Как найти длины диагоналей по трем вершинам

Introduction: A Method for Finding the Lengths of All the Diagonals of a Regular Polygon

In the book The Perfect Sausage and other Fundamental Formulas (one of the books in the British series of educational books Murderous Maths), there is a problem and its solution for finding the length of the longest diagonal of a polygon with an odd number of sides. While the solution presented is straightforward, this Instructables presents another way to look at this problem, and also provides an answer for the lengths of all the different diagonals present in both odd- and even-sided polygons. In order to work out the lengths of all the diagonals, this Instructables extends the notation presented in an earlier Instructables, and expresses the lengths of all the diagonals of a regular polygon in terms of either the length of the side of the polygon or the radius of the circumscribed circle that passes through all the vertices of the polygon.

The first step of this Instructables describes the notation used for expressing the lengths of the various diagonals of a regular polygon having m sides. The next step looks at the relationship between the length of a side of a regular polygon and the radius of the circumscribed circle that passes through all the vertices of the polygon. As in the previous Instructables, before presenting the final equations for the length of the diagonals of any regular polygon we consider the special cases of polygons with 8 and 9 sides (an octagon and a nonagon, respectively).

Step 1: Notation

In the earlier Instructables, the different types of diagonals were defined in terms of the number of vertices of the polygon between the vertices at the ends of the diagonal. We now describe the lengths of diagonals by using a lower case letter l with a subscript as follows:

• l₁ is the length of a diagonal that has one vertex between the vertices defining the two ends of the diagonal (this type of diagonal was previously notated by D₁);
• l₂ is the length of a diagonal that has two vertices between the vertices defining the two ends of the diagonal (this type of diagonal was previously notated by D₂);
• l₃ is the length of a diagonal that has three vertices between the vertices defining the two ends of the diagonal (this type of diagonal was previously notated by D₃);

etc.

As noted in the earlier Instructables, this notation is not a unique description of a diagonal as it depends on whether vertices are counted in a clockwise or anticlockwise direction from the vertex at one end of the diagonal to the vertex at the other end of the diagonal. Thus, for example, a diagonal line is classified as a Dᵢ type of diagonal if i vertices lie between the vertex at one end of the diagonal and the vertex at the other end of the diagonal. However, the number of vertices between the vertices at the ends of a diagonal when the vertices are counted in a clockwise direction may not equal the number of vertices between the vertices at the ends of the diagonal when the vertices are counted in an anticlockwise direction. Thus, if i vertices are counted in one direction and j vertices are counted in the opposite direction, this diagonal was described as a Dᵢ / Dⱼ type of diagonal. In this Instructables, the subscript number associated with the lower case letter l describing the length of the diagonal will be the smaller of the two integers i and j.

This notation allows us to express the length of a side of a regular polygon using the symbol l₀ (the side of a polygon has no vertices present between its ends). It follows that l₀ < l₁ < l₂ < l₃ <….

Step 2: Relationship Between the Length of the Side of a Regular Polygon and the Radius of the Circumscribed Circle That Passes Through All the Vertices of the Polygon

We consider a regular polygon having m sides each of length l₀ and let r be the radius of the circumscribed circle that passes through all the vertices of the polygon. The above diagram shows an isosceles triangle, whose legs represent two radii of the circumscribed circle joining the center of the polygon (the apex of the triangle) to two adjacent vertices of the polygon, and, whose base represents a side of the polygon. The green line between the two radii is an apothem of the regular polygon and is perpendicular to and bisects the side of the polygon.

If we denote the central angle of the polygon by θ where θ = 2π/m, it follows from the above diagram that:

• l₀/2 = r sin (θ/2).

Thus knowing l₀, one can easily find r and vice versa.

In the expressions presented in the following steps, the lengths of the diagonals will be expressed in terms of r which can readily be expressed in terms of l₀ by replacing r with:

• r = l₀/[2 sin (θ/2)].

Step 3: Lengths of All the Diagonals of an Octagon and a Nonagon

As in the earlier Instructables, we illustrate the procedure described here using an octagon (shown in the above diagram on the left) and a nonagon (shown in the above diagram on the right). The dashed lines show all the radii of the circumscribed circle that join the center of the circumscribed circle to each vertex of the polygon. The red lines in the above diagrams show all the diagonals that can be drawn from one vertex of a polygon (labelled A) to all the other vertices of the polygon (some of these vertices are labelled B, C and D). While the octagon has five diagonals and the nonagon six diagonals, both the octagon and the nonagon have only three different types of diagonals as described in the earlier Instructables.

Each diagonal can be regarded as forming the base of an isosceles triangle whose legs are radii of the polygon’s circumscribed circle. As noted in the previous step, the angle, θ, between radii of the circumscribed circle joining each adjacent pair of vertices is equal to 2π/m. If the center of the circumscribed circle is denoted by the letter O, then the angle between the legs of the various isosceles triangles are:

• for diagonal AB, angle between OA and OB = 2θ;
• for diagonal AC, angle between OA and OC = 3θ;
• for diagonal AD, angle between OA and OD = 4θ.

If a perpendicular line is drawn from the center of the circumscribed circle to the base of these isosceles triangles, the angle between the perpendicular line and the legs of the respective isosceles triangles are:

• for diagonal AB, angle = 2θ/2;
• for diagonal AC, angle = 3θ/2;
• for diagonal AD, angle = 4θ/2.

Thus, for the right-angled triangles whose sides are:

• half the base of the isosceles triangle which equals half the length of the diagonal under consideration;
• the legs of the isosceles triangle;
• and, the perpendicular joining the center of the circumscribed circle to the mid-point of the base of the triangle under consideration;

it follows that:

• half the length of the diagonal = r sin (2θ/2);
• half the length of the diagonal = r sin (3θ/2);
• half the length of the diagonal = r sin (4θ/2).

Thus substituting θ = 2π/m, the lengths of the diagonals for both the octagon and nonagon are given by:

• l₁ = AB = 2r sin (2π/m)
• l₂ = AC = 2r sin (3π/m)
• l₃ = AD = 2r sin (4π/m)

Step 4: General Expressions for the Lengths of All the Diagonals of a Regular Polygon

Based on the analysis presented in the previous step, general expressions for the lengths of all the diagonals of even-sided regular polygons having 2n sides (m = 2n) and of odd-sided regular polygons having (2n + 1) sides (m = 2n + 1) are:

• l₁ = 2r sin (2π)/m);
  
• l₂ = 2r sin (3π)/m);
  
• l₃ = 2r sin (4π)/m;
  
• .
  
• .
  
• .
  
• lₙ₋₁ = 2r sin (nπ)/m.

Как найти точку пересечения диагоналей четырехугольника

Общее уравнение прямой у= кх+в. Найдём уравнение прямой проходящей через точки А и С. А(-1;-3) тогда -3=-к+в (просто подставляем вместо х (-1), а вместо у (-3)). Аналогично для С(5;2) 2=5к+в. Решаем систему

5=6к, к=5/6, в= -3+5/6=-2цел1/6

значит у=5/6х- 2цел1/6

Так как у точек В(3;5) и D(3;-5) абсциссы одинаковые, то уравнение прямой х=3

Подставим в первое уравнение х = 3 и найдём у

у=(5/6)*3 – 2цел1/6=15/6 – 13/6=2/6=1/3

Тогда точка пересечения диагоналей О(3;1/3)

В четырехугольнике с вершинами $%A(5,6), B(8,-1), C(-7,2), D(-1,8)$% найти точку пересечения диагоналей $%AC$% и $%BD$%.

Нашел координаты $%AC$% и $%BD$%, составил уравнения (исходя из того, что диагонали перпендикулярны). Подставив в первое точку $%C$%, а во второе точку $%D$% составил полные уравнения. Решил систему из двух уравнений и получил неверные ответы.

Может быть дело в том, что диагонали необязательно перпендикулярны и надо по-другому составлять уравнения?

задан 11 Июн ’12 8:41

AlexeyVorobyev
85 ● 2 ● 6 ● 13
100% принятых

Зачем попарно – не нужно это. Пусть p1,p2,p3,p4 – это точки с указанными координатами. Берем точку p1. Нужно найти какая из точек p2,p3,p4 является противоположной. Перебираем 3 варианта.Вариант 1. Строим прямую через p1 и p2. Определяем лежат ли точки p3 и p4 относительно этой прямой по разные стороны или по одну сторону. Если по разные стороны, то прямая через p1 и p2 и есть диагональ ! А раз это диагональ, то нужно построить вторую диагональ через p3 и p4. Потом найти их пересечение.Если у нас получилось что p3 или p4 лежит на прямой через p1 и p2, то это значит у нас кривой четырехугольник Если первый вариант не подошел, то перебираем два других варианта.Программу сам напиши.

Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника АВСD, если известны координаты его вершин А В С D ( — 1 ; — 3) (3 ; 5) (5 ; 2) (3 ; — 5)?

Математика | 10 — 11 классы

Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника АВСD, если известны координаты его вершин А В С D ( — 1 ; — 3) (3 ; 5) (5 ; 2) (3 ; — 5).

Общее уравнение прямой у = кх + в.

Найдём уравнение прямой проходящей через точки А и С.

А( — 1 ; — 3) тогда — 3 = — к + в (просто подставляем вместо х ( — 1), а вместо у ( — 3)).

Аналогично для С(5 ; 2) 2 = 5к + в.

Решаем систему — 3 = — к + в

2 = 5к + в Отсюда

5 = 6к, к = 5 / 6, в = — 3 + 5 / 6 = — 2цел1 / 6

значит у = 5 / 6х — 2цел1 / 6

Так как у точек В(3 ; 5) и D(3 ; — 5) абсциссы одинаковые, то уравнение прямой х = 3

Подставим в первое уравнение х = 3 и найдём у

у = (5 / 6) * 3 — 2цел1 / 6 = 15 / 6 — 13 / 6 = 2 / 6 = 1 / 3

Тогда точка пересечения диагоналей О(3 ; 1 / 3).

Отметьте на координатной плоскости точку А( — 1 ; 3) и точки M, N, P координаты которых равны или противоположны точке А?

Отметьте на координатной плоскости точку А( — 1 ; 3) и точки M, N, P координаты которых равны или противоположны точке А.

Найдите координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника AMNP.

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вершины B( — 4 ; 2 ; 3) и D1(2 ; — 8 ; 1) Определите координаты точки пересечения его диагоналей ?

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вершины B( — 4 ; 2 ; 3) и D1(2 ; — 8 ; 1) Определите координаты точки пересечения его диагоналей ?

2. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD : А (–6 ; 1), В (0 ; 5), С (6 ; –4), D (0 ; –8)?

2. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD : А (–6 ; 1), В (0 ; 5), С (6 ; –4), D (0 ; –8).

Докажите, что ABCD – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

По известным координатам трех вершин параллелограмма найти координаты четвертой вершины и точки пересечения диагоналей, если А(1 ; 0 ; 3), В(4 ; 5 ; 0), С(5 ; 4 ; 3)?

По известным координатам трех вершин параллелограмма найти координаты четвертой вершины и точки пересечения диагоналей, если А(1 ; 0 ; 3), В(4 ; 5 ; 0), С(5 ; 4 ; 3).

Записать координаты вершин А, В, С параллелограмма ABCD, найти координаты вершины D и точки О (пересечения диагоналей параллелограмма)?

Записать координаты вершин А, В, С параллелограмма ABCD, найти координаты вершины D и точки О (пересечения диагоналей параллелограмма).

Записать уравнение стороны АВ и высоты СН.

Даны координаты двух вершин треугольника ( — 18, 14), (22, 34) и точки пересечения высот ( — 2, 10)?

Даны координаты двух вершин треугольника ( — 18, 14), (22, 34) и точки пересечения высот ( — 2, 10).

Найти координаты третьей вершины треугольника.

Найдите координаты вершины и координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма АВСД А(0, 0, 0) В(1, 2, 3) С ( — 1, 1, — 2)?

Найдите координаты вершины и координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма АВСД А(0, 0, 0) В(1, 2, 3) С ( — 1, 1, — 2).

Постройте четырехугольник АВСD по координатам точек А( — 6 ; 2), В(6 ; 5), С1 ; — 3)D( — 7 ; 1)?

Постройте четырехугольник АВСD по координатам точек А( — 6 ; 2), В(6 ; 5), С1 ; — 3)D( — 7 ; 1).

Найдите координаты точки пересечения отрезков АС BD.

! СРОЧНО?

В параллелограмме ABCD известны координаты точки пересечения диагоналей Е (1 ; — 2) и двух верршин А ( — 4 ; — 3) и В ( — 2 ; 5).

Найдите координаты двух других вершин параллелограмма.

В параллелограмме ABCD известны координаты точки пересечения диагоналей Е (1 ; — 2) и двух верршин А ( — 4 ; — 3) и В ( — 2 ; 5)?

В параллелограмме ABCD известны координаты точки пересечения диагоналей Е (1 ; — 2) и двух верршин А ( — 4 ; — 3) и В ( — 2 ; 5).

Найдите координаты двух других вершин параллелограмма.

На этой странице находится ответ на вопрос Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника АВСD, если известны координаты его вершин А В С D ( — 1 ; — 3) (3 ; 5) (5 ; 2) (3 ; — 5)?, из категории Математика, соответствующий программе для 10 — 11 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Математика. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.

За один час он проплыл против течения 1 * (12 — 2) = 10 км значит по течению до места отправки он будет сплавляться 10 : 2 = 5 часов Ответ : 5 часов.

Alina iunches in the afternoon.

Алина обедает днём — Alina lunches in the afternoon.

X — 1 число, 0, 23x — 2 число. 0, 23x + x = 4, 92 1, 23x = 4, 92 x = 4 — 1 число 4, 92 — 4 = 0, 92 — 2 число.

1)9 : 3 = 3(л) — в 1 кувшине 2)3 * 6 = 18(л).

НОД(5, 15) = 5 НОД(12, 48) = 12 НОД(51, 65) = 13 НОД(232, 261) = 1 НОД(124, 148) = 4.

А)нет б)да в)да г)нет д)да е)нет.

Наибольшее 9876543210 Наименьшее 0, 987654321.

1) на 1 ч 30 мин 2) на 4ч 1 мин 3) на 24 мин 23с 4) на 1ч 8мин.

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь

1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры	3	5	1	7

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазина	Расход краски	Масса краски в одной банке	Стоимость одной банки краски	Стоимость доставки заказа
1	0,25 кг/кв.м	6 кг	3000 руб.	500 руб.
2	0,4 кг/кв.м	5 кг	1900 руб.	800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Была ли эта статья полезной?

Примеры решения задач

Задача 1.
Определить длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах

и

,
где

таковы, что

.

Решение.
Диагонали параллелограмма есть векторы

и

.
Вычислим длину вектора

:

.

Аналогично
вычисляется длина вектора

.

Задача 2.
Найдите вектор

,
коллинеарный вектору

и удовлетворяющий условию

.

Решение.
Обозначим вектор

,
тогда из условий задачи

или

,

тогда

.
Итак:

.

Задача 3.
Найти проекцию вектора

на направление вектора

.

Решение.

.
По формуле проекции вектора на ось будет
иметь место равенство

.

Задача 4.
Даны векторы:

.

П
роверить,
есть ли среди них коллинеарные. Найти

.

Решение.
Условие коллинеарности имеет вид

.
Этому условию удовлетворяют векторы

.
Следовательно, они коллинеарны. Найдем
длины

векторов

:

.

Угол между векторами
определяется по формуле

.

Т

огда

,

.

Используя формулу

,
получим

.

Задача 5.
На материальную точку действуют силы

.
Найти работу равнодействующей этих сил

при перемещении точки из положения

в положение

.

Решение.
Найдем силу

и вектор перемещения

.

,
тогда искомая работа

.

Задачи

1. Векторы

взаимно перпендикулярны, а вектор

образует с ними углы

.
Зная, что

,
найти: 1)

;
2)

.

2. Вычислить длину
диагоналей параллелограмма, построенного
на векторах

,
если известно, что

.

3. Доказать, что
вектор

перпендикулярен к вектору

.

4. Зная, что

,
определить, при каком значении коэффициента

векторы

окажутся перпендикулярными.

5. Даны вершины
четырехугольника:

.
Доказать, что его диагонали взаимно
перпендикулярны.

6. Найти острый
угол между диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах

.

7. Даны силы

.
Найти работу их равнодействующей при
перемещении точки из начала координат
в точку

.

8. Даны вершины
треугольника:

.
Найти проекцию вектора

на вектор

.

9. Найти вектор

,
перпендикулярный векторам

,
если известно, что его проекция на вектор

равна единице.

10. Сила, определяемая
вектором

,
разложена по трем направлениям, одно
из которых задано вектором

.
Найти составляющую силы

в направлении вектора

.

11. Даны вершины
треугольника:

.
Найти его внутренний угол при вершине
А и внешний угол при вершине В.

12. Даны три
последовательные вершины параллелограмма:

.
Найти его четвертую вершину D
и угол между векторами

.

13. На оси

найти точку, равноудаленную от точек

.

14. Доказать, что
треугольник с вершинами

прямоугольный.

Домашнее задание

1. Вычислить
скалярное произведение двух векторов

,
зная их разложение по трем единичным
взаимно перпендикулярным векторам

;

.

2. Найти длину
вектора

,
зная, что

– взаимно перпендику-

лярные орты.

3. Векторы

попарно образуют друг с другом углы,
каждый из которых равен

.
Зная, что

,
определить модуль вектора

.

4. Доказать, что
вектор

перпендикулярен к вектору

.

5. Даны векторы

,
совпадающие со сторонами треугольника
АВС. Найти разложение вектора, приложенного
к вершине В этого треугольника и
совпадающего с его высотой BD
по базису

.

6. Вычислить угол
между векторами

,
где

—
единичные взаимно перпендикулярные
векторы.

7. Даны силы

,
приложенные к одной точке. Вычислить,
какую работу производит равнодействующая
этих сил, когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается
из положения

в положение

.

8. Даны вершины
треугольника

.
Определить его внутренний угол при
вершине В.

9. Вычислив
внутренние углы треугольника с вершинами

,

,
убедиться, что этот треугольник
равнобедренный.

10. Найти вектор

,
зная, что он перпендикулярен векторам

и

.

11. Найти вектор

,
коллинеарный вектору

и удовлетворяющий условию

,
где

.

12. Вычислить
проекцию вектора

на ось вектора

.

13. Даны векторы

.
Вычислить

.

14. Даны точки

.
Вычислить проекцию вектора

на ось вектора

.

Ответы к задачам

1) -7, 13. 2) 15,

.
4)

.
6)

.
7) 2. -1/3.

9)

.
10)

.
11)

.

12)

.
13)

.

Ответы к домашнему
заданию

1) 9. 2) 5. 3) 10. 5)

.
6)

.
7) 13.

.

10)

.
12) 6. 13) 5. 14) 3.

Занятие 3

Векторое
произведения векторов. Смешанное
произведение векторов

Определение1.
Тройка
некомпланарных векторов

называется правой (левой) если, находясь
внутри телесного угла, образованного
приведенными к общему началу векторами

и от него к

,
човершающимся против часовой стрелки
(по часовой стрелке)

Тройка правая
Тройка левая

Определение
2. Векторным
произведением вектора

на вектор

называется вектор

,
длина и направление которого определяются
условиями:

1.

,
где

— угол между

.

2.

.

3.

— правая тройка векторов.

Свойства
векторного произведения

1.

(свойство антиперестановочности
сомножителей);

2.

(распределительное относительно суммы
векторов);

3.

(сочетательное относиельно числового
множителя);

4.

(равенство нулю векторного произведения
означает коллинеарность векторов);

5.

,
т. е. момент сил равен векторному
произведению силы на плечо.

Если вектор

,
то

.

Определение
3. Смешанным
произведением

трех векторов называется число,
определяемое следующим образом:

.
Если векторы заданы своими координатами:

,
то

~

.

Свойства
смешанного произведения

1. Необходимым и
достаточным условием компланарности
векторов

является равенство

= 0.

2. Объем
параллелепипеда, построенного на
векторах

:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

• 
  
  

Вычислите длины диагоналей параллелограмма ABCK, если известны координаты его вершин A(1; -3; 0), B(-2; 4; 1), C(-3; 1; 1).