥 0 ) 2 𝑎 2 𝑎 2 𝑎𝑎 𝑎 2 2 𝑎 2 (𝑥− 𝑥 0 ) 2 𝑎 2 + (𝑦− 𝑦 0 ) 2 𝑏 2 (𝑦− 𝑦 0 ) 2 (𝑦𝑦− 𝑦 0 𝑦𝑦 𝑦 0 0 𝑦 0 ) (𝑦− 𝑦 0 ) 2 2 (𝑦− 𝑦 0 ) 2 (𝑦− 𝑦 0 ) 2 𝑏 2 𝑏 2 𝑏𝑏 𝑏 2 2 𝑏 2 (𝑦− 𝑦 0 ) 2 𝑏 2 =1, a>b

Построить эллипс Даны координаты центра эллипса (3;2) и значения большой и малой полуосей a=5 см и b=7 см

Построить эллипс

Даны координаты центра эллипса (3;2) и значения большой и малой полуосей a=5 см и b=7 см. Построить эллипс.
Вспомним уравнение эллипса с центром в начале координат и с центром в точке (x0;y0).
х^2/а^2 + у^2/b^2 =1
(х-х0)^2/а^2 +( у-у0)^2/b^2 =1
Для построения эллипса будем использовать 20 точек с углом окружности от 0 до 2π.
Также зададим координаты центра эллипса (3;2) и значения большой и малой.

Для построения эллипса рассчитаем значения х и у.
Координата х считается по формуле: х0+a*cos(a).
Координата y рассчитывается по формуле: y0+b*sin(a).

Нужно ввести соответствующие формулы в ячейки таблицы, установив, где требуется абсолютные ссылки.

Затем построим график эллипса, выбирая точечную диаграмму с гладкими кривыми.

Угол считаем по формуле:

Презентация по информатике по теме «Дискретизация. Вычисление длины кривой»

Построение эллипса Выделяем только 2 столбца значений: х и у

Построение эллипса

Выделяем только 2 столбца значений: х и у.
Поскольку эллипс – фигура, которая задается на координатной плоскости уравнением, то для построения диаграммы используем тип «Точечная»

Построение эллипса

Построение эллипса Диаграмма (построенный эллипс) может отличаться от того, что изображено на слайде

Построение эллипса

Диаграмма (построенный эллипс) может отличаться от того, что изображено на слайде. Это зависит от масштаба координатных осей.

Источники Поляков К.Ю. Информатика

Источники

Поляков К.Ю. Информатика. 10 класс. Ч. 2: учебник / К. Ю. Поляков, Е. А. Еремин. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019

Источник

Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. «Практикум из математического анализа» (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича).

Для запоминания основных моментов схема интегрирования и вычисление дуги кривой из примера в пример будет повторяться. По возможности сами решения будут проиллюстрированы графиками кривых.

Найти длины дуг кривых в прямоугольной системе координат

Пример 2.117 (2431) Вычислить длину дуги кривой y=x^3/2 (полукубическая парабола Нейля) xє[0;4] .
Вычисление: Найдем производную заданной функции по переменной x:

График полукубической параболы Нейля имеет вид

Выписываем пределы интегрирования:
a=0, b=4 (известны из начального условия).
По формуле находим длину дуги на заданном отрезке:

Во время интегрирования для приведения подынтегральной функции к табличному виду выполнили замену переменных.
При этом нужно перечислять пределы интегрирования.
В результате пришлось интегрировать корневую функцию, а длина дуги после вычислений приблизительно равна l=9,07.
Помните, что все длины измеряются в единицах (од.) !!!

Пример 2.118 (2432) Найти длину дуги кривой y²=2px (парабола) xє[0;x₀].
Вычисление: Поскольку отрезок дуги параболы задан в пределах [0;x₀], то заданная функция будет иметь вид положительной ветки корневой функции
Вычислим производную функции по переменной x:

Запишем пределы интегрирования:
a=0, b=x₀ .

График параболы приведен ниже

Вычислим длину дуги через определенный интеграл:
для сведения к простым формулам интегрирования применяем замену переменных, при этом не забываем перечислить изменение пределов интегрирования:

В конце вычислений применено интегрирование частями.

Пример 2.119 (2434) Найти длину дуги кривой y=e^x, [0;x₀].
Вычисление: Для интегрирования находим производную (по переменной x) экспоненты :
y’=(e^x)’=e^x.
Поскольку показатель не содержит никаких коэффициентов при переменной, то производная равна самой экспоненте.
Из начального условия выписываем пределы интегрирования:
a=0, b=x₀.
График экспоненты имеет вид

Чтобы вычислить длину дуги экспоненты переходим к новой переменной.
Это ведет к изменению и пределов интегрирования и самого дифференциала:

Напоследок расчетов приходим к формуле дуги, которая содержит корневую и логарифмическую зависимости от бегущей координаты.

Пример 2.120 ( 2435) Найти длину дуги кривой x=1/4y²-ln(y)/2, yє[1;e].
Вычисление: Вычислим производную (по переменной y ) заданной функции:

Приведенная формула работает и для обратных функций x=x(y), особенно если функция изменяется как показано на графике

Пределы интегрирования: a=1, b=e .
Находим длину дуги кривой на заданном отрезке:

При возведении к квадрату производной получим простую для интегрирования функцию, которая в результате дает l=(e²+1)/4.

Пример 2.121 (2436) Вычислить длину дуги кривой

Вычисление: Найдем производную по переменной x функции:

Пределы интегрирования для этой дуги равны [0;b].
График исследуемого логарифма имеет вид

Интегрированием находим длину дуги кривой:

Со всеми превращениями подинтегральной функции попробуйте разобраться самостоятельно.

Пример 2.122 (2437) Вычислить длину дуги кривой y=ln(cos(x)), 0<x<a<Pi/2.
Вычисление: Найдем производную (по переменной x) заданной функции :

Запишем пределы интегрирования: (известны за условием).

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Если воспользоваться тригонометрическими формулами то перейдем к тангенсу, а сама длина дуги равна
l=ln(tg (Pi/4+a/2)).

Пример 2.123 Найти длину дуги кривой y=ln(x),
Вычисление: Вычисляем производную от логарифма:
y’=1/x.
Пределы интегрирования переписываем из условия:

График логарифма имеет вид

Интегрирование по длине дуги достаточно непростое, требует добрых умений.
Расписав подынтегральную функцию, и применив замену переменных к одному из интегралов, приходим к логарифмам, которые при указанных пределах интегрирования несколько упрощаются.

Невзирая на трехэтажные выражения конечное значение длины дуги выраженно простой зависимостью.

Пример 2.124 Найти длину дуги кривой y=ln(1-x₂), x[0;0,5].
Вычисление: Найдем производную (по переменной x) заданной функции :

Из начального условия имеем такие пределы интегрирования: [0;0,5].
График исследуемого логарифма имеет вид

Вычисляем длину дуги логарифма:

Если округлить конечное значение, то будем иметь l=0,5986.

Пример 2.125 (2439) Вычислить длину дуги кривой
Вычисление: Поскольку график заданной функции симметричен относительно оси Ox, то вычислим длину дуги для положительной части функции

и результат умножим на 2.
Найдем производную функции и саму подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования известны:

График веток в декартовой плоскости имеет вид.

При нахождении длины дуги дважды выполняем замену переменных.
Как и в предыдущих примерах ответ получаем через логарифмы

Кому в учебе придется вычислять подобное задание, просьба разобраться с превращениями.
А еще лучше — придумать и решить подобный пример.

Пример 2.126 (2438) Найти длину дуги кривой (трактриса).
Вычисление: Запишем производную по переменной y трактрисы (см. 2408):

Пределы интегрирования:

График трактрисы имеет вид

По формуле дуги кривой интегрируем и находим длину трактрисы:

Конечная формула достаточно простая для расчетов.
От края следует несколько отойти, в ином случае длина трактрисы направляется к безконечности.

Пример 2433 Найти длину дуги кривой (цепная линия) от точки A(0;a) к точке B(b;h) .
Вычисление: Цепная линия — это кривая, форму которой принимает цепь (нить) под действием силы притяжения, которая подвешена за оба конца.
Поскольку и , то

Найдем производную трактрисы:

Пределы интегрирования по аргументу следующие:

Рисунок цепной линии приведен ниже

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2440 Найти длину дуги астроиды
Вычисление: Для астроиды оси прямоугольной системы координат делят линию на 4 части (смотри 2429), поэтому длину будем искать для чверти и результат умножим на 4.
Выражаем функцию для чверти астроиды

Найдем производную от полученной зависимости и подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования: [0;a] (для чверти астроиды).
Вычислить длину дуги астроиды на практике достаточно легко:

Дело в том, что единицы сокращаются и получаем простой табличный интеграл.
В результате длина астроиды равна l=6a.

Источник

2.1. Определение спрямляемой кривой и длины кривой

Пусть
на плоскости задана кривая
.
Разобьём эту кривую точкаминачастей и впишем в кривую ломаную,
соединяющую эти точки. Длинаэтой ломанной равна сумме длин
прямолинейных звеньев, соединяющих
точки разбиения:.
Устремим теперь количествоточек разбиения к бесконечности так,
чтобы максимальная длина звенастремилась к нулю. Если при этом
существует конечный предел последовательности
длин ломаных,
не зависящий от способа разбиения
кривой, то кривая называется спрямляемой,
а значение этого предела называется
длиной кривой.

2.2. Длина кривой в декартовых координатах

Пусть
теперь кривая
_–график
функции
,
имеющей непрерывную производную,.
Тогда длина кривой, заданной декартовым
уравнением,,
определяется формулой.

Типовой
пример

Найти
длину отрезка параболы
от точкидо точки.

►Здесь
,
поэтому

◄.

2.3.
Кривая задана параметрически
.
Заменим впеременнуюна переменную.
Так как,
то.
Итак, длина кривой, заданной параметрически,
определяется формулой.

Типовой
пример

Вычислить
длину дуги кривой, заданной параметрическими
уравнениями
.

►Используем
формулу
.
Вычислим,.

Тогда
.◄

2.4. Кривая задана в полярных координатах

Случай,
когда кривая задаётся уравнением
,,
легко сводится к предыдущему. Так как,
то, рассматривая полярный уголкак параметр, получим,

поэтому

Типовой
пример

Найти
длину кардиоиды
.

►Имеем
,
поэтому.
Ответ явно бессмысленен. Где ошибка?
Ошибка в том, что упущен знак модуля при
извлечении корня из.
Правильное решение:

Однако,
как и в предыдущих случаях, проще
воспользоваться симметрией фигуры,
найти длину верхней ветви и удвоить её:
◄

3. Объёмы тел вращения

3.1.
Вычисление объёма тела по площадям
поперечных сечений
Пусть тело
расположено в пространстве между
плоскостямии,
и дляизвестна площадь его поперечного сечения.
Объём этого тела.

3.2. Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси

Если
объём
получается в результате вращения кривой,,
вокруг оси,
то, очевидно,,
поэтому.

Типовой
пример

Вычислить
объем тела, полученного вращением кривых
ивокруг оси.

►Выполним
рисунок

Находим
точку пересечения кривых:
;
;

.
Объем искомого тела получится вычитанием
из объема тела, полученного вращением
кривой
,
объема тела, полученного вращением
кривой:

ед.
куб. 
ед. куб. ◄

3.3.
Объём тела, получающийся при вращении
сектора, ограниченного кривой
и двумя полярными радиусамии,
вокруг полярной осинаходится
по формуле
.

Типовой
пример

Найти
объём тора, полученного вращением
окружности
вокруг полярной оси.

►

.◄

4. Площадь поверхности вращения

Площадь
поверхности вращения, образующейся при
вращении вокруг оси
дифференцируемой кривой, определяется
по формулам (в зависимости от способа
задания кривой)

(—
длина окружности кольца,—
его ширина).

Типовой
пример

Найти
площадь тора, образующегося при вращении
окружности
вокруг оси.

►Имеем
.◄

§4. Определенный интеграл в экономике

1. Экономический смысл определенного интеграла

Пусть
функция
описывает изменение производительности
некоторого производства с течением
времени. Найдем объем продукции,
произведенной за промежуток времени.
Если производительность не изменяется
с течением времени (– постоянная функция), то объем продукции,
произведенной за некоторый промежуток
времени,
задается формулой.
В общем случае справедливо равенство,
где,
которое оказывается тем более точным,
чем меньше.
Разобьем отрезокна промежутки времени точками:.
Для величины объема продукции,
произведенной за промежуток времени,
имеем,
где,,.

Тогда

При стремлении
к нулю каждое из использованных
приближенных равенств становится все
более точным, поэтому
.

Используя
определение определенного интеграла,
окончательно получаем:
,
т.е. если
– производительность труда в момент,
то

есть объем выпускаемой продукции за
промежуток
.

Величина
и объем продукции, произведенной за
промежуток
,
численно равны площади под графиком
функции,
описывающей изменение производительности
труда с течением времени, на промежутке.

Пример

Известно,
что численность населения определяется
формулой
,
где
—
число жителей в начальный момент
времени. Известно также, что потребление
населением в единицу времени некоторого
продукта пропорционально числу жителей.
Пусть коэффициент пропорциональности
равен
,
тогда функция потреблениябудет иметь вид:.
Найти объем продукта, необходимого для
потребления на промежуток времени.

►В
малый промежуток времени
количество жителей будем считать
постоянным, следовательно, за этот
элементарный промежуток времени
потребляется количество продукта.
Интегрируя это равенство, получим
количествопродукта, необходимое для населения на
весь промежуток времени отдо
.◄

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник