Как найти длину треугольника математика 5 класс

Математика

5 класс

Урок №28

Треугольники

Перечень рассматриваемых вопросов:

— треугольники;

— элементы треугольника;

— виды треугольников.

Тезаурус

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и соединённых между собой.

Периметр треугольника – сумма длин всех сторон треугольника.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Среди всех многоугольников наименьшее число сторон и углов имеет треугольник. Он является простейшей фигурой, и казалось бы, его изучение не может быть интересным. Однако существует множество видов треугольников. О них мы и поговорим.

Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой – например, А, В, С. Соединим их с помощью линейки. Получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Отмеченные три точки А, В, С называются вершинами, отрезки АВ, ВС, АС – сторонами треугольника, а углы А, В, С – углами треугольника.

Все треугольники можно разделить на группы по сторонам:

— если равных сторон нет – это разносторонний треугольник;

— если две стороны равны – это равнобедренный треугольник;

— если все стороны равны – это равносторонний треугольник.

Треугольники можно разделить на группы в зависимости от углов:

— если есть тупой угол – это тупоугольный треугольник;

— если все углы острые – это остроугольный треугольник;

— если есть прямой угол – это прямоугольный треугольник.

Треугольники, соединяясь друг с другом, могут образовывать другие фигуры.

Попробуем нарисовать прямоугольный треугольник на листе в клетку. Мы знаем, что сторона стандартной клетки – пять миллиметров, следовательно, две клетки – это один сантиметр.

По сторонам клетки проведём отрезки заданной длины из одной точки. В нашем случае из точки А проведём отрезки длиной четыре и три сантиметра, что соответствует восьми и шести клеткам. На концах отрезков поставим точки В и С и соединим их между собой. Таким образом, мы построили прямоугольный треугольник АВС.

А теперь рассмотрим свойства треугольников. Одно из них – жёсткость. Это свойство заключается в том, что, если взять три рейки и соединить их попарно, то получится треугольник, изменить форму которого можно лишь сломав рейку.

Рассмотрим ещё одно свойство треугольников. Оно заключается в том, что длина каждой стороны треугольника всегда меньше суммы двух других сторон.

Это свойство можно использовать для проверки возможности построения треугольника по определённым сторонам. То есть, если свойство не выполняется, то такого треугольника не может быть.

Если мы знаем стороны треугольника, то можем найти его периметр как сумму длин всех его сторон. Например, периметр треугольника АВС – это сумма сторон АВ, АС и ВС.

Р = АВ + ВС + АС

Измерим с помощью линейки стороны треугольника и рассчитаем его периметр.

По результатам измерения стороны, соответственно, равны пяти, шести и семи сантиметрам.

Значит, периметр равен восемнадцати сантиметрам, то есть сумме всех сторон.

Говоря о треугольниках, стоит упомянуть, что они бывают как одинаковыми, так и разными. Определить, равные или разные треугольники, можно способом наложения. Если треугольник полностью накладывается на другой треугольник, такие треугольники равны. В противном случае треугольники не будут равными.

Рисунки из треугольников

Многие люди, как маленькие, так и взрослые, очень любят рисовать. Но иногда одного желания рисовать недостаточно. Для того чтобы облегчить процесс создания простейших картинок, инженер Эриф Мд. Вейлиула Байан, разработчик инновационного контента для детей, создал схемы, по которым, имея базовые навыки работы с чертёжными инструментами, можно создать милые и забавные картинки с животными и птицами.

Похожие схемы частично есть в открытом доступе, поэтому каждый желающий может приобщиться к миру изобразительного искусства через поэтапное прорисовывание простых картинок.

Тренировочные задания

№ 1. В треугольнике все стороны равны 15 см. Чему равен периметр треугольника?

Решение: для нахождения периметра используем формулу Р = АВ + АС + ВС.

Так как у этого треугольника стороны равны, то Р = 15 см + 15 см + 15 см = 45 см

№ 2. Сопоставьте треугольники с их видами (по углам).

Решение: в задаче требуется сопоставить треугольники со следующими видами по углам: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный. Согласно определению, прямоугольный треугольник имеет один угол 90 градусов: этому треугольнику соответствует второй треугольник. А тупоугольный треугольник имеет один угол больше 90 градусов: он отображён третьим по счёту. Как мы знаем, остроугольный треугольник имеет три угла меньше 90 градусов, так что в этом случае подходит треугольник, изображённый первым слева.

На этом уроке мы поговорим о таком понятии, как
точка. Научимся строить отрезки. Разберёмся, как измерять и сравнивать отрезки.
Познакомимся с многоугольниками.

Простейшей геометрической фигурой является точка.
Определение этой геометрической фигуре дать невозможно, но представление о ней
каждый из вас знает. Давайте разберёмся, что же она из себя представляет.

Если посмотреть на звёздное небо, то каждая из звёзд
по отдельности будет представлять собой точку.

А самым простым обозначением точки будет след на
бумаге от касания заострённым карандашом.

Точки принято обозначать большими буквами латинского
алфавита: А, В,
С, …

Давайте отметим две точки, А
и В. Если к двум этим точкам приложить
линейку и провести вдоль неё прямую линию от точки А
до точки В, то получится отрезок.
Его обозначают именами точек, т. е. у нас получился отрезок АВ. Этот же отрезок можно обозначить ВА. Сами же точки А
и В называют концами отрезка АВ.

Как вы думаете: сколько ещё отрезков мы можем
провести через эти две точки?

Любые две точки можно соединить только одним
отрезком.

Определение

Отрезок
– это часть прямой линии между двумя точками, включая эти точки (концы).

Давайте рассмотрим, как могут располагаться точки по
отношению к отрезку. Изобразим отрезок MN. Поставим точки К, Е и Р таким образом: точку К
на отрезок MN,
а Е и Р
вне его.

Точка К лежит на
отрезке. Записывают это так: .
Говорят: «Точка К принадлежит отрезку
MN».

Точка К разделяет
отрезок MN
на 2 отрезка, MК и КN.

Точки Е и Р не лежат на этом отрезке, поэтому записывают
так: ,
.
А говорят: «Точки Е и Р не принадлежат отрезку MN».

Отрезки можно сравнивать между собой. А сравнивают их при
помощи измерителя.

Для этого ставят измеритель концами в точки отрезка, а затем
прикладывают его к другому отрезку. Если отрезок выходит за пределы концов
измерителя, то он больше исходного отрезка, если точки совпадают, значит,
отрезки равны. А если же отрезок будет находиться между концами измерителя, то
он меньше исходного.

Посмотрим это на рисунке.

У нас есть 3 отрезка: CD, EF и KL. Давайте сравним их. Для этого
поставим измеритель концами соответственно в точки С
и D. Дальше приложим измеритель к
отрезку EF. Концы
измерителя совпали с точками отрезка. Значит, отрезки CD и EF равны, записывают это так: CD = EF.  Дальше приложим измеритель к
отрезку KL.
Отрезок KL
выходит за границы измерителя, значит, он длиннее отрезка CD. И записывают это так: CD < KL. А говорят: «Отрезок CD короче отрезка KL».

Также отрезки можно сравнивать с помощью линейки. Чтобы
узнать, какой из отрезков длиннее, мы должны измерить длину каждого отрезка.
     

На рисунке изображён отрезок РМ,
его длина 1 см. Отрезок АВ состоит из трёх
частей, каждая из которых равна отрезку РМ.
Значит, длина отрезка АВ равна 3 см. Пишут
так: АВ = 3 см.

Длина отрезка АВ
– это расстояние между точками А и В.

Кроме сантиметра существуют и другие единицы
измерения длины.

 

Большие расстояния
измеряют в километрах. Например, длина экватора
Земли составляет 40 077 км.

На рисунке изображены три точки: А, В и С. Давайте соединим их отрезками.

У нас получился треугольник. Обозначают его .
Говорят: «Треугольник АВС».

Определение

Точки А, В и С называют вершинами
треугольника ABC.  

А отрезки АВ, ВС и АС – сторонами
треугольника.

Если соединить 4 точки S, T, P, Q, то мы получим новую фигуру, которая
называется четырехугольник STPQ.

Точки S,
T, P и Q называют вершинами
четырёхугольника STPQ, а отрезки ST, TP, PQ и SQ  –  сторонами.

Если соединить 5 точек, то мы получим пятиугольник,
6 точек – шестиугольник и т. д.

Такие фигуры, как треугольник, четырёхугольник,
пятиугольник и другие называют многоугольниками.

Итоги

Итак, сегодня на уроке мы с вами разобрались, что из
себя представляет точка, научились чертить отрезки, мерить и сравнивать их. А
также познакомились с многоугольниками.

Как найти длину треугольника

Треугольник — это простейший многоугольник, имеющий 3 стороны и три угла. У любого треугольника можно найти длину. Сделать это не трудно. С таким заданием справится даже учащийся начальной школы.

Вам понадобится

• Линейка, ручка, калькулятор.

Инструкция

Длина треугольника — это сумма длин его сторон. Она называется периметром. Самый простой способ его найти — взять нить и приложить её ко всем сторонам этой геометрической фигуры. Затем с помощью линейки измерить длину получившейся нити. «Минус» этого способа состоит в том, что результат измерения может быть неточным. Школьнику не всегда удается приложить нить к сторонам треугольника как можно точнее.

Чтобы найти точный периметр, надо измерить длину каждой стороны треугольника с помощью линейки, а затем сложить полученные результаты. Например, a = 5 см, b = 7 см, с = 2 см (a, b, с — стороны треугольника)
5 + 7 + 2 = 14 см — длина данного треугольника.

Если треугольник равнобедренный, достаточно измерить длину его основания и сложить полученное значение с длиной другой стороны, умноженной на два, т.к сторон, прилегающих к основанию, две.Например, a = 5 см, b = 7 см, с = 7 см (a, b, с — стороны треугольника)
5 + 7 * 2 = 19 см — длина данного треугольника.

Чтобы определить периметр равностороннего треугольника, достаточно измерить длину одной из его сторон и умножить полученный результат на три, т.к. эта геометрическая фигура имеет три одинаковых стороны.
Например, a = 5 см, b = 5 см, с = 5 см (a, b, с — стороны треугольника).5 * 3 = 15 см — длина данного треугольника.

Видео по теме

Полезный совет

Учите ребенка прикладывать линейку к началу стороны точно «нулевой отметкой».
Не забывайте о том, в каких величинах вы измерили длину треугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

На этом уроке разберемся в том, что же такое отрезок, в чем измеряется его длина, как происходит сравнение отрезков, а также рассмотрим одну из основных фигур, которую можно получить из трех отрезков — треугольник.

Отрезок

Отрезок — это прямая линия, ограниченная двумя точками.

Нарисуем точку $A$ и точку $B$, а затем соединим их линией (Рисунок $1$). Мы получили отрезок $AB$ (можно также назвать его как $BA$), а $A$ и $B$ являются его концами.

Сможем ли мы соединить точки $A$ и $B$ еще одним отрезком? Если мы попытаемся это сделать, то просто еще раз начертим отрезок $AB$.

Любые две точки можно соединить только одним отрезком.

Когда точка лежит на отрезке?

Добавим к нашему рисунку еще пару точек: $E$, $K$ и $M$ (Рисунок $2$). Точку $E$ расположим на отрезке, а две другие — рядом с ним.

Мы видим, что точка $E$ лежит на отрезке $AB$, в то время как точки $K$ и $M$ на нем не лежат.

Что такое длина отрезка? 

Длина отрезка – расстояние между его концами.

Например, если расстояние между точками $N$ и $L$ — $3$ $см$, то и длина отрезка $NL$ тоже будет $3$ $см$ (Рисунок $3$).

Длины отрезков измеряют в единицах измерения длины. Самыми распространенными из них являются:

• Миллиметры
• Сантиметры ($1$ $см$ $=$ $10$ $мм$)
• Дециметры ($1$ $дм$ $=$ $10$ $см$)
• Метры ($1$ $м $ $= $ $100$ $см$)
• Километры ($1$ $км$ $=$ $1000$ $м$)

Измеряли ли вы когда-нибудь путь от дома до школы при помощи шагов? Так вот, шаг — это своего рода отрезок, со своей длиной.
Если сложить все такие отрезки, получим расстояние от дома до школы!

Каждый отрезок может быть разделен на несколько частей.

Возьмем в качестве примера отрезок $AB$. На данном отрезке находятся точка $H$, точка $I$ и точка $L$ (Рисунок $4$).

Данные точки делят весь отрезок на $4$ части. Таким образом мы получили отрезки $AH$, $HI$, $IL$ и $LB$. Каждый из этих отрезков будет являться лишь частью отрезка $AB$ и всегда будет короче, чем весь отрезок.

Сравнение отрезков

Отрезки можно сравнивать между собой, измеряя их длину при помощи различных измерителей: линеек, циркулей и других инструментов. Рассмотрим отрезки $PE$, $QM$ и $KO$ (Рисунок $5$).

Если их измерить, то получится, что отрезки $PE$ и $KO$ имеют длину $5$ $см$, а $QM$ — $10$ $см$. Теперь давайте их сравним. Если отрезки имеют одинаковую длину, то они равны. В нашем случае это будет выглядеть так: $PE = KO$.

Отрезок $QM$ имеет большее расстояние между точками, соответственно он длиннее, чем отрезки $PE$ и $KO$.

Треугольник

Фигуру, составленную из трех отрезков, называют треугольником.

Сами отрезки называются сторонами треугольника, а точки (или концы) отрезков являются вершинами треугольника.

В треугольнике $ABC$ (Рисунок $6$) отрезки $AB$, $BC$ и $AC$ являются сторонами, а точки $A$, $B$ и $C$ — вершинами.

Из отрезков можно сделать и другие фигуры, например квадрат, звезду и прочие (Рисунок $7$).

Многоугольники

Все фигуры, имеющие более трех углов, называются многоугольниками.

В каждом многоугольнике также есть вершины (точки отрезков) и стороны (сами отрезки).

Часто задаваемые вопросы

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Длина стороны треугольника

Вычисление длины стороны треугольника по двум другим и углу между ними согласно теореме косинусов.

После написания калькулятора Длина стороны прямоугольного треугольника по запросу пользователя вдруг вспомнил, что теорема Пифагора есть частный случай теоремы косинусов:

Воистину, тема треугольника неисчерпаема, как атом. На сайте уже был один калькулятор, который использовал теорему косинусов — Нахождение углов треугольника по заданным сторонам, а вот и второй, который просто находит длину противолежащей стороны.