Как найти длины отрезков в геометрии - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Главная
Справочники
Справочник по геометрии 7-9 класс
Начальные геометрические сведения
Длина отрезка

Отрезок — это геометрическая фигура, которая имеет начало и конец, значит отрезки можно измерять.

Измерить отрезок — значит найти его длину (расстояние между его концами).

Для того, чтобы найти длину отрезка, его сравнивают с отрезком принятым за единицу измерения, который носит название единичный отрезок.

Если за единицу измерения принять сантиметр, то, чтобы определить длину отрезка, нужно узнать сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рис.1 в отрезке СD сантиметр укладывается ровно три раза, значит, длина отрезка СD равна 3 см, можно записать СD = 3 см. В данном случае, для измерения удобно использовать сантиметровую линейку.

Бывает, что единичный отрезок не укладывается целое число раз в измеряемый отрезок, тогда единичный отрезок делят на 10 равных частей и определяют сколько раз одна десятая часть укладывается в остатке измеряемого отрезка. На рис.2 в отрезке СВ сантиметр укладывается 2 раза и в остатке 3 раза укладывается одна десятая часть сантиметра, значит, длина отрезка СВ равна 3,3 см или, учитывая что для сантиметра десятая часть равна миллиметру, 3 см 3 мм, т.е. можно записать СВ = 3,3 см (СВ = 3 см 3 мм).

Может получится так, что и в миллиметрах остаток не укладывается целое число раз, тогда:

Если нужны более точные измерения, то процесс деления продолжается, т.е. миллиметр также можно разделить на 10 равных частей и т.д. Такая точность в повседневной жизни не нужна, поэтому пользуются приближенными значениями, но имеет важную роль при проведении каких-либо исследований для совершения научных открытий.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и другие отрезки, например, дециметр, метр и т.д.

Длина отрезка — это всегда какое-то положительное число.

Свойства длин отрезков:

Равные отрезки имеют равные длины.
Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков. Так на Рис.4 точка С делит отрезок АВ на два отрезка АС и СВ. Приложим линейку и видим, что АС = 4,5 см, СВ = 2,5 см, АВ = 7 см, т.е. АС + СВ = АВ.

Если длина одного отрезка MN в n раз больше длины другого отрезка PQ, то записывают MN = nPQ. На Рис.5 даны два отрезка MN и PQ, приложим к ним линейку и видим, что MN = 8 см, PQ = 2 см, т.е. MN больше PQ в 4 раза, тогда можно записать, что MN = 4PQ.

Советуем посмотреть:

Точки, прямые, отрезки

Провешивание прямой на местности

Луч

Угол

Равенство геометрических фигур

Сравнение отрезков

Сравнение углов

Единицы измерения длины, расстояний

Градусная мера угла

Измерение углов на местности

Смежные углы

Вертикальные углы

Перпендикулярные прямые

Построение прямых углов на местности

Начальные геометрические сведения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 29,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 36,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 39,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 75,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 76,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 78,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 13,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 323,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1048,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник

Загрузить PDF

Найти длину вертикального или горизонтального отрезка на координатной плоскости можно с помощью координат, а вот сделать это с диагональным отрезком сложнее. Длину диагонального отрезка можно вычислить по формуле, которая основана на теореме Пифагора, где гипотенузой прямоугольного треугольника является наш диагональный отрезок.^[1] С помощью этой формулы можно быстро найти длину любого отрезка на координатной плоскости.

1

Запишите формулу для вычисления длины. Формула: $d={sqrt {(x_{{2}}-x_{{1}})^{{2}}+(y_{{2}}-y_{{1}})^{{2}}}}$ , где — длина отрезка, $(x_{{1}},y_{{1}})$ — координаты начальной точки отрезка, $(x_{{2}},y_{{2}})$ — координаты конечной точки отрезка.^[2]
2

Найдите координаты точек отрезка. Возможно, они будут даны. Если нет, найдите их по осям Х и Y.^[3]
3

Подставьте координаты в формулу. Будьте внимательны и подставьте значения соответствующих переменных. Две координаты должны находится внутри первой пары скобок, а две координаты — внутри второй пары скобок.^[4]

Реклама

1

Выполните вычитание в скобках. Сделайте это, потому что операции в скобках имеют приоритет.^[5]
2

Возведите в квадрат полученные значения. В нашем случае возведение в степень — это вторая по важности операция.^[6]
3

Сложите числа под знаком корня. Делайте вычисления так, как будто работаете с целыми числами.
4

Вычислите длину отрезка . Для этого извлеките корень из полученной суммы чисел.

Реклама

Советы

Не путайте эту формулу с другими, например, с формулой для вычисления углового коэффициента или с линейным уравнением.
Помните о порядке выполнения математических операций. Сначала вычтите, затем возведите в квадрат, затем сложите, а затем извлеките квадратный корень.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 24 603 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Геометрия

7 класс

Урок № 4

Измерение отрезков

Перечень рассматриваемых вопросов:

Измерительные инструменты.
Длина отрезка.
Ломаная.
Равные отрезки.
Середина отрезка.
Единица измерения.

Тезаурус:

Середина отрезка – это точка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.

Две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

«Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» – однажды сказал средневековый философ Марсилио Фичино.

И в этом есть доля правды, ведь измерения – это одно из важных действий в геометрии.

Поэтому сегодня мы будем измерять данный отрезок с помощью линейки и выражать результат в выбранной единице измерения.

В жизни часто приходится измерять длины, будь то длина дороги или ширина комнаты. В геометрии мы будем измерять отрезки. На чём же основано измерение отрезков?

Основа любого измерения – это сравнение величин с другими, принятыми за единицу измерения этой величины.

То же самое и с измерением длины отрезка. Т.е. измерение отрезка – это сравнение длины отрезка с некоторым другим отрезком (масштабным), выбранным за единицу измерения.

Если взять за единицу измерения сантиметр, то, определяя длину отрезка, мы узнаём, сколько раз в заданном отрезке укладывается сантиметр.

Например, один сантиметр укладывается в отрезке АВ семь раз, следовательно, длина отрезкасемь сантиметров.

А В

АВ = 7см.

Если масштабный отрезок не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке, то единицу измерения делят ещё на части, обычно на десять. Далее, определяют, сколько такая часть укладывается в остатке.

Например, в отрезке АВ один сантиметр укладываетсятри раза, в остатке ровно 7 раз укладывается десятая часть сантиметра, а десятая часть сантиметра это миллиметр, т.е. длина отрезка АВ три сантиметра семь миллиметров или три целых семь десятых сантиметра.

АВ= 3см 7мм = 3,7см.

Но бывает, что и при меньшем масштабном отрезке есть остаток, тогда говорят, что длина отрезка приближенно равна определенному значению.

Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения, но обычно так не делают, оставляют приближенное значение длины отрезка.

Стоит отметить, что за единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Например, метр, милю. А выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т.е. выразить его длину некоторым положительным числом.

Два отрезка считаются равными, если единица измерения и её части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т.е. равные отрезки имеют равные длины.

Если один отрезок меньше другого, то единица измерения (или её часть) укладываются в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т.е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

Если на отрезке, например, AD , имеются точки, которые делят отрезок на несколько других отрезков, в нашем случае на три,то длину отрезка, в нашем случае AD,можно найти каксумму длин эти этих отрезков. Т.е. AD равно сумма длин отрезков AB, BC и CD.

АD = АВ + ВС + СD,

AВ = 4см,

ВС = 1,2 см,

CD = 1,3 см,

AD= 4 см + 1,2 см + 1,3 см = 6 см.

Таким образом, длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.

Для измерения длины отрезкаиспользуют различные приборы: линейка, штангенциркуль, рулетка.

Итак, сегодня вы получили представлениео том, как измерять данный отрезок с помощью линейки и выражать результат в выбранной единице измерения.

Ломаная.

Возьмём несколько отрезков и соединим их между собой друг за другом под углом, не равным 180 градусам, полученная фигура называется ломаной. Она может выглядеть так.

Если начало и конец ломанной совпадут, то она считается замкнутой ломаной.

При этом у ломаной можно определить длину, т.к. она состоит из отрезков, длину которых можно измерить. Поэтому длина ломанойравна сумме длин отрезков, из которых она состоит.

При этом,длина незамкнутой ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Тренировочные задания.

1. Какова длина отрезка АВ, если точка О делит отрезок АВ на две части, при этом АО = 5см, ОВ = 2,3 см?

Решение.

По условию задачи, точка О делит отрезок АВ на две части, следовательно, длина отрезка АВ = АО + ОВ = 5см + 2,3 см =7,3 см.

Ответ: 7,3 см.

2. На прямой а отмечены точки А, С, E, причём АС = 5 см, СE = 7 см. Чему может быть равна длина отрезка АE?

Решение:

Для решения задачи нужно нарисовать рисунок в соответствии с условием. Тогда:

АЕ = АС + СЕ = 5см + 7см = 12 см.

А если точки поменять местами, АЕ = СЕ – СА = 7см – 5см = 2см. Других вариантов быть не может, поэтому получается два ответа.

Ответ:12см или 2 см.

Источник

Измерение — это сравнение объекта измерения с выбранной единицей измерения.

Хорошее представление об измерении даёт милый мультфильм «(38) попугаев». В нём была решена проблема измерения длины удава.

В попугаях длина удава составляла 38 попугаев, в мартышках — 5 мартышек, а в слонёнках — только (2) слонёнка. Естественно, удаву больше нравилось то, что в попугаях он длиннее. Значит, в измерении очень важно выбрать единицу измерения.

Обрати внимание!

Если мы хотим измерять несколько объектов и сравнивать результаты измерения, то очень важно измерить эти объекты в одинаковых единицах.

Если нужно измерить длину двух удавов, то обоих надо мерить или в попугаях, или в мартышках, или в слонёнках.

Измеряя объект, мы узнаём, насколько измеряемый объект больше (или меньше) единицы измерения. Может оказаться, что принятая единица измерения не укладывается целое число раз в измеряемый объект. Тогда единицу измерения делят на части, а части можно продолжать делить на меньшие части для получения более точного результата. Результат в зависимости от ситуации также можно округлить и использовать приближённо.

Продолжая рассказ об измерении удава, вспомним, что точный результат измерения в попугаях был следующим: 38 попугаев и одно крылышко — но было принято решение результат округлить до целых единиц.

Для измерения отрезка чаще всего как инструмент измерения используют линейку (линейки бывают очень разные — как для очень мелких измерений, так и для крупных).

Рис. (1). Линейка.

Очень часто используемые единицы измерения: (1) (км), (1) (м), (1) (дм), (1) (см), (1) (мм).

1км =1000 м;1 м=10 дм;1 дм=10 см;1 см=10 мм.

Свойства длины отрезка

1. Равные отрезки имеют равные длины.

2. Часть отрезка всегда имеет длину, которая меньше длины отрезка.

3. Если точки на отрезке делят отрезок на части, то длина отрезка равна сумме длин этих частей.

Независимо от измеряемого объекта измеряемая величина имеет такие же свойства.

Свойства величины угла

1. Равные углы имеют равные величины.

2. Часть угла всегда имеет величину, которая меньше величины угла.

3. Если лучи, выходящие из вершины угла, делят угол на части, то величина угла равна сумме величин этих частей.

Один из инструментов измерения, которые используются для измерения угла, называется транспортир.

Рис. (2). Транспортир.

Совсем особенная единица измерения угла — градус.

Это не тот градус, который используют для измерения температуры.

Для измерения угла как единицу измерения принимают

1180

часть развёрнутого угла, таким образом:

величина развёрнутого угла — (180) таких единиц, или градусов.

Рис. (3). Развёрнутый угол.

Это записывается:

∠AOB=180°

Можем представить и угол, величина которого —

0°

Рис. (4). Нулевой угол.

Одна четвёртая часть полного угла, или половина развёрнутого угла, называется прямой угол с величиной

∠AOB=90°

и особым знаком во внутренней части угла.

Рис. (5). Прямой угол.

Угол, величина которого

0°<∠AOB<90°

, называют острым углом.

Рис. (6). Острый угол.

Угол, величина которого

90°<∠AOB<180°

, называют тупым углом.

Рис. (7). Тупой угол.

Источники:

Рис. 1. Указание авторства не требуется: образование, 2017-01-11, бесплатно для коммерческого использования, https://clck.ru/V4pwr.

Рис. 2. Mayyskiyysergeyy, CC BY-SA 4.0 <https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0>, через Викисклад.
Рис. 3-7. Углы, © ЯКласс.

Источник

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле:

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле:

Примечание: соответствующие координаты можно переставить местами: и ,

но это нестандартный вариант.

Задача 3

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ: (единицы)

Обратите внимание на вынесение множителя из-под корня: (см. Приложение Школьные материалы). Это крайне

желательное действие, если оно возможно. Ибо будет придирка со стороны преподавателя. С высокой вероятностью.

И для наглядности снова выполню чертёж, тут есть что сказать:

Отрезок – это не вектор, а обычный ненаправленный

отрезок. И перемещать его куда-либо, конечно, нельзя.

Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину