Как найти длину ребра пирамиды а1а2а3а4 - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Аналитическая геометрия — задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное — разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

найдем как угол
между направляющими векторами

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

и гранью

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

–им будет
векторное произведение векторов

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

. Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

-уравнение
грани

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

из вершины

Нормальный вектор

является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Источник

Геометрия 10-11 класс

10 баллов

Даны координаты вершин пирамиды
A1A2A3A4. A1(2;5;8) A2(1;4;9) A3(2;1;6) A4(5;4;2)Найти:
1) длину ребра A1A2;
2) угол между ребрами A1A2 и A1A4;
3) уравнение плоскости A1A2A3 и угол между ребром A1A4 и плоскостью A1A2A3;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3 и ее длину;
5) площадь грани A1A2A3 и объем пирамиды.
Сделать чертеж

Ирина Каминкова

14.12.2020 20:24:47

Ответ эксперта

Ирина Каминкова

14.12.2020 20:27:16

Ответ эксперта

Ирина Каминкова

14.12.2020 20:27:45

Ответ эксперта

Все предметы

Рейтинг пользователей

Источник

Пример 1:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти:

1) координаты и модули векторов А₁А₂и А₁А₄;

2) угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3) площадь грани А₁А₂А₃;

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А₁ А₂;

6) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

7) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.

Сделать чертеж.

А₁(0; 4; -4), А₂(5; 1; -1), А₃(-1; -1; 3), А₄(0; -3; 7).

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.Сделать чертеж.

1. А₁(7; 7; 3), А₂(6; 5; 8), А₃(3; 5; 8), А₄(8; 4; 1).

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

Уравнение плоскости.
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x₁	y-y₁	z-z₁
x₂-x₁	y₂-y₁	z₂-z₁
x₃-x₁	y₃-y₁	z₃-z₁

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃

(x-3)(1*2-0*3) — (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y — 3z-38 = 0

Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sin%20gamma%20%20%20=%20frac%7b|Al%20%2B%20Bm%20%2B%20Cn|%7d%7bsqrt%7bA%5e%7b2%7d%20%2B%20B%5e%7b2%7d%20%2B%20C%5e%7b2%7d%7dsqrt%7bl%5e%7b2%7d%20%2B%20m%5e%7b2%7d%20%2B%20n%5e%7b2%7d%7d%7d$
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0
Уравнение прямой A₁A₄:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%203%7d%7b-3%7d%20=%20frac%7by%20-%202%7d%7b0%7d%20=%20frac%7bz%20%2B%202%7d%7b4%7d$
γ = arcsin(0.267) = 15.486^o

Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,2,2)
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%20x_%7b0%7d%7d%7bA%7d%20=%20frac%7by%20-%20y_%7b0%7d%7d%7bB%7d%20=%20frac%7bz%20-%20z_%7b0%7d%7d%7bC%7d$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%200%7d%7b2%7d%20=%20frac%7by%20-%202%7d%7b13%7d%20=%20frac%7bz%20-%202%7d%7b-3%7d$

Уравнение плоскости через вершину A₄(0,2,2)
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y — 3z-38 = 0
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0
или
2x+13y-3z-20 = 0

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Даны координаты пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4)

Уравнение плоскости.
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x₁	y-y₁	z-z₁
x₂-x₁	y₂-y₁	z₂-z₁
x₃-x₁	y₃-y₁	z₃-z₁

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃

(x-0)(3*2-8*3) — (y-1)(3*2-(-3)*3) + (z-1)(3*8-(-3)*3) = -18x — 15y + 33z-18 = 0
Упростим выражение: -6x — 5y + 11z-6 = 0

2) Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0
Уравнение прямой A₁A₄:

γ = arcsin(0.193) = 11.128^o

3) Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,5,4)
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0

4) Уравнение плоскости через вершину A₄(0,5,4)
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости

Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x — 5y + 11z-6 = 0
-6(x-0)-5(y-5)+11(z-4) = 0
или
-6x-5y+11z-19 = 0

5) Координаты вектора A₁A₄(0;4;3)

Уравнение прямой, проходящей через точку А₁(0,1,1) параллельно вектору А₁А₂(0,4,3) имеет вид:

Пример 5:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.Сделать чертеж.

А₁(4; 4; 10), А₂(4; 10; 2), А₃(2; 8; 4), А₄(9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1) Даны координаты вершин пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4)
Координаты векторов.
Координаты векторов: A₁A₂(3;3;3) A₁A₄(0;4;3)

Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

Угол между ребрами.

Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:
, где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂
Найдем угол между ребрами A₁A₂(3;3;3) и A₁A₃(0;4;3):

А₁ = arccos(0,808)

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S =
Найдем векторное произведение

=i(3*2-8*3) — j(3*2-(-3)*3) + k(3*8-(-3)*3) = -18i — 15j + 33k

3) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

Координатывекторов:A₁A₂(3;3;3) A₁A₃(-3;8;2) A₁A₄(0;4;3) :

где определитель матрицы равен:
∆ = 3*(8*3-4*2)-(-3)*(3*3-4*3)+0*(3*2-8*3) = 39

Пример 7:

Решение от преподавателя:

Угол между ребрами.
Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=cos%20gamma%20%20%20=%20frac%7ba_%7b1%7da_%7b2%7d%7d%7b|a_%7b1%7d|cdot%20|a_%7b2%7d|%7d$
где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂
Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2):
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=cos%20gamma%20%20%20=%20frac%7b(-2)cdot%203%20%2B%201cdot%200%20%2B%203cdot%202%7d%7bsqrt%7b14%7dcdot%20sqrt%7b13%7d%7d%20=%200$
γ = arccos(0) = 90.003⁰
Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S%20=%20frac%7b1%7d%7b2%7d%20|a|cdot%20|b|%20sin%20gamma$
где

Найдем площадь грани A₁A₂A₃
Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2):
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=cos%20gamma%20%20%20=%20frac%7b(-2)cdot%203%20%2B%201cdot%200%20%2B%203cdot%202%7d%7bsqrt%7b14%7dcdot%20sqrt%7b13%7d%7d%20=%200$

Площадь грани A₁A₂A₃
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=V%20=%20frac%7b1%7d%7b6%7d$

$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%20=%20frac%7b18%7d%7b6%7d%20=%203$

где определитель матрицы равен:
∆ = (-2)*(0*4-0*2)-3*(1*4-0*3)+(-3)*(1*2-0*3) = -18

Пример 8:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ . Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между рёбрами А₁А₂и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(3; 5; 4), А₂(8; 7; 4), А₃(5; 10; 4), А₄(4; 7; 8).

Решение от преподавателя:

1) Длина ребра A₁A₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

Найдем уравнение стороны А₁А₄:

Вектор нормали: к плоскости А₁А₂А₃.

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

Итак: z=4 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

A₄O – высота:

Уравнение A₄O:

Т.к. , то

В результате получаем уравнение высоты:

Пример 9:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами А₁А₂и А₁А₄;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А_3.Сделать чертеж.

А₁(4; 4; 10), А₂(4; 10; 2), А₃(2; 8; 4), А₄(9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Источник

0 Голосов

Posted Декабрь 17, 2013 by Оводкова Алена Александровна

Категория: Аналитическая геометрия

Всего просмотров: 57685

Даны координаты вершин пирамиды (А_1А_2А_3А_4).

Найти:
1) Найти длины ребер (А_1А_2); (А_1А_3); (А_1А_4).
2) Угол между ребрами (А_1А_2) и (А_1А_4).
3) Площадь грани (А_1А_2А_3).
4) Уравнение прямой (А_1А_2).
5) Уравнение плоскости (А_1А_2А_3).
6) Уравнение высоты,опущенной из вершины (А_4) на грань (А_1А_2А_3).
7) Угол между ребром (А_1А_4) и гранью (А_1А_2А_3)
Объем пирамиды.
Координаты точек:А1(4;-1;3) А2(-2;1;0) А3(0;-5;1) А4(3;2;-6)

Теги: уравнение прямой, уравнение плоскости, свойства прямых, объем пирамиды

Лучший ответ

0 Голосов

Posted Декабрь 17, 2013 by Вячеслав Моргун

Даны координаты вершин пирамиды (А_1А_2А_3А_4). Координаты точек:А1(4;-1;3) А2(-2;1;0) А3(0;-5;1) А4(3;2;-6)
1) Найти длины ребер (А_1А_2;А_1А_3;А_1А_4).
Длину ребер пирамиды (любой фигуры) будем рассматривать как расстояние между точками. Расстояние между точками ищется по формуле $$d = sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$подставляем координаты точек в формулу и получаем длины ребер
$$А_1А_2 = sqrt{(-2-4)^2+(1+1)^2+(0-3)^2} = 7$$
$$А_1А_3 = sqrt{(0-4)^2+(-5+1)^2+(1-3)^2} = 6$$
$$А_1А_4 = sqrt{(3-4)^2+(2+1)^2+(-6-3)^2} = sqrt{91}$$
2) Угол между ребрами (А_1А_2) и (А_1А_4).
Для того чтобы найти угол между ребрами, найдем уравнения прямых этих ребер, а затем угол между прямыми. Уравнения прямых будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $$ frac{x-x_1}{x_2-x_1} = frac{y-y_1}{y_2-y_1} = frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$ Подставляем координаты точек и получаем уравнения прямых (А_1А_2 = frac{x-4}{-2-4} = frac{y+1}{1+1} = frac{z-3}{0-3} =>) $$ А_1А_2 = frac{x-4}{-6} = frac{y+1}{2} = frac{z-3}{-3} $$
(А_1А_4 = frac{x-4}{3-4} = frac{y+1}{2+1} = frac{z-3}{-6-3} =>) $$ А_1А_4 = frac{x-4}{-1} = frac{y+1}{3} = frac{z-3}{-9}$$
Угол между прямыми находится по формуле $$ cosphi = frac{l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2}{ sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2} sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}$$ где ( S_1(l_1;m_1;n_1)) направляющий вектор первой прямой ( S_2(l_2;m_2;n_2)) — второй прямой. Поставляем координаты направляющих векторов $$ cos widehat{A_4A_1A_2} = frac{(-6)(-1) + 2*3+(-3)(-9)}{ sqrt{(-6)^2+2^2+(-3)^2} sqrt{(-1)^2+3^2+(-9)^2}} = frac{6+6+27}{sqrt{36+4+9} * sqrt{1+9+81}} = frac{39}{7*sqrt{91}} => widehat{A_4A_1A_2} approx 34^0$$
3) Площадь грани (А_1А_2А_3).
В основании лежи треугольник у которого уже известны стороны (A_1A_2 = 7) и (A_1A_3 = 6), координаты всех точек, т.е. можно найти длину третьей стороны и воспользоваться формулой Герона для нахождения площади, можно зная длину основания (A_1A_2 ) и уравнение прямой ( A_1A_2) найдем расстояние от точки (A_3) до этой прямой это будет высота треугольника и найдем площадь по формуле ( S = frac{1}{2}ah ).
Найдем третью сторону и воспользуемся формулой Герона $$S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, quad p = frac{a+b+c}{2}$$ $$А_2А_3 = sqrt{(0+2)^2+(-5-1)^2+(1-0)^2} = sqrt{41}$$ тогда полупериметр равен ( p = frac{6+7+sqrt{41}}{2} = frac{13+sqrt{41}}{2}) $$S = sqrt{ frac{13+sqrt{41}}{2}* frac{13+sqrt{41}-12}{2}* frac{13+sqrt{41}-14}{2}* frac{13+sqrt{41}-2sqrt{41}}{2}} = $$$$ = sqrt{ frac{13+sqrt{41}}{2}* frac{1+sqrt{41}}{2}* frac{sqrt{41}-1}{2}* frac{13-sqrt{41}}{2}} = $$ воспользуемся формулой сокращенного умножения — формулой разности квадратов (a^2-b^2 = (a-b)(a+b)) $$ = frac{1}{4}sqrt{ (13^2-41)(41-1)} = frac{32}{4} sqrt{5} = 8 sqrt{5}$$
4)Уравнение прямой (А1А2).
Уравнение прямой было найдено в п.2
$$ А_1А_2 = frac{x-4}{-6} = frac{y+1}{2} = frac{z-3}{-3} $$
5) Уравнение плоскости (А_1А_2А_3).
Известны координаты точек (А_1(4;-1;3), А_2(-2;1;0), А_3(0;-5;1))
Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки в координатной форме $$left|begin{array}{c} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 end{array}right| = 0$$ Подставляем координаты точек $$left|begin{array}{c} x-4 & y+1 & z-3\ -2-4 & 1+1 & 0-3 \ 0-4 & -5+1 & 1-3 end{array}right| = left|begin{array}{c} x-4 & y+1 & z-3\ -6 & 2 & -3 \ -4 & -4 & -2 end{array}right| = $$$$ = (x-4)*2*(-2)+(y+1)(-3)(-4)+(-6)(-4)(z-3)-(-4)2(z-3)-(-4)(-3)(x-4)-(-2)(-6)(y+1)=$$$$ =-4(x-4)+12(y+1)+24(z-3)+8(z-3)-12(x-4)-12(y+1) = -16(x-4)+32(z-3)= $$$$ =-16x+64+32z-96=-16x+32z-32 = 0$$ Уравнение плоскости $$-16x+32z-32 = 0 => -x+2z-2=0$$
6) Уравнение высоты, опущенной из вершины (А_4) на грань (А_1А_2А_3).
Известны координаты точки (А_4(3;2;-6) ), уравнение плоскости, в которой лежит грань (A_1A_2A_3) (-x+2z-2=0) з этого уравнения получим координаты нормального вектора к плоскости ( vec{N}=(-1;0;2) ). Этот вектор является направляющим вектором прямой, подставим координаты вектора в каноническое уравнение прямой и координаты точки (A_4) ( frac{x-3}{-1} = frac{y-2}{0} = frac{z+6}{2} ) получили, что прямая перпендикулярна оси Oy, уравнение прямой можно записать еще и так $$frac{x-3}{-1} = frac{z+6}{2}, quad x=1 $$
7) Угол между ребром (А_1А_4) и гранью (А_1А_2А_3).
Есть прямая, на которой лежит ребро, ее уравнение (А_1А_4 = frac{x-4}{-1} = frac{y+1}{3} = frac{z-3}{-9}).
Есть плоскость, которой принадлежит грань (A_1A_2A_3) (-x+2z-2=0).
Запишем каноническое уравнение прямой (frac{x-x_0}{m} = frac{y-y_0}{n} = frac{z-z_0}{p}), каноническое уравнение плоскости (Ax+By+Cz+D=0), тогда угол между прямой и плоскостью будет рассчитываться по формуле $$ sin phi = frac{|Am + Bn + Cp|}{ sqrt{A^2+B^2+C^2} sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$Подставляем данные из задачи в формулу $$sin phi = frac{|(-1)(-1) + 0*3 + 2(-9)|}{ sqrt{(-1)^2+0^2+2^2} sqrt{(-1)^2+3^2+(-9)^2}} = frac{17}{ sqrt{455}} => arcsin (frac{17}{ sqrt{455}}) approx 52,84^0$$

Объем пирамиды.
Объем пирамиды равен $$V_{пир} = frac{1}{3}Sh$$ где ( S = 8 sqrt{5}) — площадь основания. Нужно найти высоту, опущенную на это основание, а это есть расстояние от точки до плоскости, которое рассчитывается по формуле $$d = |frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}|$$ где ((x_0;y_0;z_0)) — координаты точки (А_4(3;2;-6)), а (Ax+By+Cz+D=0) — уравнение плоскости, которое равно (-x+2z-2=0). Подставляем координаты и получаем $$h = |frac{-3+2*(-6)-2}{sqrt{(-1)^2+2^2}}| = frac{17}{sqrt{5}} $$ Подставляем в формулу объема $$V_{пир} = frac{1}{3} 8 sqrt{5}*frac{17}{sqrt{5}} = frac{136}{3}$$

Источник

Задать свой вопрос

*более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 57184 Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4….

Условие

60008327960c3c35933dd948

19.01.2021 22:56:55

Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3 ; 4) объем пирамиды А1А2А3A4 5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4. А1(2,-1,9) А2(1,1,5) А3(7,3,1) А4(2,6,-2)

1226

Решение

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.01.2021 00:24:04

★

[m]vec{A_{1}A_{2}}=(1-2;1-(-1);5-9)=(-1;2;-4)[/m]

[m]|vec{A_{1}A_{2}}|=sqrt{(-1)^2+(2)^2+(-4)^2}=sqrt{21}[/m]

Написать комментарий

Присоединяйся в ВК

Источник

Аналитическая геометрия — задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Задача

Длина ребра

Угол между ребрами

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Площадь грани

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение плоскости

Уравнение высоты, опущенной на грань

Все предметы

Рейтинг пользователей

Пример 1:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Решение от преподавателя:

Лучший ответ

Задача 57184 Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4….

Условие

Решение

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК