Как найти длину перпендикуляра в ромбе - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти стороны ромба

Как найти длину стороны ромба, зная его остальные характеристики такие, например, как длина диагоналей, величина острого угла или площадь? Этим вопросом иногда задаются не только школьники.

Вам понадобится

Калькулятор

Инструкция

Допустим, нам известны длины диагоналей ромба. Как найти длину стороны ромба?

Так как диагонали ромба (AC, BD) пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения (O) пополам, то сторона ромба (AB) будет диагональю прямоугольного треугольника (ABO) с катетами, образованными половинками диагоналей ромба (AO, BO). Тогда по теореме Пифагора получается: квадрат длины стороны ромба равняется сумме квадратов половин длин его диагоналей.

|AB|^2=|AO|^2+|BO|^2=(|AC|/2)^2+(|BD|/2)^2.

Соответственно, длина стороны ромба будет равняться корню квадратному из суммы квадратов половинок его диагоналей.

|AB|=√((|AC|/2)^2+(|BD|/2)^2).

Пусть нам известны площадь ромба (ABCD) и его высота (BH), т.е. длина перпендикуляра, опущенного из вершины (B) на сторону (AD) (или ее продолжение). Как определить сторону ромба (AB) в этом случае?

Как видно из рисунка, ромб состоит из двух треугольников (ABD и DBC) площадь каждого из которых равняется половине произведения высоты на основание. Следовательно площадь ромба будет равна произведению высоты на длину стороны. Отсюда получается простая формула для вычисления длины стороны ромбы: нужно его площадь разделить на длину высоты.

|AB|=S/|BH|

Если известна величина угла ромба и длина одной из диагоналей, то нахождение стороны ромба производится аналогично первому случаю, только вместо теоремы Пифагора необходимо использовать тригонометрические соотношения. При этом следует учесть, что диагонали ромба являются одновременно биссектрисами углов, то есть делят их пополам.

Пусть, например, нам известна величина угла BAD и длина выходящей из него диагонали АС. Исходя из тригонометрических зависимостей в прямоугольном треугольнике ABO, получаем, что длина стороны ромба будет равна частному от половины исходящей диагонали на синус половины угла.

В виде формулы эта зависимость будет выглядеть следующим образом:

|AB|= (|AC|/2)/sin(α/2), где α — величина угла BAD.

Аналогично вычисляется длина стороны ромба в случае, когда заданы другие параметры — длина противоположной углу диагонали, соотношение диагоналей и т.д. Для определения стороны ромба достаточно лишь выбрать подходящую тригонометрическую функцию — косинус, тангенс и т.п.

Источник

Дан ромб диагонали которого 8 и 6 см.Из точки пересечения диагоналей проведен перпендикуляр к плоскости этого ромба длиной 10 см.Найти расстояние от верхнего конца перпендикуляра до вершин этого ромба.

Светило науки — 202 ответа — 971 помощь

Дано: АВСD — ромб, АВ=ВС=СD=АD. ВD=6 см; АС=8 см; ОМ=10 см.
ОМ ⊥(АВСD).
Найти. АМ; ВМ.
Решение.
АО=ОС=4 см; ВО=ОD=3 см (диагонали точкой пересечения делятся пополам).
ΔАОМ. АМ²=АО²+ОМ²=16+100=116. АМ=√116=2√29 см.
ΔВОМ. ВМ²=ОВ²+ОМ²=9+100=109. ВМ=√109 см.
Ответ: 2√29 см; √109 см.

Источник

сделаем построение по условию
искомое расстояние ОМ
сторона ромба DC = 32,6 см
диагонали ромба пересекаются под углом 90 град
ODC — прямоугольный
< ОСD = 1/2 <BCD = 1/2 48 = 24 град
ОС = DC*cos24 = 32,6*cos24
MC перпендикуляр к плоскости ромба
АС лежит плоскости ромба, значит МС перпендикулярна ОС
ОС — проекция наклонной МО на плоскость ромба
три точки ОСМ образуют плоскость ОСМ
треугольник ОСМ прямоугольный
по формуле Пифагора
OM^2 = OC^2 +MC^2
OM = √ ОС^2 +MC^2 = √ ( (32,6*cos24)^2 + 56.3^2 ) = 63,7 см

ответ 63,7 см

Источник

Как найти расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон? Каков его геометрический смысл?

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой. Точка пересечения диагоналей ромба является также центром вписанной в него окружности. Расстояние от центра до любой точки окружности равно её радиусу. Следовательно, расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из её сторон равно радиусу вписанной в ромб окружности.

Радиус вписанной в ромб окружности равен половине высоты ромба. Также его можно найти по формуле

$[r = frac{S}{p},]$

где S — площадь, p — полупериметр ромба.

Задача 1.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из её сторон равно r, а одна из диагоналей равна d. Найти углы ромба.

Решение:

Пусть в ромбе ABCD AC∩BD=O,

AC=d, OK=r.

По свойствам ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и делят углы ромба пополам.

В прямоугольном треугольнике AOK

$[AO = frac{1}{2}AC, Rightarrow AO = frac{d}{2},]$

$[angle KAO = frac{1}{2}angle BAD.]$

По определению синуса,

$[sin angle KAO = frac{{OK}}{{AO}},[sin angle KAO = frac{{OK}}{{AO}}, Rightarrow sin angle KAO = frac{r}{{frac{d}{2}}} = frac{{2r}}{d},]$

$[angle KAO = arcsin (frac{{2r}}{d}).]$

∠ABC+∠BAD=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). Следовательно,

$[angle ABC = {180^o} - angle KAO = {180^o} - arcsin (frac{{2r}}{d}).]$

В частности, если расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из сторон в 4 раза меньше длины диагонали (AC=4∙OK, то есть d=4r), то

$[sin angle KAO = frac{{2r}}{{4r}} = frac{1}{2}.]$

Поскольку угол между диагональю и стороной ромба не может быть тупым (иначе угол ромба должен быть больше 180º), то ∠KAO=30º,

∠BAD=2∙30º=60º,

∠ABC=180º-∠BAD=180º-60º=120º.

Ответ: 60º, 120º.

Задача 2

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 5, а одна из диагоналей ромба равна 20. Найти углы ромба.

Дано: ABCD — ромб, AC∩BD=O,

AC=20, OF=5.

Найти: углы ромба

Решение:

Рассмотрим треугольник AOF, ∠AFO=90º, OF=5 (по условию).

$[AO = frac{1}{2}AC]$

(по свойству ромба),

$[AO = frac{1}{2}cdot20 = 10, Rightarrow FO = frac{1}{2} cdot AO.]$

Так как катет FO равен половине гипотенузы AO, то он лежит напротив угла в 30º: ∠OAF=30º.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то ∠BAD=2∙∠OAF=60º.

∠ABC+∠BAD=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). Следовательно, ∠ABC=180º-∠BAD=120º.

Ответ: 60º, 120º.

Источник

Из вершины тупого угла ромба проведен перпендикуляр к стороне.

Этот перпендикуляр пересекает диагональ ромба под углом 60 градусов.

Найдите длину этой диагонали, если длина перпендикуляра 6см.

Вы перешли к вопросу Из вершины тупого угла ромба проведен перпендикуляр к стороне?. Он относится к категории Геометрия,
для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот
вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического
умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории
Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном
объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части
сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете
ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Источник