Как найти длину волны фотона при переходе - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Задание:

Найти длину волны фотона, соответствующего переходу электрона из второго кантового состояния в основное: а) в однократно ионизованном атоме гелия; б) в двукратно ионизованном атоме лития.

Решение:

Источник

Атом Бора.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев.

Темы кодификатора ЕГЭ: постулаты Бора.

Планетарная модель атома, успешно истолковав результаты опытов по рассеянию alpha -частиц, в свою очередь столкнулась с очень серьёзными трудностями.

Как мы знаем, любой заряд, движущийся с ускорением, излучает электромагнитные волны. Это — неоспоримый факт классической электродинамики Максвелла, подтверждаемый многочисленными наблюдениями.

Нам также хорошо известно, что электромагнитные волны несут энергию. Стало быть, ускоренно движущийся заряд, излучая, теряет энергию, которая этим излучением уносится.

А теперь давайте возьмём произвольный электрон в планетарной модели. Он двигается вокруг ядра по замкнутой орбите, так что направление его скорости постоянно меняется. Следовательно, электрон всё время имеет некоторое ускорение (например, при равномерном движении по окружности это будет центростремительное ускорение), и поэтому должен непрерывно излучать электромагнитные волны. Расходуя свою энергию на излучение, электрон будет постепенно приближаться к ядру; в конце концов, исчерпав запас своей энергии полностью, электрон упадёт на ядро.

Если исходить из того, что механика Ньютона и электродинамика Максвелла работают внутри атома, и провести соответствующие вычисления, то получается весьма озадачивающий результат: расход энергии электрона на излучение (с последующим падением электрона на ядро) потребует совсем малого времени — порядка $10^{-8}$ секунды. За это время атом должен полностью «коллапсировать» и прекратить своё существование.

Таким образом, классическая физика предрекает неустойчивость атомов, устроенных согласно планетарной модели. Этот вывод находится в глубоком противоречии с опытом: ведь на самом деле ничего такого не наблюдается. Предметы нашего мира вполне устойчивы и не коллапсируют на глазах! Атом может сколь угодно долго пребывать в невозбуждённом состоянии, не излучая при этом электромагнитные волны.

Постулаты Бора.

Оставалось признать, что внутри атомов перестают действовать известные законы классической физики. Микромир подчиняется совсем другим законам.

Первый прорыв в познании законов микромира принадлежит великому датскому физику Нильсу Бору. Он предложил три постулата, резко расходящиеся с механикой и электродинамикой, но тем не менее позволяющих правильно описать простейший из атомов — атом водорода.

Классическая физика хорошо описывает непрерывные процессы — движение материальной точки, изменение состояния идеального газа, распространение электромагнитных волн… Энергия объекта, подчиняющегося механике или электродинамике, в принципе может принимать любые значения. Однако линейчатые спектры указывают на дискретность процессов, происходящих внутри атомов. Эта дискретность должна фигурировать в законах новой теории.

Первый постулат Бора. Всякий атом (и вообще, всякая атомная система) может находиться не во всех состояниях с любым, наперёд заданным значением энергии. Возможен лишь дискретный набор избранных состояний, называемых стационарными, в которых энергия атома принимает значения $E_{1}, E_{2},...E_{n},...$ Находясь в стационарном состоянии, атом не излучает электромагнитные волны.

Как видим, первый постулат Бора вопиющим образом противоречит классической физике: налагается запрет на любые значения энергии, кроме избранного прерывистого набора, и признаётся, что электроны, вроде бы движущиеся ускоренно, на самом деле не излучают.

Выглядит фантастически, не правда ли? Однако в том же 1913 году, когда Бор предложил свои постулаты, существование стационарных состояний было подтверждено экспериментально — в специально поставленном опыте немецких физиков Франка и Герца. Таким образом, стационарные состояния — это не выдумка, а объективная реальность.

Значения разрешённого набора $E_{1}, E_{2},...E_{n},...$ называются уровнями энергии атома. Что происходит при переходе с одного уровня энергии на другой?

Второй постулат Бора. Если атом переходит из стационарного состояния с большей энергией $E_{n}$ в стационарное состояние с меньшей энергией $E_{k}$ , то разность этих энергий может высвободиться в виде излучения. В таком случае излучается фотон с энергией

$hnu =E_{n}-E_{k}$ . (1)

Эта же формула работает и при поглощении света: в результате столкновения с фотоном атом переходит из состояния $E_{k}$ в состояние с большей энергией $E_{n}$ , а фотон при этом исчезает.

Для примера на рис. 1 показано излучение фотона при переходе атома с энергетического уровня $E_{3}$ на уровень $E_{1}$ . Переход заключается в том, что электрон «соскакивает» с одной орбиты на другую, расположенную ближе к ядру.

Рис. 1. Излучение фотона атомом

Формула (1) даёт качественное представление о том, почему атомные спектры испускания и поглощения являются линейчатыми.

В самом деле, атом может излучать волны лишь тех частот, которые соответствуют разностям значений энергии разрешённого дискретного набора $E_{1}, E_{2},...E_{n},...$ ; соответственно, набор этих частот также получается дискретным. Вот почему спектр излучения атомов состоит из отдельно расположенных резких ярких линий.

Вместе с тем, атом может поглотить не любой фотон, а только тот, энергия hnu которого в точности равна разности $E_{n}-E_{k}$ каких-то двух разрешённых значений энергии $E_{n}$ и $E_{k}$ . Переходя в состояние с более высокой энергией $E_{n}$ , атомы поглощают ровно те самые фотоны, которые способны излучить при обратном переходе в исходное состояние $E_{k}$ . Попросту говоря, атомы забирают из непрерывного спектра те линии, которые сами же и излучают; вот почему тёмные линии спектра поглощения холодного атомарного газа находятся как раз в тех местах, где расположены яркие линии спектра испускания этого же газа в нагретом состоянии.

Качественного объяснения характера атомных спектров, однако, недостаточно. Хотелось бы иметь теорию, позволяющую вычислить частоты наблюдаемых спектров. Бору удалось это сделать в самом простом случае — для атома водорода.

Атом водорода.

Атом водорода состоит из ядра с зарядом , которое называется протоном, и одного электрона с зарядом (через обозначена абсолютная величина заряда электрона). При построении своей теории атома водорода Бор сделал три дополнительных предположения.

1. Прежде всего, мы ограничиваемся рассмотрением только круговых орбит электрона. Таким образом, электрон движется вокруг протона по окружности радиуса с постоянной по модулю скоростью (рис. 2).

Рис. 2. Модель атома водорода

2. Величина mvr , равная произведению импульса электрона на радиус орбиты , называется моментом импульса электрона. В каких единицах измеряется момент импульса?

Смотрим:

[mvr] =кг*м/с*м=(кг*м/ $c^{2}$ )*м*с=Н*м*с=Дж*с.

Это в точности размерность постоянной Планка! Именно здесь Бор увидел появление дискретности, необходимой для квантового описания атома водорода.

Правило квантования (третий постулат Бора). Момент импульса электрона может принимать лишь дискретный набор значений, кратных «перечёркнутой» постоянной Планка:

$mvr=nh^{mkern -14mu-}, (n=1,2,3,...)$ , (2)

3. Выше мы говорили, что классическая физика перестаёт работать внутри атома. Так оно в действительности и есть, но вопреки этому мы предполагаем, что электрон притягивается к протону с силой, вычисляемой по закону Кулона, а движение электрона подчиняется второму закону Ньютона:

$dfrac{mv^{2}}{r}=dfrac{ke^{2}}{r^{2}}$ . (3)

Эти три предположения позволяют довольно просто получить формулы для уровней энергии атома водорода. Переписываем соотношение (3) в виде:

$mv^{2}=dfrac{ke^{2}}{r^{2}}$ . (4)

Из правила квантования (2) выражаем :

$v=dfrac{nh^{mkern -14mu-}}{mr}$ ,

и подставляем это в (4):

$dfrac{n^{2}(h^{mkern -14mu-})^{2}}{mr^{2}}=dfrac{ke^{2}}{r}$ .

Отсюда получаем формулу для допустимых радиусов орбит электрона:

$r_{n}=dfrac{(h^{mkern -14mu-})^{2}n^{2}}{kme^{2}}$ . (5)

Теперь перейдём к нахождению энергии электрона. Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия электрона с ядром равна:

$W=dfrac{k(+e)(-e)}{r}=- dfrac{ke^{2}}{r}.$

(Она отрицательна, так как отсчитывается от бесконечно удалённой точки, в которой достигает максимального значения.)

Полная энергия электрона равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:

$E=dfrac{mv^{2}}{2}-dfrac{ke^{2}}{r}$ .

Вместо $mv^{2}$ подставим правую часть выражения (4):

$E=dfrac{ke^{2}}{2r}-dfrac{ke^{2}}{r}=-dfrac{ke^{2}}{2r}$ . (6)

Полная энергия, как видим, отрицательна. Если на радиус орбиты никаких ограничений не накладывается, как это имеет место в классической физике, то энергия может принимать любые по модулю значения. Но согласно (5) существует лишь дискретный набор возможных значений радиуса; подставляя их в (6), получаем соответствующий набор допустимых значений энергии атома водорода:

$E=-dfrac{ke^{2}}{2r_{n}}=-dfrac{k^{2}me^{4}}{2(h^{mkern -14mu-})^{2}n^{2}}, (n=1,2,3,...)$ . (7)

Основное состояние атома водорода — это состояние с наименьшей энергией $E_{1}$ . В основном состоянии атом может находиться неограниченно долго. Вычисление даёт:

$E_{1}=-2,18 cdot 10^{-18}$ Дж =-13,6 эВ:

Мы видим, что если атом находится в основном состоянии, то для выбивания электрона нужно сообщить атому энергию, равную как минимум 13,6 эВ. Эта величина носит название энергии ионизации атома водорода.

По формуле (5) легко вычислить радиус орбиты основного состояния:

$r_{1}=dfrac{(h^{mkern -14mu-})^{2}}{kme^{2}}=5cdot 10^{-9}$ см.

То есть, диаметр атома оказывается равным как раз $10^{-8}$ см — величине, известной из опыта. Таким образом, теория Бора впервые смогла объяснить размер атома!

Кроме того, в рамках теории Бора удаётся получить формулы для вычисления частот (или длин волн) спектра атома водорода. Так, согласно второму постулату Бора и формуле (7) имеем:

$nu =dfrac{E_{n}-E_{k}}{h}=dfrac{k^{2}me^{4}}{4pi (h^{mkern -14mu-})^{3}}(dfrac{1}{k^{2}}-dfrac{1}{n^{2}})$ . (8)

На практике чаще имеют дело с длинами волн. Учитывая, что , формулу (8) можно переписать так:

$dfrac{1}{lambda} =dfrac{k^{2}me^{4}}{4pi (h^{mkern -14mu-})^{3}}(dfrac{1}{k^{2}}-dfrac{1}{n^{2}})=R(dfrac{1}{k^{2}}-dfrac{1}{n^{2}})$ . (9)

Константа $R=1,1 cdot 10^{-7}$ м $^{-1}$ называется постоянной Ридберга. Теория Бора даёт значение этой постоянной, очень хорошо согласующееся с экспериментом.

Длины волн спектра атома водорода образуют серии, характеризующиеся фиксированным значением в формуле (9). Все длины волн данной серии излучаются при переходах на уровень $E_{k}$ с вышележащих энергетических уровней $E_{n}, (n=k+1, k+2, k+3,...)$ .

Переходы в основное состояние:

$E_{2}rightarrow E_{1}, E_{3}rightarrow E_{1}, E_{4}rightarrow E_{1},...$

образуют серию Лаймана. Длины волн этой серии описываются формулой (9) при k=1 :

$dfrac{1}{lambda} =R(1-dfrac{1}{n^{2}})$ .

Линии серии Лаймана лежат в ультрафиолетовом диапазоне.

Переходы на второй уровень:

$E_{4}rightarrow E_{2}, E_{3}rightarrow E_{2}, E_{5}rightarrow E_{2},...$

образуют серию Бальмера. Длины волн этой серии подчиняются формуле (9) при k=2 :

$dfrac{1}{lambda} =R(dfrac{1}{4}-dfrac{1}{n^{2}})$ .

Первые четыре линии серии Бальмера лежат в видимом диапазоне (рис. 3), остальные — в ультрафиолетовом.

Рис. 3. Видимый спектр атома водорода (серия Бальмера)

Переходы на третий уровень:

$E_{4}rightarrow E_{3}, E_{5}rightarrow E_{3}, E_{6}rightarrow E_{3},...$

образуют серию Пашена. Длины волн этой серии описываются формулой (9) при k=3 :

$dfrac{1}{lambda} =R(dfrac{1}{9}-dfrac{1}{n^{2}})$ .

Все линии серии Пашена лежат в инфракрасном диапазоне.

Имеются ещё три «именованных» серии: это серия Брэккета (переходы на уровень k=4 ), серия Пфунда (переходы на уровень k=5 ) и серия Хэмпфри (переходы на уровень k=6 ). Все линии этих серий лежат в далёкой инфракрасной области.

Достоинства и недостатки теории Бора.

О достоинствах модели атома водорода, предложенной Бором, мы так или иначе уже сказали. Резюмируем их.

— Теория Бора продемонстрировала, что для описания атомных объектов принципиально недостаточно представлений классической физики. В микромире работают другие, совершенно новые законы.
Для микромира характерно квантование — дискретность изменения величин, описывающих состояние объекта. В качестве меры квантования, как показала теория Бора, может выступать постоянная Планка $h^{mkern -14mu-}$ , которая является универсальной константой и играет фундаментальную роль во всей физике микромира (а не только в явлениях излучения и поглощения света).

— Теория Бора впервые и совершенно точно указала на факт наличия стационарных энергетических состояний атома, образующих дискретный набор. Этот факт оказался общим свойством объектов микромира.

— В рамках модели Бора удалось получить формулы для вычисления частот спектра атома водорода и объяснить размер атома. Классическая физика была не в состоянии решить эти проблемы.

Однако теория Бора, разумеется, не могла претендовать на роль общей теории, описывающей микромир. Модель Бора обладала рядом существенных недостатков.

— Теория Бора непоследовательна. С одной стороны, она отвергает описание атома на основе классической физики, так как постулирует наличие стационарных состояний и правила квантования, непонятных с точки зрения механики и электродинамики. С другой стороны, классические законы — второй закон Ньютона и закон Кулона — используются для записи уравнения движения электрона по круговой орбите.

— Теория Бора не смогла дать адекватное описание самого простого после водорода атома гелия. Подавно не могло быть и речи о распространении теории Бора на более сложные атомы.

— Даже в самом атоме водорода теория Бора смогла описать не всё. Например, дав выражения для частот спектральных линий, модель Бора не объясняла различие в их интенсивностях. Кроме того, неясен оставался механизм образования молекулы водорода из двух атомов.

Несмотря на свои недостатки, теория Бора стала важнейшим этапом развития физики микромира. Полуклассическая-полуквантовая модель Бора послужила промежуточным звеном между классической физикой и последовательной квантовой механикой , построенной десятилетием позже — в 1920-х годах.

Разберем задачи ЕГЭ на темы: «Строение атома», «Модель Резерфорда-Бора», «Энергетические уровни», «Излучение фотона».

Задача 1.

На рисунке изображена схема низших энергетических уровней атома. В начальный момент времени атом находится в состоянии с энергией Е⁽²⁾. Согласно постулатам Бора, с какой энергией данный атом может излучать фотоны? (Ответ дать в 10⁻¹⁹ Дж.)

Решение:

Согласно постулатам Бора, атом, находящийся в стационарных состояниях, не излучает энергии. Излучение энергии возможно при переходе атома с уровня с большим значением энергии на уровень с меньшим значением энергии. Поглощение энергии, наоборот, возможно при переходе атома с меньшим уровнем энергии на больший.

С учетом представленной диаграммы, излучение атома возможно при переходе с уровня Е⁽²⁾ на уровень Е⁽¹⁾, так как Е⁽²⁾> Е⁽¹⁾. Поэтому, энергия излучаемых фотонов (hv) может быть определена, как разность энергий

$hnu=E^{(2)}-E^{(1)}.$

Подставив численные значения, рассчитаем энергию излучаемых фотонов.

$hnu=-5cdot 10^{-19}-(-8cdot 10^{-19})=-5cdot 10^{-19}+8cdot 10^{-19}=3cdot 10^{-19}$ (Дж).

Ответ: 3.

Задача 2.

Электрон в атоме водорода находится в основном (самом низком, с номером n = 1) энергетическом состоянии. Атом поглощает фотон с импульсом 6,8 · 10^–27 кг·м/с. Найдите номер энергетического уровня, на который в результате этого перейдёт электрон.

Дано:
n₁=1;
p = 6,8·10^–27 кг·м/с.

Найти:
n-?

Решение:

Уровни энергии в атоме водорода определяются формулой:

$E_{n}=dfrac{-13,6}{n^{2}}$ (эВ), где n=1, 2, 3… и т. д. (1)

Следовательно, атом на уровне n₁=1 обладает энергией, которую можно рассчитать по формуле (1).

$E_{1}=dfrac{-13,6}{1^{2}}=-13,6$ (эВ).

Найдем связь между импульсом фотона и его энергией:

p=mc;

$E=hnu =mc^{2};$

(2)

Таким образом, энергия фотона может быть определена по формуле (2).

$E=6,8cdot 10^{-27}cdot 3cdot 10^{8}=20,4cdot 10^{-19}$ (Дж).

С учетом, что 1 эВ $=1,6cdot 10^{-19}$ , получим $E=dfrac{20,4cdot 10^{-19}}{1,6cdot 10^{-19}}=12,75$ (эВ).

Атом, получив энергию от фотона, переходит в стационарное состояние с большим уровнем энергии.

$E_{n}=E_{1}+E;$

$E_{n}=-13,6+12,75=-0,85$ (эВ).

Из формулы (1) необходимо вывести номер энергетического уровня.

$n=sqrt{dfrac{-13,6}{E_{n}}};$

$n=sqrt{dfrac{-13,6}{-0,85}}=4.$

Ответ: 4.

Задача 3.

На рисунке изображена упрощенная диаграмма нижних энергетических уровней атома. Нумерованными стрелками отмечены некоторые возможные переходы атома между этими уровнями. Какой из этих четырех переходов связан с поглощением света наибольшей энергии, а какой — с излучением света с наибольшей длиной волны?

Установите соответствие между процессами поглощения и испускания света и стрелками, указывающими энергетические переходы атома.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ПРОЦЕССЫ
А) поглощение света наибольшей энергии;
Б) излучение света с наибольшей длиной волны.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4

Ответ:

Решение:

По указанной диаграмме необходимо определить переходы, соответствующие поглощению и излучению света.

Переходы, указанные стрелками 1 и 2, соответствуют излучению энергии, так как атом переходит с большего уровня энергии на меньший.

Здесь надо учесть, что

$Delta E_{10} =E_{1}-E_{0}$ и $Delta E_{20}=E_{2}-E_{0}.$

Так как $Delta E_{20} textgreater Delta E_{10}$ , то, согласно формуле Планка $E=hnu =hdfrac{c}{lambda }$ , меньшая длина волны соответствует большему значению энергии излучения. Поэтому при переходе 2to 0 будет излучаться большее количество энергии. Вторая стрелка будет соответствовать излучению света с наименьшей длиной волны.

Стрелки 3 и 4 соответствуют поглощению энергии, так как в этих случаях атом переходит на уровни, соответствующие большему значению энергии. Рассуждения, аналогичные первому случаю, приводят к следующему выводу:

$Delta E_{30} =E_{3}-E_{0}$ и $Delta E_{40}=E_{4}-E_{0}.$

Так как $Delta E_{40} textgreater Delta E_{30}$ , то четвертая стрелка будет соответствовать поглощению света наибольшей энергии.

Ответ:

Задача 4.

Значения энергии электрона в атоме водорода задаются формулой: $E_{n}=dfrac{-13,6}{n^{2}}$ (эВ), где n=1, 2, 3… и т. д.

При переходах с верхних уровней энергии на нижние атом излучает фотон. Переходы с верхних уровней на уровень c n = 1 образуют серию Лаймана, на уровень c n = 2 – серию Бальмера и т. д. Найдите отношение γ максимальной длины волны фотона в серии Бальмера к максимальной длине волны фотона в серии Лаймана.

Решение:

Рис. 1. Серия Лаймана

Согласно формуле Планка $E=hnu =hdfrac{c}{lambda }$ , максимальная длина волны соответствует излучению света с наименьшим значением энергии. Поэтому для серии Лаймана это переход с уровня 2 на уровень 1 (см. рис. 1). Рассчитаем значение энергии, которая излучается в этом случае.

$E_{21}=E_{2}-E_{1};$

$E_{21}=dfrac{-13,6}{2^{2}}-left ( -dfrac{-13,6}{1^{2}} right )=dfrac{-13,6}{2^{2}}+dfrac{13,6}{1^{2}}=10,2$ (эВ).

$E_{21}=10,2$ (эВ).

Длина волны, соответствующая этому переходу, может быть определена из формулы:

$E_{21}=hnu _{21}=hdfrac{c}{lambda _{21}};$

$lambda _{21}=hdfrac{c}{E_{21}}.$ (1)

Аналогично для серии Бальмера, излучение с наибольшей длиной волны (наименьшей энергии излучения), соответствует переходу с уровня 3 на уровень 2 (см. рис. 2).

Рис. 2. Серия Бальмера

$E_{32}=E_{3}-E_{2};$

$E_{32}=dfrac{-13,6}{3^{2}}-left ( -dfrac{-13,6}{2^{2}} right )=dfrac{-13,6}{3^{2}}+dfrac{13,6}{2^{2}}approx 1,89$ (эВ).

$E_{32}approx 1,89$ (эВ).

Длина волны, соответствующая этому переходу, может быть определена из формулы:

$E_{32}=hnu _{32}=hdfrac{c}{lambda _{32}};$

$lambda _{32}=hdfrac{c}{E_{32}}.$ (2)

Тогда, для нахождения соотношения для длин волн $gamma=dfrac{lambda _{32}}{lambda _{21}}.$

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$gamma=dfrac{lambda _{32}}{lambda _{21}}=hdfrac{c}{E_{32}}div hdfrac{c}{E_{21}}=hdfrac{c}{E_{32}}cdot dfrac{E_{21}}{hcdot c}=dfrac{E_{21}}{E_{32}}.$

$gamma=dfrac{lambda _{32}}{lambda _{21}}=dfrac{E_{21}}{E_{32}}.$

В расчетах значения энергий можно оставить в эВ, так как перевод в систему «СИ» ответа не изменит.

$gamma=dfrac{lambda _{32}}{lambda _{21}}=dfrac{10,2}{1,89}approx 5,4.$

С учетом системы «СИ»:

$gamma=dfrac{lambda _{32}}{lambda _{21}}=dfrac{10,2cdot 1,6cdot 10^{-19}}{1,89cdot 1,6cdot 10^{-19}}approx 5,4.$

(1 эВ $=1,6cdot 10^{-19}$ Дж).

Ответ: 5,4.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Атом Бора.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

Все категории
экономические
43,662
гуманитарные
33,654
юридические
17,917
школьный раздел
611,985
разное
16,906

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Источник

Решение.
Для решения задачи используем второй постулат Бора: в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные, квантованные значения момента импульса:

[ begin{align}
& {{L}_{n}}=mcdot {{upsilon }_{n}}cdot {{r}_{n}}=ncdot hbar , n=1,2,…, hbar =frac{h}{2cdot pi }, \
& {{L}_{n}}=ncdot frac{h}{2cdot pi } (1). \
& Delta L={{L}_{2}}-{{L}_{1, }} Delta L=2cdot frac{h}{2cdot pi } -1cdot frac{h}{2cdot pi } =frac{h}{2cdot pi }=hbar . \
end{align} ]

L = 1,019∙10^-34 Дж∙с.
Длина волн спектральных линий водорода всех серий опре¬деляются формулой:

[ begin{align}
& nu =frac{c}{lambda }=Rcdot ccdot (frac{1}{{{k}^{2}}}-frac{1}{{{n}^{2}}}), \
& lambda =frac{1}{Rcdot (frac{1}{{{k}^{2}}}-frac{1}{{{n}^{2}}})} (1). \
end{align} ]

с = 3∙10⁸ м/с, с – скорость света, R – постоянная Ридберга,
R = 1,097737∙10⁷ м^-1.
λ = 1,21∙10^-7 м.

Источник

В этой статье мы собираемся обдумать взаимосвязь энергии и длины волны вместе с примерами и решить некоторые задачи, чтобы проиллюстрировать то же самое.

Энергия находится в прямой зависимости от частоты электромагнитных излучений. Если длина волны увеличивается, это означает, что повторяемость волны будет уменьшаться, что непосредственно влияет на энергию частицы в волне.

Формула соотношения энергии и длины волны

Энергия частицы может быть связана с ее скоростью во время распространения. Скорость частицы дает представление о частоте и длине волны. Если длина волны мала, то частота и, следовательно, энергия частицы будут увеличиваться.

Если колебания частицы больше в траектории пути, то возвратность частицы в волну больше и длина волны мала, это означает, что энергия, которой обладает частица, больше.

Энергия любого тела связана с его длиной волны уравнением

E=hc/λ

Где «h» — постоянная Планка h = 6.626 * 10^-34Js

C — скорость света c=3 *10⁸ м/с и

λ — длина волны света

Энергия обратно пропорциональна длине волны света. Чем меньше длина волны, тем больше энергия частицы в волне.

Задача 1: Рассчитать энергию фотонов, испускающих красный свет. Считайте длину волны луча красного света равной 698 нм. Какова будет энергия, если длина волны уменьшится до 500 нм, то есть если источник излучает зеленый свет?

Данный:λ₁=698нм

λ₂=500 нм

ч = 6.626 * 10^-34 Js

с=3 * 10⁸ м/с

У нас есть,

E=hc/λ₁

E = 6.626 * 10^-34 Дж* 3 * 10⁸ м/с/698* 10^-9m

=0.028* 10^-17=28* 10^-20Дж

Энергия красной длины волны 28* 10^-20Джоули.

Если длина волны λ₂=500 нм

Тогда энергия, связанная с зеленым светом, равна

E=hc/λ₂

E = 6.626 * 10^-34 Дж* 3 * 10⁸ м/с / 500* 10^-9m

= 0.03910^-17=39* 10^-20Дж

Мы видим, что энергия увеличилась до 39*10^-20Джоулей при уменьшении длины волны.

Подробнее о Влияние преломления на длину волны: как, почему, подробные факты.

График взаимосвязи энергии и длины волны

По мере увеличения длины волны частота волны падает, тем самым уменьшая энергию, которой обладает волна. Если мы построим график зависимости энергии от длины волны появляющейся частицы, то график будет выглядеть так, как показано ниже.

График зависимости энергии от длины волны

Приведенный выше график ясно показывает, что по мере увеличения длины волны энергия, связанная с частицей, уменьшается экспоненциально.

Связь кинетической энергии и длины волны

Если скорость частицы больше, то очевидно, что кинетическая энергия частицы велика. Кинетическая энергия определяется уравнением

КЭ=1/2мВ²

Где m — масса объекта или частицы

V — скорость массы

Мы можем записать приведенное выше уравнение как

2E=мв²

Умножение «m» в обеих частях уравнения

2mE=(мВ)²

Импульс объекта определяется как произведение массы объекта на скорость, с которой он движется.

p = mv

Следовательно, приведенное выше уравнение становится

P²=2 мВ

P=√2mE

Согласно де Бройлю,

λ =h/p

Подставляя приведенное выше уравнение, мы имеем

λ =h/ √2mE

Приведенное выше уравнение дает связь между энергией и длиной волны частицы.

Подробнее о Что такое кинетическая энергия света: подробные факты.

Задача 2. Вычислить кинетическую энергию частицы массой 9.1 × 10^-31кг с длиной волны 293 нм. Кроме того, найдите скорость частицы.

Данный: λ = 293 нм

м = 9.1 × 10^-31kg

ч = 6.626 * 10^-34Js

с=3 *10⁸ м/с

У нас есть,

λ =h/ √2mE

λ²=h²/ 2мЕ

Е = ч²/ 2мλ²

=(6.626 * 10^-34 Дж)²/2* 9.1* 10^-31* (293*10^-9) ²

= 0.28 * 10^-23

Кинетическая энергия, связанная с частицей, равна 0.28*10^-23 Джоули.

Теперь, чтобы вычислить скорость частицы, выведем формулу скорости из кинетической энергии:

КЕ=1/2 мВ²

2E= мв²

v=√(2Е/м)

= √(2(0.28*10^-23)/(9.8*10^-31))

= 0.24 * 10⁴= 2400 м / с

Скорость частицы с длиной волны 298 нм составляет 2400 м/с.

Связь энергии электрона и длины волны

Энергия электрона определяется простым уравнением:

Е=чню

Где «h» — постоянная Планка, а

nu — частота появления электрона

Частота электрона определяется как

ню = v / λ

Где v — скорость электрона и

λ — длина волны электронной волны

Следовательно, энергия связана с длиной волны электрона как

E=hv/λ

Это соотношение позволяет найти энергию, связанную с распространением одиночного электрона с определенной длиной волны, скоростью и частотой. Энергия обратно пропорциональна длине волны. Если длина волны электрона уменьшается, энергия волны должна быть больше.

Электромагнитные волны;
Изображение Фото: Pixabay

Получив энергию в той или иной форме, электрон переходит из более низкого энергетического состояния в более высокое энергетическое состояние. Для перехода электронов из одного состояния в другое энергия электрона определяется уравнением

Э=Р_E(1/н_f– 1/н_i)

Где R_E=-2.18* 10^-18m^-1 является константой Ридберга

n_f это конечное состояние электрона

n_i это начальное состояние электрона

Мы можем далее переписать приведенное выше уравнение как

ч ню = R_E(1/н_f– 1/н_i)

hc/λ =R_E(1/н_f– 1/н_i)

1/λ =R_Ehc(1/n_f– 1/н_i)

1/λ =R(1/n_f– 1/н_i)

Где,

Р=Р_Eчс=1.097* 10⁷

По мере того, как электрон получает энергию, электрон переходит и перескакивает в более высокое состояние энергетического уровня и высвобождает энергию электронам, присутствующим в этом состоянии, и либо становится стабильным, либо высвобождает количество энергии и возвращается в более низкие энергетические состояния.

Подробнее о 16+ Пример амплитуды волны: подробные пояснения.

Задача 3: Если электрон переходит из состояния n_i=1, чтобы указать n_f=2, затем рассчитайте длину волны электрона.

Данный:

n_i=1

n_f=2

1/λ =R_E(1/н_f– 1/н_i)

1/λ=-1.097*10⁷ * ( 1/2-1/1 )

1/λ=0.5485* 10⁷

Следовательно,

λ = 1/0.5485* 10⁷

λ =1.823*10^-7

λ =182.3*10^-9=182.3нм

Длина волны света, излучаемого при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой, равна 182.3 нм.

Связь лучистой энергии и длины волны

Каждый объект поглощает световые лучи в дневное время в зависимости от его формы, размера и состава. Если температура поверхности объекта достигает температуры выше абсолютного нуля, объект будет излучать излучения в виде волн.

Это испускаемое излучение пропорционально четвертой степени абсолютной температуры объекта и определяется уравнением

U=ɛΣ Т^4A

Где U — излучаемая энергия

ɛ — коэффициент излучения излучения от объекта

Σ — постоянная Стефана-Больцмана, равная Σ=5.67*10^-8Вт / м²K⁴

T — абсолютная температура

А — площадь объекта

Объект с высокой температурой излучает излучение с короткими длинами волн, а более холодные поверхности излучают волны с большей длиной волны. В зависимости от испускаемого излучения и длины волны испускаемого излучения волны классифицируются в соответствии с приведенной ниже таблицей.

Имя и фамилия	Радиоволны	Микроволны	Инфракрасный порт	Видимый	Ультрафиолетовое	рентген	Гамма излучение
Длина волны	> 1м	1mm-1m	700нм-1мм	400nm-700nm	10nm-380nm	0.01nm-10nm	<0.01 нм
частота	<300 МГц	300MHz-300GHz	300ГГц-430ТГц	430ТГц-750ТГц	750ТГц-30ФГц	30PHz-30EHz	>30 Гц

По мере уменьшения длины волны излучения частота волны возрастает. Длина волны напрямую связана с температурой, поэтому, если частота испускаемого излучения больше, это означает, что энергия объекта высока.

Гамма-лучи, рентгеновские лучи и ультрафиолетовые лучи имеют очень короткую длину волны, поэтому энергия этих волн очень высока по сравнению с видимым, инфракрасным, микроволнами или радиоволнами. Кроме того, чем выше излучение, полученное объектом, тем больше он будет излучать в зависимости от коэффициента излучения объекта.

Ниже приведен график зависимости энергии от длины волны в секунду для разных температур. График показывает, что по мере повышения температуры системы энергия испускаемого излучения также увеличивается с температурой.

График зависимости энергии от длины волны излучения излучения

Для длины волны в видимой области эмиссия излучения максимальна. Это связано с тем, что Солнце излучает УФ-лучи вместе с инфракрасными лучами и видимыми лучами, а эти лучи представляют собой электромагнитные волны дальнего действия. Озоновый слой Земли защищает земную атмосферу от этого вредного излучения и либо отражается обратно, либо задерживается в облаках.

В видимом диапазоне в дневное время излучается больше излучений, поскольку в дневное время от Солнца поступает все больше и больше излучений, а испускается меньше ИК-лучей по сравнению с видимым спектром. Ночью температура снижается, длина волны излучения увеличивается, и объект излучает больше ИК-лучей.

Подробнее о Свойства преломления: волна, физические свойства, исчерпывающие факты.

Задача 4: Коробка длиной 11 см, шириной 2 см и воздухом 7 см нагревается до температуры 1200 Кельвинов. Если коэффициент излучения ящика равен 0.5, то рассчитайте скорость излучения энергии из ящика.

Данный:л=11см

ч=2см

б = 7cm

е =0.5

Σ=5.67* 10^-8Вт / м²K⁴

Т=1200 К

Общая площадь ящика составляет

A=2(фунт+чб+гл)

=2(11*7+7*s 2+2*11)

=2 (77+14+22)

=0.0226 кв.м

Энергия, излучаемая коробкой, равна

U=ɛ Σ T^4A

=0.5* 5.67* 10^-8* 1200⁴* 0.0226

=1328.6 Вт

Связь частоты энергии и длины волны

Чем больше частота волны, тем больше энергия, связанная с частицей. Энергия связана с частотой волны как

E=ч/ню

Где «h» — постоянная Планка.

nu — частота волны

Частота волны определяется как скорость волны в среде и длина волны.

ню = v / λ

Где v — скорость волны

λ — длина волны

Следовательно,

λ=v/ну

Это дает связь между частотой и длиной волны волны. Это говорит о том, что длина волны и частота обратно пропорциональны друг другу. Если длина волны увеличивается, частота волны уменьшится.

Подробнее о Влияние преломления на частоту: как, почему нет, подробные факты.

Задача 5. Скорость луча света, испускаемого источником, равна 1.9 × 10⁸РС. Частота возникновения излучаемой волны составляет 450ТГц. Найдите длину волны испускаемого излучения.

Данный: v=1.9*10⁸ м/с

F=450ТГц=450*10¹²Hz

Длина волны луча света равна

λ = v/f

=1.9* 10⁸/ 450* 10¹²

= 0.004222 * 10^-4

=422.2* 10^-9=422.2нм

Луч света имеет длину волны 422.2 нм.

Связь энергии фотона и длины волны

Энергия, которой обладает фотон, называется энергией фотона и обратно пропорциональна электромагнитной волне фотона по соотношению

E=hc/λ

Где «h» — постоянная Планка.

С — скорость света

λ — длина волны фотона

Частота фотона определяется уравнением

f=с/λ

Где f — частота

Следовательно, фотон с большей длиной волны обладает небольшой единицей энергии, тогда как фотон с меньшей длиной волны дает большое количество энергии.

Подробнее о Какова длина волны фотона: как найти, несколько идей и фактов.

Задача 6: Рассчитать энергию фотона, распространяющегося в электромагнитной волне с длиной волны 620 нм.

Данный: Длина волныλ =620 нм

ч = 6.626 * 10^-34 js

с=3 *10⁸ м/с

У нас есть,

E=hc/λ

Е=6.626 * 10^-34 Дж*3 * 10⁸м/с/620* 10^-9m

= 0.032 * 10^-17= 32 * 10^-20Дж

Энергия, связанная с фотоном, равна 32* 10^-20Джоули.

Часто задаваемые вопросы

Q1. Вычислите длину волны электрона, движущегося со скоростью 6.35 × 10⁶м/с

Данный: v=6.35*10⁶м/с

м=9.1*10^-31kg

ч=6.62* 10^-34Js

Кинетическая энергия электрона равна

КЕ=1/2 мВ²

=1/2 * 9.1*10^-31* (6.35* 10⁶)²

=1.83* 10^-17Дж

Импульс электрона равен

P=√2mE

=√2* 9.1* 10^-31* 1.83 * 10^-17

= 5.7 * 10^-24кг.м / с

Теперь длина волны электрона

λ =h/√2mE

= 6.62 * 10^-34/ 5.7 * 10^-24

= 4.8 * 10^-10m

=48нм

Длина волны электрона, движущегося со скоростью 6.35*10⁶м/с составляет 48 нм.

Q2. Черный объект площадью 180 кв.м находится при температуре 550К. Какова скорость излучения энергии от объекта?

Данный: А=180 кв.м

Т=550К

Поскольку объект имеет черный цвет, коэффициент излучения равен 1.

е =1

У нас есть,

U=ɛΣT^4A

=1*с 5.67* 10^-8* 550⁴* 180

= 0.93 * 10⁶МОЩНОСТЬ

Мощность излучения от выброса излучения от объекта составляет 0.93*10⁶Вт.

Какова абсолютная температура системы?

Это неизменное и совершенное значение температуры системы.

Абсолютная температура системы измеряется по шкале градусов Цельсия, Фаренгейта или Кельвина, которые измеряют ноль как абсолютный ноль градусов.

Как длина волны фотона зависит от температуры?

Температура системы определяет подвижность частиц системы.

Чем больше излучений получает система при более высоких температурах, тем больше излучения будет излучаться системой. При более высоких температурах излучаются более короткие волны, а при более низких температурах излучаются более длинные волны.

Источник

Задание:

Решение:

Атом Бора.

Постулаты Бора.

Атом водорода.

Достоинства и недостатки теории Бора.

Формула соотношения энергии и длины волны

График взаимосвязи энергии и длины волны

Связь кинетической энергии и длины волны

Задача 2. Вычислить кинетическую энергию частицы массой 9.1 × 10-31 кг с длиной волны 293 нм. Кроме того, найдите скорость частицы.

Связь энергии электрона и длины волны

Задача 3: Если электрон переходит из состояния ni=1, чтобы указать nf=2, затем рассчитайте длину волны электрона.

Связь лучистой энергии и длины волны

Связь частоты энергии и длины волны

Связь энергии фотона и длины волны

Задача 6: Рассчитать энергию фотона, распространяющегося в электромагнитной волне с длиной волны 620 нм.

Часто задаваемые вопросы

Q1. Вычислите длину волны электрона, движущегося со скоростью 6.35 × 106 м/с

Q2. Черный объект площадью 180 кв.м находится при температуре 550К. Какова скорость излучения энергии от объекта?

Какова абсолютная температура системы?

Как длина волны фотона зависит от температуры?

Задача 2. Вычислить кинетическую энергию частицы массой 9.1 × 10^-31кг с длиной волны 293 нм. Кроме того, найдите скорость частицы.

Задача 3: Если электрон переходит из состояния n_i=1, чтобы указать n_f=2, затем рассчитайте длину волны электрона.

Q1. Вычислите длину волны электрона, движущегося со скоростью 6.35 × 10⁶м/с