Как найти длину вектора по сторонам прямоугольника

В прямоугольнике АВСД вектор АС является диагональю, которая делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника АВС и СДА. Искомая сторона АС — гипотенуза, а заданные по условию стороны длиной 60 и 25 — катеты.

Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов: АС^2 = АВ^2 + ВС^2. Откуда АС = (АВ^2  + ВС^2)^(1/2).

Подставим заданные величины АС = (60^2  + 25^2)^(1/2) = 4225 ^(1/2) = 65.

Длина вектора АС = 65

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Определения скалярного произведения векторов через угол между ними

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора ) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть и — векторы, — угол между ними, а — сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

,

где — угол, смежный с углом . У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

.

В случае вычитания векторов () происходит сложение вектора с вектором , противоположным вектору , то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и и и между и являются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что .

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .

Пример 3. Даны длины векторов и длина их суммы . Найти длину их разности .

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Пример 4. Даны длины векторов и длина их разности . Найти длину их суммы .

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между и :

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Пример 5. Векторы и взаимно перпендикулярны, а их длины . Найти длину их суммы и и длину их разности .

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. ,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. ,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ?

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Сумма векторов. Длина вектора. Задачи!

Сумма векторов. Длина вектора. Дорогие друзья, в составе типов задний экзамена присутствует группа задач с векторами. Задания довольно широкого спектра (важно знать теоретические основы). Большинство решается устно. Вопросы связаны с нахождением длины вектора, суммы (разности) векторов, скалярного произведения. Так же много заданий, при решении которых необходимо осуществить действия с координатами векторов.

Теория касающаяся темы векторов несложная, и её необходимо хорошо усвоить. В этой статье разберём задачи связанные с нахождением длины вектора, также суммы (разности) векторов. Некоторые теоретические моменты:

Вектор — это направленный отрезок.

Все векторы, имеющие одинаковое направление и равные по длине являются равными.

*Все представленные выше четыре вектора равны!

То есть, если мы будем при помощи параллельного переноса перемещать данный нам вектор, то всегда получим вектор равный исходному. Таким образом, равных векторов может быть бесчисленное множество.

Вектор может быть обозначен латинскими заглавными буквами, например:

При данной форме записи сначала записывается буква обозначающая начало вектора, затем буква обозначающая конец вектора.

Ещё вектор обозначается одной буквой латинского алфавита (прописной):

Возможно также обозначение без стрелок:

Суммой двух векторов АВ и ВС будет являться вектор АС .

Записывается как АВ + ВС = АС .

Это правило называется – правилом треугольника.

То есть, если мы имеем два вектора – назовём их условно (1) и (2), и конец вектора (1) совпадает с началом вектора (2), то суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом вектора (1), а конец совпадает с концом вектора (2).

Вывод: если мы имеем на плоскости два вектора, то всегда сможем найти их сумму. При помощи параллельного переноса можно переместить любой из данных векторов и соединить его начало с концом другого. Например:

Перенесём вектор b, или по-другому – построим равный ему:

Как находится сумма нескольких векторов? По тому же принципу:

Это правило является следствием изложенного выше.

Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Построим вектор равный вектору b так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a, и мы можем построить вектор, который будет являться их суммой:

Ещё немного важной информации, необходимой для решения задач.

Вектор, равный по длине исходному, но противоположно направленный, обозначается также но имеет противоположный знак:

Эта информация крайне полезна для решения задач, в которых стоит вопрос о нахождении разности векторов. Как видите, разность векторов это та же сумма в изменнёном виде.

Пусть даны два вектора, найдём их разность:

Мы построили вектор противоположный вектору b, и нашли разность.

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала:

То есть, координаты вектора представляют собой пару чисел.

И координаты векторов имеют вид:

Модулем вектора называется его длина, определяется по формуле:

Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов АО и ВО .

Найдём вектор, который будет являться результатом АО – ВО:

АО – ВО = АО +(– ВО )= АВ

То есть разность векторов АО и ВО будет являться вектор АВ. А его длина равна восьми.

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ + AD .

Найдём вектор, который будет являться суммой векторов AD и AB . Вектор BC равен вектору AD . Значит AB + AD = AB + BC = AC

Длина вектора AC это длина диагонали ромба АС, она равна 16.

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО + ВО .

Найдём вектор, который будет являться суммой векторов АО и ВО . Вектор ВО равен вектору OD, з начит

Длина вектора AD это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы в прямоугольном треугольнике AOD. Вычислим катеты:

По теореме Пифагора:

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО – ВО .

Найдём вектор, который будет являться результатом АО – ВО :

Длина вектора АВ это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике AOB. вычислим катеты:

По теореме Пифагора:

Стороны правильного треугольника ABC равны 3.

Найдите длину вектора АВ – АС .

Найдём результат разности векторов:

Длина вектора СВ равна трём, так как в условии сказано, что треугольник равносторонний и его стороны равны 3.

27663. Найдите длину вектора а (6;8).

27664. Найдите квадрат длины вектора АВ .

27707. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину вектора АС .

27708. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов AB и AD .

27709. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов AB и AD .

27711. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов АО и ВО .

27713. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ .

27715. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16.

Найдите длину вектора АВ – AD .

27716. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16.

Найдите длину вектора АВ – АС .

Стороны правильного треугольника ABC равны 2√3. Найдите длину вектора АВ + АС .

В будущем мы продолжим рассматривать задачи с векторами, не пропустите! Задания будут связаны с координатами векторов, скалярным произведением.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр

Вступительный экзамен по математике. Преподаватели приглашают первого абитуриента:
— Сколько будет два плюс два?
— Три! — Нет! — Пять! — Нет! — Шесть!
— Неправильно! Да… дурак, но ищущий… берем!
Заходит второй абитуриент:
— Сколько будет два плюс два?
— Три! — Нет! — Три! — Нет! — Три!
— Неправильно! Да… дурак, но настырный… берем!
Заходит третий абитуриент:
— Сколько будет два плюс два?
— Четыре, конечно!
— Да… умный. Но мест уже нет!

Как найти длину вектора

Формула

Чтобы найти длину вектора, заданного своими координатами, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов его координат. Если вектор задан на плоскости и имеет координаты $bar=left(a_ ; a_right)$, его длина вычисляется по формуле:

Примеры вычисления длины вектора

Задание. Найти длину вектора $bar=(-3 ; 4)$

Решение. Для нахождения длины вектора, заданного на плоскости, воспользуемся формулой

Ответ. $|bar|=5$

Задание. В пространстве заданы точки $A(3 ;-2 ;-1)$ и $ B(1 ; 2 ;-5)$. Найти длину вектора $overline$

Решение. Найдем сначала координаты вектора $overline$. Для этого из координат конца вычислим соответствующие координаты начала, получим:

нахождения длины вектора $overline$ воспользуемся формулой:

Подставляя в эту формулу координаты вектора, получим

Ответ. $|overline|=6$

как доказать, какие нужны условия, примеры задач для 9 класса

Что такое равенство двух векторов в геометрии 

Основными характеристиками вектора в пространстве и на плоскости являются его длина и направление, и именно на этом основано определение равенства векторов.

Для начала введем понятие коллинеарности.

Определение 1

Коллинеарность — характеристика взаиморасположения ненулевых векторов. Векторы коллинеарны, если расположены на одной прямой или параллельных прямых. Коллинеарные векторы допустимо называть параллельными.

Из определения нулевого вектора (вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, и длина равна нулю) ясно, что нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.

Если направления коллинеарных векторов совпадают, то их называют сонаправленными и обозначают b→↑↑d→, если нет — противоположно направленными и обозначают b→↑↓d→.

Определение 2

Равными считают те векторы, длины которых равны, а направления совпадают.

Понятие, признаки, какие нужны условия

Понятие равенства векторов применяется не только в геометрии, но и в алгебре, и особенно часто в физике, где действующие на тела сила представляют в векторном виде.

Необходимые признаки следуют из определения равных векторов. Итак, векторы равны, если:

• их модули или координаты равны;
• они сонаправлены.

Остановимся подробнее на первом признаке. Модуль — длина вектора обозначается как left|overrightarrow bright|. Формула для вычисления длины вектора на плоскости имеет вид:

Формула 

b→=x2+y2

Под корнем находится сумма координат вектора, то есть векторы равны, если доказано либо равенство их модулей, либо координат.

Необходимым условием равенства векторов является сочетание двух признаков: векторы должны быть сонаправлены, а их длины равными.

Отметим, что наличие только одного из признаков не делает векторы равными. Так, противоположно направленные векторы с одинаковыми длинами не равны. Сонаправленные векторы с отличными по величине модулями также нельзя назвать равными.

Доказательство теоремы, формулы

Теорема 

Равные векторы обладают следующими свойствами:

1. Вектор равен самому себе.
2. Для равных векторов справедливо тождество: b→=d→⇔d→=b→.
3. Если векторы равны третьему, то они равны друг другу.

 Доказательство. Первые два свойства прямо следуют из определения равенства векторов. Докажем третье свойство. Для этого воспользуемся правилом параллельного переноса. Пусть имеются три вектора, при этом b→=d→ и f→=d→. Начальную и конечную граничные точки f→ совместим с соответствующими граничными точками d→. Так как f→=d→, векторы совпадут. По условию b→=d→, а если f→ и d→ совпали, то b→=f→. Теорема доказана.

Кратко остановимся на используемых для решения задач формулы математических операций с векторами:

1. Умножение b→ на число k: d→=k·b→.
2. Сложение и вычитание векторов производят по методу треугольника.

Примеры задач для 9 класса

Задача 1

Дано: d→=b→. Известны координаты вектора b→ (2; 21) и одна координата вектора d→ (3; y). Найти координату y d→.

Решение

По условию задачи векторы равны, а значит, равных их модули. Составим уравнение с неизвестной переменной — y.

22+(21)2=32+y2

Откуда: 25=9+y2⇒y=4.

Ответ: d→ (3; 4).

Задача 2

Дано: два вектора MN→ и KL→ такие, что MN=KL. По точкам M и L построен отрезок ML, по точкам N и K — NK. Доказать, что середины ML и NK совпадают.

Решение.

Сделаем рисунок по условию задачи.

Видно, что MNLK — параллелограмм. Тогда ML и NK являются диагоналями MNLK. По свойству параллелограмма, точка пересечения диагоналей делит их пополам. То есть середина ML совпадет с серединой NK, что и требовалось доказать.

Задача 3

Дано: прямоугольник KLMN. Известны длины сторон: KL=6; LM=8. На отрезке KL обозначена точка O, при этом KO=OL. Найти длину NO→.

Решение

Прямоугольник — частный случай параллелограмма, то есть его противоположные стороны равны. Длину NO→ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника NKO.

NO→=KO2+NK2=KL22+LM2=9+64=73

Ответ: NO→=73.

Задача 4

Определить форму фигуры, заданной точками H, D, F, G, если имеется свободно расположенная на плоскости точка O такая, что OF→-OD→=OG→-OH→.

Решение.

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить чертеж по известным условиям. Обозначим точку О, теперь проведем из точки OF→ и OD→. По методу треугольника построим вектор DF→, равный разности OF→ и OD→. Затем из точки О также проведем векторы OH→, OG→ и результирующий HG→. Получили четырехугольник. HDFG. По условию противоположные стороны DF и HG равны, значит, HDFG — параллелограмм.

Ответ: параллелограмм.

Векторы – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Вопросы

1. Найдите вектор (vec{a}), перпендикулярный вектору (vec{b} (5; 3)), если их длины равны.

2. Найдите вектор (vec{a}), перпендикулярный вектору (vec{b} (5; 3)), если их длины равны.

3. Определите координаты единичного вектора, сонаправленного с вектором (vec{p}(-sqrt3;1)).

4. Найдите сумму ветров (vec{a}) {1; – 2} и (vec{в}) {2; – 2}. Найдите длину вектора суммы (vec{c})

5. В равнобедренной трапеции АВСD укажите пары коллинеарных векторов.

6. Найдите скалярное произведение векторов (vec{c})  и (vec{d}), если известно, что (midvec{c}mid) = 5, (midvec{d}mid) = 8, а угол между ними равен 60°

7. Даны векторы (vec{a}) {3; 4} и (vec{в}) {– 3; 3}. Найдите угол между ними, если скалярное произведение равно 7,5(sqrt6).

8. Вычислите скалярное произведение векторов, если (vec{a}) {– 4; – 3}, (vec{в}) {1; 0}, а угол между ними равен 30°.

9. Даны векторы (vec{a}) {1; 6} и (vec{в}) {– 5; 7}. Найдите координаты вектора (vec{с}=2vec{а}+vec{в}).

10. Даны точки А(2;–1), С(3;4). Найдите абсолютную величину вектора АС.

11. (midvec{a}mid)= 1, (midvec{в}mid)= 6, a cos(alpha) = (frac 13). Найдите скалярное произведение данных векторов.

12. Найдите значение m, при котором векторы (vec{a}) и (vec{в}) перпендикулярны, если (vec{a}) {m; – 8} и (vec{в}) {4; 3}

13. Даны точки А (3;8), В (–7;5), С (k; 11). Найдите значение k, при котором (vec{BA}) (bot)(vec{CB}).

14. Найдите координаты вектора (vec{c}=vec{a}-3vec{b}), если (vec{a}) {3; 2}, (vec{b}) {– 3; 1}

15. Вычислите скалярное произведение векторов, если (midvec{a}mid) = 2, (midvec{b}mid) = 3 и угол между ними равен 135°

16. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы (vec{a}) = (vec{AB})  и (vec{b}) = (vec{AC}) вектор (vec{CB})

17. Найдите угол между векторами (vec{a}) (2; 0) и (vec{b}) (– 2 ; 2)

18. Даны векторы (vec{a}) (2; 3), (vec{b}) (–1; 0). Найдите сумму векторов (vec{a}) и (vec{b})

19. Материальная точка переместилась на 3 метра под воздействием постоянной силы в 5 ньютонов, направленной под углом 45 градусов по отношению к оси перемещения. Найдите работу этой силы.

20. Найдите скалярное произведение векторов  (vec{a}(-1;3), vec{b}(-7;5).)

21. Сколько разных векторов определяют стороны параллелограмма?

22. (vec{|a|}=7, vec{|b|}=6,) а угол между векторами   (vec a) и (vec b)  равен 120°. Найдите скалярное произведение (vec acdot (vec a+vec b).)
     

23. Даны векторы (vec a(3;4), vec b(k;2). ) При каком значении (k) эти векторы взаимно перпендикулярны?
     

24.  

    В прямоугольном треугольнике ABC C = 90°,сторона AC равна 6 см, сторона BC равна 8 см. Найдите AC+BC.

25. При каких значениях числа х векторы ( vec a(x; 3) и vec b(2; 7)) коллинеарны?

26. Даны векторы  (vec a{1;6 }), (vec b{5;7 }). Найдите скалярное произведение векторов

27. Диагонали ромба (ABCD ) равны 10 и 14. Найдите длину вектора  (vec{AB}-vec {AD}) .

28. Даны векторы (vec{а}) {2; 1,5} и (vec{в}) {3; – 1}, (vec{с}) {4,4; 3,3}.

    Найдите пары коллинеарных векторов.

29. Даны (vec{a})( – 1; 2), (vec{b})(0; 5). Найдите (vec{c} = 2vec{a} – vec{b}).

30. Даны (vec{а})( – 4; 3), (vec{в})(0; 1). Найдите скалярное произведение данных векторов.

31. Найдите значение k, при котором векторы (vecа) (– 2; 1) и (vecв) (9; k) перпендикулярны.

32. Даны (vecа)(1; 4) и (vecв)(– 3; 2). Найдите значение k, при котором вектор (vecа+vec{kв}) перпендикулярен (vecа).

33. Даны векторы (vec{а}) {3; 2}, (vec{в}){2; – 1}, (vec{c}) {7; 3}, (vec{d}) {4; – 2}. circ).

34. Даны точки А(3; 8), В( – 7; 5), С(n; 11). Найдите значение n, при котором векторы АВ и АС перпендикулярны.

35. Даны (vec{a})(– 3; 2) и (vec{c})(1; 4). Найдите значение k, при котором вектор (vec{a} + vec{kc})  перпендикулярен (vec{c}).

36. Найдите скалярное произведение векторов (vec{a}) (– 7; 3)и (vec b)(– 1; 5).

37. Сколько пар равных векторов определяют вершины квадрата?

38. (mid vec{a}mid=7; midvec{b}mid=6), угол между векторами равен 60°. Найдите скалярное произведение (vec{a}cdot(vec{a}+vec{b})).

39. Даны векторы (vec a)(1; 0), (vec b)(1; 1). При каком значении(lambda ) вектор (vec{a}+λvec{b}) перпендикулярен вектору (vec{b})?

40. В треугольнике FGH точки M и N – середины сторон FG и GH соответственно. Выразите вектор (vec{MH}) через векторы (vec{m}=vec{GM}, vec{n}=vec{GN}).

41. При каких значениях числа х векторы (vec a)(7; 3), (vec b)(x; 2) являются коллинеарными?

42. Вычислите скалярное произведение векторов, если (midvec{a}mid=4,5, midvec{b}mid=6), а угол между ними равен 60°.

43. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов (vec{AO}) и (vec{DO}).

44. Угол между векторами (vec a) (2; 4) и (vec b) (3; 1) равен

45. Найдите сумму векторов (vec{AB}-vec{FH}+vec{EH}-vec{CB}+vec{CE}).

46. Найдите угол между векторами (vec a) ( – 1; 2) и  (vec b) (3; – 1).

47. При каких значениях x векторы (vec a) (x; 3) и  (vec b) (2; 7) ортогональны (перпендикулярны)?

48. Даны векторы (vec{a}) {2; – 1}, (vec{b}) {– 3; 7}.  Найдите их скалярное произведение.

49. Угол между векторами (vec a) (1,2; 1,8), (vec{b}) (0,2; 0,3)

50. Сторона равностороннего треугольника KLM равна a. Найдите (|vec{KL}+vec{KM}|).

51. Укажите правильное разложение вектора (vec d) (– 4; 2) по координатным векторам (vec i) и  (vec j).

52. Дан треугольник с вершинами в точках A (1; 1), B (– 4; 3), C (2; 2).Найдите длину медианы АК.

53. Найдите координаты вектора (vec{PQ}), если P (1; – 3) и Q (3; – 1).

54. При каких значениях числа х векторы (vec a) (7; 3), (vec b)(x; 2) ортогональны (перпендикулярны)?

55. Вычислите скалярное произведение векторов, если (midvec{a}mid=2,5,midvec{b}mid=7), a угол между ними равен 30°.

56. Найдите длину разности векторов (vec{AO}) и (vec{DO}), если в прямоугольнике ABCD стороны AB и AD равны 3 и 4 см соответственно, а диагонали пересекаются в точке О

Сообщить об ошибке

Видео-вопрос: Использование векторов для определения площади прямоугольника по его вершинам

Прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 имеет вершины 𝐴(−6, −7), 𝐵(0, 2), 𝐶(6, −2) и 𝐷(0, − 11). Используйте векторы, чтобы определить его площадь.

Стенограмма видео

Прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 имеет вершины 𝐴 минус шесть, минус семь; 𝐵 ноль, два; 𝐶 шесть, минус два; и 𝐷 ноль, отрицательный 11. Используйте векторы, чтобы определить его площадь.

Начнем с рисования прямоугольника на координатной сетке. Точка 𝐴 имеет координаты минус шесть, минус семь. Точка 𝐵 имеет координаты ноль, два. Точка 𝐶 равна шести, минус два. И, наконец, точка 𝐷 имеет координаты ноль, минус 11. Нас просят вычислить площадь прямоугольника с помощью векторов. Мы знаем, что площадь любого параллелограмма равна величине векторного произведения векторов 𝐚 и 𝐛, где вектор 𝐚 и вектор 𝐛 — стороны параллелограмма. Величина векторного произведения любых двух векторов равна величине вектора 𝐚, умноженной на величину вектора 𝐛, умноженной на величину греха 𝜃, где 𝜃 — угол между двумя векторами.

Мы знаем, что прямоугольник — это особый вид параллелограмма, в котором четыре угла равны 90 градусам. Таким образом, площадь прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна величине векторного произведения вектора 𝚨𝚩 и вектора 𝚨𝐃. Это, в свою очередь, равно величине вектора 𝚨𝚩, умноженной на величину вектора 𝚨𝐃, умноженной на величину греха 𝜃. 𝜃 равно 90 градусам, а мы знаем, что грех 90 градусов равен единице. Таким образом, площадь прямоугольника равна величине вектора 𝚨𝚩, умноженной на величину вектора 𝚨𝐃. Теперь мы освободим место, чтобы мы могли вычислить эти два значения.

Компоненты вектора 𝚨𝚩 будут равны нулю минус минус шесть и два минус минус семь. Ноль минус минус шесть равно шести, а два минус минус семь равно девяти. Следовательно, вектор 𝚨𝚩 равен шести, девяти. Мы можем найти величину любого вектора, найдя сумму квадратов каждого из компонентов, а затем извлекая из ответа квадратный корень. Шесть в квадрате равно 36, а девять в квадрате равно 81. Следовательно, величина вектора 𝚨𝚩 равна квадратному корню из 117. Это упрощает до корня из трех 13.

Теперь мы можем повторить этот процесс для вектора 𝚨𝐃. Это будет иметь 𝑥-компоненту, равную нулю минус минус шесть, и 𝑦-компоненту, равную минус 11 минус минус семь. Это равно шести, минус четыре. Таким образом, величина вектора 𝚨𝐃 равна квадратному корню из шести в квадрате плюс минус четыре в квадрате. Поскольку шесть в квадрате равно 36, а минус четыре в квадрате равен 16, у нас остается квадратный корень из 52. Это упрощается до двух корней из 13. Подстановка этих значений в наше уравнение дает нам три корня из 13, умноженные на два корня из 13. Три, умноженное на два, равно шести, а корень 13, умноженный на корень 13, равен 13. Это дает нам шесть, умноженное на 13, что равно 78. Площадь прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 составляет 78 единиц площади.

Как найти длину прямоугольника, периметр и ширина которого заданы?

Измерение влечет за собой процессы измерения и всех расчетов, относящихся к различным геометрическим формам, происходящие в математической теории, а также в нашей повседневной жизни. Изучение всех геометрических фигур подпадает под сферу измерения. Геометрические формы, такие как треугольники, прямоугольники, четырехугольники, круг и т. д. Здесь прямоугольник обсуждается ниже,

Прямоугольник

Прямоугольник определяется как тип четырехугольника, противоположные стороны которого всегда параллельны и равны по длине. Соседние стороны пересекаются друг с другом под прямым углом. Как и у всех других четырехугольников, сумма всех четырех углов прямоугольника также равна 360°. Прямоугольник — это двумерная фигура, которая имеет только две пропорции длины и ширины, представленные каждой парой четырех сторон.

На приведенном выше рисунке изображен прямоугольник ABDC, где сторона AB параллельна стороне CD, а сторона AC параллельна стороне BD. Здесь AB и CD обозначают длину прямоугольника, а AC и BD — ширину. Сумма всех четырех прямых углов равна 360°.

Периметр прямоугольника

Периметр двумерной геометрической фигуры представляет собой сумму длин всех его сторон. Итак, периметр прямоугольника ABDC будет равен:

AB + AC + CD + BD

= l + b + l + b

= 2l + 2b

= 2(l + b).

Следовательно, периметр прямоугольника в два раза больше суммы его длины и ширины.

Как найти длину прямоугольника, периметр и ширина которого заданы?

Решение:

Пусть данный периметр равен P единицам, а ширина равна x единицам. Пусть длина обозначается l.

Поскольку Периметр прямоугольника = 2(l + b)

⇒ P = 2l + 2b

⇒ 2l = P – 2b

⇒ l =

Приведенную выше формулу можно использовать для нахождения длины прямоугольника, периметр и ширина которого заданы.

Аналогичные задачи

Вопрос 1: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 50 см, а ширина 10 см.

Решение:

P = 2 (L + B)

Дано: P = 50 см и B = 10 см

⇒ L =

⇒ L =

⇒ L = 30/2

⇒ l = 15 см

Вопрос 2: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 60 см, а ширина 5 см.

Решение:

P = 2 (L + B)

Дано: P = 60 см и B = 5 см

⇒ L =

⇒ L =

⇒ L = 50/2

⇒ l = 25 см

Вопрос 3: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 60 см, а ширина 20 см.

Решение:

P = 2(l + b)

Дано: P = 60 см и b = 20 см

Вопрос 4: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 80 см, а ширина 10 см.

Решение:

P = 2 (L + B)

Дано: P = 80 см и B = 10 см

⇒ L =

⇒ L =

⇒ L = 60/2

⇒ l = 30 см

Вопрос 5: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 100 см, а ширина 10 см.

Решение:

P = 2 (L + B)

Дано: P = 100 см и B = 10 см

⇒ L =

⇒ L =

⇒ L = 80/2

⇒ l = 40 см

Вопрос 6: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 60 см, а ширина 10 см.

    Сумма векторов. Длина вектора. Дорогие друзья, в составе типов задний экзамена присутствует группа задач с векторами. Задания довольно широкого спектра (важно знать теоретические основы). Большинство решается устно. Вопросы связаны с нахождением длины вектора, суммы (разности) векторов, скалярного произведения. Так же много заданий, при решении которых необходимо осуществить действия с координатами векторов.

Теория касающаяся темы векторов несложная, и её необходимо хорошо усвоить. В этой статье разберём задачи связанные с нахождением длины вектора, также суммы (разности) векторов. Некоторые теоретические моменты:

Понятие вектора

Вектор — это направленный отрезок.

Все векторы, имеющие одинаковое направление и равные по длине являются равными.

*Все представленные выше четыре вектора равны!  

То есть, если мы будем при помощи параллельного переноса перемещать данный нам вектор, то всегда получим вектор равный исходному. Таким  образом, равных векторов может быть бесчисленное множество.

Обозначение векторов

Вектор может быть обозначен латинскими заглавными буквами, например:

При данной форме записи сначала записывается буква обозначающая начало вектора, затем буква обозначающая конец вектора.

Ещё вектор обозначается одной буквой латинского алфавита (прописной):

Возможно также обозначение без стрелок:

Сумма векторов

Суммой двух векторов АВ и ВС будет являться вектор АС.

Записывается как АВ+ВС=АС.

Это правило называется – правилом треугольника.

То есть, если мы имеем два вектора – назовём их условно (1) и (2), и конец вектора (1) совпадает с началом вектора (2), то  суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом вектора (1), а конец совпадает с концом вектора (2).

Вывод: если мы имеем на плоскости два вектора, то всегда сможем найти их сумму. При помощи параллельного переноса можно переместить любой из данных векторов и соединить его начало с концом другого. Например:

Перенесём вектор b, или по-другому – построим равный ему:

Как находится сумма нескольких векторов? По тому же принципу:

* * *

Правило параллелограмма

Это правило является следствием изложенного выше.

Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Построим вектор равный вектору b так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a, и мы можем построить вектор, который будет являться их суммой:

Ещё немного важной информации, необходимой для решения задач.

Вектор, равный по длине исходному, но противоположно направленный, обозначается также но имеет противоположный знак:

Эта информация крайне полезна для решения задач, в которых стоит вопрос о нахождении разности векторов. Как видите, разность векторов это та же сумма  в изменнёном виде.

Пусть даны два вектора, найдём их разность:

Мы построили  вектор противоположный вектору b, и нашли  разность.

Координаты вектора

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала:

То есть,  координаты вектора представляют собой пару чисел.

Если

И координаты векторов имеют вид:

То   c₁= a₁+ b₁     c₂= a₂+ b₂

Если

То   c₁= a₁– b₁      c₂= a₂– b₂

Модуль вектора

Модулем вектора называется его длина, определяется по формуле:

Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:

Рассмотрим задачи:

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов АО и ВО.

Найдём вектор, который будет являться результатом АО–ВО:

АО–ВО=АО+(–ВО)=АВ

То есть разность векторов  АО и ВО будет являться вектор АВ. А его длина равна восьми.

Ответ: 8

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ+AD.

Найдём вектор, который будет являться суммой векторов AD и AB. Вектор BC равен вектору AD. Значит AB+AD=AB+BC=AC

Длина вектора AC это длина диагонали ромба АС, она равна 16.

Ответ: 16

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО+ВО.

Найдём вектор, который будет являться суммой векторов АО и ВО. Вектор ВО равен вектору OD, значит

Длина вектора AD это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы в прямоугольном треугольнике AOD. Вычислим катеты:

По теореме Пифагора:

Ответ: 10

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора АО–ВО.

Найдём вектор, который будет являться результатом АО–ВО:

Длина вектора АВ это длина стороны ромба. Задача сводится к нахождению гипотенузы АВ в прямоугольном  треугольнике AOB. вычислим катеты:

По теореме Пифагора:

Ответ: 10

Стороны правильного треугольника ABC равны 3.

Найдите длину вектора АВ–АС.

Найдём результат разности векторов:

Длина вектора СВ равна трём, так как в условии сказано, что треугольник равносторонний и его стороны равны 3.

Ответ: 3

27663. Найдите длину вектора а(6;8).

Посмотреть решение

27664. Найдите квадрат длины вектора АВ.

Посмотреть решение

27707. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину вектора АС.

Посмотреть решение

27708. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов AB и AD.

Посмотреть решение

27709. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов AB и AD.

Посмотреть решение

27711. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов АО и ВО.

Посмотреть решение

27713. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АВ.

Посмотреть решение

27715. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16.

Найдите длину вектора АВ–AD.

Посмотреть решение

27716. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16.

Найдите длину вектора АВ–АС.

Посмотреть решение

Стороны правильного треугольника ABC равны 2√3. Найдите длину вектора АВ+АС.

Посмотреть решение

В будущем мы продолжим рассматривать задачи с векторами, не пропустите!  Задания будут связаны с координатами векторов, скалярным произведением.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр

Вступительный экзамен по математике. Преподаватели приглашают первого абитуриента:
— Сколько будет два плюс два?
— Три! — Нет! — Пять! — Нет! — Шесть!
— Неправильно! Да… дурак, но ищущий… берем!
Заходит второй абитуриент:
— Сколько будет два плюс два?
— Три! — Нет! — Три! — Нет! — Три!
— Неправильно! Да… дурак, но настырный… берем!
Заходит третий абитуриент:
— Сколько будет два плюс два?
— Четыре, конечно!
— Да… умный. Но мест уже нет!

P.S: Буду благодарен, если расскажете о статье в социальных сетях.

Длина вектора

Как найти?

Длина вектора $ overline{a}$ обозначается как $ |overline{a}| $. Как найти длину вектора по его координатам? Для этого существует две формулы в зависимости от расположения вектора: на плоскости $ overline{a}=(a_x;a_y) $ или в пространстве $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $.

Формула длины вектора на плоскости:

$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2} $$

Формула длины вектора в пространстве:

$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2 } $$

Если даны координаты точек начала и конца вектора $ A(a_x; a_y) $ и $ B(b_x; b_y) $, то найти длину можно по формулам:

$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y) ^2} $$

$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y)^2+ (a_z-b_z)^2} $$

Примеры решений

Пример 1

Найти длину вектора по его координатам $ overline{a} = (4;-3) $

Решение

Разберем вектор. Первая координата $ a_x = 4 $, а вторая координата $ a_y=-3 $. Так как даны две координаты, то делаем вывод, что задача плоская. Необходимо применить первую формулу. Подставляем в неё значения из условия задачи: $$|overline{a}| = sqrt{4^2+(-3)^2} = sqrt{16+9} = sqrt{25} = 5 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

Длина вектора $|overline{a}| = 5 $

Пример 2

Найти длину вектора по координатам $ overline{a}=(4;2;4) $

Решение

Сразу замечаем, что дана пространственная задача. А именно $ a_x=4, a_y=2, a_z=4 $. Для нахождения длины вектора используем вторую формулу. Подставляем неизвестные в неё: $|overline{a}|=sqrt{4^2+2^2+4^2}=sqrt{36}=6 $

Ответ

Длина вектора $|overline{a}|=6 $

Пример 3

Найти длину вектора, если известны координаты его начала и конца. $ A=(2;1), B=(-1;3) $

Решение

Задача дана плоская судя по наличию только двух координат у векторов. Но даны на этот раз начало и конец вектора. Поэтому сначала находим координаты вектора $ overline{AB} $, а только потом его длину по формуле координат: $ overline{AB}=(b_x-a_x;b_y-a_y)=(-1-2;3-1)=(-3;2) $ Теперь когда координаты вектора $ overline{AB} $ стали известны можно использовать привычную формулу: $|overline{AB}|=sqrt{(-3)^2+2^2}=sqrt{9+4}=sqrt{13} $

Ответ

$|overline{AB}|=sqrt{13} $

В статье мы ответили на вопрос:»Как найти длину вектора?» с помощью формул. А также рассмотрели практические примеры решения задач на плоскости и в пространстве. Следует заметить, что существуют аналогичные формулы для пространств больше, чем трёхмерные.