Как найти добротность формула

Что такое добротность колебательного контура?
как измерить добротность в радиолюбительских условиях.

Методы определения добротности

Пользуясь
определением добротности, можно показать,
что

,
(9)

R_П
= r + R + R_L,

где R_П
– полное сопротивление цепи; r
– внутреннее сопротивление источника
тока; R
– сопротивление, включенное в контур;
R_L
– активное сопротивление катушки
индуктивности.

1. Расчет
теоретического значения добротности.
Добротность контура Q_теор
можно рассчитать по формуле (9), зная
параметры электрической цепи R_П,
L
и C.

2. Определение
добротности по измерениям резонансного
напряжения U_0
рез
и амплитуды вынуждающей ЭДС ₀.
Соотношение (8) при малых коэффициентах
затухания принимает вид

,

откуда

.
(10)

3. Определение
добротности по ширине резонансной
кривой.
Шириной резонансной кривой называется
разность частот, при которых достигается
эффективное значение резонансного
напряжения на конденсаторе, равное (см.
рис. 3)
.

Разность этих
частот 
= ₂
– ₁
является
полосой пропускания контура.

Энергия, запасенная
в контуре при резонансе, на границах
полосы пропускания уменьшается в два
раза.

Пользуясь
соотношениями (9) и (10) и преобразуя
уравнение (5), получаем, что с достаточной
степенью точности

.
(11)

Таким
образом, зная 
и _рез,
можно вычислить добротность контура.

Расчет добротности
этим методом производится с помощью
полученной экспериментально резонансной
кривой в координатах U₀
, .
По ней определяются для
значения
₁
и ₂
слева и справа от _рез.

Вместо _рез
и циклических частот ₁
и ₂
используются соответствующие частоты
генератора

.
(12)

Метод измерения и описание аппаратуры

Для выполнения
работы используется простейший
колебательный контур из последовательно
соединенных катушки индуктивности L,
конденсатора C
и сопротивления R.
Резонансные кривые снимают при различных
сопротивлениях, включенных в контур.
Наблюдение за изменением амплитуды
колебаний на конденсаторе производится
с помощью электронного осциллографа.
Для этого сигнал с конденсатора подается
на вход осциллографа, и при изменении
частоты генератора измеряется амплитуда
напряжения. При этом диапазон частот
выбирается достаточно широким в обе
стороны по отношению к резонансной
частоте. Резонансная частота соответствует
наибольшей амплитуде измеряемого
напряжения при заданном сопротивлении
контура. Определение добротности контура
производится двумя из вышеописанных
способов: по ширине резонансной кривой
и по отношению резонансного напряжения
к амплитуде вынуждающей ЭДС. Полученные
результаты позволяют вычислить омическое
сопротивление контура и оценить значение
внутреннего сопротивления генератора.

Порядок выполнения работы

1. Включите генератор
   синусоидальных колебаний и электронный
   осциллограф и соберите схему для
   измерений в соответствии с указаниями
   на стенде.

2. Рассчитайте
   собственную частоту контура по формуле

.

Параметры L,
C,
R_L,
r
контура
даны на стенде. Значения L,
C
и f₀
запишите в
табл. 1.

1. Определите по
   осциллографу амплитуды вынужденных
   колебаний напряжения U₀,
   сни­маемого с конденсатора в делениях
   масштабной сетки на экране осциллографа,
   при фиксированных значениях частоты
   F
   генератора в выбранном диапазоне частот
   при R₁.
   Полученные данные занесите в табл. 1.

2. Повторите опыт
   (пункт 3) при другом сопротивлении R₂,
   включенном в контур.

3. Не изменяя
   настройки генератора определите
   амплитуду колебаний ЭДС генератора,
   соответствующую резонансной частоте,
   полученной экспериментально в п. 3,4.
   Для этого установите на генераторе
   резонансную частоту, выход генератора
   подключите непосредственно к входу
   электронного осциллографа с помощью
   переключателя на стенде, и зафиксируйте
   амплитуду сигнала ₀.
   Результат занесите в табл. 1 и табл. 2.

4. По данным табл.
   1 постройте резонансные кривые при
   различных сопротивлениях контура R₁
   и R₂.

5. На каждой
   резонансной кривой отметьте уровень,
   соответствующий 0,7U_{0
   рез}.

Таблица 1

№	Частота	U0, В
п/п	F, МГц	R1 = … Ом	R2 = … Ом
1 2 … 11

С
= … Ф; f₀
= … КГц;

L
= … Гн; ₀
= … В.

Соседние файлы в папке 2000

• #

  09.06.201525.6 Кб260.DOC

• #

  09.06.2015182.78 Кб2701.DOC

• #

  09.06.2015304.64 Кб2602.DOC

• #

  09.06.2015189.95 Кб2603.DOC

• #

  09.06.2015293.89 Кб4604.DOC

In physics and engineering, the quality factor or Q factor is a dimensionless parameter that describes how underdamped an oscillator or resonator is. It is defined as the ratio of the initial energy stored in the resonator to the energy lost in one radian of the cycle of oscillation.^[1] Q factor is alternatively defined as the ratio of a resonator’s centre frequency to its bandwidth when subject to an oscillating driving force. These two definitions give numerically similar, but not identical, results.^[2] Higher Q indicates a lower rate of energy loss and the oscillations die out more slowly. A pendulum suspended from a high-quality bearing, oscillating in air, has a high Q, while a pendulum immersed in oil has a low one. Resonators with high quality factors have low damping, so that they ring or vibrate longer.

Explanation[edit]

The Q factor is a parameter that describes the resonance behavior of an underdamped harmonic oscillator (resonator). Sinusoidally driven resonators having higher Q factors resonate with greater amplitudes (at the resonant frequency) but have a smaller range of frequencies around that frequency for which they resonate; the range of frequencies for which the oscillator resonates is called the bandwidth. Thus, a high-Q tuned circuit in a radio receiver would be more difficult to tune, but would have more selectivity; it would do a better job of filtering out signals from other stations that lie nearby on the spectrum. High-Q oscillators oscillate with a smaller range of frequencies and are more stable.

The quality factor of oscillators varies substantially from system to system, depending on their construction. Systems for which damping is important (such as dampers keeping a door from slamming shut) have Q near 1⁄2. Clocks, lasers, and other resonating systems that need either strong resonance or high frequency stability have high quality factors. Tuning forks have quality factors around 1000. The quality factor of atomic clocks, superconducting RF cavities used in accelerators, and some high-Q lasers can reach as high as 10^11[3] and higher.^[4]

There are many alternative quantities used by physicists and engineers to describe how damped an oscillator is. Important examples include: the damping ratio, relative bandwidth, linewidth and bandwidth measured in octaves.

The concept of Q originated with K. S. Johnson of Western Electric Company’s Engineering Department while evaluating the quality of coils (inductors). His choice of the symbol Q was only because, at the time, all other letters of the alphabet were taken. The term was not intended as an abbreviation for «quality» or «quality factor», although these terms have grown to be associated with it.^[5][6][7]

Definition[edit]

The definition of Q since its first use in 1914 has been generalized to apply to coils and condensers, resonant circuits, resonant devices, resonant transmission lines, cavity resonators,^[5] and has expanded beyond the electronics field to apply to dynamical systems in general: mechanical and acoustic resonators, material Q and quantum systems such as spectral lines and particle resonances.

Bandwidth definition[edit]

In the context of resonators, there are two common definitions for Q, which aren’t exactly equivalent. They become approximately equivalent as Q becomes larger, meaning the resonator becomes less damped. One of these definitions is the frequency-to-bandwidth ratio of the resonator:^[5]

where f_r is the resonant frequency, Δf is the resonance width or full width at half maximum (FWHM) i.e. the bandwidth over which the power of vibration is greater than half the power at the resonant frequency, ω_r = 2πf_r is the angular resonant frequency, and Δω is the angular half-power bandwidth.

Under this definition, Q is the reciprocal of fractional bandwidth.

Stored energy definition[edit]

The other common nearly equivalent definition for Q is the ratio of the energy stored in the oscillating resonator to the energy dissipated per cycle by damping processes:^[8][9][5]

The factor 2π makes Q expressible in simpler terms, involving only the coefficients of the second-order differential equation describing most resonant systems, electrical or mechanical. In electrical systems, the stored energy is the sum of energies stored in lossless inductors and capacitors; the lost energy is the sum of the energies dissipated in resistors per cycle. In mechanical systems, the stored energy is the sum of the potential and kinetic energies at some point in time; the lost energy is the work done by an external force, per cycle, to maintain amplitude.

More generally and in the context of reactive component specification (especially inductors), the frequency-dependent definition of Q is used:^{[8][10][failed verification – see discussion][9]}

where ω is the angular frequency at which the stored energy and power loss are measured. This definition is consistent with its usage in describing circuits with a single reactive element (capacitor or inductor), where it can be shown to be equal to the ratio of reactive power to real power. (See Individual reactive components.)

Q factor and damping[edit]

The Q factor determines the qualitative behavior of simple damped oscillators. (For mathematical details about these systems and their behavior see harmonic oscillator and linear time invariant (LTI) system.)

• A system with low quality factor (Q < 1⁄2) is said to be overdamped. Such a system doesn’t oscillate at all, but when displaced from its equilibrium steady-state output it returns to it by exponential decay, approaching the steady state value asymptotically. It has an impulse response that is the sum of two decaying exponential functions with different rates of decay. As the quality factor decreases the slower decay mode becomes stronger relative to the faster mode and dominates the system’s response resulting in a slower system. A second-order low-pass filter with a very low quality factor has a nearly first-order step response; the system’s output responds to a step input by slowly rising toward an asymptote.
• A system with high quality factor (Q > 1⁄2) is said to be underdamped. Underdamped systems combine oscillation at a specific frequency with a decay of the amplitude of the signal. Underdamped systems with a low quality factor (a little above Q = 1⁄2) may oscillate only once or a few times before dying out. As the quality factor increases, the relative amount of damping decreases. A high-quality bell rings with a single pure tone for a very long time after being struck. A purely oscillatory system, such as a bell that rings forever, has an infinite quality factor. More generally, the output of a second-order low-pass filter with a very high quality factor responds to a step input by quickly rising above, oscillating around, and eventually converging to a steady-state value.
• A system with an intermediate quality factor (Q = 1⁄2) is said to be critically damped. Like an overdamped system, the output does not oscillate, and does not overshoot its steady-state output (i.e., it approaches a steady-state asymptote). Like an underdamped response, the output of such a system responds quickly to a unit step input. Critical damping results in the fastest response (approach to the final value) possible without overshoot. Real system specifications usually allow some overshoot for a faster initial response or require a slower initial response to provide a safety margin against overshoot.

In negative feedback systems, the dominant closed-loop response is often well-modeled by a second-order system. The phase margin of the open-loop system sets the quality factor Q of the closed-loop system; as the phase margin decreases, the approximate second-order closed-loop system is made more oscillatory (i.e., has a higher quality factor).

Some examples[edit]

Physical interpretation[edit]

Physically speaking, Q is approximately the ratio of the stored energy to the energy dissipated over one radian of the oscillation; or nearly equivalently, at high enough Q values, 2π times the ratio of the total energy stored and the energy lost in a single cycle.^[14]

It is a dimensionless parameter that compares the exponential time constant τ for decay of an oscillating physical system’s amplitude to its oscillation period. Equivalently, it compares the frequency at which a system oscillates to the rate at which it dissipates its energy. More precisely, the frequency and period used should be based on the system’s natural frequency, which at low Q values is somewhat higher than the oscillation frequency as measured by zero crossings.

Equivalently (for large values of Q), the Q factor is approximately the number of oscillations required for a freely oscillating system’s energy to fall off to e^−2π, or about 1⁄535 or 0.2%, of its original energy.^[15] This means the amplitude falls off to approximately e^−π or 4% of its original amplitude.^[16]

The width (bandwidth) of the resonance is given by (approximately):

where f_N is the natural frequency, and Δf, the bandwidth, is the width of the range of frequencies for which the energy is at least half its peak value.

The resonant frequency is often expressed in natural units (radians per second), rather than using the f_N in hertz, as

The factors Q, damping ratio ζ, natural frequency ω_N, attenuation rate α, and exponential time constant τ are related such that:^{[17][page needed]}

and the damping ratio can be expressed as:

The envelope of oscillation decays proportional to e^−αt or e^−t/τ, where α and τ can be expressed as:

and

The energy of oscillation, or the power dissipation, decays twice as fast, that is, as the square of the amplitude, as e^−2αt or e^−2t/τ.

For a two-pole lowpass filter, the transfer function of the filter is^[17]

For this system, when Q > 1⁄2 (i.e., when the system is underdamped), it has two complex conjugate poles that each have a real part of −α. That is, the attenuation parameter α represents the rate of exponential decay of the oscillations (that is, of the output after an impulse) into the system. A higher quality factor implies a lower attenuation rate, and so high-Q systems oscillate for many cycles. For example, high-quality bells have an approximately pure sinusoidal tone for a long time after being struck by a hammer.

Filter type (2nd order)	Transfer function[18]
Lowpass
Bandpass
Notch (bandstop)
Highpass

Electrical systems[edit]

For an electrically resonant system, the Q factor represents the effect of electrical resistance and, for electromechanical resonators such as quartz crystals, mechanical friction.

Relationship between Q and bandwidth[edit]

The 2-sided bandwidth relative to a resonant frequency of F₀ Hz is F₀/Q.

For example, an antenna tuned to have a Q value of 10 and a centre frequency of 100 kHz would have a 3 dB bandwidth of 10 kHz.

In audio, bandwidth is often expressed in terms of octaves. Then the relationship between Q and bandwidth is

where BW is the bandwidth in octaves.^[19]

RLC circuits[edit]

In an ideal series RLC circuit, and in a tuned radio frequency receiver (TRF) the Q factor is:^[20]

where R, L and C are the resistance, inductance and capacitance of the tuned circuit, respectively. The larger the series resistance, the lower the circuit Q.

For a parallel RLC circuit, the Q factor is the inverse of the series case:^[21][20]

^[22]

Consider a circuit where R, L and C are all in parallel. The lower the parallel resistance, the more effect it will have in damping the circuit and thus the lower the Q. This is useful in filter design to determine the bandwidth.

In a parallel LC circuit where the main loss is the resistance of the inductor, R, in series with the inductance, L, Q is as in the series circuit. This is a common circumstance for resonators, where limiting the resistance of the inductor to improve Q and narrow the bandwidth is the desired result.

Individual reactive components[edit]

The Q of an individual reactive component depends on the frequency at which it is evaluated, which is typically the resonant frequency of the circuit that it is used in. The Q of an inductor with a series loss resistance is the Q of a resonant circuit using that inductor (including its series loss) and a perfect capacitor.^[23]

where:

• ω₀ is the resonance frequency in radians per second,
• L is the inductance,
• X_L is the inductive reactance, and
• R_L is the series resistance of the inductor.

The Q of a capacitor with a series loss resistance is the same as the Q of a resonant circuit using that capacitor with a perfect inductor:^[23]

where:

• ω₀ is the resonance frequency in radians per second,
• C is the capacitance,
• X_C is the capacitive reactance, and
• R_C is the series resistance of the capacitor.

In general, the Q of a resonator involving a series combination of a capacitor and an inductor can be determined from the Q values of the components, whether their losses come from series resistance or otherwise:^[23]

Mechanical systems[edit]

For a single damped mass-spring system, the Q factor represents the effect of simplified viscous damping or drag, where the damping force or drag force is proportional to velocity. The formula for the Q factor is:

where M is the mass, k is the spring constant, and D is the damping coefficient, defined by the equation F_damping = −Dv, where v is the velocity.^[24]

Acoustical systems[edit]

The Q of a musical instrument is critical; an excessively high Q in a resonator will not evenly amplify the multiple frequencies an instrument produces. For this reason, string instruments often have bodies with complex shapes, so that they produce a wide range of frequencies fairly evenly.

The Q of a brass instrument or wind instrument needs to be high enough to pick one frequency out of the broader-spectrum buzzing of the lips or reed.
By contrast, a vuvuzela is made of flexible plastic, and therefore has a very low Q for a brass instrument, giving it a muddy, breathy tone. Instruments made of stiffer plastic, brass, or wood have higher-Q. An excessively high Q can make it harder to hit a note. Q in an instrument may vary across frequencies, but this may not be desirable.

Helmholtz resonators have a very high Q, as they are designed for picking out a very narrow range of frequencies.

Optical systems[edit]

In optics, the Q factor of a resonant cavity is given by

where f_o is the resonant frequency, E is the stored energy in the cavity, and P = −dE/dt is the power dissipated. The optical Q is equal to the ratio of the resonant frequency to the bandwidth of the cavity resonance. The average lifetime of a resonant photon in the cavity is proportional to the cavity’s Q. If the Q factor of a laser’s cavity is abruptly changed from a low value to a high one, the laser will emit a pulse of light that is much more intense than the laser’s normal continuous output. This technique is known as Q-switching. Q factor is of particular importance in plasmonics, where loss is linked to the damping of the surface plasmon resonance.^[25] While loss is normally considered a hindrance in the development of plasmonic devices, it is possible to leverage this property to present new enhanced functionalities.^[26]

See also[edit]

• Acoustic resonance
• Attenuation
• Chu–Harrington limit
• Piezoelectric material properties
• Phase margin
• Q meter
• Q multiplier
• Dissipation factor

References[edit]

Further reading[edit]

External links[edit]

• Calculating the cut-off frequencies when center frequency and Q factor is given
• Explanation of Q factor in radio tuning circuits

Ударный спектр и добротность колебательной системы

Ударный спектр — это график значений максимального отклика на внешнее воздействие системы резонаторов с одной степенью свободы, упорядоченный по собственным частотам резонаторов.

Определение краткое и достаточно точное, но почему-то у людей возникают дополнительные вопросы. Дополнительные вопросы возникают оттого, что людям трудно представить себе образ даже одного резонатора с одной степенью свободы, то что говорить о целой системе.

Если объяснять этот термин на пальцах, то надо подходить к этому вопросу аккуратно и последовательно, чтобы постепенно сложить в голове человека образ описываемого явления. С материальными объектами проще — их достаточно показать, чтобы человеку всё стало ясно. С информационными явлениями гораздо сложнее, но мы эту проблему решим.

Резонатор с одной степень свободы

Представим себе объект, который может совершать колебания в пространстве только в направлении одной оси. Это и будет резонатор с одной степенью свободы. Пружины и маятники — это всё примеры резонаторов с одной степенью свободы. Хотя природа их колебаний различна в теории они описываются аналогичными уравнениями. У них есть одна собственная частота и одна резонансная частота. Для удобства практического использования эти частоты объединяют в одну, но это две разные частоты. Резонансная частота — это частота действия внешней силы, на которой достигается максимальная амплитуда колебаний. Собственная частота — это частота затухающих колебаний, когда внешняя сила исчезла и система теряет энергию, возвращаясь в положение равновесия (останавливается).

Представим себе знакомый нам всем с детства маятник — качели.

Резонансная частота маятника не зависит от массы груза (то есть не разницы кто сидит на качелях хрупкая маленькая девочка или её большой тяжёлый папа), а зависит только от длины подвеса. Чем длиннее этот подвес, тем меньше резонансная частота. Чем выше качели, тем дольше период одного качания.

Ребёнок, впервые попавший на качели, поначалу прилагает много самых разных усилий с произвольной частотой, но качели почти не двигаются. Достаточно быстро он понимает темп, в котором надо делать усилия, чтобы раскачивать качели и понимает, что делать их надо в момент, когда качели замирают на одном из пиков.

Говоря сухим научным языком, когда частота действия внешней силы совпадает с частотой резонанса система начинает в этот самый резонанс входить, увеличивая амплитуду колебаний.

Сил у ребёнка немного и раскачать качели он сильно не может. В определённый момент все силы его начинают уходит не на увеличение амплитуды колебаний, а на поддержание колебаний на том же уровне. В этот момент вся энергия, которую прикладывает ребёнок, будет тратиться за один период колебаний на преодоление трения подвеса и сопротивление воздуха. Если предположить, что в каждый период колебаний качелей ребёнок прикладывает одинаковое усилие совершая работу A, то достигнув максимальных колебаний за n раз, он затратит количество энергии:

W=n×A,

которая перейдёт в энергию качания качелей (часть этой энергии будет рассеяна, но пока это не существенно).
После этого вся его энергия будет полностью рассеиваться за один такт качения:

A=E×d

После понимания этого момента можно переходит к понятию добротности.

Добротность

Добротность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний. В общем виде для любой колебательной системы добротность вычисляется по следующей формуле:

f₀ — резонансная частота;
W — запасённая энергия системы;
P_d — рассеиваемая мощность;
E_d — рассеиваемая энергия за один период колебаний;
A — работа, совершаемая внешней силой за один период колебаний;
n — количество колебаний, которое сделал система, прежде чем достигла максимальной амплитуды колебаний.

Из этой формулы можно сделать один очень важный вывод, который нам пригодится:
Чем выше добротность колебательной системы, тем больше колебаний сделает система под действием внешний силы, прежде чем достигнет максимальной амплитуды.

То есть, чем выше качели (чем длиннее маятник — тем выше его добротность) тем больше нужно сделать колебаний, чтобы их раскачать. От величины внешней силы зависит только амплитуда колебаний, которые может совершать система. Если ребёнок не сам качается на качелях, а его качает папа (а у папы силы больше и энергии он даёт больше), качели будут подниматься гораздо выше, но максимальной амплитуды качели достигнут примерно за то же число колебаний, если папа будет качать с одинаковым усилием. В качании на качелях самое главное не переусердствовать иначе ребёнка может укачать или качели сломаются.

Собственная частота

Когда дети становятся старше, им надоедает просто качаться на качелях и они раскачавшись прыгают с них, стараясь подлететь повыше и подальше приземлиться (хорошо что детские площадки посыпают песком). После такого прыжка на качелях не остаётся источника внешней толкающей силы, да и отцу становится «не очень интересно » толкать пустые качели. Постепенно амплитуда качения уменьшается и качели останавливаются. Интервал времени между двумя ближайшими моментами отклонения качелей (маятника, резонатора, сигнала и т.д.) называется периодом собственных колебаний, а обратная ему величина — частотой собственных колебаний.

Одни колебательные системы останавливаются быстро, всего за пару тройку колебаний (большинство качелей во дворе останавливаются не более чем за 7 колебаний), а колебания других могут затухать очень долго (колокола — это тоже колебательные системы). Скорость, с которой колебания затухают, очень важный параметр. Он называется декремент затухания.

Декремент затухания

Декремент затухания или логарифмический декремент колебаний — это безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных (или через некоторое целое количество периодов) амплитуд колеблющейся величины в одну и ту же сторону:

Декремент затухания равен показателю экспоненты в законе затухающих колебаний:

Из декремента затухания можно рассчитать другую величину — коэффициент демпфирования по следующей формуле:

Коэффициент демпфирования (затухания)

Декремент затухания величина расчётная и рассчитывается по графику затухающих колебаний. Для колебательных систем с вязким трением (сила сопротивления пропорциональная скорости движения) физической величиной определяющей характер колебаний является коэффициент демпфирования.
, где
c — коэффициент силы сопротивления движению;
k — коэффициент упругости;
m — масса подвижного груза.

При коэффициенте демпфирования меньшем единицы колебательная система будет плавно затухать. Чем меньше будет коэффициент, тем дольше будут длиться колебания. При коэффициенте равном единице или большем никаких колебаний система испытывать не будет, а просто плавно будет стремиться к нулевому положению. Так, например, дверные доводчики настраивают на коэффициент демпфирования 1 и более, чтобы дверь автоматически закрылась через некоторое время без удара о створку. Демпферы для входных дверей в метро наоборот настроены на коэффициент демпфирования меньше 1. После того как человек толкнёт такую дверь она сделает два три колебания и остановится.

Коэффициент демпфирования связан с добротностью следующей формулой:

Из формулы следует, что чем больше добротность колебательной системы, тем меньше декремент затухания. Чем меньше декремент затухания, тем меньше теряется энергии с каждым колебанием и тем больше колебаний совершит система перед остановкой. Этот простой вывод нам пригодится для дальнейшей работы.

Если рассматривать качели, маятники и прочие системы с низкой собственной частотой (и большим периодом колебаний соответственно), то считать количество колебаний достаточно легко. Но когда мы рассматриваем колокола, балки и прочие системы с высокой собственной частотой, то «на глаз» подсчитать количество колебаний при затухании становится невозможно.

Система резонаторов

Если собрать несколько резонаторов с разными собственными частотами, но одинаковыми значениями декремента затухания, то получится та самая система резонаторов, о которой шла речь в самом начале статьи. Представьте себе площадку в парке отдыха, на которой установлены качели разных размеров, но похожие по конструкции. От размеров качелей будет зависеть собственная частота, а от конструкции и материалов декремент затухания. Таким образом, у них будут разные собственные частоты и одинаковый декремент затухания.

Если представить себе, что все качели одновременно испытывают воздействие внешней возбуждающей силы, от которой они начинают раскачиваться, то максимальная амплитуда колебаний, которую в какой-то момент достигнут качели, будет тем самым максимальным откликом. Подобным внешним воздействием может быть землетрясение. Если упорядочить значения максимальных ответов по возрастанию собственных частот соответствующих резонаторов, то полученный график называется ударным спектром. Если мы имеем дело с землетрясением, то в этом случае ударный спектр называют спектром ответа.

Как мы уже выяснили выше, максимальный отклик некоторых резонаторов может быть достигнут не тогда, когда мгновенное значение силы максимально, а в какой-нибудь другой момент. Этот момент зависит от гармоник, которые присутствуют в сигнале, и от их длительности. Даже если на систему действует гармонический сигнал с одной частотой, то раскачиваться под его воздействием будут все резонаторы. Максимального по амплитуде колебаний отклика достигнет резонатор с собственной частотой наиболее близкой к частоте колебаний, остальные будут колебаться меньше. Наглядно это демонстрирует график резонанса.

Если мы имеем дело, не с установившимися колебаниями, а с коротким воздействием, то картина будет иной. Будем на систему резонаторов действовать импульсом, состоящем из нескольких периодов синусоидального сигнала с частотой 1000 Гц от полу-периода до 10 периодов. Скажем заранее, что коэффициент демпфирования всех резонаторов равен 0,05, а добротность соответственно равна 10.

Как мы видим на графиках ударного спектра с ростом длительности воздействия увеличивается максимальный отклик системы резонаторов, причём частота, соответствующая максимальному отклику приближается к частоте сигнала генератора. На этом месте возникает уместный вопрос: «Почему от импульсов с малым числом периодов сильнее откликаются (то есть имеют большее значение) резонаторы с частотами большими частоты действующего импульса?». Для ответа на этот вопрос нужно внимательно рассмотреть график резонанса, приведённый выше.

На графике резонанса изображена зависимость ответной реакции резонатора на входное воздействие постоянной амплитуды при изменяющейся частоте входного сигнала. На графике хорошо видно, что у резонаторов с низкой добротностью резонанс наступает на частоте заметно меньшей чем собственная частота резонатора. По мере роста добротности резонатора пик резонанса становится острее и выше, а частота приближается к собственной частоте резонатора.

В ударном спектре всё наоборот. Частота входного сигнала остаётся неизменной, а варьируются собственные частоты резонаторов. Добротность каждого резонатора ограничена сверху, но длительность входного воздействия позволяет раскачать все резонаторы. Поэтому добротность каждого резонатора будет определяться количеством периодов в сигнале (но не более 10).

Если частота резонатора выше частоты входного сигнала, то соотношение w_a/w₀ < 1 и отклик не опускается ниже амплитуды входного сигнала. То есть маятники с коротким подвесом от низкочастотного воздействия не раскачиваются, а просто ходят за ним. Соответственно, небольшие строения (телефонные будки, ларьки и прочие) при землетрясении не испытывают внутренних напряжений и не ломаются, а двигаются все целиком за волной.

Если частота резонатора ниже, то соотношение w_a/w₀ > 1 и амплитуда отклика быстро падает с уменьшением частоты резонатора. То есть маятники с длинным подвесом от высокочастотных воздействия даже не трогаются с места. Соответственно, большие строения (точнее сказать, строения из крупных блоков) никак не реагируют на работу отбойного молотка на улице, будь их там даже тысячи работающих одновременно.

Если взять график резонанса соответствующий δ=0.5w₀, то он будет примерно соответствовать спектру ударного отклика на полу-период синуса с той лишь разницей, что он будет отражён в другую сторону. Сигналам с большим числом периодов соответствуют графики с большей добротностью. Если совместить несколько графиков ударных спектров в одних осях, то мы увидим график напоминающий график резонанса, приведённый выше, но развёрнутый в обратном направлении.

Вывод

Подводя итог статьи необходимо сделать вывод, что ударный спектр это прекрасный показатель внутреннего состояния объекта. Так для небольших объектов при построение ударного спектра по выходному сигналу можно выяснить состояние «внутренней системы резонаторов». Усталость материи, внутренние трещины и прочие неприятности вносят изменения в эту «внутреннюю систему резонаторов». Обычно это выражается в том, что происходит изменение собственных и резонансных частот, реже происходит падение добротности колебательных контуров.

Так, например, церковные колокола со временем «понижают» свои голоса, то есть у них происходит уменьшение собственной частоты (унтертона) и высота их звука падает. Таким образом проявляется эффект «старения» бронзы [1]. Если же колокол треснет (например, в сильный мороз), то он резко потеряет чистоту звука, то есть упадёт его добротность.

Можно представить себе испытуемый объект как систему резонаторов в виде набора струн (можно представить себе рояль), определить и запомнить какие «струны» в нём звучат и как сильно. А после эксплуатации по изменению этого набора откликов можно судить об внутренних изменениях. Так, например, ГОСТы на механические испытания рекомендую измерять и сравнивать АЧХ до и после испытаний. Ещё пример, при изменении основного тона собственных колебаний здания более чем в два раза в меньшую либо в большую сторону (одна из методик контроля), МЧС делает заключение, что здание находится в аварийном состоянии.

При землетрясениях наоборот измеряют ударный спектр самого землетрясения. Таким образом учёные оценивают степень разрушения зданий и сооружений [2]. Для каждого типа сооружений вычисляется диапазон наиболее разрушительных частот. Чем выше рассчитанный спектр в определённой полосе, тем больше повреждений получит здание.

При проектировании зданий в сейсмоопасных районах в конструкцию здания закладывают системы демпфирования колебаний. Системы демпфирования рассчитывают на гашение наиболее опасных частот. Такие частоты определяются исходя из анализа сейсмограмм в данной области за всё время наблюдений. И в конце проектных работы модель здания подвергают испытаниям на модельные землетрясения [3].

Ссылки

1. https://www.muszone.ru/articles/23.html
2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D1%81%D0%B5%D0%B9%D1%81%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%C2%AB%D0%A1%D0%90-482%C2%BB
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Сейсмостойкое_строительство
4. https://www.iris.edu/hq/inclass/video/building_resonance__boss_model_construction__use

P.S.

В конце можно позволить отступить от области механики и сейсмики в область социальную. В обществе имеют место аналогичные явления, называемые «общественным резонансом». Если какое-то событие овладевает умами многих людей (говорят «нашло отклик в сердцах людей»), и о нём долго вспоминают и обсуждают (говорят «событие долго будоражит умы»), то налицо общественный резонанс. Такие события могут побудить людей к действиям, например, написать письмо на телевидение, в редакцию газеты или в руководящие органы. Руководство телеканала или администрация отсортируют письма, получат весь спектр ответов, проанализируют ситуацию и примут какие-то действия.

Подобная аналогия из жизни общества может быть не абсолютно точно повторяет свойства резонанса и ударного спектра в механике, но позволяет приблизить к пониманию механического резонанса большое число людей, не имеющих технического образования.