Как найти длину растяжения пружины

Сила упругости широко используется в технике. Эта сила возникает в упругих телах при их деформации. Деформация – это изменение формы тела, под действием приложенных сил.

Виды деформации

Деформация – это изменение формы, или размеров тела.

Есть несколько видов деформации:

• сдвиг;
• кручение;
• изгиб;
• сжатие/растяжение;

Деформация сдвига возникает, когда одни части тела сдвигаются относительно других его частей. Если подействовать на верхнюю часть картонного ящика, наполненного различными предметами, горизонтальной силой, то вызовем сдвиг верхней части ящика относительно его нижней части.

Сжатие или растяжение легко представить на примере прямоугольного куска тонкой резины. Такая деформация используется, к примеру, в резинках для одежды.

Примеры изгиба и кручения показаны на рисунке 1. Пластиковая линейка, деформированная изгибом, представлена на рис. 1а, а на рисунке 1б – эта же линейка, деформируемая кручением.

В деформируемом теле возникают силы, имеющие электромагнитную природу и препятствующие деформации.

Растяжение пружины

Рассмотрим подробнее деформацию растяжения на примере пружины.

Давайте прикрепим пружину к некоторой поверхности (рис. 2). На рисунке слева указана начальная длина (L_{0}) пружины.

Подвесим теперь к пружине груз. Пружина будет иметь длину (L), указанную на рисунке справа.

Сравним длину нагруженной пружины с длиной свободно висящей пружины.

[ large L_{0} + Delta L = L ]

Найдем разницу (разность) между длинами свободно висящей пружины и пружины с грузом. Вычтем для этого из обеих частей этого уравнения величину (L_{0}).

[ large boxed{ Delta L = L — L_{0} }]

( L_{0} left(text{м} right) )  – начальная длина пружины;

( L left(text{м} right) )  – конечная длина растянутой пружины;

( Delta L left(text{м} right) )  – кусочек длины, на который растянули пружину;

Величину ( Delta L ) называют удлинением пружины.

Иногда рассчитывают относительное удлинение. Это относительное удлинение часто выражают десятичной дробью. Или дробью, в знаменателе которой находится число 100 — такую дробь называют процентом.

Примечание: Отношение – это дробь. Относительное – значит, дробное.

[ large boxed{ frac{Delta L }{ L_{0}} = frac{ L — L_{0}}{L_{0} } = varepsilon } ]

( varepsilon ) – это отношение (доля) растяжения пружины к ее начальной длине. Измеряют в процентах и называют относительным удлинением.

Расчет силы упругости

Если растягивать пружину вручную, мы можем заметить: чем больше мы растягиваем пружину, тем сильнее она сопротивляется.

Значит, с удлинением пружины связана сила, которая сопротивляется этому удлинению.

Конечно, если пружина окажется достаточно упругой, чтобы сопротивляться. Например, разноцветная пружина-игрушка (рис. 3), изготовленная из пластмассы, сопротивляться растяжению, увеличивающему ее длину в два раза, практически не будет.

Закон Гука

Английский физик Роберт Гук, живший во второй половине 17-го века, установил, что сила сопротивления пружины и ее удлинение связаны прямой пропорциональностью. Силу, с которой пружина сопротивляется деформации, он назвал ( F_{text{упр}} ) силой упругости.

[ large boxed{ F_{text{упр}} = k cdot Delta L }]

Эту формулу назвали законом упругости Гука.

( F_{text{упр}} left( H right) ) – сила упругости;

( Delta L left(text{м} right) )  – удлинение пружины;

( displaystyle k left(frac{H}{text{м}} right) )  – коэффициент жесткости (упругости).

Какие деформации называют малыми

Закон Гука применяют для малых удлинений (деформаций).

Если убрать деформирующую силу и тело вернется к первоначальной форме (размерам), то деформации называют малыми.

Если же тело к первоначальной форме не вернется – малыми деформации назвать не получится.

Как рассчитать коэффициент жесткости

Груз, прикрепленный к концу пружины, растягивает ее (рис. 4). Измерим удлинение пружины и составим силовое уравнение для проекции сил на вертикальную ось. Вес груза направлен против оси, а сила упругости, противодействующая ему – по оси.

Так как силы взаимно компенсируются, в правой части уравнения находится ноль.

[ large F_{text{упр}} — m cdot g = 0 ]

Подставим в это уравнение выражение для силы упругости

[ large k cdot Delta L — m cdot g = 0 ]

Прибавим к обеим частям вес груза и разделим на измеренное изменение длины (Delta L ) пружины. Получим выражение для коэффициента жесткости:

[ large boxed{ k = frac{ m cdot g }{Delta L} }]

(g) – ускорение свободного падения, оно связано с силой тяжести.

Соединяем две одинаковые пружины

В задачниках по физике и пособиях для подготовки к ЕГЭ встречаются задачи, в которых одинаковые пружины соединяют последовательно, либо параллельно.

Параллельное соединение пружин

На рисунке 5а представлена свободно висящая пружина. Нагрузим ее (рис. 5б), она растянется на величину (Delta L). Соединим две такие пружины параллельно и подвесим груз в середине перекладины (рис. 5в). Из рисунка видно, что конструкция из двух параллельных пружин под действием груза растянется меньше, нежели единственная такая пружина.

Сравним растяжение двух одинаковых пружин, соединенных параллельно, с растяжением одной пружины. К пружинам подвешиваем один груз весом (mg).

Одна пружина:

[ large k_{1} cdot Delta L = m cdot g ]

Две параллельные пружины:

[ large k_{text{параллел}} cdot Delta L cdot frac{1}{2}= m cdot g ]

Так как правые части уравнений совпадают, левые части тоже будут равны:

[ large k_{text{параллел}} cdot Delta L cdot frac{1}{2}= k_{1} cdot Delta L ]

Обе части уравнения содержат величину (Delta L ). Разделим обе части уравнения на нее:

[ large k_{text{параллел}} cdot frac{1}{2}= k_{1} ]

Умножим обе части полученного уравнения на число 2:

[ large boxed{ k_{text{параллел}} = 2k_{1} } ]

Коэффициент жесткости (k_{text{параллел}}) двух пружин, соединенных параллельно, увеличился вдвое, в сравнении с одной такой пружиной

Последовательное соединение пружин

Рисунок 6а иллюстрирует свободно висящую пружину. Нагруженная пружина (рис. 6б), растянута на длину (Delta L). Теперь возьмем две такие пружины и соединим их последовательно. Подвесим груз к этим (рис. 6в) пружинам.

Практика показывает, что конструкция из двух последовательно соединенных пружин под действием груза растянется больше единственной пружины.

На каждую пружину в цепочке действует вес груза. Под действием веса пружина растягивается и передает далее по цепочке этот вес без изменений. Он растягивает следующую пружину. А та, в свою очередь, растягивается на такую же величину (Delta L).

Примечание: Под действием силы пружина растягивается и передает эту растягивающую силу далее по цепочке без изменений

Сравним растяжение двух одинаковых последовательно соединенных пружин и растяжение единственной пружины. В обоих случаях к пружинам подвешиваем одинаковый груз весом (mg).

Одна пружина:

[ large k_{1} cdot Delta L = m cdot g ]

Две последовательные пружины:

[ large k_{text{послед}} cdot Delta L cdot 2 = m cdot g ]

Так как правые части уравнений совпадают, левые части тоже будут равны:

[ large k_{text{послед}} cdot Delta L cdot 2 = k_{1} cdot Delta L ]

Обе части уравнения содержат величину (Delta L ). Разделим обе части уравнения на нее:

[ large k_{text{послед}} cdot 2 = k_{1} ]

Разделим обе части полученного уравнения на число 2:

[ large boxed{ k_{text{послед}} = frac{k_{1}}{2} } ]

Коэффициент жесткости (k_{text{послед}}) двух пружин, соединенных последовательно, уменьшится вдвое, в сравнении с одной такой пружиной

Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины

Пружина сжатая (левая часть рис. 7), или растянутая (правая часть рис. 7) на длину (Delta L ) обладает потенциальной возможностью вернуться в первоначальное состояние и при этом совершить работу,  например, по перемещению груза. В таких случаях физики говорят, что пружина обладает потенциальной энергией.

Эта энергия зависит от коэффициента жесткости пружины и от ее удлинения (или укорочения при сжатии).

Чем больше жесткость (упругость) пружины, тем больше ее потенциальная энергия. Увеличив удлинение пружины получим повышение ее потенциальной энергии по квадратичному закону:

[ large boxed{ E_{p} = frac{k}{2} cdot  left( Delta L right)^{2} }]

( E_{p} left( text{Дж} right)) – потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины;

( Delta L left(text{м} right) )  – удлинение пружины;

( displaystyle k left(frac{H}{text{м}} right) )  – коэффициент жесткости (упругости) пружины.

Выводы

1. Упругие тела – такие, которые сопротивляются деформации;
2. Во время деформации в упругих телах возникает сила, она препятствует деформации, ее называют силой упругости;
3. Деформация – изменение формы, или размеров тела;
4. Есть несколько видов деформации: изгиб, кручение, сдвиг, растяжение/сжатие;
5. Удлинение пружины – это разность ее конечной и начальной длин;
6. Сжатая или растянутая пружина обладает потенциальной энергией (вообще, любое упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией);
7. Система, состоящая из нескольких одинаковых пружин, будет иметь коэффициент жесткости, отличный от жесткости единственной пружины;
8. Если пружины соединяют параллельно – коэффициент жесткости системы увеличивается;
9. А если соединить пружины последовательно – коэффициент жесткости системы уменьшится.

Основные
понятия

Пружина
растяжения — это спирально-цилиндрическая
пружина, витки которой прилегают друг
к другу. Пружина подвергается действию
противоположно направленных усилий,
приложенных вдоль ее оси.

Размеры

d	диаметр проволоки [мм, д]
D	средний диаметр пружины [мм, д]
D1	наружный диаметр пружины [мм, д]
D2	внутренний диаметр пружины [мм, д]
H	рабочая деформация [мм, д]
t	шаг активных витков в ненагруженном состоянии [мм, д]
o	высота ушка [мм, д]
sx	деформация пружины [мм, д]
Lx	длина пружины [мм, д]
Fx	рабочая сила, действующая на пружину [Н, фунт]
W8	энергия деформации [Дж, фут фунт]
x	индекс, обозначающий состояние пружины

Навивка

1. Вправо
   (стандарт)

2. Влево
   (должна отображаться соответствующая
   надпись)

Состояния

1. Свободное:
   пружина не нагружена (индекс 0)

2. Предварительная
   нагрузка: пружина с минимальной рабочей
   нагрузкой (индекс 1)

3. Полная
   нагрузка: пружина с максимальной рабочей
   нагрузкой (индекс

4. Предел:
   пружина вдавлена до касания витков
   (индекс 9).

Зацепы
пружин растяжения

Высота
зацепа пружины растяжения

Где:

L0	длина пружины в свободном состоянии [мм]
LZ	длина части пружины с витками [мм]

Часто
используемые зацепы пружин растяжения

Тип зацепа и информация о размерах	Изображение
Половина витка, o = 0,55…0,8 D2
Обычно d ≤ 6,3 мм, D >= 3,15 мм, i >= 9
Полный виток, o = 0,8…1,1 D2
Используется без ограничений
Полный виток сбоку, o  D2
Когда нагрузка не обязательно должна прикладываться по оси
Полный виток внутри, o = 1,05…1,2 D2
Обычно d  ≥ 10 мм, i >= 7
Поднятый зацеп, o = 1,2 D2 … 30 d
Обычно для d = от 0,5мм до 4 мм, o ≤ 100 мм
Два полных витка, o D
Используется без ограничений
Два полных витка сбоку, o  D2
Когда нагрузка не обязательно должна прикладываться по оси

Расчет
пружин в метрических единицах

Общие
формулы расчета

Коэффициент
использования материала

Наружный
диаметр пружины

D₁ =
D + d [мм]

Где:

	D	средний диаметр пружины [мм]
	d	диаметр проволоки [мм]

Внутренний
диаметр пружины

D₂ =
D — d [мм]

Где:

	D	средний диаметр пружины [мм]
	d	диаметр проволоки [мм]

Рабочая
деформация

H
= L₈1_=
s8₁[мм]

Где:

	L8	длина полностью нагруженной пружины [мм]
	L1	длина предварительно нагруженной пружины [мм]
	s8	деформация полностью нагруженной пружины [мм]
	s1	деформация предварительно нагруженной пружины [мм]

Высота
зацепа пружины

Где:

	L0	длина пружины в свободном состоянии [мм]
	LZ	длина части пружины с витками [мм]

Индекс
пружины

c
= D/d [-]

Где:

	D	средний диаметр пружины [мм]
	d	диаметр проволоки [мм]

Поправочный
коэффициент Валя

Где:

	c	индекс пружины [-]
	LZ	длина части пружины с витками [мм]

Начальное
растяжение

Где:

	d	диаметр проволоки [мм]
	0	напряжение в свободном состоянии [Мпа]
	D	средний диаметр пружины [мм]
	Kw	поправочный коэффициент Валя [-]

Общая
сила, действующая в пружине

Где:

	d	диаметр проволоки [мм]
	G	напряжение при кручении – это усилие на единицу площади материала пружины при изгибе [фн/кв. материала пружины в общем случае [МПа]
	D	средний диаметр пружины [мм]
	Kw	поправочный коэффициент Валя [-]
	G	модуль упругости материала пружины [МПа]

Жесткость
пружины

Где:

	d	диаметр проволоки [мм]
	G	модуль упругости материала пружины [МПа]
	D	средний диаметр пружины [мм]
	n	количество активных витков [-]
	F8	рабочее усилие в полностью нагруженной пружине [МПа]
	F1	рабочее усилие в минимально нагруженной пружине [МПа]
	H	рабочая деформация [мм]

Расчет
конструкции пружины

При
проектировании пружины подбирается
диаметр проволоки, количество витков
и длина свободной пружины L₀ для
заданной нагрузки, материала и сборочных
размеров.

Если
рассчитанная пружина не соответствует
ни одному значению диаметра проволоки
для данного напряжения ₀ согласно
формуле, расчет пружины повторяется с
использованием скорректированного
значения напряжения в свободном состоянии
из рекомендуемого диапазона.

Пружине
без начального растяжения соответствует
средний рекомендуемый шаг витков t =
0,35 D [мм].

Если
рассчитанная пружина не соответствует
ни одному значению диаметра проволоки
для выбранного шага, расчет пружины
повторяется с использованием
скорректированного значения шага из
рекомендуемого диапазона 0,3 D ≤ t ≤ 0,4
D [мм].

Конструкция
пружины определяется с учетом условия
прочности ₈≤ u_s_A и
рекомендуемых диапазонов некоторых
геометрических параметров пружины:
L₀≤ D
и L₀≤ 31,5
д и 4 ≤ D/d ≤16 и n  2.

Задание
нагрузки, материала и сборочных размеров
пружины

Вначале
выполняется проверка входных величин
для расчета.

Затем
вычисляется длина пружины в свободном
состоянии.

После
расчета выбирается диаметр проволоки,
количество витков и диаметры пружины
– так, чтобы высота зацепа соответствовала
выбранному типу зацепа. Кроме того,
должны выполняться упомянутые выше
прочностные и геометрические условия.
Конструкция пружины должна удовлетворять
по диаметрам всем заданным начальным
условиям. При отсутствии таких
дополнительных условий предельный
диаметр пружины устанавливается по
геометрическим условиям для
минимально/максимально допустимого
диаметра проволоки.

Отбираются
все диаметры проволоки (от меньшего к
большему), которые проходят по прочностным
и геометрическим условиям. Проверяются
высота зацепа и количество витков. Если
все условия выполнены, расчет конструкции
завершается, и текущие значения параметров
принимаются в качестве его результатов,
независимо от того, как прошел бы расчет
при других подходящих диаметрах
проволоки. Таким образом, полученная
пружина имеет минимально возможный
диаметр проволоки и минимально возможное
количество витков.

Вычисленное
значение высоты зацепа должно находиться
в пределах d ≤ o ≤ 30 d. Комбинация
диаметра проволоки, количества витков
и диаметра пружины должна давать в итоге
такую высоту зацепа, которая удовлетворяет
его типу. Вначале в качестве типа зацепа
берется полный виток, затем, если он не
годится–полный виток внутри и т.д.

Задание
нагрузки, материала и диаметра пружины

Вначале
выполняется проверка входных величин
для расчета.

После
проверки выбирается диаметр проволоки,
количество витков, длина пружины в
свободном состоянии и сборочные размеры
пружины – так, чтобы высота зацепа
соответствовала выбранному типу зацепа.
Кроме того, должны выполняться прочностные
и геометрические условия. Если сборочный
размер L₁ или
L₈ взят
из спецификации или значение рабочей
деформации пружины ограничено, конструкция
пружины должна соответствовать этому
условию. В остальных случаях предельные
значения сборочных размеров пружины и
ее длины в свободном состоянии определяются
геометрическими условиями для заданного
диаметра пружины и минимального/максимального
допустимого диаметра проволоки.

Формула
для проектирования пружины по заданному
диаметру проволоки.

где
значение ₈ =
0,85 _A используется
в качестве величины напряжения материала
пружины при кручении в полностью
нагруженном состоянии.

Если
для данного диаметра проволоки не
удается подобрать подходящую комбинацию
размеров пружины, расчетная процедура
оценивает другие диаметры проволоки.
Они проверяются, начиная от меньшего к
большему, до тех пор пока не будет
достигнуто такое количество витков,
при котором высота зацепа удовлетворяет
всем условиям. Расчет конструкции
завершается, и текущие значения параметров
принимаются в качестве его результатов,
независимо от того, как прошел бы расчет
при других подходящих диаметрах
проволоки. Таким образом, полученная
пружина имеет минимально возможный
диаметр проволоки и минимально возможное
количество витков.

Вычисленное
значение высоты зацепа должно находиться
в пределах d ≤ o ≤ 30 d. Для
высоты, вычисленной таким способом,
выбирается соответствующий тип зацепа.
Комбинация диаметра проволоки, количества
витков, длины пружины в свободном
состоянии и сборочных размеров пружины
должна давать в итоге такую высоту
зацепа, которая удовлетворяет его типу.
Вначале в качестве типа зацепа берется
полный виток, затем, если он не
годится–полный виток внутри и т.д.

Задание
максимального рабочего усилия, материала,
сборочных размеров и диаметра пружины

Вначале
выполняется проверка входных величин
для расчета.

Затем
подбирается диаметр проволоки, количество
витков, длина свободной пружины и
минимальное рабочее усилие F₁ таким
образом, чтобы высота зацепа пружины
соответствовала выбранному типу зацепа.
Кроме того, должны выполняться прочностные
и геометрические условия.

Формула
для проектирования пружины по заданному
диаметру проволоки.

где
значение ₈ =
0,9 _A используется
в качестве величины напряжения материала
пружины при кручении в полностью
нагруженном состоянии.

Если
для данного диаметра проволоки не
удается подобрать подходящую комбинацию
размеров пружины, расчетная процедура
оценивает другие диаметры проволоки.
Они проверяются, начиная от меньшего к
большему, до тех пор пока не будет
достигнуто такое количество витков,
при котором высота зацепа удовлетворяет
всем условиям. Расчет конструкции
завершается, и текущие значения параметров
принимаются в качестве его результатов,
независимо от того, как прошел бы расчет
при других подходящих диаметрах
проволоки. Таким образом, полученная
пружина имеет минимально возможный
диаметр проволоки и минимально возможное
количество витков.

Проверочный
расчет пружины

Расчет
соответствующих значений сборочных
размеров и рабочего отклонения для
указанной нагрузки, материала и размеров
пружины.

Сначала
проверяются расчетные входные значения.
Затем на основании приведенных ниже
формул вычисляются сборочные размеры.

Длина
предварительно нагруженной пружины

Длина
полностью нагруженной пружины

Где:

	L0	длина пружины в свободном состоянии [мм]
	F1	рабочая сила в минимально нагруженной пружине [мм]
	D	средний диаметр пружины [мм]
	n	количество активных витков [-]
	G	модуль упругости материала пружины [МПа]
	d	диаметр проволоки [мм]
	F8	рабочее усилие в полностью нагруженной пружине [МПа]

Рабочая
деформация

H
= L₁8_[мм]

Расчет
рабочих сил

Расчет
соответствующих сил, действующих в
пружинах в рабочем состоянии для
указанного материала, сборочных размеров
и размеров пружины. Сначала проверяются
и рассчитываются входные данные, а затем
выполняется расчет рабочих сил с помощью
следующих формул.

Минимальное
рабочее усилие

Максимальное
рабочее усилие

Расчет
выходных параметров пружины

Эта
часть является общей для всех типов
расчета пружины. Расчет производится
в следующем порядке.

Коэффициент
высоты зацепа

Жесткость
пружины

Длина
части с витками

Пружина без начального растяжения
	Lz = t n + d [мм]
Пружина с начальным растяжением
	Lz = 1,03 (n + 1) d [мм]

Деформация
предварительно нагруженной пружины

s₁ =
L₁ —
L₀ [мм]

Полная
деформация пружины

s₈ =
L₈ —
L₀ [мм]

Напряжение
при кручении материала пружины в
состоянии предварительной нагрузки

Напряжение
материала пружины при кручении при
полном нагружении

Предельное
усилие в пружине

Деформация
в предельном состоянии

Где:

	k	жесткость пружины [Н/мм]
	F9	рабочее усилие в пружине, нагруженной до предела [Н]
	F0	начальное растяжение пружины [Н]

Предельная
длина пружины

L₉ =
L₀ +
s₉ [мм]

Энергия
деформации пружины

Длина
развернутой проволоки

l = 3.2 D n + l0 [мм]
	Где длина развернутого зацепа l0:
		для половины витка
			l0 =  D + 4 o — 2 D — 2 d [мм]
		для полного витка
			l0 = 2 ( D — 2 d) [мм]
		для полного витка сбоку
			l0 = 2 ( D — 2 d) [мм]
		для полного витка внутри
			l0 = 2 ( D — d) [мм]
		для поднятого зацепа
			l0 =  D + 2 o — D + 3 d [мм]
		для двух полных витков
			l0 = 4  D [мм]
		для двух полных витков сбоку
			l0 = 4  D [мм]
		для неуказанного типа зацепа
			l0 = 0 [мм]

Масса
пружины

Собственная
частота колебаний пружины

Проверка
нагрузки пружины


₈≤ u_s
_A

Обзор
используемых переменных:

d	диаметр проволоки [мм]
k	жесткость пружины [Н/мм]
D	средний диаметр пружины [мм]
D1	наружный диаметр пружины [мм]
D2	внутренний диаметр пружины [мм]
F	обобщенное усилие, приходящееся на пружину [Н]
G	модуль упругости материала пружины при сдвиге [МПа]
H	рабочая деформация [мм]
c	индекс пружины [-]
Kw	поправочный коэффициент Валя [-]
l	длина развернутой проволоки [мм]
L	обобщенная длина пружины [мм]
LZ	длина части пружины с витками [мм]
m	масса пружины [N]
n	количество активных витков [-]
o	высота зацепа пружины [мм]
t	шаг активных витков в ненагруженном состоянии [мм]
s	обобщенная деформация (растяжение) пружины [мм]
us	коэффициент использования материала
	плотность материала пружины [Н/мм3]
	напряжение при кручении – это усилие на единицу площади материала пружины при изгибе [фн/кв. материала пружины в общем случае [МПа]
 A	допустимое напряжение материала пружины при кручении [МПа]

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Сила упругости. Закон Гука

При колебаниях пружины восстанавливающая сила обусловлена ее упругостью. В определенных пределах, согласно закону Гука, вызванная деформацией сила пропорциональна величине деформации.

Поэтому упругие колебания являются гармоническими. В случае пружин величина жесткости обычно обозначается через k и именуется коэффициентом упругости пружины.

k	коэффициент упругости пружины,	Ньютон / метр
F	сила, вызывающая деформацию Δl,	Ньютон
Δl	удлинение, прогиб или другое изменение формы,	метр
ω	угловая частота,	радиан / секунда
f	линейная частота,	Герц
T	период, длительность полного колебания,	секунда
m	масса колебательной системы, обычно тела, укрепленного на пружине,	кг

И в соответствии с (9)

Масса самой пружины в (3, 4, 5) не учитывается. При точных расчетах массу m следует увеличить приблизительно на m_пр/ 3 ( m_пр — масса пружины).
Величины ω, f и T не зависят от амплитуды.

Для определения устойчивости и сопротивления к внешним нагрузкам используется такой параметр, как жесткость пружины. Также он называется коэффициентом Гука или упругости. По сути, характеристика жесткости пружины определяет степень ее надежности и зависит от используемого материала при производстве.

Измерению коэффициента жесткости подлежат следующие типы пружин:

Изготовление пружин любого типа вы можете заказать здесь.

Какую жесткость имеет пружина

При выборе готовых пружин, например для подвески автомобиля, определить, какую жесткость она имеет, можно по коду продукта либо по маркировке, которая наносится краской. В остальных случаях расчет жесткости производится исключительно экспериментальными методами.

Жесткость пружины по отношению к деформации бывает величиной переменной или постоянной. Изделия, жесткость которых при деформации остается неизменной называются линейными. А те, у которых есть зависимость коэффициента жесткости от изменения положения витков, получили название «прогрессивные».

В автомобилестроении в отношении подвески существует следующая классификация жесткости пружин:

• Возрастающая (прогрессирующая). Характерна для более жесткого хода автомобиля.
• Уменьшающаяся (регрессирующая) жесткость. Напротив, обеспечивает, «мягкость» подвески.

Определение величины жесткости зависит от следующих исходных данных:

• Тип сырья, используемый при изготовлении;
• Диаметр витков металлической проволоки (Dw);
• Диаметр пружины (в расчет берется средняя величина) (Dm);
• Число витков пружины (Na).

Как рассчитать жесткость пружины

Для расчета коэффициента жесткости применяется формула:

k = G * (Dw)^4 / 8 * Na * (Dm)^3,

где G – модуль сдвига. Данную величину можно не рассчитывать, так как она приведена в таблицах к различным материалам. Например, для обыкновенной стали она равна 80 ГПа, для пружинной – 78,5 ГПа. Из формулы понятно, что наибольшее влияние на коэффициент жесткости пружины оказывают оставшиеся три величины: диаметр и число витков, а также диаметр самой пружины. Для достижения необходимых показателей жесткости изменению подлежат именно эти характеристики.

Вычислить коэффициент жесткости экспериментальным путем можно при помощи простейших инструментов: самой пружины, линейки и груза, который будет воздействовать на опытный образец.

Определение коэффициента жесткости растяжения

Для определения коэффициента жесткости растяжения производятся следующие расчеты.

• Измеряется длина пружины в вертикальном подвесе с одной свободной стороной изделия – L1;
• Измеряется длина пружины с подвешенным грузом – L2.Если взять груз массой 100гр., то он будет воздействовать силой в 1Н (Ньютон) – величина F;
• Вычисляется разница между последним и первым показателем длины – L;
• Рассчитывается коэффициент упругости по формуле: k = F/L.

Определение коэффициента жесткости сжатия производится по этой же формуле. Только вместо подвешивания груз устанавливается на верхнюю часть вертикально установленной пружины.

Подводя итог, делаем вывод, что показатель жесткости пружины является одной из существенных характеристик изделия, которая указывает на качество исходного материала и определяет долговечность использования конечного изделия.

Формулы и способы расчета пружин из стали круглого сечения по ГОСТ 13765

Пружина сжатия Пружина растяжения

Наименование параметра	Обозначение	Расчетные формулы и значения
Сила пружины при предварительной деформации, Н	F 1	Принимается в зависимости от нагрузки пружины
Сила пружины при рабочей деформации (соответствует наибольшему принудительному перемещению подвижного звена в механизме), Н	F 3	Принимается в зависимости от нагрузки пружины
Рабочий ход пружины, мм	h	Принимается в зависимости от нагрузки пружины
Наибольшая скорость перемещения подвижного конца пружины при нагружении или разгрузке, м/с	v max	Принимается в зависимости от нагрузки пружины
Выносливость пружины, число циклов до разрушения	N F	Принимается в зависимости от нагрузки пружины
Наружный диаметр пружины, мм	D 1	Предварительно принимаются с учетом конструкции узла. Уточняются по таблицам ГОСТ 13766…ГОСТ 13776
Относительный инерционный зазор пружины сжатия. Для пружин растяжения служит ограничением максимальной деформации	δ	δ = 1 — F 2 / F 3 (1) Для пружин сжатия классов I и II δ = 0,05 — 0,25 для пружин растяжения δ = 0,05 — 0,10 для одножильных пружин класса III δ = 0,10 — 0,40 для трехжильных класса III δ = 0,15 — 0,40
Сила пружины при максимальной деформации, Н	F 3

Уточняется по таблицам ГОСТ 13766 ÷ ГОСТ 13776

Сила предварительного напряжения (при навивке из холоднотянутой и термообработанной проволоки), НF (0,1 ÷ 0,25) F ₃Диаметр проволоки, ммdВыбирается по таблицам ГОСТ 13764 ÷ ГОСТ 13776Диаметр трехжильного троса, ммd ₁Выбирается по таблицам ГОСТ 13764 ÷ ГОСТ 13776Жесткость одного витка пружины, Н/ммc ₁Выбирается по таблицам ГОСТ 13764 ÷ ГОСТ 13776Максимальная деформация одного витка пружины, ммs’ (при F = 0)
s» (при F > 0)Выбирается по таблицам ГОСТ 13764 ÷ ГОСТ 13776

Максимальное касательное напряжение пружины, МПаτ ₃
Для трехжильных пружин

Критическая скорость пружины сжатия, м/сv _k

Для трехжильных пружин

Модуль сдвига, МПаGДля пружинной стали
G = 7,85 х 10 4Динамическая (гравитационная) плотность материала, Н • с 2 /м 4ρρ = γ / g,
где g — ускорение свободного падения, м/с 2
γ — удельный вес, Н/м 3
Для пружинной стали ρ = 8•10 3Жесткость пружины, Н/ммс

Для пружин с предварительным напряжением

Для трехжильных пружин

Число рабочих витков пружиныnПолное число витков пружиныn ₁

где n2 — число опорных витков

Средний диаметр пружины, ммD

Для трехжильных пружин

Индекс пружиныi

Для трехжильных пружин

Рекомендуется назначать от 4 до 12

Коэффициент расплющивания троса в трехжильной пружине, учитывающий увеличение сечения витка вдоль оси пружины после навивкиΔДля трехжильного троса с углом свивки β = 24° определяется по таблице

i	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	7,0 и более
Δ	1,029	1,021	1,015	1,010	1,005	1,000

Предварительная деформация пружины, ммs ₁Рабочая деформация пружины, ммs ₂Максимальная деформация пружины, ммs ₃Длина пружины при максимальной деформации, ммl ₃

где n3 — число обработанных витков

Для трехжильных пружин

Для пружин растяжения с зацепами

Длина пружины в свободном состоянии, ммl Длина пружины растяжения без зацепов в свободном состоянии, ммl’ Длина пружины при предварительной деформации, ммl ₁

Для пружин растяжения

Длина пружины при рабочей деформации, ммl ₂

Для пружин растяжения

Шаг пружины в свободном состоянии, ммt

Для трехжильных пружин

Для пружин растяжения

Напряжение в пружине при предварительной деформации, МПаτ ₁Напряжение в пружине при рабочей деформации, МПаτ ₂Коэффициент, учитывающий кривизну витка пружиныk

Для трехжильных пружин

Длина развернутой пружины (для пружин растяжения без зацепов), ммlМасса пружины (для пружин растяжения без зацепов), кгmОбъем, занимаемый пружиной (без учета зацепов пружины), мм 3VЗазор между концом опорного витка и соседним рабочим витком пружины сжатия, ммλУстанавливается в зависимости от формы опорного виткаВнутренний диаметр пружины, ммD ₂Временное сопротивление проволоки при растяжении, МПаR _mУстанавливается при испытаниях проволоки или по ГОСТ 9389 и ГОСТ 1071Максимальная энергия, накапливаемая пружиной, или работа деформации, мДжДля пружин сжатия и растяжения без предварительного напряжения

Для пружин растяжения с предварительным напряжением

Методика определения размеров пружин

Исходными величинами для определения размеров пружин являются силы F ₁ и F ₂, рабочий ход h, наибольшая скорость перемещения подвижного конца пружины при нагружении или при разгрузке v _max, выносливость N _F и наружный диаметр пружины D ₁ (предварительный).
Если задана только одна сила F₂ , то вместо рабочего хода h для подсчета берут величину рабочей деформации s ₂, соответствующую заданной силе

По величине заданной выносливости N_F предварительно определяют принадлежность пружины к соответствующему классу

По заданной силе F ₂ и крайним значениям инерционного зазора δ вычисляют по формуле (2) значение силы F ₃
По значению F ₃, пользуясь таблицей, предварительно определяют разряд пружины

По таблицам «Параметры пружин» находят строку, в которой наружный диаметр витка пружины наиболее близок к предварительно заданному значению D ₁. В этой же строке находят соответствующие значения силы F ₃ и диаметра проволоки d

Для пружин из закаливаемых марок сталей максимальное касательное напряжение τ ₃ находят по таблице, для пружин из холоднотянутой и термообработанной проволоки τ ₃ вычисляют с учетом значений временного сопротивления R_m . Для холоднотянутой проволоки R_m определяют из ГОСТ 9389, для термообработанной — из ГОСТ 1071

По полученным значениям F ₃ и τ ₃, а также по заданному значению F ₂ по формулам (5) и (5а) вычисляют критическую скорость v_K и отношение v_max / v_K , подтверждающее или отрицающее принадлежность пружины к предварительно установленному классу.
При несоблюдении условий v_max / v_K < 1 пружины I и II классов относят к последующему классу или повторяют расчеты, изменив исходные условия. Если невозможно изменение исходных условий, работоспособность обеспечивается комплектом запасных пружин

По окончательно установленному классу и разряду в соответствующей таблице на параметры витков пружин, помимо ранее найденных величин F₃, D₁ и d, находят величины c₁ и s₃ , после чего остальные размеры пружины и габариты узла вычисляют по формулам (6)-(25)

Любое тело перестает падать вниз, если его подвесить на крепкий шнурок. На него по-прежнему действует сила тяжести. Но она уравновешивается еще одной величиной – силой упругости шнурка. Как она действует на тело, что нужно для ее преодоления, — вопросы, ответы на которые найдете в материале.

Что такое сила упругости

Любое тело, совершающее заданный полет, в конце концов падает на землю под действием собственной силы тяжести. Исключение составляют предметы, подвешенные кверху либо располагающиеся на опоре. Их падение становится невозможным, поскольку силу тяжести компенсирует упругость подвеса. Опытным путем еще в школьной программе демонстрируется момент: когда две силы равны, предмет «замирает» в воздухе. При этом их направления действия строго противоположны. Явление, препятствующее падению подвешенных либо размещенных на опоре предметов, обусловлено проявлением силы упругости.

Сила упругости — сила, возникающая в теле при его деформации и стремящаяся вернуть его в прежнее состояние.

Чем сильнее растягивается нить, на которой подвешен предмет, и чем больше прогибается доска под грузом, тем значительнее сила упругости, которая в них возникает.

Нить стремится растягиваться до тех пор, пока две величины не уравновесятся.

Растяжение нити аналогично, например, следующим явлениям:

• изменению формы мяча при ударе по нему ногой (начинает действовать сила сжатия);
• противостоянию каната при закручивании его вокруг своей оси (сила кручения);
• сдвиганию частей одного предмета друг относительно друга (сила сдвига);
• сложностям согнуть прут в дугу или окружность (сила кручения).

Во всех случаях внешней силе, действующей в определенном направлении, начинает препятствовать другая величина, направленная противоположно и стремящаяся компенсировать ее абсолютное значение.

К такому выводу впервые пришел английский ученый Роберт Гук в 1660 году, отметив, что интенсивность изменения длины тел при их растягивании прямо пропорционально зависит от значения силы упругости.

Его открытие приобрело статус закона Гука, формула которого выглядит следующим образом:

(Fупр=k*Δl)

(k) – коэффициент пропорциональности, имеющий специальное название «жесткость»;

(Δl) – величина, характеризующая изменение длины тела.

K зависит от свойств материала изготовления тела, его параметров и форм.

В физике закон Гука может применяться только для незначительных деформаций. Если наступает этап, когда предел пропорциональности превышен, взаимосвязь напряжения и изменения формы теряет свою линейность. Существуют среды, для которых закон Гука не работает.

Выражение закона Гука возможно и через другую формулу:

(xi;=;x⁄l)

где (xi;) — относительная деформация, 

(sigma=F⁄S)

где (sigma) — напряжение, возникающее в материале,

(S) — площадь поперечного сечения тела,

(varepsilon=1⁄Esigma)

Коэффициент жесткости и модель Юнга имеют существенное различие: если первый зависит от материала, формы и размеров тела, то второй — только от свойств материала.

В каких условиях применяется закон Гука

Универсальным вариантом для применения закона Гука является тонкий стержень. (F) в данном случае выражает ту силу, которая к нему прилагается. Зависит она от разницы длины до и после воздействия, а также коэффициента упругости материала.

(F=kastDelta l)

Как было сказано выше, (k) зависит от качества материала и габаритов. Выражая названую зависимость через площадь сечения и длину, формула для коэффициента получает следующий вид: (F=ES/L). Буквой (Е) здесь обозначается все тот же модуль Юнга – механические свойства материала. Далее следует ввести понятия относительного удлинения:

(xi=Delta l/L)

и напряжения в поперечном сечении:

(sigma=F/S)

Конечная формула закона Гука может выглядеть и так:

(triangle l=FL/ES)

Для понимания того, какие условия необходимы для функционирования закона Гука, достаточно рассмотреть два понятия: среда и сила. В таких средах, как газы, жидкости, особенно вязкие, механические особенности процессов упругости не действуют. В то же время даже очень интенсивная сила не будет работать в ряде сред.

Обязательные условия для ее проявления:

1. Незначительные изменения формы.
2. Достаточная упругость материала.
3. В материале ни при каком воздействии не происходит изменений линейного характера.

Рассмотрим график, отражающий зависимости:

Нижний левый квадрат демонстрирует линейную зависимость при не интенсивных растяжениях. Затем пунктирная линия демонстрирует потерю этой «линейности». Визуально это проявляется «непослушанием» пружины: она перестает принимать свой первоначальный вид при интенсивном растяжении. Если его вовсе не прекращать, может нарушиться природная структура материала, произойдет полный излом.

Аналогичная картина наблюдается при процессе сжатия. В правом верхнем квадрате отражены следующие особенности:

При небольшом сжатии – связь прямая (красная линия).

При увеличении силы зависимость теряет «линейность» — см. пунктир.

Сильное сжатие заставляет пружину нагреваться, она теряет первичные свойства. Происходит слипание витков и разрушение структуры материала.

Примеры решения задач на силу упругости

 Задания по определению силы упругости часто встречаются в экзаменационных работах и олимпиадах.

Задача 1

Для растяжения пружины прикладывают силу 30 Н (F₁). Тогда ее длина составляет 28 см. При ее сжатии с такой же F₂, длина уменьшается до 22 см. Найти начальную длину пружины, а также коэффициент ее жесткости.

Решать задачу следует по схеме:

(F1=k(l1-l0))

(F2=k(l0-l2))

Из этих формул вытекает: (l1-l0=l0-l2)

(l0=(l1+l2)/2=(28+22)/2=25)

Определение жесткости пружины нужно произвести по формуле:

(k=F1/(l1-l0)=30/(28-25)*10^{-2 }=1000)

Ответ: 25 см, 1000 Н/м

Задача 2

Пружины соединены способом, изображенным на схеме:

Жесткость каждой составляет 10 Н/м. Определить величину силы, которую нужно приложить ко всей системе, чтобы точка ее приложения стала ниже на 10 см.

Решение происходит по этапам:

1. Растяжение верхней и нижней пружин характеризуются формулой:

(triangle x2=F/k)

2. Поскольку средние пружины подсоединены параллельно, их растяжение происходит в соответствии с формулой:

(triangle x2=F/2k)

Каждая из пружин при этом растянется на: (triangle x1/2)

Следовательно, справедливо математическое выражение: (triangle x2=triangle x1/2)

 Через промежуточные формулы:

(2,5triangle x1=triangle x)

(triangle x1=triangle x/2,5)

(10/2,5=4)

находим конечную формулу для решения задачи:

(F=ktriangle x1=10ast0,04=0,4)

Ответ: сила равна 0,4 Н.

Задача 3

Один из тренажеров в спортивном зале высотой 2 м состоит из двух пружин, которые закреплены на потолке. Их длина одинакова (40 см), а жесткости обозначены k1, k2. При приложении к одной из пружин силы 360 Н (в точке А), нижняя ее часть пружина опустится до самого пола. Потянув в точке В и приложив силу 240 Н, коснется пола сама эта точка. Какова жесткость пружин?

Прикладывая усилия к точке А, вызываем растяжение только пружины сверху. Когда ее длина достигнет 1,6 м, нижняя коснется пола. Таким образом, верхняя удлинилась на 1,2 м.

(L+triangle l1=H-L)

(triangle l1=H-2L=1,2)

(k1=F1/triangle l1=360/1,2=300)

Относительно точки В действуют формулы:

(F2/k1+F2/k2=H-2L)

(240/300+240/k2=1,2)

Значит (k2=240/0.4=600)

Ответ: коэффициенты пружин будут равны 300 и 600 Н/м.

Задача 4

Пружина массой 5 кг прикреплена к бруску, который лежит неподвижно на поверхности. Как изменится сила ее натяжения, если угол наклона будет увеличиваться от 30^о до 60^о?

Как видно из рисунка, брусок испытывает влияние трех сил: тяжести, натяжения пружины, реакции опоры.

Для равновесия бруска необходимо равенство величин:(mg=Fупр=N=0)

Откладывая величины на осях координат, выходим на формулы:

(mgsinalpha-;;Fупр=0)

(N;-;mg;cosalpha;=;0)

Из первого уравнения следует: 

(Fупр=mast gastsinalpha)

Учитывая, что угол наклона поверхности, на которой расположен брусок, меняется, ΔF_yпp можно определить по формуле:

(Delta Fyпp;=;mg(sinalpha2;-;sinalpha1);)

Подставляя в формулу значения, высчитывают значение искомой силы:

ΔF_yпp=5 * 10 * (0,866 — 0,5) = 18,3 Н

Те, кому нужна практическая или теоретическая помощь в освоении темы по силе упругости, могут обратиться на Феникс.Хелп. Вам всегда помогут.