Как найти длины отрезков на числовой оси - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Измерение отрезков числовой оси

Пусть
имеется числовая ось, т.е. прямая, на
которой выбраны определенная точка О-
начало отсчета, масштабный отрезок ОЕ,
длина которого считается равной единице,
и положительное направление (обычно
направление слева-направо)

Попытаемся
поставить в соответствие каждой точке
М числовой оси некоторое число, выражающее
длину отрезка ОМ. Это число считается
положительным, если точка М лежит справа
от точки О и отрицательным — в противоположном
случае.

Очевидно,
что каждому
рациональному числу соответствует на
числовой оси определенная точка.

В
самом деле, из курса элементарной
математики известно, как построить
отрезок, длина которого составляет

часть длины масштабного отрезка ОЕ
(nN).
Тогда легко построить отрезок АВ, длина
которого относится к длине масштабного
отрезка ОЕ, как

Отложив
отрезок АВ вправо (влево) от точки О,
получим точку М₁(М₂)
,соответствующую рациональному числу

Однако,
из курса элементарной математики
известно, что наряду с соизмеримыми
отрезками (отрезками, отношение длин
которых выражается рациональным числом)
существуют и несоизмеримые отрезки
(примером несоизмеримых отрезков могут
служить сторона и высота равностороннего
треугольника). Это позволяет утверждать,
что не все
точки числовой оси соответствуют
рациональным числам.

Естественно,
возникает потребность расширить область
рациональных чисел и ввести в рассмотрение
такие числа, которые соответствовали
бы всем точкам числовой оси и позволяли
бы при помощи масштабного отрезка ОЕ
измерить любой отрезок. Опишем процесс,
позволяющий измерить любой отрезок ОМ
числовой оси. Будет показано, что этот
процесс позволяет также поставить в
соответствие любой точке М этой оси
некоторую вполне определеную бесконечную
десятичную дробь.

Пусть
М — любая точка числовой оси. Для
определенности предположим, что т.М
лежит правее О (см. рис.)

Будем
измерять отрезок ОМ при помощи масштабного
отрезка ОЕ.

Выясним,
сколько раз целый отрезок ОЕ укладывается
в отрезке ОМ. Могут представиться два
случая.

1).
Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ
целое число ₀
раз с некоторым остатком NM, меньшим ОЕ
(см.рис.). В этом случае целое число ₀
есть приближенный результат измерения
по недостатку
с точностью до единицы.

2).
Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ
целое число ₀
+1 раз без остатка. В этом случае ₀ также
представляет собой приближенный
результат измерения по
недостатку
с точностью до единицы, ибо отрезок ОЕ
укладывается в отрезке ОМ ₀раз с
остатком NM, равным ОЕ (на практике в этом
случае процесс измерения считают
законченным и полагают длину отрезка
ОМ равной ₀
+1).

Выясним
теперь, сколько раз

часть масштабного отрезка ОЕ укладывается
в остатке NM. Опять могут представиться
два случая.

1).

часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке
NM целое число ₁
раз с некоторым остатком РМ, меньшим

части отрезка ОЕ (см. рис.). В этом случае
рациональное число ₀,
₁
есть результат измерения по
недостатку
с точностью до

2).

часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке
NM целое число ₁
раз без остатка. В этом случае рациональное
число ₀,
₁ также есть
результат измерения по недостатку с
точностью до

,
т.к.

часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке
NM ₁ раз с
остатком РМ, равным

части отрезка ОЕ.

Продолжая
неограниченно указанные рассуждения,
мы получим бесконечную совокупность
рациональных чисел

₀; ₀,
₁; …; ₀,
₁
₂…
_n;
…, (1)

каждое
из которых представляет собой результат
измерения отрезка ОМ по
недостатку
с соответствующей степенью точности.
Вместе с тем каждое из чисел (1) может
быть получено посредством обрывания
на соответствующем знаке бесконечной
десятичной дроби.

₀
, ₁
₂
₃
…_n
… (2)

Если
точка М лежит левее точки О, то , применяя
аналогичные рассуждения, получим, что
все числа (1) и бесконечная десятичная
дробь будут иметь отрицательный знак.

Таким
образом, мы установили, что посредством
описанного измерения отрезка ОМ любой
точке М числовой оси можно поставить в
соответствие вполне определенную
бесконечную десятичную дробь.

Итак,
описанный выше процесс приводит нас к
рассмотрению чисел, представимых в виде
бесконечных десятичных дробей.

Вместе
с тем каждая бесконечная десятичная
дробь (2) полностью характеризуется
бесконечной совокупностью (1) рациональных
чисел, приближающих эту дробь.

Рассмотрим
множество всевозможных бесконечных
десятичных дробей. Числа, представимые
этими дробями, будем называть вещественными.
Множество всех вещественных чисел будем
обозначать через R.

Данное
вещественное число мы будем считать
положительным (отрицательным), если оно
представимо в виде положительной
(отрицательной) бесконечной десятичной
дроби.

В
состав множества вещественных чисел
входят и все рациональные числа, ибо
все они представимы в виде бесконечных
десятичных дробей. Так, рациональному
числу

ставится в соответствие бесконечная
десятичная дробь 0,4999…9…, рациональному
числу

—
бесконечная десятичная дробь 1,333…3… .

Вещественные
числа, не являющиеся рациональными,
называют иррациональными.

На
случай привольных вещественных чисел
переносятся три правила и все основные
свойства рациональных чисел, перечисленные
выше. Тем самым для вещественных чисел
обосновываются все правила элементарной
алгебры, относящиеся к арифметическим
действиям и к сочетанию равенств и
неравенств.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Алгебра

7 класс

Урок № 11

Длина отрезка. Координатная ось

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Действительное число как мера длины отрезка.

• Координатная ось.

• Точки с действительными координатами на числовой оси.

• Сравнение действительных чисел на числовой оси.

Тезаурус:

Измерение длины отрезка – это сравнение длины отрезка с выбранной единицей измерения.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка. Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Отрезок, принятый за единицу измерения, называется единичным отрезком.

Прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью.

Координатой точки Р, лежащей на оси Ох, называется действительное число х = ±ОР, взятое со знаком «плюс», если точка Р лежит на положительной полуоси, и со знаком «минус», если эта точка лежит на отрицательной полуоси (где ОР означает длину отрезка ОР).

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Длина отрезка

Рассмотрим несколько примеров измерения длины отрезка.

За единицу измерения возьмём 1 дм.

Длина отрезка АВ = 2 дм

Это значит, что на отрезке АВ укладывается ровно 2 дм.

Пусть длина отрезка АВ будет > 2дм, например, 2,1 дм

Пусть следующий отрезок имеет длину 2,14 дм.

Можно указать, что длина отрезка АВ ≈ 2,1дм с точностью до 0,1дм с недостатком.

Далее можно рассматривать отрезок

АВ ≈ 2,14 дм с точность до 0,01 и т.д.

В таких случаях длина отрезка АВ может быть выражена приближённо. Точное значение длины отрезка АВ выражается бесконечной десятичной дробью: AB = a₀, a₁, a₂, a₃… Говорят, что отрезок AB имеет длину a, где a = a₀, a₁, a₂, a₃…

Подведём итог.

Если задан единичный отрезок, то произвольный отрезок АВ имеет длину, равную некоторому положительному действительному числу а.

Верно обратное утверждение:

если задано любое положительное действительное число а, то можно указать отрезок АВ, длина которого равна этому числу.

Координатная ось

Далее зададим прямую, на которой выбрано положительное направление, начальная точка отсчета О и единичный отрезок.

Её называют координатной осью.

Точка О делит координатную ось на два луча. Один из них, идущий от точки О в положительном направлении, называют положительной полуосью, другой – отрицательной полуосью.

Каждой точке координатной оси поставим в соответствие действительное число х по следующему правилу:

начальной точке поставим в соответствие число ноль;

точке А, если она находится на положительном луче, поставим в соответствие число х, равное длине отрезка ОА.

Точке В, если она находится на отрицательном луче, поставим в соответствие отрицательное число х, равное длине отрезка ОВ, взятой со знаком «–».

На рисунке изображена координатная ось ОХ, где О – начало отсчёта.

Таким образом,

• каждой точке оси соответствует действительное число – координата этой точки;

• две различные точки А и В оси имеют разные координаты х1 и х2;

• каждое действительное число есть координата некоторой точки оси.

Это означает, что установлено взаимно – однозначное соответствие между точками оси и действительными числами.

Замечание: ранее на координатной прямой нами рассматривались точки, имеющие рациональные координаты. Теперь каждой точке соответствует действительное число.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача 1. Длина отрезка

Дано: А (2,6), В (-3,8)

Найдите: длину АВ, координату точки С – середины АВ.

Решение:

1. Чтобы найти длину отрезка надо из большей координаты вычесть меньшую, т.е. 2,6 – (-3,8) = 2,6 + 3,8 = 6,4

2. Чтобы найти координаты середины отрезка, надо сложить координаты и разделить на 2, т.е. (-3,8 +2,6) : 2 = -1,2 : 2 = -0,6.

Ответ: АВ = 6,4; С(-0,6).

Задача 2. Координатная ось.

Дано: на координатной оси расположены точки a, b, c.

Сравните:

1) a и b

Число a больше b, т.к. оно правее.

2) c – a и 0

Число c меньше a, значит, разность отрицательная, т.е.

c – a< 0

3) b • c и 0

Числа b и c отрицательные, значит, их произведение – число положительное, т.е. b • c > 0.

Источник

Числовая ось

Прямую, на которой выбрана начальная точка, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной или числовой осью.

Рассмотрим прямую с начальной точкой O и выбранным положительным направлением, указанным стрелкой:

За единицу длины на данной прямой возьмём произвольный отрезок. Такая прямая будет называться осью.

Если отложить по оси от точки O единицу длины (произвольно взятый отрезок) вправо и влево 1, 2, 3, 4, 5 и более раз, а концы полученных отрезков, расположенных справа, отметить положительными числами +1, +2 и так далее, а слева — отрицательными числами -1, -2 и так далее, то такую ось называют числовой осью:

Число 0 на ней будет совпадать с точкой O. Таким образом, любое число (положительное, отрицательное или нуль) может быть отображено только одной точкой оси.

Точка и число являются разными понятиями. Когда говорят, что данная точка изображает число, например, 2,5, это значит, что данная точка находится на расстоянии 2,5 единиц длины влево от начальной точки O.

Вместо того, чтобы говорить: Точка соответствует числу 2,5 — или: Точка изображает число 2,5, — говорят просто: Точка 2,5 и т. д.

Число, которое соответствует данной точке, называется координатой этой точки.

Так как все точки на оси имеют определённые координаты, то такую ось также называют координатной осью или координатной прямой.

Источник

0 / 0 / 0

Регистрация: 09.10.2011

Сообщений: 23

Найти длину отрезков на числовой оси

12.10.2011, 20:46. Показов 3191. Ответов 2

Прив, всем.Помогите пожалуйста мне решить ету задачу:
Дано три точки А,В,С на числовій осі.Знайти довжину відрізів АС і ВС та їх суми.

Programming

Эксперт

94731 / 64177 / 26122

Регистрация: 12.04.2006

Сообщений: 116,782

12.10.2011, 20:46

Ответы с готовыми решениями:

Даны три точки на числовой оси. Найти длины отрезков и их сумму
1 Даны три точки A, B, C на числовой оси. Найти длины отрезков AC и BC и их сумму.

Найти длину наименьшего отрезка числовой оси, соддержащего все элементы массива
Написать процедуру (функцию) обработки массива с параметрами для заданного одномерного масива…

Указать наименьшую длину числовой оси
Дана последовательность чисел а1, а2,…, аn. Указать наименьшую длину числовой оси, содержащую все…

Указать наименьшую длину числовой оси, содержащую все числа последовательности
Дана последовательность чисел a1, a2, a3, …, an. Указать наименьшую длину числовой оси, содержащую…

ЛоРД_Оледжан

Программист

56 / 54 / 15

Регистрация: 23.07.2009

Сообщений: 336

12.10.2011, 21:52

Сообщение было отмечено Tarus как решение

Решение

Pascal

program z4; 
 uses crt; 
 var 
  A,B,C:Real; 
 Begin clrscr; 
  writeln('Vvedite A '); 
  readln(A); 
  writeln('Vvedite B '); 
  readln(B); 
  writeln('Vvedite C '); 
  readln(C); 
  writeln('AC = ',Abs(C-A):5:2); 
  writeln('BC = ',Abs(C-B):5:2); 
  writeln('Summa = ',Abs(C-A) + Abs(C-B):5:2); 
  readln 
 end.

0 / 0 / 0

Регистрация: 09.10.2011

Сообщений: 23

13.10.2011, 21:53

[ТС]

большое те спмсибо за ету прогу, спс я те сказал.

IT_Exp

Эксперт

87844 / 49110 / 22898

Регистрация: 17.06.2006

Сообщений: 92,604

13.10.2011, 21:53

Помогаю со студенческими работами здесь

Указать наименьшую длину числовой оси, содержащей все элементы массива.
Помогите плизз!!!

1) Дан массив A(m). Указать наименьшую длину числовой оси, содержащей все…

Дана последовательность чисел a1, a2,…, an. Указать наименьшую длину числовой оси, содержащую все эти числа.
Дана последовательность чисел a1, a2,…, an. Указать наименьшую длину числовой оси, содержащую все…

Даны четыре точки на числовой оси A, B, C И D. найти длину пересечения отрезков AB И CD
Я только начал изучать, не могли бы подсказать метод построения решения этой задачи

На числовой прямой покрасили n отрезков. Найти длину окрашенной части числовой прямой
На числовой прямой покрасили n отрезков. Известны координаты левого и
правого концов каждого…

Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Источник

Длина отрезка

Отрезком называют часть прямой линии, состоящей из всех точек этой линии, которые расположены между данными двумя точками — их называют концами отрезка.

Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.

Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2). На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.

Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1, а на ось Х длина проекции равна x2-x1. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 — y1)² + (x2 — x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.

Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 — 1)² + (5 — 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.

Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.

Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.

Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²).

Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Источник