Как найти длины медиан треугольника по сторонам - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Рассмотрим задачу, в которой требуется по сторонам треугольника найти его медиану.

Задача.

Даны стороны треугольника. Найти длину медианы, проведенной к наибольшей стороне.

Дано: ∆ ABC,

BC=a, AC=b, AB=c,

сторона AC — наибольшая,

BO- медиана.

Найти: BO.

Решение:

1) На луче BO отложим отрезок OD, OD=BO.

2) Проведем отрезки AD и CD.

3) Рассмотрим четырехугольник ABCD.

AO=CO (так как BO — медиана треугольника ABC по условию);

BO=DO (по построению).

Так как диагонали четырехугольника ABCD в точке пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку).

4) По свойству диагоналей параллелограмма,

$[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})]$

$[{b^2} + B{D^2} = 2({a^2} + {c^2})]$

$[B{D^2} = 2({a^2} + {c^2}) - {b^2}]$

$[BD = sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} ]$

так как BO=1/2 BD (по построению),

$[underline {BO = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} .} ]$

Если ввести обозначение

$[BO = {m_b},]$

формула для нахождения медианы треугольника по его сторонам примет вид:

$[{{m_b} = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} }]$

Запоминать эту формулу не обязательно. При решении конкретной задачи следует привести все рассуждения.

Если медиана проведена не к наибольшей, а к наименьшей либо средней по величине стороне, решение задачи аналогично.

Соответственно, формулы для нахождения длины медианы в этих случаях:

$[{m_a} = frac{1}{2}sqrt {2({b^2} + {c^2}) - {a^2}} ]$

$[{m_c} = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {b^2}) - {c^2}} ]$

Приём, который применили для решения задачи — метод удвоения медианы.

Источник

Все формулы медианы треугольника

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a, b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 08 октября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Чтобы по сторонам треугольника найти медиану, не обязательно запоминать дополнительную формулу. Достаточно знать алгоритм решения.

Для начала рассмотрим задачу в общем виде.

Дан треугольник со сторонами a, b, c. Найти длину медианы, проведенной к стороне b.

AB=a, AC=b, BC=c.

Решение.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF.

Соединим точку D с точками A и C.

Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по признаку), так как у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Отсюда: AC²+BD²=2(AB²+BC²), значит, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². По построению, BF — половина BD, следовательно,

$[BD = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} ]$

Это — формула нахождения медианы треугольника по его сторонам. Обычно ее записывают так:

$[{m_b} = frac{1}{2}sqrt {2({a^2} + {c^2}) - {b^2}} ]$

Переходим к рассмотрению конкретной задачи.

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найти медиану треугольника, проведенную к его средней по длине стороне.

Решение:

Применяя аналогичные рассуждения, получаем:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

Отсюда

14²+BD²=2(13²+15²)

BD²=2(169+225)-196=592

$[BF = frac{1}{2}DD = frac{1}{2} cdot 4sqrt {37} = 2sqrt {37} (cm)]$

Ответ:

Источник

Длина медианы треугольника

Воскресенье, 20 октября, 2019

Очень часто в ЕГЭ, ОГЭ и других экзаменах по математике встречаются задачи, в которых требуется найти длину медианы треугольника, если известны его стороны. Это действительно возможно, ведь длины трёх сторон треугольника полностью его определяют. В данной статье профессиональный репетитор по математике и физике объясняет, как это можно сделать.

Вопрос о том, как найти длину медианы треугольника, если известны все стороны треугольника, действительно имеет смысл. Ведь треугольник определяется длинами его сторон. То есть нет двух разных треугольников с одинаковыми сторонами. По третьему признаку равенства треугольников это должны быть два равных треугольника. Это означает, что если мы знаем все стороны в треугольнике, то мы можем найти в нём все основные элементы. В том числе и длины всех медиан. Разберёмся, как находится длина медианы треугольника.

Изобразим треугольник ABC. Обозначим его стороны маленькими буквами , и , причём сторона пусть лежит напротив угла A, сторона — напротив угла B и сторона — напротив угла C. Это стандартное обозначение, которое часть используется в учебниках по геометрии. Проведём также медиану AM, которая разделит сторону BC на два равных отрезка, длины которых составляют по $dfrac{1}{2}a$ . Обозначим длину этой медианы , имея в виду, что эта медиана проведена именно к стороне :

То есть — это длина медианы треугольника, которую нам нужно найти. Наша задача состоит в том, чтобы выразить её через длины сторон треугольника , и .

Ну и идея состоит в том, чтобы использовать стандартное в таких случаях дополнительное построение, которое условно называют «удвоением медианы». Продлим медиану AM за точку M на отрезок MD, равный по длине медиане AM. То есть длина отрезка MD тоже равна . Как это нам поможет? Дело в том, что, соединив точку D c точками B и C, мы получаем четырёхугольник ABDC, который в действительности является параллелограммом:

Удвоение медианы в треугольнике ABC, которое приводит к достраиванию его до параллелограмма

Естественно! Ведь есть такой признак. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Здесь у нас получается ровно эта ситуация. M — середина AD, и одновременно — середина BC. Значит, ABDC — параллелограмм. Это означает, в частности, что BD = b, а DC = c, так как противоположные стороны параллелограмма равны.

Ну а дальше действовать можно по-разному. Но поскольку у всех всегда разный уровень знаний по геометрии, то я постараюсь обойтись в дальнейшем самыми известными фактами из геометрии. Я имею в виду теорему Пифагора. Я думаю, что вы все прекрасно её знаете. Ну или хотя бы про неё слышали.

Итак, проведём высоты нашего параллелограмма BF и DH. Обозначим длины этих высот буквой . А вот отрезочки AF и CH обозначим за . Они будут одинаковые по длине, потому что равны прямоугольные треугольники ABF и CDH. Они, конечно же, равны, ведь у них равны гипотенузы AB и CD, а также катеты BF и DH:

Нахождение длины медианы треугольника по известным длинам его сторон

Ну а теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BFC. Запишем для него теорему Пифагора:

(1) $begin{equation*} BC^2 = BF^2+FC^2 = a^2 = h^2+(b-x)^2 end{equation*}$

Аналогично для прямоугольного треугольника ADH получаем по теореме Пифагора:

(2) $begin{equation*} AD^2 = DH^2+AH^2 = 4m_a^2=h^2+(b+x)^2 end{equation*}$

Ну и для прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора получаем:

(3) $begin{equation*} AB^2 = BF^2+AF^2 = c^2=h^2+x^2 end{equation*}$

То есть получается три уравнения. Нужно их использовать, чтобы найти . Как же это сделать? Во-первых, сложим вместе уравнения (1) и (2), раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. В результате получаем следующее выражение:

Ну и теперь осталось использовать уравнение (3), только сперва нужно умножить обе части этого уравнения на 2. Тогда получим, что . Ну и тогда мы получаем выражение , из которого получаем окончательно:

$[ m_a = dfrac{1}{2}sqrt{2c^2+2b^2-a^2} ]$

Вот искомая формула, которую мы не просто записали, но ещё и доказали. Но ирония заключается в том, что запоминать её совсем не обязательно. Лучше просто знать, как её вывести, и получать её каждый раз при решении каждой конкретной задачи.

Задавайте свои вопросы по математике и физике в комментариях. Здесь на сайте и на моём Youtube-канале. На самые часто задаваемые вопросы я отвечу в следующих видео и статьях. Всего доброго!

Репетитор по математике и физике Сергей Валерьевич

Источник