Как найти длину веревки

Разбиение веревки на части: как найти длину всей веревки?

Разбиение веревки на части — это задача из области математики, которая заключается в том, чтобы найти длину всей веревки, разрезанной на несколько частей, зная длины каждой из частей.

Решение задачи

Существует несколько способов решения этой задачи. Один из наиболее простых — это просуммировать длины всех частей, например, так:

total_length = sum(lengths)

Однако, этот метод применим только в том случае, если все части имеют одинаковые единицы измерения длины.

Если же части имеют разные единицы измерения, то нужно сконвертировать их все в одну и ту же единицу измерения, а затем уже просуммировать.

Еще один способ решения задачи — это использование формулы:

L = (n - 1) x m + a

Где:

• L — длина всей веревки;
• n — количество частей, на которые разделена веревка;
• m — длина каждой части, выраженная в одних и тех же единицах измерения;
• a — длина оставшегося куска веревки (если он есть), также выраженная в тех же единицах измерения.

Пример

Пусть имеется веревка длиной 6 метров, которая была разделена на три части: 2 метра, 1 метр и 3 метра. Найдем длину всей веревки:

L = (3 - 1) x 2 + 1 + 3 = 7 метров

Таким образом, длина всей веревки составляет 7 метров.

Заключение

Разбиение веревки на части и нахождение длины всей веревки — это задача, которая может быть решена различными способами. Важно учитывать единицы измерения и правильно использовать формулы для вычисления длины.

Известно, что самое минимальное расстояние между точками – это отрезок прямой, соединяющий эти точки:

И узнать это расстояние между точками A и B элементарно – «вынуть» его из Пифагоровых штанов:

Но!

Всё было бы действительно просто, если бы не заборчик:

И он нам не просто приподнимет верёвку из точки M в точку N (то есть, удлинит её), но и поставит вопрос: а действительно ли верёвка ANB – самая короткая?

Я тут малость поизголялся и набросал крайние положения нашей верёвки на заборе: точки K и L. Естественно и очевидно, что в крайних положениях длина верёвки будет больше, чем при прохождении через точку N. И вычислить эти длины вполне реально через ту же теорему Пифагора.

Но нас интересует не это. Нас интересует, где же на заборе находится «та самая» точка G, которая даст нам удовольствие сделать длину верёвки минимальной.

Передвинем вертикаль MN несколько ближе к точке C:

Фрагмент AN, естественно, укоротился, фрагмент BN удлинился. Берём теорему Пифагора, считаем… Снова передвигаем вертикаль, снова считаем… Уже двигаем с точность до микрона. И считаем, считаем, считаем…

Проще – нельзя?

Давайте рассмотрим треугольник ABN в исходном, так сказать, его виде:

Что мы имеем? А имеем мы основание AB, длину которого мы уже (почти) вычислили из исходных данных, и высоту 8 м, тоже указанную в исходных данных. И надобно нам на основании AB найти такую точку F, чтобы вертикаль FG высотой 8 м дала нам минимальную сумму AG и BG…

Отставим в сторону дифференциальное исчисление и лимиты – помним, что мы семиклассники.

Лучше вспомним Якова Исидоровича Перельмана и его «Занимательную геометрию». Если не ошибаюсь, в издании 1950 года была задача, основанная на легенде об основании Румельской крепости, Румелихисары на турецком языке.

Вкратце: султан Мехмед II выканючил у императора Константина XI «хоть небольшой клочок земли» возле Константинополя. Император пообещал такой дар, но в насмешку оговорил размер: сколько сможешь огородить шкурой быка. Сам ли Мехмед этим занимался или кого припахал – но к утру шкура быка была разрезана на тонюсенькие полоски и эти полоски связаны в одну «верёвку», которой отмеряли нехиленький такой шмат земли…

Задача у Перельмана звучала так: какой формы должен быть участок, чтобы при одинаковой длине верёвки оттяпать у императора как можно больше земли в дар. И в процессе решения этой задачи Перельман мимоходом показывает, что наибольшая площадь при одинаковом периметре получается у правильных геометрических фигур. То есть, правильный треугольник, квадрат, круг…

А почему бы нам не воспользоваться этой подсказкой, но только в противоположном направлении. Давайте докажем, что равнобедренный треугольник имеет наименьший периметр среди треугольников с одинаковыми основанием и высотой.

Пусть мы имеем равнобедренный треугольник RST с основанием RS и высотой h.

В силу определения «равнобедренный» RT = ST. Но вместо того, чтобы двигать точку T по горизонтали и доказывать, что периметр вновь образовавшегося треугольника больше периметра исходного треугольника – упростим себе жизнь: забудем на время о высоте h и построим фигуру, которая есть геометрическим местом точек, сумма расстояний которых к точкам R и S неизменна. Думаю, многие уже вспомнили определение этой фигуры. И одно из основных свойств: сумма расстояний от фокусов до любой точки есть величина постоянна:

Совершенно верно, это эллипс. И абсолютно очевидно, что отклонение вершины T треугольника RST от серединного перпендикуляра основания RS при соблюдении той же суммы длин сторон RT и ST приводит к уменьшению высоты h для этой точки. А соблюдая высоту h (точка T ‘) – получим и RT’ > RT, и ST’ > ST.

А теперь мы имеем простой метод решения исходной задачи. Найдем точку F на равном расстоянии от A и B:

Поднимем от неё перпендикуляр FG высотой 8 м и получим точку G. Верёвка, протянутая от A к B через точку G – и будет минимальной длины:

И «вытащить» эту длину мы можем опять-таки из Пифагоровых штанов:

Желаете-с в виде числа? Извольте:

И сложив обе половинки, получаем минимальную длину верёвки

Метров, естественно. Это составляет 44.643 м (с точностью до третьего знака).

Что вы говорите? Точки F и G получились не на заборе?

А кто запрещает нам сделать поворот исходной AB вокруг вертикальной оси, проходящей через точку A, так, чтобы высота FG совпала с забором? Вот так:

Теперь точка B «не в себе». Повторим поворот: треугольник BFG повернём вокруг FG так, чтобы точка B вернулась на исходную:

Вот и весь сказ…

Ответы

Инвариант узла

В теории физических узлов каждая реализация ссылки или узел имеет связанную длину веревки . Интуитивно понятно, что это минимальная длина идеально гибкой веревки, которая необходима для завязывания данного звена или узла. Узлы и звенья, минимизирующие длину каната, называются идеальными узлами и идеальными звеньями соответственно.

Числовое приближение идеального трилистника.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Минимизаторы длины веревки
• 3 Зависимость длины веревки от других инвариантов узла
• 4 Длина веревки как инвариант узла
• 5 Ссылки

Определение

Длина веревки кривой узла C определяется как отношение L (C) = Len ⁡ (C) / τ (C) { displaystyle { scriptstyle L (C) , = , operatorname {Len} (C) / tau (C)}}, где Len (C) — длина C, а τ (C) — толщина звена, определенная C.

минимизаторами длины веревки

Один из самых ранних вопросов теории узлов был сформулирован в следующих выражениях:

Могу ли я завязать узел на веревка длиной в фут и толщиной в один дюйм?

В наших терминах мы спрашиваем, существует ли узел с длиной веревки 12. На этот вопрос был дан ответ, и он оказался невозможным: аргумент с использованием квадрискантов показывает, что длина веревки любого нетривиального узла должно быть не менее 15,66. Однако поиск ответа стимулировал множество исследований как теоретических, так и вычислительных. Было показано, что для каждого типа звена существует минимизатор длины каната, хотя он относится только к классу C. Для простейшего нетривиального узла, узла-трилистника, компьютерное моделирование показало, что его минимальная длина каната составляет не более 16,372.

Зависимость длины веревки от других инвариантов узлов

Были предприняты обширные поиски, чтобы показать взаимосвязь между длиной веревки и другими инвариантами узлов. В качестве примера приведены хорошо известные оценки асимптотической зависимости длины веревки от числа пересечения узла. Было показано, что

L (C) = Ω (Cr ⁡ (C) 3/4) { displaystyle L (C) = Omega ( operatorname {Cr} (C) ^ {3/4}) ,}

и

L (C) = O (Cr ⁡ (C) журнал 5 ⁡ (Cr ⁡ (C))) { displaystyle L (C) = O ( operatorname {Cr} (C) log ^ {5} ( operatorname {Cr} (C))) ,}

для узла C с числом пересечения Cr (C) и длиной веревки L (C), где O и Ω являются примерами нотация большого O и большая нотация Omega соответственно.

Нижняя граница (большая Омега) показана с двумя семействами ((k, k − 1) торических узлов и k-зацеплений Хопфа), которые реализуют эту оценку. Прежняя верхняя граница O (Cr (C)) была показана с использованием гамильтоновых циклов в графах, вложенных в кубическую целочисленную решетку. Текущая лучшая почти линейная верхняя граница была установлена ​​с помощью аргумента «разделяй и властвуй», чтобы показать, что минимальные проекции узлов могут быть вложены как плоские графы в кубическую решетку. Однако никто еще не наблюдал семейство узлов со сверхлинейной зависимостью от длины L (C)>O (Cr (CK)), и предполагается, что верхняя граница на самом деле линейна.

Длина веревки как инвариант узла

Длину веревки можно превратить в инвариант узла, определив длину веревки типа узла как минимальную длину веревки для всех реализаций этого типа узла. Пока этот инвариант непрактичен, так как мы не определили этот минимум для большинства узлов.

Ссылки

• Комментировать
• Жалоба
• Ссылка