Как найти ребро четырехугольной пирамиды
Четырехугольная пирамида — это пятигранник с четырехугольным основанием и боковой поверхностью из четырех треугольных граней. Боковые ребра многогранника пересекаются в одной точке — вершине пирамиды.
Инструкция
Четырехугольная пирамида может быть правильной, прямоугольной или произвольной. Правильная пирамида имеет в основании правильный четырехугольник, а ее вершина проецируется в центр основания. Расстояние от вершины пирамиды до ее основания называется высотой пирамиды. Боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, а все ребра равны.
В основании правильной четырехугольной пирамиды может лежать квадрат или прямоугольник. Высота H такой пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания. В квадрате и прямоугольнике диагонали d одинаковы. Все боковые ребра L пирамиды с квадратным или прямоугольным основанием равны между собой.
Для нахождения ребра пирамиды рассмотрите прямоугольный треугольник со сторонами: гипотенуза — искомое ребро L, катеты — высота пирамиды H и половина диагонали основания d. Вычислите ребро по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: L²=H²+(d/2)². В пирамиде с ромбом или параллелограммом в основании противоположные ребра попарно равны и определяются по формулам: L₁²=H²+(d₁/2)² и L₂²=H²+(d₂/2)², где d₁ и d₂ — диагонали основания.
В прямоугольной четырехугольной пирамиде ее вершина проецируется в одну из вершин основания, плоскости двух из четырех боковых граней перпендикулярны плоскости основания. Одно из ребер такой пирамиды совпадает с ее высотой H, а две боковые грани являются прямоугольными треугольниками. Рассмотрите эти прямоугольные треугольники: в них один из катетов — ребро пирамиды, совпадающее с ее высотой H, вторые катеты — стороны основания a и b , а гипотенузы — неизвестные ребра пирамиды L₁ и L₂. Следовательно, два ребра пирамиды найдите по теореме Пифагора, как гипотенузы прямоугольных треугольников: L₁²=H²+a² и L₂²=H²+b².
Оставшееся неизвестным четвертое ребро L₃ прямоугольной пирамиды найдите по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами Н и d, где d — диагональ основания, проведенная от основания ребра, совпадающего с высотой пирамиды Н к основанию искомого ребра L₃: L₃²= H²+d².
В произвольной пирамиде ее вершина проецируется в случайную точку на основании. Для нахождения ребер такой пирамиды рассмотрите последовательно каждый из прямоугольных треугольников, в которых гипотенуза — искомое ребро, один из катетов — высота пирамиды, а второй катет — отрезок, соединяющий соответствующую вершину основания с основанием высоты. Для нахождения величин этих отрезков необходимо рассмотреть треугольники, образованные в основании при соединении точки проекции вершины пирамиды и углов четырехугольника.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Правильная пирамида – это геометрическое тело, образованное правильным многоугольником, лежащим в основании и боковыми ребрами, подымающимися в одну вершину из всех углов основания. Такая пирамида является типовой, поскольку обладает множеством свойств за счет своего основания. Помимо того, что все боковые грани представляют собой конгруэнтные треугольники, а все боковые ребра равны (также как и ребра в основании между собой), высота правильной пирамиды опускается ровно в центр вписанной и описанной окружностей для заданного многоугольника. Поэтому в такой пирамиде возникает сразу два прямоугольных треугольника во внутреннем пространстве, один из них соединяет высоту с апофемой радиусом вписанной окружности, а второй соединяет высоту с боковым ребром радиусом описанной окружности.
Таким образом, для того, чтобы найти боковое ребро пирамиды, необходимо знать лишь сторону основания, общее количество сторон этого же многоугольника и высоту. По теореме Пифагора, боковое ребро является гипотенузой и, следовательно, находится сложением:
Подставив в формулу значение радиуса описанной окружности для правильного многоугольника, получаем окончательный ее вид:
/
/
/ Длина ребра пирамиды
Длина ребра пирамиды
Установить Длина ребра пирамиды на мобильный
Найти боковое ребро правильной пирамиды
зная длину стороны основания и высоту
|
||
|
Сторона основания пирамиды a |
||
|
Число сторон основания пирамиды n |
||
| Высота пирамиды h | ||
|
|
||
| Длина бокового ребра b |
Скачать калькулятор
Рейтинг: 2.7 (Голосов 6)
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Сообщить об ошибке
Смотрите также
| Сторона треугольника | Стороны прямоугольного треугольника | Сторона квадрата |
| Стороны прямоугольника | Стороны ромба | Боковое ребро параллелепипеда |
олег
989 дн. назад
а если стороны основания разные?
- reply
Михаил
606 дн. назад
Значит пирамида не правильная.
- reply
Добавить комментарий:
Я не робот
Боковое ребро правильной пирамиды, формула
 |
Боковое ребро правильной пирамиды находится по формуле [ b = sqrt{ h^2 + Big( frac{a}{2sin(frac{180°}{n})} Big) ^2 } ] |
b — Боковое ребро правильной пирамиды (SA или SB или SC или SD или SE)
n — число сторон правильного многоугольника — основания правильной пирамиды
a — сторона правильного многоугольника (AB или BC или CD или DE или EA) — основания правильной пирамиды
h — высота правильной пирамиды (OS)
Боковое ребро правильной пирамиды выводится из следующих формул
Синим цветом на рисунке изображена описанная вокруг основания правильной пирамиды окружность. Треугольник SOE прямоугольный.
Его стороны: OS — высота правильной пирамиды (h), OE —
радиус описанной окружности вокруг правильного многоугольника (основание правильной пирамиды (R)),
SE — Боковое ребро правильной пирамиды (b).
По теореме Пифагора
[ SE = b = sqrt{ h^2 + R^2 } ]
подставив сюда только радиус описанной окружности получается формула (1).
Вычислить, найти боковое ребро правильной пирамиды по формуле(1)
Боковое ребро правильной пирамиды |
стр. 277 |
|---|
Содержание статьи:
- Пирамида как фигура геометрии
- Элементы пирамиды
- Правильные пирамиды
- Треугольная пирамида
- Четырехугольная пирамида
- Задача на определение бокового ребра пирамиды Хеопса
Одной из геометрических фигур, свойства которых изучают в школах в курсе стереометрии, является пирамида. Рассмотрим, что собой представляет эта фигура, а также подробно охарактеризуем важный линейный параметр — боковое ребро пирамиды.
Пирамида как фигура геометрии
Прежде чем рассматривать понятие о боковом ребре пирамиды, следует дать определение этой пространственной фигуры. Если говорить коротко, то пирамида представляет собой поверхность, ограниченную одним n-угольником и n треугольниками. Рисунок ниже показывает один из возможных вариантов этой фигуры.
Вам будет интересно:Микроскопы «Микромед»: обзор, описание, характеристики
С геометрической точки зрения получить пирамиду можно таким способом: взять n-угольник и соединить все его углы с некоторой точкой в пространстве, которая не должна лежать в плоскости n-угольника.
Заметим, что, независимо от количества сторон n в исходном многоугольнике, всегда при соединении его углов с единственной точкой получаются треугольники. Их совокупность образует боковую поверхность пирамиды, а исходный многоугольник является ее основанием. Точка, в которой соединяются все треугольники, получила название вершины пирамиды.
Элементы пирамиды
Каждая пирамида образована тремя главными элементами:
- гранями;
- ребрами;
- вершинами.
Граней или сторон у фигуры всегда n + 1. Это легко видеть на приведенном в предыдущем пункте рисунке. Шестиугольное основание является одной гранью. Оставшиеся 6 сторон представляют собой треугольники, опирающиеся на стороны основания и пересекающиеся в вершине пирамиды.
Ребра представляют собой совокупность точек пересечения соседних граней. Фигура имеет два типа этих элементов:
- ребра основания;
- боковые ребра пирамиды.
Их количества, независимо от числа сторон n основания, всегда равны друг другу, то есть фигура имеет 2 × n ребер. Если с ребрами основания все понятно (они являются сторонами n-угольника), то для боковых ребер следует уточнить, что они представляют собой отрезки, соединяющие углы основания с высотой рассматриваемой фигуры.
Наконец, третьим типом элементов пирамиды будут вершины. У фигуры имеется n + 1 вершина. Однако n из них образованы основанием и двумя боковыми гранями. Лишь одна единственная вершина не связана с основанием. Она играет важную роль при изучении количественных характеристик пирамиды, например, ее высоты или апофемы.
Правильные пирамиды
Пирамиды могут быть наклонными и прямыми, правильными и неправильными, выпуклыми и вогнутыми. Все названные типы фигур отличаются друг от друга многоугольным основанием и особенностями поведения высоты.
Предположим, что имеется пирамида, у которой высота (опущенный из вершины к основанию перпендикуляр) падает на многоугольник точно в его геометрическом центре. В этом случая фигура называется прямой. Если же многоугольник является равносторонним, то помимо прямой, пирамида также будет правильной. Напомним, что центр геометрический плоской фигуры аналогичен центру масс в физике. Для квадрата он совпадает с точкой пересечения диагоналей, а для треугольника — с точкой, где медианы пересекаются.
Пирамиды правильные удобно изучать ввиду их симметрии. Так, боковые ребра правильной пирамиды и ее боковые грани равны друг другу. Частным случаем является ситуация, когда боковые грани будут образованы равносторонними треугольниками.
Далее рассмотрим, какими формулами следует пользоваться, чтобы определить размеры боковых ребер пирамид — правильной четырехугольной и треугольной.
Треугольная пирамида
Существуют четыре линейных параметра, которые описывают размеры правильной пирамиды. К ним относятся сторона основания a, боковое ребро b, высота h и апофема hb. Ниже приведем формулы, которые позволяют рассчитать длину бокового ребра для треугольной пирамиды правильной. Основание этой фигуры представляет треугольник с равными сторонами, что позволяет записать следующие равенства:
b = √(hb2 + a2/4);
b = √(h2 + a2/3).
Обе формулы являются следствием теоремы Пифагора для треугольников, в которых боковое ребро b является гипотенузой.
Четырехугольная пирамида
Эта фигура, пожалуй, является самой известной среди остальных пирамид благодаря величественным древним египетским сооружениям. Боковое ребро пирамиды четырехугольной правильной можно определить по таким формулам:
b = √(hb2 + a2/4);
b = √(h2 + a2/2).
Как и в предыдущем случае, эти выражения являются следствием свойства катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника.
Отметим, что формула расчета бокового ребра правильной пирамиды четырехугольной через ее апофему и сторону основания аналогична таковой для треугольной фигуры. Это совпадение не является случайным, поскольку боковые грани обеих пирамид — это равнобедренные треугольники.
Задача на определение бокового ребра пирамиды Хеопса
Каждый человек знает, что первое чудо света — пирамида Хеопса, обладает головокружительными размерами. Она является самой большой из всех пирамид, находящихся в египетской Гизе. Стороны ее основания образуют квадрат с точностью до нескольких десятков сантиметров. Средняя длина стороны пирамиды оценивается в 230,363 метра. Высота пирамиды в настоящее время составляет около 137 метров, однако исходная высота каменного гиганта была 146,50 метров.
Воспользуемся приведенными выше цифрами, чтобы определить, чему равно боковое ребро правильной пирамиды четырехугольной, посвященной фараону Хеопсу.
Поскольку нам известна высота h и длина стороны a монумента, то следует применить такую формулу для b:
b = √(h2 + a2/2).
Подставляя в нее известные данные, получаем, что боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 273 метра, что немногим меньше периметра футбольного поля (300 метров).