Как найти длину вписанной окружности в многоугольник

Как найти длину вписанной окружности

Окружность будет считаться вписанной в многоугольник только в том случае, если все стороны данного многоугольника без исключения касаются данной окружности. Найти длину вписанной окружности очень просто.

Как найти длину вписанной окружности

Инструкция

Для того чтобы узнать длину окружности, нужно обладать данным о ее радиусе или диаметре. Радиусом окружности считается отрезок, который соединяет друг с другом центр данной окружности с любой из точек, принадлежащих окружности. Диаметром окружности является отрезок, который соединяет противоположные друг другу точки окружности, при это обязательно проходя через центр окружности. Из определений становится ясно, что радиус окружности в два раза меньше ее диаметра. Центром окружности является точка, которая в равной степени удалена от каждой из точек на окружности.

Формулы, с помощью которых находится длина окружности, выглядят так:

L = π*D, где D — диаметр окружности;

L = 2*π*R, где R — радиус окружности.

Пример: Диаметр окружности составляет 20 см, требуется найти ее длину. Решается эта задача с применением самой первой формулы:

L = 3.14*20 = 62.8 см

Ответ: Длина окружности диаметром 20 см составляет 62.8 см

Определившись с тем, как находится длина окружности, необходимо выяснить, как найти радиус или диаметр вписанной в многоугольник окружности. Если в многоугольнике известна его площадь S, а также его полупериметр P, то найти радиус вписанной окружности можно с помощью такой формулы:

R = S/p

Ради понятности представленных выше данных, можно рассмотреть пример:

В четырехугольник вписана окружность. Площадь данного четырехугольника 64 см², полупериметр его равен 8 см, просится найти длину вписанной в данный многоугольник окружности. Для решения данной задачи необходимо выполнить несколько действий. Сначала надо найти радиус данной окружности:

R = 64/8 = 8 см

Теперь, зная ее радиус, можно, собственно, вычислить и длину данной окружности:

L = 2*8*3.14 = 50.24 см

Ответ: длина вписанной в многоугольник окружности составляет 50.24 см

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Правильный многоугольник. Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Определение. Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие:

Все стороны и углы одинаковы:

a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an

α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn

Основные свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны:

a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an

2. Все углы равны:

α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn

3. Центр вписанной окружности Oв совпадает з центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O

4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° · (n — 2)

5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 + … + βn-1 + βn = 360°

6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:

7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Правильный n-угольник — формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формулы площади правильного n-угольника

1. Формула площади n-угольника через длину стороны:

2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:

3. Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула периметра правильного многоугольника:

Формула периметра правильного n-угольника:

P = na

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

Изображение правильного треугольника с обозначениями
Рис.3

Правильный треугольник

Формулы правильного треугольника:

1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r 3

2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:

a = R√3

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

8. Угол между сторонами правильного треугольника:

α = 60°

Изображение правильного четырехугольнику с обозначениями
Рис.4

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольнику — квадрат.

Формулы правильного четырехугольника:

1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r

2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:

S = a2

6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

S = 4 r2

7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

S =  2 R2

8. Угол между сторонами правильного четырехугольника:

α = 90°

Правильный шестиугольник

Формулы правильного шестиугольника:

1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

a = R

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

R = a

5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:

α = 120°

Правильный восьмиугольник

Формулы правильного восьмиугольника:

1. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r · (√2 — 1)

2. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2 — √2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

5. Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:

S = a2 2(√2 + 1)

6. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 8(√2 — 1)

7. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R2 2√2

8. Угол между сторонами правильного восьмиугольника:

α = 135°

opis.gif

vpis.gif

На самом деле у меня уже были сделаны калькуляторы для правильных многоугольников — Длина стороны правильного многоугольника. Один из первых запросов пользователей, между прочим. Эти калькуляторы находили параметры правильного многоугольника, исходя из величины радиуса описанной или вписанной в него окружности.

Калькуляторы ниже решают обратную задачу — исходя из параметров многоугольника, находят параметры вписанной и описанной окружностей.
Радиус вписанной окружности (incircle):
r_i=frac{a}{2tan(pi/n)}

Площадь правильного многоугольника:
S_p=frac{1}{2}nar_i

Радиус описанной окружности (circumcircle):
r_c=frac{a}{2sin(pi/n)}

Площадь правильного многоугольника:
S_p=frac{na^2}{4tan(pi/n)}

PLANETCALC, Правильный многоугольник. Вписанная окружность

Правильный многоугольник. Вписанная окружность

Число сторон правильного многоугольника

Длина стороны правильного многоугольника

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Радиус вписанной окружности

Площадь вписанной окружности

Площадь правильного многоугольника

PLANETCALC, Правильный многоугольник. Описанная окружность

Правильный многоугольник. Описанная окружность

Длина стороны правильного многоугольника

Число сторон правильного многоугольника

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Радиус описанной окружности

Площадь описанной окружности

Площадь правильного многоугольника

Содержание:

Вы уже изучили свойства равностороннего треугольника и квадрата. Каждая из этих фигур обладает тем свойством, что у них все углы равны и все стороны равны. Указанные геометрические фигуры служат примерами правильных многоугольников, свойства которых и рассматриваются в данном параграфе.

Определение правильного многоугольника

Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
 

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим пример. Пусть ABC — равносторонний треугольник;. Разделим каждую его сторону на три равные части, как показано на рисунке 81, а. Каждый из треугольников ATS, KBF и DPC является равносторонним. Отсюда следует, что Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Модель этого правильного многоугольника получится, если от листа бумаги, имеющего форму равностороннего треугольника, отрезать равные части, имеющие форму равносторонних и равных между собой треугольников, как показано на рисунке 81, б.

Если треугольник АБС является гранью тетраэдра ВОАС (тетраэдр — треугольная пирамида, у которой все четыре грани — равные равносторонние треугольники), а каждая пара точек Т, К, F, Р и D, S делит соответственно ребра АВ, ВС и АС на три равные части, то TKFPDS — правильный шестиугольник, лежащий на грани ABC (рис. 81, в).

Ранее, в § 1 главы 1 учебного пособия «Геометрия, 8», была доказана теорема о том, что сумма градусных мер углов любого выпуклого n-угольника равна 180°(n — 2). Из доказанной теоремы и определения правильного n-угольника следует, что градусную меру каждого его угла можно найти по формулеПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения   Например,    для правильного шести Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 82, о), а для правильного восьмиугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 82, б).

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Вы знаете, что около правильного треугольника и правильного четырехугольника можно описать окружность. Теперь изучим вопрос о существовании окружности, описанной около правильного многоугольника.

Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Оказывается, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Докажем следующую теорему.

Теорема 1 (об окружности, описанной около правильного многоугольника). Около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность.

Доказательство.

I. Докажем, существование окружности.

1) Пусть Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — правильный многоугольник. Докажем, что существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Пусть точка О — точка пересечения биссектрис углов Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияСоединим точку О отрезками со всеми вершинами многоугольника и докажем, чтоПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 83).

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

2) Так какПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — биссектрисы, тоПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решеният. е. треугольник Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения— равнобедренный, а значит,Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

3) Заметим, что треугольникПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияравен треугольнику Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияпо двум сторонам и углу между ними (Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения,сторона Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения. Из равенства этих треугольников следует, чтоПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Так же можно доказать, чтоПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и т. д.

4) Таким образом,Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения т. е. точка О равноудалена от вершин многоугольника. Следовательно, окружность со с центром в точке О и радиуса ОА, является описанной около многоугольника. Из доказательства следует, что центром, окружности, описанной около правильного многоугольника, является точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника.

II. Докажем, что описанная окружность единственная.

Пусть существует еще одна окружность со,, которая описана около правильного многоугольникаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Тогда эта окружность является описанной, например, около треугольникаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияНо около треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения можно описать единственную окружность, значит, окружности со и со, совпадают, т. е. около многоугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияможно описать единственную окружность.

Теорема доказана.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Известно, что в любой правильный треугольник можно вписать окружность. Рассмотрим вопрос о существовании окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Определение. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. При этом многоугольник называется описанным около окружности.

Докажем, что в любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Теорема 2 (об окружности, вписанной в правильный многоугольник). В любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

I. Докажем существование окружности.

1) Пусть Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — правильный многоугольник. Докажем, что существует точка, равноудаленная от прямых, содержащих стороны многоугольника (рис. 84).

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

2) Пусть точка О — центр описанной около многоугольника окружности. Теперь проведем высотыПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениясоответственно треугольниковПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Как было доказано в предыдущей теореме, эти треугольники равны между собой, следовательно, равны их высоты, т. е.Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

3) Таким образом, окружность Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения с центром в точке О радиусаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияпроходит через точкиПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияи касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в правильный многоугольник Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Заметим также, что центр О вписанной в правильный многоугольник окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Подчеркнем, что для правильного многоугольника центр вписанной окружности совпадает с центром, описанной окружности.

II. Докажем, что вписанная окружность единственная.

Предположим, что существует еще одна окружность Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениявписанная в правильный многоугольникПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияТогда центр Ох этой окружности равноудален от сторон многоугольника, т. е. точка О, лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, а значит, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. он равенПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, окружности Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениясовпадают.

Теорема доказана.

Центром, правильного многоугольника называется центр его вписанной и описанной окружностей.

Выражение элементов n-угольника через радиус вписанной или описанной окружностей

Пусть S — площадь правильного n-угольника, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения— длина его стороны, Р — периметр, а г и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.

1) Площадь S правильного n-уголъника, описанного около окружности, можно найти, зная периметр Р и радиус г вписанной окружности, по формулеПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Соединим центр О правильного многоугольника с его вершинами (рис. 85, а). Тогда многоугольник разбивается на n равных треугольников, площадь каждого из которых равнаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Следовательно,Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Что и требовалось доказать.

2)    Длину стороныПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения правильного n-угольника можно найти, зная радиус г вписанной окружности, по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Соединим центр многоугольника с вершинами Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияи проведем высоту OF равнобедренного треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 85, б). Так как многоугольник правильный, то Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения в равнобедренном треугольникеПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения высота OF,  проведенная к основанию, является биссектрисой, следовательно,Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Таким образом,Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Что и требовалось доказать.
Так какПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, то площадь S =

3)    Длину стороны аn правильного n-угольника можно найти, зная радиус R описанной окружности, по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Пусть OF — высота равнобедренного треугольникаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 86, а). ТогдаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияВ прямоугольном треугольнике Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияТаким образом, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Что и требовалось доказать.

Для правильного треугольника (n = 3), квадрата (n = 4) и правильного шестиугольника, (n = 6) получим соответственно формулы: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

4) Площадь S правильного п-угольника можно найти, зная радиус R описанной окружности, по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Соединим вершины правильного /i-угольника с его центром (рис 86, б). Тогда многоугольник разобьется на п равных треугольников. Следовательно, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Что и требовалось доказать.

5) Радиус г вписанной окружности можно найти, зная радиус R описанной окружности, по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

В прямоугольном треугольнике Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Что и требовалось доказать.

Построение правильных многоугольников

Вопрос о построении правильного треугольника уже рассматривался ранее. Покажем, каким образом можно с помощью циркуля и линейки построить правильный треугольник, вписанный в окружность.

Пример №1

Постройте правильный треугольник, вписанный в данную окружность.

Поиск решения.

Пусть правильный треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. Проведем диаметр BF этой окружности, обозначим буквой Т точку пересечения этого диаметра со стороной АС. Тогда положение точки Т на отрезке OF характеризуется равенством ОТ = TF; т. к. центр равностороннего треугольника есть точка пересечения медиан, то Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения  Кроме того, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Теперь можем осуществить построение (рис. 87, а).

Построение.

1) Проводим диаметр BF окружности и строим точку Т — середину отрезка OF (рис. 87, б).
 

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Строим прямую l, которая проходит через точку Т и перпендикулярна диаметру BF (рис. 87, б).

3) Отметим точки А и С пересечения прямой l с окружностью.

4) Строим отрезки ВА и ВС (рис. 87, в). Треугольник ABC — искомый.

Докажите самостоятельно, что построенный треугольник — правильный.

Пример №2

Постройте правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку а.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Поиск решения.

Пусть ABCDFE — правильный шестиугольник, сторона. которого равна а. Рассмотрим, описанную около этого шестиугольника окружность. Известно, что радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, т. е. R = АВ = ВС = CD = DF = FE = ЕА = a.(рис. 88). Этим можем воспользоваться для построения шестиугольника.

Построение.

1) Строим окружность Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияс центром О и радиуса а.

2) Выбираем на этой окружности произвольную точку А и строим окружностьПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Отметим точки В и Е пересечения окружностиПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, с окружностью Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 88, б).

3) Далее строим точку С, которая является одной из точек пересечения окружностиПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и окружности Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Аналогично строим точки D и F. Шестиугольник ABCDFE — искомый (рис. 88, в).

Заметим, что результат задачи 1 позволяет построить правильный шестиугольник, если построен правильный треугольник.

Понятие длины окружности

Рассмотрим вопрос о вычислении длины окружности. Пусть в окружность вписан правильный n-угольник. Если число n сторон правильного « угольника, вписанного в окружность, неограниченно возрастает, то геометрическая фигура, образованная его сторонами, все меньше и меньше отличается от окружности (рис. 93, а, б, в). В вузовском курсе математического анализа устанавливается, что существует число, к которому стремятся периметры Р„ правильных n-угольников, вписанных в окружность, при неограниченном возрастании числа их сторон. Это число называется длиной окружности. Таким образом, за длину окружности принимается число, к которому стремятся периметры вписанных в окружность правильных n-угольников при неограниченном увеличении числа их сторон.
Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Длина окружности зависит от ее радиуса, окружность большего радиуса имеет большую длину. Вместе с тем можно доказать, что отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное.

2.    Теорема об отношении длины окружности к ее диаметру. Докажем теорему, которая характеризует отношение длины окружности к ее диаметру.

Теорема (об отношении длины окружности к ее диаметру).

Отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное для всех окружностей.

Дано: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияокружности, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения соответственно длины этих окружностей. Доказать: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство.

1) Впишем в каждую из окружностей правильные n-угольники. Пусть длиныПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения— стороны этих многоугольников,Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения— соответственно их периметры (рис. 94, а, б).

2) Теперь воспользуемся формулой, которой выражается длина стороны правильного п-угольника через радиус описанной окружности. Учитывая эту формулу (глава 3, § 1, п. 3), можем записать равенства Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения.Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, верно равенство Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

3) Это равенство верно при любом значении n. Будем неограниченно увеличивать число n, тогда периметр Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияпервого многоугольника стремится к длине С первой окружности, а периметрПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениявторого многоугольника стремится к длине Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениявторой окружности, т. е. Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения стремится кПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

4) Таким образом, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияОтсюда следует, что   Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Значит, отношение длины окружности к ее диаметру одно и то же для всех окружностей.

Теорема доказана.

Число, равное отношению длины окружности к ее диаметру, обозначается строчной греческой буквой Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (читается «пи»). Доказано, что число Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — иррациональное, то есть выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приближенное значение    числа    л с точностью до    восьми знаков после запятой такое:   Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения  При решении    задач  в школьной практике пользуются приближенным значением числа Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения с точностью до сотых: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Длина дуги окружности

Для нахождения формулы длины окружности воспользуемся равенством Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияОтсюда следует, что длину окружности радиуса R можно найти по формулеПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияили по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениягде D — диаметр окружности.

Теперь выведем формулу для вычисления длины I дуги окружности, градусная мера которой равна а. Пусть данная дуга является дугой окружности радиуса R. Так как длина всей окружности равнаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, то длина дуги в 1° равна

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения. Так как градусная мера дуги равна а, то длина I этой дуги выражается:Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Пример №3

Точки F, Т и К — середины сторон равностороннего треугольника ABC. Найдите длину окружности, вписанной в треугольник FT К, если длина стороны треугольника ABC равна а.

Дано: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Найти: длину окружности, вписанной в треугольник Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Для нахождения длины окружности можем воспользоваться формулой Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениягде г — радиус окружности, вписанной в треугольник FTK. Для нахождения радиуса г воспользуемся тем, что треугольник FTK также является равносторонним.

1) Пусть точка О — центр окружности, вписанной в треугольник FTK, а Е — точка касания окружности и стороны FT (рис. 95, а, б).

2) Треугольник FTK является равносторонним, так как Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияТреугольник ТЕО — прямоугольный, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения  так как отрезок ОЕ — радиус, проведенный в точку касания, луч ОТ — биссектриса угла ЕТК).

3) В прямоугольном треугольнике Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения. Так какПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что радиус г можно найти и другим способом, воспользовавшись тем, что треугольник FT К подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, длина окружности Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Пример №4

Основанием прямой четырехугольной призмы Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияявляется квадрат. Вычислите длину окружности, описанной около боковой грани призмы, если длина окружности, описанной около основания призмы, равна 871 см, а боковое ребро в два раза больше стороны основания призмы.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Длину С окружности можно найти по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения где R — радиус окружности. Данная призма является прямой, и ее основаниями служат квадраты, следовательно, все боковые грани — равные между собой прямоугольники. Диагональ граниПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения равна диаметру описанной около него окружности, т. е.Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 96, а, б, в).

1) По условию длина окружности, описанной около квадрата ABCD, равна 8л см. Диаметр окружности равен диагонали АС, таким образом,Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияОтсюда АС = 8 см.

2) Так как четырехугольник ABCD — квадрат, тоПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

3) По условиюПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения В прямоугольном треугольнике Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Диаметр окружности, описанной около грани Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, равен Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, т. е. Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияТеперь вычислим длину окружности, описанной около боковой грани Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияОтвет: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Радианная мера угла

Ранее была определена единица измерения углов — градус. Наряду с ней используется единица измерения углов, которая называется радианом.

Углом в один радиан называется центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Радианная мера угла — это величина угла, выраженная в радианах.

Установим связь между радианной и градусной мерой угла. Углу, градусная мера которого равна 180°, соответствует полуокружность, длина I которой равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения т. е.Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения. Для нахождения радианной меры этого угла надо длину этой дуги разделить на радиус, т. е.Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, радианная мера развернутого угла равна л, т. е. 180° = Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения рад. Таким образом, радианная мера угла в 1°

равнаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПри записи используется сокращенное обозначение радиана — «рад». Из равенстваПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения следует, что градусная мера

угла в 1 радиан равна   Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Приближенно 1 радиан равен 57°.Из определения радиана следует, что длина I дуги окружности радиуса R, соответствующей центральному углу в х радиан, равна Rx.

Рассмотрим примеры перехода от радианной меры к градусной и от градусной меры к радианной.

Пример №5

Вычислите градусную меру угла 3 рад.

Решение:

Так какПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Пример №6

Вычислите радианную меру угла 30°.

Решение:

Так какПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

При записи радианной меры угла обозначение рад можно

опускать. Например, вместо Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения запишем Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
 

Площадь круга

Рассмотрим вопрос о вычислении площади круга. Пусть в окружность, ограничивающую круг, вписан правильный n-угольник. Если число n сторон правильного n-угольника, вписанного в окружность, неограниченно возрастает, то многоугольник все меньше и меньше отличается от круга (рис. 100, а, б). Из результатов, доказывемых в вузовском курсе математического анализа, следует, что существует число, к которому стремятся площади S,, правильных п-угольников, вписанных в окружность, при неограниченном возрастании числа их сторон. Это число называется площадью круга. Таким образом, за площадь круга принимается число, к которому стремятся площади вписанных в окружность, ограничивающую этот круг, правильных n-угольников при неограниченном увеличении числа их сторон.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Теперь докажем следующую теорему.

Теорема (о площади круга). Площадь S круга радиуса R можно вычислить по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

1) Пусть дан круг радиуса R и правильный n-угольник Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениявписанный в окружность, которая ограничивает этот круг. На рисунке 100, в дано изображение для случая n = 6. ЕслиПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — периметр вписанного многоугольника, а г„ — радиус вписанной в него окружности, то S„ — площадь этого многоугольника, которая находится по формулеПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

2) При неограниченном увеличении числа n сторон n-угольника радиусПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения вписанной окружности стремится к R. Действительно, так какПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, то при неограниченном увеличении числа сторон n число   Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю, а значит,Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения  стремится к единице, т. е. Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениястремится к R. Кроме того, периметрПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения стремится к длине окружности, равной Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, а площадь Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениястремится к площади S круга. Таким образом, площадь кругаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Теорема доказана.

Площадь сектора

Рассмотрим вопрос о вычислении площади части круга, которая называется сектором.

Определение. Сектором называется часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Дуга окружности, ограничивающая сектор, называется дугой сектора.

Например, на рисунке 101, а изображены два сектора, дугами которых служат дуги АТ В и AFB. На рисунке 101, б изображены круг, который касается всех сторон треугольника, и два сектора, ограниченные радиусами, проведенными в точки касания, и соответствующими дугами окружности.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Выведем формулу для вычисления площади S сектора радиуса R, градусная мера дуги которого равна а. Площадь круга радиуса R равнаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, площадь сектора, ограниченного дугой, градусная мера которой 1°, равна

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Значит, площадь сектора, ограниченного дугой, градусная мера которой равна а градусов, можно найти по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Например, если ABC — равносторонний треугольник, вписанный в круг радиуса R, а точка О — его центр, тогда площадь сектора, ограниченного радиусами ОА, ОБ и дугой AFB, равнаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Площадь сегмента

Рассмотрим формулу для нахождения площади фигуры, которая называется сегментом.

Определение. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы дуги.

Дуга окружности, ограничивающая сегмент, называется дугой сегмента, а ограничивающая его хорда называется основанием сегмента.

На рисунке 102, а изображены два сегмента, ограниченные хордой АВ и дугами AFB и АТ В. Хорда АВ является основанием для каждого из этих сегментов.

На рисунке 102, б изображены сегменты, ограниченные стороной CD вписанного квадрата и соответствующими дугами окружности.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Выведем формулу для вычисления площади сегмента. Рассмотрим два случая: 1) градусная мера дуги сегмента меньше 180°; 2) градусная мера дуги сегмента больше 180°.
1)    Пусть градусная мера дуги АnВ сегмента равна а Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения(рис. 103, а). Тогда площадь этого сегмента равна разности площади сектора, ограниченного этой дугой и радиусами ОА, ОВ, и площади треугольника АОВ, т. е.Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

2)    Пусть градусная мера дуги АmВ равна а (а > 180°) (рис. 103, б). Тогда площадь этого сегмента равна сумме площади сектора, ограниченного этой дугой и радиусами ОА,OB и площади треугольника, т. е. Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Заметим, что площадь этого сегмента можно найти так же, как разность между площадью круга и площадью сегмента с тем же основанием и дугой, градусная мера которой равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Пусть равносторонний треугольник ABC вписан в крут радиуса R, а точка О — его центр (рис. 103, в). Тогда площадь меньшего сегмента, основанием которого служит сторона АВ треугольника, равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №7

Диагональ BD равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне, а площадь круга, вписанного в треугольник ABD, равнаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияВычислите длину окружности, описанной около трапеции, если площадь треугольника ABD равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 104).

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Длину С окружности, описанной около трапеции ABCD, можно найти по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения По условию задачи окружность, описанная около трапеции, описана около прямоугольного треугольника ABD. Следовательно, основание AD трапеции является диаметром окружности, т. е. Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, а значит, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

1) Пусть г — радиус круга, вписанного в треугольник ABD. Так как площадь этого круга равнаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то из уравненияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

2) Площадь Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, прямоугольного треугольника ABD найдем по формулеПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениягде г — радиус вписанного круга, р — полупериметр треугольника ABD. По условию задачи Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияследовательно, из уравнения 24 = 2р получим р = 12 см.

3) Для нахождения длины отрезка AD воспользуемся формулой r=p -AD. Отсюда AD =р — г = 12 — 2 = 10 (см).

4) Теперь длина окружности Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Пример №8

Основанием прямой треугольной призмыПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения является равносторонний треугольник ABC. Вычислите длину окружности, описанной около боковой грани призмы, если площадь круга, вписанного в основание, равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, а все ребра призмы равны между собой (рис. 105, а).

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

По условию задачи каждая боковая грань призмы является квадратом. Длину окружности, описанной около квадратаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, можно вычислить по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияДля нахождения длины стороны АВ можем воспользоваться тем, что по условию задачи известна площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник ABC (рис. 105, б).

1) Пусть точка О — центр круга, вписанного в равносторонний треугольник ABC, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения тогда АВ = 2АТ.

2) Так как площадь круга, вписанного в треугольник ABC, равнаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, то из уравнения Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения найдем ОТ = = 3 см.

3) В прямоугольном треугольникеПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, следовательно,Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

4) Теперь вычислим длину С окружности, описанной около грани Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники с примерами

Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунке 198 изображены правильные треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник. Правильный треуголь­ник — это равносторонний треугольник, а правильный четырехугольник — это квадрат.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Одной из простейших задач является задача нахождения величины внутреннего угла правильного многоугольника. Так как все углы правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника равны между собой, а сумма углов любого Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то угол Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника можно найти по формуле

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Например, для правильного шестиугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Теорема. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, в любой правильный многоугольник можно вписать окружность; центры этих окружностей совпадают.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

В правильном многоугольнике Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения проведем биссектрисы внутренних углов Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Пусть О — точка пересечения этих биссектрис (рис. 199). Так как Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения как половины равных углов, то Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — равнобедренный с основанием Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Проведя отрезок Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения получим Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения равный Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения по двум сторонам и углу между ними (Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениясторона Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — общая, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения).

Соединив точку О отрезками с остальными вершинами, получим множество равных равнобедренных треугольников. Отсюда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения 

Поэтому окружность с центром О и радиусом Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения пройдет через все вершины многоугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения т. е. будет его описанной окружностью.

А поскольку высоты указанных равных равнобедренных треугольников, проведенные к их основаниям, равны, т. е. Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то точка О — также и центр вписанной окружности многоугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения радиус которой Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения. Теорема доказана.
 

Точка О называется центром правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника.

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника

Пусть Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — правильный Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольник со стороной Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, где О — его центр, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — радиус описанной окружности, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — радиус вписанной окружности (рис. 202).

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Так как Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения а высота ОН равнобедренного треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения является биссектрисой и медианой, то угол Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Из прямоугольного треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения находим:

а) Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения откуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

б) Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения откуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Выведенные формулы запоминать не обязательно. Важно помнить способ их получения: решение прямоугольного треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
 

Примеры:

1) Для правильного треугольника (рис. 203) получим:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения откуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения или Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения или Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

2) Для правильного четырехугольника (рис. 204) получим: 

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения откуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения или Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения илиПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

3) Для правильного шестиугольника (рис. 205)  Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения или Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Полезно запомнить формулы, выражающие сторону Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника через радиус R описанной окружности при Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения = 3, 4, 6:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения площади правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения с центром О и радиусом R описанной окружности можно найти площадь треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и умножить ее на число таких треугольников, т. е. на Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример:

Для нахождения радиуса Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения окружности, вписанной в правильный мно­гоугольник, можно использовать формулу площади описанного многоугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильный треугольник

Обобщим информацию о правильном (равностороннем) треугольнике.
Запишем формулы высоты Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения площади Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения радиуса R описанной и радиуса Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения вписанной окружностей правильного треугольника АВС со стороной Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 209):

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Из Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения где Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, следует, что Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

При заданной стороне Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения правильного треугольника его можно построить при помощи циркуля и линейки, используя алгоритм построения треугольника по трем сторонам.

Так как Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Для построения описанной и вписанной оружностей правильного треугольника достаточно по- строить его медианы (высоты), точка пересечения которых будет центром искомых окружностей.

Правильный четырехугольник

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Пусть сторона квадрата ABCD равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — ра­диус описанной, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — радиус вписанной окружности (рис. 210). Диаметр его описанной окружности ра­вен диагонали АС. В свою очередь, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения откуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения или Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Из равнобедренного прямоугольного треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениятакже следует, что Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Диаметр КН окружности, вписанной в квадрат, равен длине стороны квадрата, т. е. КН = АВ = а, откуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения [ Из прямоугольного равнобедренного треугольника АОН также следует,
что Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Для построения квадрата, вписанного в данную окружность с заданным центром, можно построить две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие че­рез центр окружности (рис. 211). Эти прямые пересекут окружность в вершинах квадрата. Обоснуйте это утверждение. Выполните указанное построение при помощи чертежного треугольника.

Правильный шестиугольник

Рассмотрим правильный 6-угольник ABCDEF со стороной Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения вписанный в окружность с центром О и радиусом R (рис. 212). Его внутренние углы равны по 120°. Треугольник AOF равнобедренный,
так как ОА = OF = RПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПоэтому Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — равносторонний, откуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Так как радиус Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения вписанной окружности является высотой равностороннего треугольника со сто­роной а, то  Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то большая (главная) диаго­наль BE правильного шестиугольника проходит через его центр О, а все три большие диагонали AD, BE и CF разбивают его на шесть равных равносторонних треугольников. Площадь правильного шестиугольника

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Меньшая (малая) диагональ BD правильного шестиугольника является диагональю ромба BCDO (ВС = CD = DO = ВО — а) с углами, равными 60° и 120°. Откуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Треугольник BDE является прямоугольным (Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения как опирающийся на диаметр), Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Кроме того, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения а расстояния между указанными парами параллельных прямых равны Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Докажите это самостоятельно.
Построим при помощи циркуля и линейки правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность с радиусом R (рис. 213, а). Воспользуемся тем, что а = R, где а — сторона правильного шестиугольника. 

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Одну вершину Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения шестиугольника берем на окружности произвольно. Из нее как из центра радиусом, равным радиусу R, делаем засечку на окружности и получаем вершину Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Затем аналогично последовательно строим остальные вершины: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — и соединяем их отрезками. Из равенства равносторонних треугольников (Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения) следует равенство углов построенного шестиугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения откуда заключаем, что он — правильный.
Для построения правильного треугольника, вписанного в данную окружность, достаточно соединить отрезками через одну вершины правильного вписанного шестиугольника (рис. 213, б). Для построения правильного 12-угольника следует разделить дуги Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения пополам (построив серединные перпендикуляры к сторонам правильного шести­угольника) и каждую из точек деления соединить отрезками с концами соответствующей стороны.
Применяя указанный способ деления дуг пополам, можно с помощью циркуля и линейки построить множество правильных многоугольников.
Так, из правильного 4-угольника можно построить правильный 8-угольник, 16-угольник, и вообще любой правильный Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольник, где Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — целое число, большее двух.

Пример №9

В окружности с центром О проведен диаметр BD, через середину радиуса OD проведена хорда АС, перпендикулярная диаметру BD (рис. 214). Доказать, что Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — правильный.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Так как Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то в прямоугольном треугольнике Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения. В равнобедренном треугольнике Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Вписанный угол АВС равен половине центрального угла АОС, т. е. Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияДиаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
Поэтому АК = КС. Так как в треугольнике АВС высо­та ВК является и медианой, то он — равнобедренный, АВ = ВС. Отсюда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — равно­сторонний, т. е. правильный. Что и требовалось доказать.
Замечание. Из задачи следует второй способ построения правильного треугольника, вписанного в окружность: строится диаметр BD, через середину радиуса OD проводится хорда АС, перпендикулярная диаметру. Треугольник АВС — правильный.
 

Пример №10

Дан правильный шестиугольник ABCDEF, диагональ АС равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Найти площадь шестиугольника (рис. 215).
Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Вписанный угол ACD опирается на диаметр АО, поэтому он прямой. Из прямоугольного треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Нахождение длины окружности и площади круга

Длину окружности, сделанной из гибкой проволоки, можно измерить, если проволоку распрямить в отрезок. Еще древние заметили, что отношение длины любой окружности к ее диаметру есть величина постоянная: длина окружности примерно в 3 раза больше диаметра. Вы можете убедиться в этом при помощи нитки и линейки, используя в качестве окружности верхнюю кромку чашки (рис. 224).

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Понятно, что периметр правильного многоугольника, вписанного в окружность, будет стремиться к длине окружности при неограниченном увеличении числа его сторон, а площадь этого многоугольника — к площади круга, ограниченного данной окружностью (рис. 225).

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Используя этот факт, выведем уже известные вам формулы длины окружности Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и площади круга Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения где R — радиус окружности и круга.
Вначале покажем, что отношение длины любой окружности С к ее диаметру D = 2R есть величина постоянная. Для этого рассмотрим две окружности и два правильных вписан­ных в них многоугольника с одинаковым числом сторон Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения где Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — сторона первого, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения— сторона второго многоугольника, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — их соответствующие периметры,Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — длина первой, а Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — длина второй описанной окружности (рис. 226).

Найдем отношение указанных периметров:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

При неограниченном увеличении числа Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения периметр Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения устремится к Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения периметр Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения -к Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, а отношение Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — к отношению Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и тогда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Отсюда следует, что отношение длины окружности к ее диаметру, т. е. . Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения величина постоянная для любой окружности.
Это отношение обозначается буквой Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Так как Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то длина окружности Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, нами доказана следующая теорема.
 

Теорема. Длина окружности радиуса R находится по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
 

Интересно знать. Число Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения 3,1415… — иррациональное и в десятичном виде представляет собой бесконечную непериодическую дробь. Оно было известно уже древним грекам. Еще Архимед нашел дробь Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения довольно точно приближающую число Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Мы же для приближенных вычислений будем пользоваться в основном значением Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
А теперь выведем формулу площади круга.
 

Теорема. Площадь круга радиуса R находится по формуле
Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

 

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Рассмотрим некоторую окружность радиуса R и вписанный в нее правильный Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольник (рис. 227), площадь которого Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения где Р — его периметр, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — радиус вписанной окружности. При неограниченном увеличении числа Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения площадь Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника устремится к площади Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения круга радиуса R, периметр Р — к длине С описанной окружности, а радиус Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — к радиусу R (поскольку угол р устремится к нулю).
Тогда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения устремится к Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то есть к Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения что равно Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения откуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Теорема доказана.

Длина дуги окружности и площадь сектора круга

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку длина окружности Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения а ее градусная мера равна 360°, то длина дуги, содержащей 1°, равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Тогда длина Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения дуги, содержащей Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 228), равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

 Напомним, что сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, соединяющей концы радиусов (рис. 229). Радиус круга называется радиусом сектора, указанная дуга — дугой сектора, центральный угол между радиусами, ограничивающими сектор, — углом сектора.
Так как площадь круга Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то площадь сектора с углом в 1° равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения, а с углом в Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения градусов — Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Заметим, что Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения т. е. площадь сектора равна половине произведения длины дуги сектора на его радиус.
 

Пример №11

Пусть дана дуга окружности с радиусом 9 см, содержащая 30° (рис. 230, а). Найдем длину дуги: 

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Пример №12

Пусть угол сектора содержит 45°, а радиус равен 6 см (рис. 230, б). Найдем площадь сектора:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. При вычислении длины дуги (площади сектора) допустимы обе следующие записи:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Длина дуги и площадь сектора прямо пропорциональны градусной мере дуги и угла сектора. Поэтому длина дуги так относится к длине окружности, как градусная мера дуги относится к градусной мере окружности.
Площадь сектора так относится к площади круга, как градусная мера угла сектора относится к градусной мере полного угла, т. е. справедливы пропорции:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. В третьей пропорции Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — это длина дуги сектора.
Данные пропорции также позволяют находить длину дуги и площадь сектора. Так, если длина окружности равна 10 см, а градусная мера ее дуги Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения откуда длина данной дуги Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
А если площадь круга равна 12 см2 и угол сектора равен 80°, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения откуда площадь данного сектора Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Пример №13

Дан сектор АОВ (рис. 231), радиус которого равен 6, а площадь — Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения. Найти длину дуги этого сектора. Ответ округлить до 0,1.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Способ 1. Пусть Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения откуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Так как по условию Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения откуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Найдем длину дуги Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
 

Способ 2. Воспользуемся пропорцией Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Тогда  Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Способ 3. Так как Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 3,1.

Пример №14

Найти площадь сегмента круга, радиус которого равен 12, если градусная мера дуги этого сегмента равна 120°.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Напомним, что сегментом называется часть круга, ограниченная хордой и дугой окружности, которая соединяет концы этой хорды.
Пусть О — центр данной окружности, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения(рис. 232). Тогда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Площадь сегмента АМВ равна разности площади сектора АОВМ и площади равнобедренного треугольника АОВ.
Так как площадь сектора Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения а площадь треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то площадь сегмента Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Площадь сегмента АКВ (см. рис. 232) можно найти как сумму площадей сектора ОАКВ и треугольника АОВ, либо как разность площади круга и площади сегмента АМВ.

Интересно знать. В 1987 г. был учрежден неофициальный праздник — день числа Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения который от­мечают любители математики 14 марта (3-й месяц, 14-е число).
Долгое время математики старались найти как можно большее число знаков числа Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения после запятой.
Легко запомнить двенадцать первых знаков числа Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения 3,14159265358… при помощи следующей считалки: «Это я знаю и помню прекрасно, но многие цифры мне лишни, напрасны», — в которой количество букв в каждом слове означает очередную цифру числа Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения «это» — 3, «я» — 1, «знаю» — 4 и т. д.

Луночки Гиппократа

Луночками Гиппократа называют серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей.

Пример №15

На отрезках АВ, AM и МВ построены полукруги с центрами в точках Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 249). Найти площадь закрашенной части большого полукруга.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Площадь закрашенной фигуры равна разности площадей полукруга с диаметром АВ = 2R и двух полукругов с диаметрами Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения т. е.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Так какПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр АВ, то NM — высота прямоугольного треугольника ANB, проведенная к гипотенузе. А высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, это среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т. е. Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 25л.

Золотое сечение

«Золотое сечение», или «божественная пропорция», — так называют математики деление отрезка некоторой точкой на части так, что больший из полученных отрезков является средним пропорциональным (средним геометрическим) между меньшим отрезком и целым. Другими словами, больший отрезок должен так относиться к меньшему, как целый отрезок относится к большему. Если на отрезке АВ отмечена точка М и Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то отрезок AM — среднее пропорциональное отрезков АВ и МВ. Поэтому точка М делит отрезок АВ в отношении золотого сечения.
Пусть Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 251).
Тогда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения откуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Учитывая, что Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения получим Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, больший отрезок AM составляет приблизительно 62 %, а меньший отрезок МВ — приблизительно 38 % всего отрезка АВ.
Число Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — считается отношением золотого сечения. Оно примерно равно отношению 8 : 5 (рис. 252).

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Золотое сечение обладает определенной гармонией, которую человек на­ходит прекрасной. Многие художественные, музыкальные, поэтические про­изведения, шедевры архитектуры содержат в своей струк­туре золотое сечение. Опытным путем установлено, что оптимальным человеку кажется прямоугольник, длина и ширина которого находятся в отношении золотого сечения. Физиологи объясняют это тем, что поле зрения человека, т. е. та часть окружающего мира, которую видит человек, представляет собой прямоугольник со сторонами, находящимися в отношении золотого сечения.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Известно, например, что в знаменитой скульптуре Венеры Милосской (рис. 253) — эталоне женской красоты — талия делит фигуру в отношении золотого сечения.
Примечателен один исторический факт. Когда информация о Венере Милосской и золотом сечении была опубликована в одном из популярных журналов начала XX в., то в магазинах поблизости женских гимназий вдруг исчезли портняжные метры. Их раскупили девушки гимназистки, чтобы проверить, насколько их фигура близка к идеалу и какой высоты каблук следует носить, чтобы к нему приблизиться.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Покажем способ деления отрезка в отношении золотого сечения при помощи циркуля и линейки. Пусть дан отрезок, равный Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Построим прямоугольный треугольник АВС с катетами Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 254). На гипотенузе АВ отложим отрезок ВК, равный отрезку ВС. Затем на катете АС отложим отрезок AM, равный отрезку АК.
Точка М делит отрезок АС в отношении золотого сечения, т. е. Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Убедитесь в этом самостоятельно.

Построение правильного пятиугольника

С давних времен построению правильных многоугольников при помо­щи циркуля и линейки математики уделяли большое внимание. Древние греки умели строить правильные треугольники, четырехугольники, пятиугольники, а также правильные многоугольники, получаемые удвоением числа их сторон: 6-угольники, 8-угольники, 10-угольники и т. д. Далее дело зашло в тупик: они не могли найти способ построения правильных 7-угольников, 9-угольников, 11-угольников. И только 2000 лет спустя ве­ликий немецкий математик XVII в. Карл Гаусс решил эту математическую проблему. Будучи 19-летним юношей, он доказал, что можно построить правильный 17-угольник, а вот 7-угольник, 9-угольник, 11-угольник, 13-угольник циркулем и линейкой построить нельзя. Задача о построении правильного 17-угольника была его первым научным открытием. Несмотря на выдающиеся достижения Гаусса в области математики, этой пер­ вой своей решенной проблеме он придавал такое значение, что в конце жизни завещал изобразить на могильном камне правильный 17-угольник.

Рассмотрим правильный пятиугольник. Если в нем провести все диагонали (рис. 255), то получится звезда (звездчатый пятиугольник). Звезда была символом школы Пифагора. Замечательно то, что точки пересечения диагоналей пятиуголь­ника делят их в отношении золотого сечения:Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияДокажем это.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Так как Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — равные равнобедренные треугольники (рис. 256), то Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПоскольку Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (докажите самостоятельно), то AMDE — параллелограмм, поэтому Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения
Но ВС = ED = х как стороны пятиугольника. Из подобия треугольников АВС и ВМС (по двум углам) следует Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения или Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, точка М делит отрезок АС в отношении золотого сечения.
Рассмотрим задачу о построении правильно­го пятиугольника при помощи циркуля и линейки. Для построения правильного пятиугольника можно взять произвольный отрезок Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения равный диагонали правильного пятиугольника, и разде­лить его в отношении золотого сечения. Получив отрезок Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения который равен стороне правильного пятиугольника, можно легко построить правильный пятиугольник. Продолжите построение сами.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Задача о построении правильного пятиугольника равносильна построению углов, равных 36°, 72°, 108°, а также построению равнобедренного треугольника, биссектриса угла при основании которого разбивает данный треугольник на два равнобедренных. Пусть в треугольнике АВС (рис. 257) Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — биссектриса и АВ = ВС = 1. Обозначим АС = АК = КВ = х, КС = 1 — х. Из свойства биссектрисы вытекает Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияоткуда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, точка К делит отрезок ВС в отношении золотого сечения. Из треугольника АВС по теореме косинусов

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что сторона АС треугольника АВС является стороной правильного десятиугольника, вписанного в окружность с радиусом, равным АВ.

Справочный материал по правильным многоугольникам

В этом параграфе вы узнаете, какие многоугольники называют правильными. Изучите свойства правильных многоугольников. Узнаете, как с помощью циркуля и линейки строить некоторые из них.

Научитесь находить радиусы вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника, длину дуги окружности, площади сектора и сегмента круга.

Правильные многоугольники и их свойства

Определение. Многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

С некоторыми правильными многоугольниками вы уже знакомы: равносторонний треугольник — это правильный треугольник, квадрат — это правильный четырехугольник. На рисунке 6.1 изображены правильные пятиугольник и восьмиугольник.

Ознакомимся с некоторыми свойствами, которыми обладают все правильные Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольники.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 6.1. Правильный многоугольник является выпуклым многоугольником.

С доказательством этой теоремы вы можете ознакомиться на с. 61-62.

Каждый угол правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника равен Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Действительно, поскольку сумма углов выпуклого Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и все углы равны, то каждый из них равен Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

В правильном треугольнике существует точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон. Это точка пересечения биссектрис правильного треугольника. Точка пересечения диагоналей квадрата также обладает аналогичным свойством. То, что в любом правильном многоугольнике существует точка, равноудаленная от всех его вершин и от всех его сторон, подтверждает следующая теорема.

Теорема 6.2. Любой правильный многоугольник является как вписанным в окружность, так и описанным около окружности, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Доказательство: На рисунке 6.2 изображен правильный Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольник Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Докажем, что в него можно вписать и около него можно описать окружности.

Проведем биссектрисы углов Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Пусть Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — точка их пересечения. Соединим точки Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Поскольку в треугольниках Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения углы 2 и 3 равны, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — общая сторона, то эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Кроме того, углы 1 и 2 равны как половины равных углов. Отсюда треугольник Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — равнобедренный, следовательно, равнобедренным является треугольник Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Соединяя точку Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения с вершинами Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения аналогично можно показать, что Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, для многоугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Это точка Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — центр описанной окружности.

Поскольку равнобедренные треугольники Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения равны, то равны и их высоты, проведенные из вершины Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Отсюда делаем вывод: точка Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения равноудалена от всех сторон многоугольника. Следовательно, точка Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — центр вписанной окружности. Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Точку, которая является центром описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника, называют центром правильного многоугольника.

На рисунке 6.3 изображен фрагмент правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника с центром Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и стороной Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения длину которой обозначим Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Угол Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения называют центральным углом правильного многоугольника. Понятно, что Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

В равнобедренном треугольнике Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения проведем высоту Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Тогда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Из треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения получаем, что

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Отрезки Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника. Если длины этих радиусов обозначить Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения соответственно, то полученные результаты можно записать в виде формул:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Подставив в эти формулы вместо Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения числа 3, 4, 6, получим формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружностей для правильных треугольника, четырехугольника и шестиугольника со стороной Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Из полученных результатов следует, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу его описанной окружности. Отсюда получаем алгоритм построения правильного шестиугольника: от произвольной точки Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения окружности надо последовательно откладывать хорды, равные радиусу (рис. 6.4). Таким образом получаем вершины правильного шестиугольника.

Соединив через одну вершины правильного шестиугольника, получим правильный треугольник (рис. 6.5).

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Для построения правильного четырехугольника достаточно в окружности провести два перпендикулярных диаметра Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.6). Тогда четырехугольник Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — квадрат (докажите это самостоятельно).

Если уже построен правильный Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольник, то легко построить правильный Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольник. Для этого надо найти середины всех сторон Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника и провести радиусы описанной окружности через полученные точки. Тогда концы радиусов и вершины данного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника будут вершинами правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника. На рисунках 6.7 и 6.8 показано построение правильных 8-угольника и 12-угольника.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Пример №16

Существует ли правильный многоугольник, угол которого равен: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения В случае утвердительного ответа укажите вид многоугольника.

Решение:

1) Пусть Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — количество сторон искомого правильного многоугольника. С одной стороны, сумма его углов равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

С другой стороны, эта сумма равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения должно быть натуральным числом, то такого правильного многоугольника не существует.

2) Имеем: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 1) не существует; 2) существует, это — стодвадцатиугольник.

Пример №17

В окружность вписан правильный треугольник со стороной 18 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, вычисляют по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения где Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — длина стороны треугольника (рис. 6.9). Следовательно,

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (см)

По условию радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника, то есть Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения см. Поскольку Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — длина стороны правильного шестиугольника, то

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 12 см. Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

О построении правильных n-угольников

Докажем, что любой правильный Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольник является выпуклым многоугольником. Для этого достаточно показать, что в любом многоугольнике есть хотя бы один угол, меньший Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Тогда из того, что в правильном Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольнике все углы равны, будет следовать, что каждый из них меньше Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то есть многоугольник будет выпуклым.

Рассмотрим произвольный многоугольник и прямую Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения не имеющую с ним общих точек (рис. 6.11). Из каждой вершины многоугольника опустим перпендикуляр на прямую Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Сравнив длины этих перпендикуляров, мы сможем выбрать вершину многоугольника, наименее удаленную от прямой Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (если таких вершин несколько, то выберем любую из них). Пусть этим свойством обладает вершина Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6.11). Через точку Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения проведем прямую Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения параллельную прямой Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияТогда угол Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения многоугольника лежит в одной полуплоскости относительно прямой Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Вы умеете с помощью циркуля и линейки строить правильный 4-угольник, а следовательно, и 8-угольник, 16-угольник, 32-угольник, то есть любой Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольник (Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Умение строить правильный треугольник позволяет построить следующую цепочку из правильных многоугольников: 6-угольник, 12-угольник, 24-угольник и т. д., то есть любой Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения -угольник Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число).

Задачу построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки изучали еще древнегреческие геометры.

В частности, помимо указанных выше многоугольников, они умели строить правильные 5-угольник и 15-угольник — задачи довольно непростые.

Древние ученые, умевшие строить любой из правильных Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольников, где Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения пытались решить эту задачу и для Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Им это не удалось. Вообще, более двух тысяч лет математики не могли продвинуться в решении этой проблемы. Лишь в 1796 г. великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс смог с помощью циркуля и линейки построить правильный 17-угольник. В 1801 г.

Гаусс доказал, что циркулем и линейкой можно построить правильный Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольник тогда и только тогда, когда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — целое неотрицательное число, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — разные простые числа вида Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения где Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — целое неотрицательное число, которые называют простыми числами ФермаПравильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Сейчас известны лишь пять простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65 537.

Гаусс придавал своему открытию столь большое значение, что завещал изобразить 17-угольник на своем надгробии. На могильной плите Гаусса этого рисунка нет, однако памятник Гауссу в Браун-швейге стоит на семнадцатиугольном постаменте.

Длина окружности. Площадь круга

На рисунке 7.1 изображены правильные 4-угольник, 8-угольник и 16-угольник, вписанные в окружность.

Мы видим, что при увеличении количества сторон правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника его периметр Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения все меньше и меньше отличается от длины Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения описанной окружности.

Так, для нашего примера можно записать:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

При неограниченном увеличении количества сторон правильного многоугольника его периметр будет как угодно мало отличаться от длины окружности. Это означает, что разность Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения можно сделать меньшей, чем, например, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и вообще меньшей, чем любое положительное число.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Рассмотрим два правильных Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника со сторонами Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения вписанных в окружности, радиусы которых равны Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения соответственно (рис. 7.2). Тогда их периметры Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения можно вычислить по формулам

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Это равенство справедливо при любом значении Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения При неограниченном увеличении значения Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения периметры Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решениясоответственно будут сколь угодно мало отличаться от длин Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения описанных окружностей. Тогда при неограниченном увеличении Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения отношение Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения будет сколь угодно мало отличаться от отношения Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения С учетом равенства Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения приходим к выводу, что число Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения сколь угодно мало отличается от числа Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

А это возможно только тогда, когда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Последнее равенство означает, что для всех окружностей отношение длины окружности к диаметру является одним и тем же числом.

Из курса математики 6 класса вы знаете, что это число принято обозначать греческой буквой Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (читают: «пи»).

Из равенства Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения я получаем формулу для вычисления длины окружности:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Число Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения иррациональное, следовательно, его невозможно представить в виде конечной десятичной дроби. Обычно при решении задач в качестве приближенного значения Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения принимают число 3,14.

Великий древнегреческий ученый Архимед (III в. до н. э.), выразив через диаметр описанной окружности периметр правильного 96-угольника, установил, что Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Отсюда и следует, что Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

С помощью современных компьютеров и специальных программ можно вычислить число Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения с огромной точностью. Приведем запись числа Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения с 47 цифрами после запятой:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения 3,14159265358979323846264338327950288419716939937…. В 1989 г. число Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения вычислили с точностью до 1 011 196 691 цифры после запятой. Этот факт был занесен в Книгу рекордов Гиннесса. Само число в книге не приведено, так как для этого понадобилось бы более тысячи страниц. В 2017 г. уже было вычислено более 22 триллионов знаков числа Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Найдем формулу для вычисления длины дуги окружности с градусной мерой Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Поскольку градусная мера всей окружности равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения то длина дуги в Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Тогда длину Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения дуги в Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения вычисляют по формуле

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Выведем формулу для вычисления площади круга.

Обратимся снова к рисунку 7.1. Видим, что при увеличении количества сторон правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника его площадь Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения все меньше и меньше отличается от площади Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения круга. При неограниченном увеличении количества сторон его площадь стремится к площади круга.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 7.3 изображен фрагмент правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника с центром в точке Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения со стороной Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения и радиусом описанной окружности, равным Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Опустим перпендикуляр Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения на сторону Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Имеем:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Поскольку радиусы, проведенные в вершины правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника, разбивают его на Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения равных треугольников, то площадь Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения раз больше площади треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Тогда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения где Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — периметр данного правильного Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения-угольника.

При неограниченном увеличении значения Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения величина Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения будет сколь угодно мало отличаться от Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения а следовательно, Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения будет стремиться к 1. Периметр Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения будет стремиться к длине Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения окружности, а площадь Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — к площади Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения круга. Тогда с учетом равенства Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения можно записать: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Из этого равенства получаем формулу для нахождения площади круга:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 7.4 радиусы Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения делят круг на две части, закрашенные разными цветами. Каждую из этих частей вместе с радиусами Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решенияназывают круговым сектором или просто сектором.

Понятно, что круг радиуса Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения можно разделить на 360 равных секторов, каждый из которых будет содержать дугу в Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Площадь Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения такого сектора равна.Тогда площадь Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения сектора, содержащего дугу окружности в Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения вычисляют по формуле:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 7.5 хорда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения делит круг на две части, закрашенные разными цветами. Каждую из этих частей вместе с хордой Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения называют круговым сегментом или просто сегментом. Хорду Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения при этом называют основанием сегмента.

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Чтобы найти площадь сегмента, закрашенного розовым цветом (рис. 7.6), надо из площади сектора, содержащего хорду Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения вычесть площадь треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (точка Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — центр круга). Чтобы найти площадь сегмента, закрашенного голубым цветом, надо к площади сектора, не содержащего хорду Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения прибавить площадь треугольника Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Если хорда Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения является диаметром круга, то она делит круг на два сегмента, которые называют полукругами. Площадь Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения полукруга вычисляют по формуле Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения где Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — радиус круга.

Пример №18

Длина дуги окружности, радиус которой 25 см, равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения см. Найдите градусную меру дуги.

Решение:

Из формулы Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения получаем Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Следовательно искомая градусная мера Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Пример №19

В окружность с центром Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения радиус которой равен 8 см, вписан правильный восьмиугольник Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения (рис. 7.7). Найдите площади сектора и сегмента, содержащих дугу Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Угол Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения — центральный угол правильного восьмиугольника, поэтому Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Тогда искомая площадь сектора равна Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения площадь сегмента:

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Справочный материал

Правильный многоугольник

Многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Свойства правильного многоугольника

Правильный многоугольник является выпуклым многоугольником.

Любой правильный многоугольник является как вписанным в окружность, так и описанным около окружности, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Длина окружности

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Длина дуги окружности в Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Площадь круга

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Площадь сектора, содержащего дугу окружности в Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

Правильные многоугольники - определение и вычисление с примерами решения

  • Вписанные и описанные многоугольники
  • Площадь прямоугольника
  • Объем пространственных фигур
  • Объёмы поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Многоугольник
  • Площадь многоугольника

План урока:

Понятие правильного многоугольника

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Формулы для правильного многоугольника

Построение правильных многоугольников

Понятие правильного многоугольника

У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.

1 pravilnye mnogougolniki

Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.

2 pravilnye mnogougolniki

Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.

Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

3 pravilnye mnogougolniki

Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:

4 pravilnye mnogougolniki

Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:

5 pravilnye mnogougolniki

Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?

Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:

6 pravilnye mnogougolniki

Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?

Решение. В формулу 

7 pravilnye mnogougolniki

Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:

8 pravilnye mnogougolniki

Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.

Ответ: не может.

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.

9 pravilnye mnogougolniki

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А1, А2, А3…Аn. Далее проведем биссектрисы углов ∠А1 и ∠А2. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА3, ОА4 и т. д.

10 pravilnye mnogougolniki

∠А1 и ∠А2 одинаковы по определению правильного многоуг-ка:

11 pravilnye mnogougolniki

Из этого факта вытекает два равенства:

12 pravilnye mnogougolniki

Получается, что ОА3 – это также биссектриса ∠А3. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):

13 pravilnye mnogougolniki

Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:

14 pravilnye mnogougolniki

Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А1, А2 и А3, можно провести только одну окружность, ч. т. д.

Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА1А2, ∆ОА2А3, ∆ОА3А4, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН1, ОН2, ОН3… на стороны многоуг-ка.

15 pravilnye mnogougolniki

Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:

16 pravilnye mnogougolniki

Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН1. Он должен будет пройти и через точки Н2, Н3, … Нn. Причем отрезки ОН1, ОН2, ОН3 окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:

17 pravilnye mnogougolniki

Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А1, ∠А2, ∠А3, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А1А2 – это отрезок ОН1, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.

18 pravilnye mnogougolniki

Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.

Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН1, ОН2, ОН3,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА1А2, ∆ОА2А3, ∆ОА3А4,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н1, Н2, Н3,… – это середины сторон многоуг-ка.

19 pravilnye mnogougolniki

Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?

Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.

Ответ: не могут.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.

Формулы для правильного многоугольника

Правильный многоуг-к, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь (она обозначается буквой S) и периметр (обозначается как Р). Длина стороны многоуг-ка традиционно обозначается буквой an, где n– число сторон у многоуг-ка. Например a4– это сторона квадрата, a6– сторона шестиугольника. Наконец, мы выяснили, что для каждого правильного многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R, а вписанной – маленькой буквой r.

Оказывается, все эти величины взаимосвязаны друг с другом. Ранее мы уже получили формулу

20 pravilnye mnogougolniki

для многоуг-ка, в который вписана окружность. Подходит она и для правильного многоуг-ка.

Для вывода остальных формул правильного многоугольника построим n-угольники соединим две его вершины с центром:

21 pravilnye mnogougolniki

Теперь можно найти и ∠А1ОН1, рассмотрев ∆А1ОН1:

22 pravilnye mnogougolniki

23 pravilnye mnogougolniki

Теперь у нас есть формула, связывающая друг с другом Rи r. Наконец, прямо из определения периметра следует ещё одна формула:

24 pravilnye mnogougolniki

С их помощью, зная только один из параметров правильного n-угольника, легко найти и все остальные параметры (если известно и число n).

Задание. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.

Решение. Запишем следующую формулу:

25 pravilnye mnogougolniki

Это равенство как раз и надо было доказать в этом задании.

Задание. Около окружности описан квадрат. В свою очередь и около квадрата описана окружность радиусом 4. Найдите длину стороны квадрата и радиус вписанной окружности.

Решение. Запишем формулу:

26 pravilnye mnogougolniki

Задание. Вычислите площадь правильного многоугольника с шестью углами, длина стороны которого составляет единицу.

Решение.

Найдем периметр шестиугольника:

27 pravilnye mnogougolniki

Задание. Около правильного треугольника описана окружность. В ту же окружность вписан и квадрат. Какова длина стороны этого квадрата, если периметр треугольника составляет 18 см?

28 pravilnye mnogougolniki

Решение. Зная периметр треуг-ка, легко найдем и его сторону:

29 pravilnye mnogougolniki

Далее вычисляется радиус описанной около треугольника окружности:

30 pravilnye mnogougolniki

Задание. Необходимо изготовить болт с шестигранной головкой, причем размер под ключ (так называется расстояние между двумя параллельными гранями головки болта) должен составлять 17 мм. Из прутка какого диаметра может быть изготовлен такой болт, если диаметр прутков измеряется целым числом?

31 pravilnye mnogougolniki

Решение. Здесь надо найти диаметр окружности, описанной около шестиугольника. Ранее мы уже доказывали, что у шестиугольника длина этого радиуса совпадает с длиной его стороны:

32 pravilnye mnogougolniki

Осталось найти сторону шестиугольника. Для этого соединим две его вершины (обозначим их А и С) так, как это показано на рисунке:

33 pravilnye mnogougolniki

Отрезок АС как раз и будет расстоянием между двумя параллельными гранями, что легко доказать. Каждый угол шестиугольника будет составлять 120°:

34 pravilnye mnogougolniki

В частности ∠АВС = 120°. Так как АВ = ВС, то ∆АВС – равнобедренный, и углы при его основании одинаковы:

35 pravilnye mnogougolniki

Аналогично можно показать, что и ∠ACD – прямой. Таким образом, АС перпендикулярен сторонам AF и CD, а значит является расстоянием между ними, и по условию равно 17 мм:

AC = 17 мм

∆АВС – равнобедренный. Опустим в нем высоту НВ, которая одновременно будет и медианой. Тогда АН окажется вдвое короче АС:

AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 мм

Теперь сторону АВ можно найти из ∆АВН, являющегося прямоугольным:

36 pravilnye mnogougolniki

Здесь мы округлили ответ до ближайшего большего целого числа, так как по условию можно использовать лишь пруток с целым диаметром.

Ответ: 20 мм.

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

37 pravilnye mnogougolniki

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

a6 = R

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а6. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а6. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

38 pravilnye mnogougolniki

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

39 pravilnye mnogougolniki

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах. Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти сумму цифр в массиве питон
  • Как исправить код 19 windows не удается запустить устройство
  • Как составить субъективный портрет человека
  • Цветы на киевской рынок как найти
  • Номинативный план текста как составить